1

Modul 407: Der Goldene Schnitt!

2

Der Goldene Schnitt

•  Geometrie / Bild

•  Zählen / Rechnen

3

Eine Strecke heißt im goldenen Schnitt geteilt,

wenn sich das größere Teilstück a

zum kleineren Teilstück b so verhält

wie die ganze Strecke zum größeren Teilstück a.

a

b

4

Eine Strecke heißt im goldenen Schnitt geteilt,

wenn sich das größere Teilstück a

zum kleineren Teilstück b so verhält

wie die ganze Strecke zum größeren Teilstück a.

a

b

Demo Cabri

5

Euklid, um 325 v. Chr. – 265 v. Chr.

Stetige Teilung

6

ab =

a+ba

ab = 1+

ba

x = ab x = 1+1x

x2 = x +1 ⇒ x2 − x −1 = 0

Positive Lösung

τ = 1+ 52 ≈ 1.618

7

x2 = 0 L = 0{ }

x2 −1 = 0 L = ±1{ } x2 +1 = 0 L = { }

x2 − x = 0 L = 0,1{ } x2 + x = 0 L = 0,−1{ }

x2 − x −1 = 0 L = 1+ 52 ,1− 52{ } x2 + x +1 = 0 L = { }

x2 + x −1 = 0 L = −1+ 52 ,−1− 52{ } x2 − x +1 = 0 L = { }

Simple quadratische Gleichungen

Der Goldene Schnitt erscheint.

8

Welche Zahlen haben dieselben

„Nachkommastellen“ wie ihr Kehrwert?

x − 1x = n

x2 − nx −1 = 0

x1 =n+ n2+4

2

9

n Zahl Kehrwert

0 1 1

1 τ = 1+ 52 ≈ 1.618 ρ =−1+ 52 ≈ 0.618

2 1+ 2 ≈ 2.414 −1+ 2 ≈ 0.414

3 3+ 132 ≈ 3.303−3+ 132 ≈ 0.303

4 2 + 5 ≈ 4.236 −2 + 5 ≈ 0.236

x1 =n+ n2+4

2

Welche Zahlen haben dieselben

„Nachkommastellen“ wie ihr Kehrwert?

10

Welche Zahlen haben dieselben

„Nachkommastellen“ wie ihre Quadratzahl?

x2 = x + n

x2 − x − n = 0

x1 =1+ 1+4n

2

11

n Zahl Quadratzahl

0 1 1

1 τ = 1+ 52 ≈ 1.6183+ 52 ≈ 2.618

2 2 4

3 1+ 132 ≈ 2.303 5.303

4 1+ 172 ≈ 2.562 6.562

Welche Zahlen haben dieselben

„Nachkommastellen“ wie ihre Quadratzahl?

x1 =1+ 1+4n

2

12

A

B

C

1

1

2

Konstruktion des Goldenen Schnittes!

Dreieck mit Kathetenverhältnis 2:1

13

A

B

C

1

D

E

1

2

Konstruktion des Goldenen Schnittes!

Dreieck mit Kathetenverhältnis 2:1

Kreis

14

A

B

C

1

D

E

r

1

2

t

Konstruktion des Goldenen Schnittes!

Dreieck mit Kathetenverhältnis 2:1

Kreis

15

Das alte Rathaus zu Leipzig, 1556

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Das Programm geht gleich weiter.!

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Das Programm geht gleich weiter.!

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Pentagon

Pentagramm

19

Pentagon

Pentagramm

Knoten aus einem Streifen

20

Pentagon

Pentagramm

1

x

1

1

x – 1

21

1

x

1

1

x – 1

x−11 =

1x

x2 − x −1 = 0

x1 =1+ 52 = τ ≈ 1.618

x2 =1− 52 ≈ −0.618

36°

36°

72°

22

36°

108°

1

1

1

1

Im Zehneck

ρ

τ

23

24

25

26

27

28

1

x

x

Q

R

Goldenes Rechteck

Quadrat abschneiden

Rest soll ähnlich zum

ursprünglichen Rechteck sein

1x =

x1−x

x2 = 1− x

x2 + x −1 = 0

x1 =−1+ 52 = ρ ≈ 0.618

x2 =−1− 52 ≈ −1.618

1 – x

29

Iteration des Abschneidens?

