R. Der Algorithmen und Datenstrukturen (Magister)1

3. Kapitel: Komplexität und Komplexitätsklassen

Komplexität, O-Notation

Relevante Eigenschaften von Algorithmen:Korrektheit, Terminierung, Komplexität

Maße für Komplexität:benötigter Speicherplatz,benötigte Rechenzeit (Laufzeitkomplexität)

Schwierigkeit: abhängig von Rechner, Programmiersprache

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Möglichkeit 1:Definition eines idealisierten Modellrechners => RAM

(random access machine)• Befehlssatz ähnlich Assembler

(Laden, Speichern, arithmetische Verknüpfung von Registerinhalten, Sprünge),

• unendliche Menge von Speicherzellen, die natürliche oder reelle Zahlen speichern,

Speicherplatz => Zahl der benötigten RAM-ZellenLaufzeit => Zahl der ausgeführten RAM-Befehle

Möglichkeit 2:

Genaue Ermittlung bestimmter die Laufzeit charakterisierender Parameter(Beispiel: Sortieren -> Anzahl der Vergleichsoperationen)

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Hier: keine Formulierung der Alg. als RAM-Programme,

Abschätzung der Laufzeit mit Schwerpunkt Wachstum der Laufzeit in Abhängigkeit von Eingabegröße

Komplexität abhängig von Eingabegröße.

Einheitskostenmaß: nur Anzahl der Daten berücksichtigt (etwa Anzahl zu sortierender Zahlen)

log. Kostenmaß: auch Größe der Daten relevant (etwa Länge von Zahlen im Binärcode)

worst case, average case, best case Analysen, amortisierte Kosten

In der Regel genügt die Angabe der Größenordnung der Komplexität, wobei es auf konstante Faktoren nicht ankommt.

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Beispiel: Maximum Subarray Problem

gegeben: Folge X von ganzen Zahlen der Länge n

gesucht: maximale Summe der Elemente einer zusammenhängenden Teilfolge

Naiver Algorithmus: int o,u; double summe, maxtsumme = 0;for (u = 0; u < N; u++)

for (o = u; o < N; o++)

{ /* bestimme Summe der Elemente in Teilfolge X[u .. o] */summe = 0;for (i = u; i <= o; i++) summe + = X[i];maxtsumme = max(summe, maxtsumme);

}

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Berechnung der Zahl der Schritte (Zuweisungen)

Der Schleifenkörper der innersten for-Schleife

for (i = u; i <= o; i++)

wird o - u + 1 mal durchlaufen und dabei jeweils die Aktion (Addition) ausgeführt. Für den nächstinneren Schleifenkörper gilt

for (o = u; o < N; o++) {jeweils o - u + 1 Aktionen}

also 1 + 2 + 3 + ... + N-u Aktionen. In der Summe sind das (Gaussche Formel) (N-u)(N-u+1)/2 Aktionen. Die äußere Schleife enspricht dann der Aufsummation aller dieser Beiträge über u von u=0 bis u=N-1. Insgesamt ist damit die Gesamtzahl der Aktionen

Beispiel: N=32: 5984 Additionen

NNN3

1

2

1

6

1 23

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O-Notation:Seien f,g: N -> R+ Funktionen. Wir definieren:

O(f) = {g | c > 0,n0 > 0 : g(n) <= c f(n) n >= n0}In Worten: Die Funktion g ist von der Ordnung f, wenn für alle n> n0 eine positive Konstante c existiert, so

dass g(n) <= c f(n) gilt, d.h. dass die Funktion g durch die Funktion cf majorisiert wird. Die Funktionen f und g seien beide nicht negativ.

Beispiel:

3n4 + 5n3 + 7 log n O(n4), denn 3n4 + 5n3 + 7 log n < 3n4 + 5n4 + 7n4 = 15 n4 für n >= 1. Wähle also c = 15, n0 = 1.

In O(n4) steht n4 für die Funktion, die n auf n4 abbildet.Häufig schreibt man auch h = O(n4) statt h O(n4)

O macht Abschätzung nach oben, nach unten:

(f) = {g | c > 0 ,n0 > 0 : g(n) >= cf(n) n>= n0 }

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Alternativdefinition Ottmann/Widmayer:

(f) = {g | c > 0 : unendlich vielen: g(n)>= cf(n)}

Beispiel: f(n) = 1 falls n gerade, n2 sonst.

Originaldefinition liefert f = (1), Alternativdefinition f = (n2).

