Quantum Computing
Hartmut KlauckUniversität FrankfurtWS 04/05
Organisatorisches Vorlesung: Mi. 14-16 c.t. Übung: Fr. 16-17 (ab 29.10.) Schein: Fachgespräch Zuordnung T2,T3 Voraussetzung: Vordiplom
(Informatik, Mathematik oder Physik) Website:
www.thi.informatik.uni-frankfurt.de/~klauck/QC04.html
Literatur
Nielsen/Chuang: Quantum Computation and Quantum Information
(Cambridge)
Ebenfalls empfohlen (online):
John Preskill's lecture notes
Umesh Vazirani's course
Warum Quantum Computing? Quantenmechanik: physikalische Theorie
(vor allem) der mikroskopischen Welt Moore’s Law: Alle ... (18 Mon?) verdoppelt
sich die Rechenleistung/Anzahl der Transistoren pro mm2
Grenze: 1 Transistor pro Elektron Quantenmechanische Effekte !
(binnen <20 Jahren)
Hitzeentwicklung in integrierten Schaltungen:
“Löschen” von Information nur möglich durch Abstrahlen von Wärme
) Reversible Berechnungen!
Quantenberechnungen sind reversibel
Warum Quantum Computing?
Warum Quantum Computing? Können Quanteneffekte sogar nützlich
sein? Es gibt einen Quantenalgorithmus, der
ganze Zahlen in polynomieller Zeit in Primfaktoren zerlegt, und so das RSA Kryptoverfahren bricht
Es gibt Quantenkryptographische Verfahren, die sicher sind (unter der Annahme, dass QM korrekt ist)
Weitere Gründe
Landauer: Information is physical Computation is physical Quantenmechanik ist ein
Berechnungsmodell
Quantenmechanik
Quantenmechanik
Selber Ausgang des Experimentes, wenn einzelne Elektronen/Photonen ausgestossen werden
) Wellenverhalten nicht bloss “statistisch”
Quantenmechanik
Historisches
Entwicklung der Quantenmechanik:Planck 1900, Schrödinger, Heisenberg, Bohr, Einstein.....
von Neumann’s Formalismus 1935: Einstein, Podolsky, Rosen
beschreiben quantenmech. “Verschränkung” (entanglement)
heute bestbestätigte physikalische Theorie
(Quanten) Informatik
1936: Turing schlägt universelle Berechnungsmaschine vor (Church Turing These)
1948 Shannon’s Informationstheorie 1965 Moore’s Law 1982: Feynman beobachtet, dass
Quantensysteme nicht effizient auf klassischen Computern simulierbar sind, schlägt quantenmechanische Computer
1982 Wiesner: Quantenkryptographie
Quanten Informatik
1985 Deutsch: erster Quantenalgorithmus 1993 Quantum Teleportation 1994 Shor: Quantenalgorithmus zum
Faktorisieren ganzer Zahlen 1996 Grovers Algorithmus:
unsortierte Datenbank mit n Elementen kann Zeit durchsucht werden
Qubits
Quantenmechanik ist eine Theorie von Zuständen und Transformationen
Zustände: Vektoren
Bits: 0 oder 1, in einem Register Zugeordnete Zustände |0i, |1i
Beispiele: Weg eines Elektrons im Doppelschlitzexperiment, Polarisation Photon
Quantenzustände: |0i+ |1i, ||2 +||2=1
Qubits (II)
|0i, |1i Basisvektoren im 2-dimensionalen komplexen Vektorraum C2
Qubits: |0i+ |1i, ||2 +||2=1 ,: Amplituden Einheitsvektoren (euklidische Norm) Vergleich: Wahrscheinlichkeitsverteilungen:
0 mit Ws. p, 1 mit Ws. 1-p) Einheitsvektoren 1-Norm
Qubits: , sind (komplexe) Zahlen, möglich. negativ!