30

Iteration des Abschneidens?

31

Iteration des Abschneidens?

32

Iteration des Abschneidens?

33

Iteration des Abschneidens?

34

Iteration des Abschneidens?

35

Iteration des Abschneidens?

36

Iteration des Abschneidens?

37

Viertelskreise

38

Viertelskreise

39

Viertelskreise

40

Viertelskreise

41

Viertelskreise

42

Viertelskreise

43

Viertelskreise

44

Viertelskreise

45

Start mit einem Quadrat

46

Ein Quadrat wird angesetzt

47

Noch ein Quadrat, diesmal ein größeres

48

Dümdüdelüt

49

50

51

1

1

2

3

5

8

Fibonacci

52

1

1

2

3

5

8

Fibonacci

Leonardo von Pisa (Fibonacci)

um 1170-1250

an+2 = an+1 + an

53

1

1

2

3

5

8

Fibonacci

Leonardo von Pisa (Fibonacci)

um 1170-1250

an+2 = an+1 + an

limn→∞

an+1an( ) = τ?

54

1

1

2

3

5

8

Fibonacci

Leonardo von Pisa (Fibonacci)

um 1170-1250

an+2 = an+1 + an

limn→∞

an+1an( ) = τ?

Demo Excel

55

1

1

2

3

5

8

Fibonacci

Leonardo von Pisa (Fibonacci)

um 1170-1250

an+2 = an+1 + an

limn→∞

an+1an( ) = τ

Beweis?

56

DAS KANINCHEN-PROBLEM

Leonardo von Pisa (Fibonacci)

um 1170-1250

57

Leonardo von Pisa (Fibonacci)

um 1170-1250

Liber abaci, Kapitel 12

Überschrift:

Quot paria coniculorum

in uno anno ex uno

pario germinentur.

58

Jemand sperrt ein Kaninchenpaar ���in ein allseitig ummauertes Gehege, ���um zu erfahren, wie viele ���Nachkommen dieses Paar im Laufe ���eines Jahres haben werde. ������Es wird dabei vorausgesetzt, ���jedes Kaninchenpaar bringe ���monatlich ein neues Paar zur Welt, ���und die Kaninchen würden vom ���zweiten Monat nach ihrer Geburt���an gebären.

Leonardo von Pisa (Fibonacci)

um 1170-1250

59

Drohne:

Mutti, wie bin ich auf die Welt gekommen?

60

Eine männliche Biene (Drohne)

hat nur eine Mutter (Königin)

Unbefruchtetes Ei

61

Eine weibliche Biene hat Mutter und Vater.

62

Stammbaum einer Drohne

3

1

2

1

1

2

1

63

Stammbaum einer Drohne

5

2

3

3

1

2

1

1

2

1

64

Stammbaum einer Drohne

8

3

5

5

2

3

3

1

2

1

1

2

1

65

Stammbaum einer Drohne

8

5

13

8

3

5

5

2

3

3

1

2

1

1

2

1

66

Stammbaum einer Drohne

8

13

21

8

5

13

8

3

5

5

2

3

3

1

2

1

1

2

1

67

Stammbaum einer Drohne

8

13

21

8

5

13

8

3

5

5

2

3

3

1

2

1

1

2

1

68

Fraktale

69

1

f

f

2

f

3

f

4

f

5

f = f 3 + f 4 + f 5 +! = f3

1− f

f 3 + f 2 − f = 0

70

copy and paste

71

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72

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73

74

75

76

77

78

79

80

81

0

3

1

1

2

2

3

f

f

f

2

f

2

f

3

1

1 = 2 f 2 + f 3

82

83

Fünfecksfraktal

mit

Überlappung