Abschätzung von oben und unten (exakte Schranke)(f) = O(f) (f)

g aus (f) bedeutet also: die Funktion g verläuft ab einem Anfangswert n0 im Bereich [c1f,c2f] für geeignete Konstanten c1, c2.

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Leistungsverhalten bei kleiner EingabegrößeAsymptotische Komplexität gilt vor allem für große n

bei kleineren Problemen haben konstante Parameter wesentlichen Einfluß

Verfahren mit besserer ( asympt. ) Komplexität kann schlechter abschneiden als Verfahren mit schlechter Komplexität

T ( n ) Bereiche von n mit günstiger Zeitkomplexität

186182 log2 n n > 2048

1000 n 1024 <= n <= 2048

100 n log 2 n 59 <= n <= 1024

10 n2 10 <= n <= 58

n3 n = 10

2n 2 <= n <= 9

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Berechnung der (worst- case- ) ZeitkomplexitätElementare Operationen (Zuweisung, Ein-/ Ausgabe) : O ( l )

Summenregel: T1 ( n ) und T2 ( n ) seien die Laufzeiten zweier

Programmfragmente P1 und P2 ; es gelte: T1 ( n ) O (f ( n ) ) und T2 ( n ) O ( g

( n ) ).

Für die Hintereinanderausführung von P1 und P2 ist dann T(n) = T1 ( n ) + T2 ( n ) O ( max ( f ( n ), g

( n ) ) )

Produktregel: z. B. für geschachtelte Schleifenausführung von P1

und P2

T(n) = T1 ( n ) * T2 ( n ) O ( f ( n ) * g ( n ) )

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Fallunterscheidung:Kosten der Bedingungsanweisung ( O ( l ) ) +

Kosten der längsten Alternative

Schleife:Produkt aus Anzahl der Schleifendurchläufe mit Kosten der teuersten Schleifenausführung

Rekursive Prozeduraufrufe: Produkt aus Anzahl der rekursiven Aufrufe mit Kosten der teuersten Prozedurausführung

Programmfragmente:

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Zeitkomplexitätsklassen

Drei zentrale Zeitkomplexitätsklassen werden unterschieden:

Algorithmus A heißt:

linear-zeitbeschränkt fA O ( n )

polynomial-zeitbeschränkt k N, so daß

fA O ( nk ) .

exponentiell-zeitbeschränkt k N , so daß

fA O ( kn ).

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Komplexitätsklassen P und NPP: Die Menge aller Sprachen (Probleme), die ein deterministischer Automat in Polynomialzeit (O(P(n)) akzeptiert (löst).

NP: Die Menge aller Sprachen (Probleme), die ein nicht-deterministischer Automat in Polynomialzeit akzeptiert (löst).(Beispiel SAT)

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Definition: NichtdeterminismusAlgorithmus A heißt nichtdeterministisch, wenn A das

Sprachelement OR (in beliebiger Anzahl) enthält:

OR (Anw1, Anw2) bedeutet, daß entweder die Anweisung Anw1 oder die Anweisung Anw2 ausgeführt wird.

Die Auswahl zwischen den beidenAnweisungen ist willkürlich.

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P und NP als WortproblemEs sei A ein Algorithmus und die Eingabe von A ein Element (Wort) aus * für ein Alphabet .

Für jedes Eingabewort w * sei

s(w) = Anzahl der Schritte bis zur Terminierung

sA(n) = maximale Schrittzahl, wobei

sA: 0 -> 0 mit

sA(n) = max {s(w)| mit w * , |w| =n}

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Definition: deterministischer und nichtdeterministischer Algorithmus

Ein deterministischer Algorithmus akzeptiert eine Sprache L in der Zeit O(f(n)), wenn der A. für jedes beliebige Wort w innerhalb der Zeitschranke f(|w|) entscheidet, ob w L gilt oder nicht.

Ein nichtdeterministischer Algorithmus akzeptiert eine Sprache L in der Zeit O(f(n)), wenn er für jedes Wort der Sprache L, das die Länge n besitzt, in O(f(n)) Schritten feststellt, dass das Wort zu der Sprache gehört.

CL heisst charakteristische Funktion von L * , wenn

TRUE falls w L

CL (w) = FALSE falls w L

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Definition:Eine Menge, Sprache oder ein Problem L heißt polynomial-zeitbeschränkt, wenn die charakteristische Funktion CL polynomial-zeitberechenbar ist.

Definition:

P = { L * : L polynomial-zeitbeschränkt }

heißt die Klasse der pzb-Sprachen.

NP = { L * : L nichtdeterministisch

polynomial-zeitbeschränkt }

heißt die Klasse der npzb- Sprachen.