Quadrate ergeben Ws. Verteilung
Quantenformalismus
Quantenzustände sind Vektoren in einem Hilbertraum (Vektorraum mit innerem Produkt)
Hilbertraum entspricht Qubit Register
Hilbertraum hier: Ck mit Standardprodukth (vi) | (wi) i =i=1…k vi
*wi
x*: komplex konjugierte Zahl
Dirac Notation
h | “BRA” Zeilen Vektor | i “KET” (Spalten) Vektor h | i inneres Produkt
(Produkt von Zeilenvektor und Spaltenvektor)
Mehrere Qubits
Hilbertraum: Dimension 2k
D.h. 2k Basisvektoren Notation |ii, i=1,...,2k
Einheitsvektoren (Zustände) sind von der Form i i |ii; i=1....2k
Alternativ: identifiziere i=1...2k mit x2{0,1}k
Basiszustände |xi, x2 {0,1}k
Basiszustände entsprechen klassischen Belegungen des “Registers”
Allgemeine Zustände sind “Superposition” von 2k Strings
Tensorprodukt
Hilberträume H, K, Dimension dH und dK
Tensorprodukt H K ist Raum der Dimension dH¢dK
Tensorprodukt von Vektoren: (a1,..., al) (b1,...,br)= (a1b1,a1b2,...,a1br,a2 b1,......,albr)
Beispiel: |0i = (10)T; |1i= (01)T
und |01i= |0i |1i = (0100)T
Basiszustände von H K: |xi |yi =|xyi
Was geschieht man mit Qubits? Quantensysteme evolvieren gemäss der
Schrödinger Gleichung Ergebnis: Quantentransformation;
entspricht unitärer Transformation auf Zuständen
Lineare Algebra
Lineare Abbildungen A(x+y)=Ax+Ay x,y: Vektoren in Ck, A: k £ k Matrix Reelle Zahlen: Abbildungen O orthogonal, wenn
OOT=I komplexe Zahlen: U unitär, wenn UUy =I
U*: Einträge komplex konjugiertUy = (U*)T
unitäre Abbildungen bewahren die Länge von Vektoren (bilden Zustände auf Zustände ab)
Transformation in QM:unitäre Abbildung (reversibel)
Beispiel unitäre Transf.
Auf einem Qubit:klassische Transformationen:Identität, Negation
Hadamard Transformation:
Beispiel Transformation
Beispiel Transformation
Beispiel Transformation
Unitäre Transformationen U |xi definiert für alle x2 {0,1}k
) U definiert
Tensorprodukt:
A B=
Beispiel: H n=H H: n-faches Produkt von H, Hadamard Transformation auf n Qubits
H n ( |0i ) n = ( H|0i ) n
Messungen
Quantenzustände (Vektoren in Ck) werden durch unitäre Abbildungen transformiert
Wie bekommt man eine Ausgabe in einer Berechnung?
“Messe” i i |ii
Ergebnis: i mit Wahrscheinlichkeit |i|2
i |i2|=1
Nach der Messung ist der Zustand zu |ii “kollabiert”, wenn Ausgabe i beobachtet
Messprozess ist “Postulat” wie unitäre Entwicklung
Zusammenfassung
Zustände: Einheitsvektoren in Hilbertraum, log Dimension entspricht Anzahl Qubits
Superposition der Strings Länge k ergibt ein Register mit k Qubits, Hilbertraum dim 2k
Evolution: unitäre Transformation Messung: i |ii ergibt Ausgabe i
mit Ws |i|2, Zustand kollabiert zu |ii bei Ausgabe i
Quanteninformatik
Jede lokale unitäre Transformation ist berechenbar (auf 2 Qubits)
Globale Transformation aus lokalen zusammensetzen (Quanten Schaltkreise)
Zeit für einen Algorithmus David Deutsch s Algorithmus Setup: Input ist Black Box Funktion f:{0,1} {0, 1}
unbekannt (Eingabe) Zugriff: Lese f(0), f(1) Entweder f(0)=f(1) oder f(0) f(1) Problem: Welcher Fall?