P = { f: * * und f polynomial-zeitberechenbar }

heißt die Klasse der pzb-Funktionen

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NP = { f: * * und f nichtdeterministisch polynomial-zeitberechenbar }

heißt die Klasse der npzb-Funktionen.

Definitionen:

Seien L, L‘ *

a) L‘ heißt polynomial reduzierbar auf L

dund wenn es existiert eine pzb-Funktion

f: * * mit: w * w L‘ f ( w ) L

b) L heißt NP-schwierig

dund wenn für jedes L‘ NP gilt: L‘ ist polynomial

reduzierbar auf L.

c) L heißt NP-vollständig

dund wenn L NP und L ist NP-schwierig.

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Lösungsstrategien/Arten von Algorithmen

Kleine n: Beschränkte EingabegrößenTeile-und-Herrsche: Aufteilung eines Problems in Teilprobleme (die rekursiv gelöst werden können)Probabilistische A.: Optimierung der durchschnittlichen Kosten durch Annahmen über statistische Eigenschaften der Eingabe-größen(z.B. Randomisierung, Wahrscheinlichkeitshäufung)Approximierung: Errechnung einer hinreichend guten Lösung in einem beschränkten Suchraum(z.B. durch Heuristiken)Greedy Algorithms: Errechnung lokaler OptimaDynamische Programmierung: Aufteilung eines Problems in Teilprobleme und Wiederverwendung von Lösungen für Teilprobleme

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Divide and Conquer Methode

Allgemein: Divide and Conquer- Verfahren zur Lösung eines Problems der Größe n

1. Divide: Falls n > 1 teile Problem in annähernd gleich große Teilprobleme, sonst löse Problem direkt.

2. Conquer: Löse (rekursiv) Teilprobleme.

3. Merge: Kombiniere Teillösungen zu Gesamtlösung.

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Anwendung auf Maximum Subarray Problem:

Beobachtung: wenn man Folge in 2 Teile A und B teilt, so ist die gesuchte Teilfolge entweder in A, oder in B, oder in beiden.

Im letzten Fall sind die Randelemente in der gesuchten Teilfolge, und diese besteht aus 2 maximalen Teilstücken, die beim jeweiligen Rand beginnen (rechtes Randmaximum von A + linkes Randmaximum von B) .

Die Randmaxima von X[l], ..., X[r] kann man in linearer Zeit berechnen:lmax := 0;summe := 0;for i := l to r do

beginsumme := summe + X[i];lmax := max(lmax, summe)end

rmax analog.

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Algorithmus maxtsum(X);{liefert maximale Teilsumme der Folge X ganzer Zahlen}begin if X enthält nur ein Element a

then (if a > 0 then maxtsum := a else maxtsum := 0) else begin

teile X in linke und rechte Teilfolgen A und B annähernd gleicher Größe;

maxtinA := maxtsum(A); maxtinB := maxtsum(B);

bestimme rechtes Randmaximum von A, rmax(A); bestimme linkes Randmaximum von B, lmax(B); maxtsum := max(maxtinA, maxtinB, rmax(A) + lmax(B)) endend

Damit erhält man folgenden D&C-Algorithmus:

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Sei T(n) Anzahl der Schritte des Algorithmus bei Eingabe einer Folge der Länge n.

Es gilt:

T(n) = 2 T(n/2) + C . n

Da T(1) konstant (T(1) = C1) erhält man T(n) = (n log n).

Beispiele: T(1) = C1T(2) = 2C1+ 2CT(4) = 4C1 + 8CT(8) = 8C1 + 24 CT(16) = 16C1 + 64 CT(32) = 32C1 + 160 C

Gleichungen wie die obige nennt man Rekursionsgleichungen.

(Sie treten bei Komplexitätsanalysen oft auf.)

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Noch besseres Verfahren: Scan-Line-Prinzip.wir durchlaufen Positionen 1,...,n, merken uns jeweils die maximale Summe bismax im bisher inspizierten Anfangsstück sowie rechtes Randmaximum scanmax. Bei Vorrücken um 1 Position ist neue maximale Teilfolge entweder gleich der alten, oder sie enthält neues Randelement und ist dann das neue rechte Randmaximum. Neues rechtes Randmaximum ist scanmax + a, a Wert der nächsten Position, falls diese Summe positiv, sonst 0.

scanmax := 0;bismax := 0;for i := 1 to n do begin if scanmax + X[i] > 0 then scanmax := scanmax + X[i]

else scanmax := 0; bismax := max(scanmax, bismax) end