Deutschs Problem
Zugriff f:{0,1}{0,1} durch Lesen von f(0) oder f(1)
klassische deterministische Algorithmen ohne Fehler müssen f(0) und f(1) lesen.
Randomisierte Algorithmen mit 1 Frage haben Fehlerwahrscheinlichkeit 1/2
Quantenfragen
randomisierte Fragen: Ws verteilung auf 0 oder 1
Quanten Frage: SuperpositionNotwendig: unitäre Operation!
Uf |ii|ai=|ii|a© f(i) für alle i,a2{0,1}; © ist XOR Operation: 0©0=0; 0©1=1; 1©1=0
Uf auf allen Basiszuständen definiert) Uf definiert
Idee “Parallele” Berechnung Uf: Frage an das f-Orakel Zwei Qubits
(H I) |00i I: Identität=1/21/2 (|00i+|10i)
Wende Uf an Ergebnis 1/21/2 ( |0,f(0)i+|1,f(1)i ) f:{0,1}n {0,1}: wende Uf H n an Ergebnis:
“Parallele” Berechnung
Was kann man mit diesem Zustand anfangen?
Messung ergibt nur uniforme Verteilung auf x,f(x)
Deutschs Algorithmus
Starte mit |01i Wende H H an Ergebnis:
1/2 (|0i +|1i) (|0i -|1i) Wende Uf an Ergebnis:
1/2 ( |0,f(0)i-|0,f(0)©1i+|1,f(1)i-|1,f(1)©1i )
Deutschs Algorithmus
Idee für Analyse:Effekt Uf auf |xi 1/21/2(|0i-1i):
(-1)f(x) |xi 1/21/2(|0i-|1i)
Uf |0i 1/21/2( |0i-|1i ) = |0i 1/21/2 ( |f(0)i -|f(0) © 1i )= (-1)f(0) |0i 1/21/2( |0i-|1i)
Deutschs Algorithmus
Idee für Analyse:Effekt Uf auf |xi 1/21/2(|0i-1i):
(-1)f(x) |xi 1/21/2(|0i-|1i)
Uf |1i 1/21/2( |0i-|1i ) = |1i 1/21/2 ( |f(1)i -|f(1) © 1i )= (-1)f(1) |1i 1/21/2( |0i-|1i)
Zweites Qubit ist nur zur Hilfe....und kann jetzt vergessen werden
Deutschs Algorithmus
Wende Hadamard an (auf verbleibendem Qubit)
Zustand vorher:f(0) = f(1): § 1/21/2 (|0i+|1i)f(0) f(1): § 1/21/2 (|0i-|1i)
Fall 1: f(0)=f(1):H § 1/21/2 (|0i+|1i) = § |0i
Fall 2: f(0) F(1):H § 1/21/2 (|0i-|1i) = § |1i
Messung unterscheidet Fälle sicher
Deutsch Algorithmus
H
Uf
H|0i
|1i
MessungH
Deutsch-Josza Algorithmus
f:{0,1}n {0,1} Ist f balanciert (50% 0, 50 % 1) oder konstant?
Annahme: einer der beiden Fälle, ansonsten Ausgabe egal
Quantum : 1 Frage Deterministisch: 2n/2+1 Fragen!
Warum? Lege f abhängig von den Fragen eines
Algorithmus’ fest, f(x1)=0,...,f(xl)=0 Bis l > 2n/2 keine korrekte Entscheidung möglich Algorithmus funktioniert für f nicht “Adversary Argument”
Deutsch Josza Algorithmus
n Qubits im Zustand |0ni 1 Qubits im Zustand |1i Wende H n+1 an, dann Uf
Ergebnis:
Wende H n an und messe Ergebnis: 0n iff f ist konstant
Diskussion
Deterministisch: 2n/2+1 Fragen Quantum: 1 Frage, O(n) Gatter (lokale
Transformationen), kein Fehler Randomisierte Algorithmen sind ebenfalls
effizient, aber nur mit Fehler
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