School ofEngineeringKapitel 3: Fouriertransformation
SiSy, Rumc, 3-1
Deterministisches Signale
• periodische Signale
wichtige Hilfs- und Testsignale, Leistungssignale
Fourierreihe FR => Linienspektrum
• nicht-periodische Signale
transiente Signale, Burst-Signale, Pulse, …, Energiesignale
Fouriertransformation FT
=> kontinuierliches Amplitudendichtespektrum
=> vor allem die Eigenschaften der FT sind sehr wichtig !
School ofEngineering
Periodische Signale können als Fourierreihe dargestellt werdenLinienspektrum mit Linienabstand f0 = 1/T0
Nicht-Periodische Signale haben KEINE FourierreihendarstellungLösungsansatz: s(t) periodisch fortsetzen und Periode T0 -> ∞
Beobachtung:
ck-Spektrallinien rücken näher zusammen (Linienabstand f0 = 1/T0)
ck-Spektrallinien werden immer kleiner und streben gegen Null
Spektrale Dichte hingegen existiert:
tT0-T0
s(t)
τ
Herleitung Fouriertransformation FTSiSy, Rumc, 3-2
)1/Tc(lim
0
k
T0
School ofEngineeringBeispiel: Herleitung FT des Rechteckpuls
SiSy, Rumc, 3-3
Periodische Fortsetzung Rechteckpuls
0
0
00
00
0
0
0
0
0
0
Tτπk
)Tτksin(π
Tτ
τfkπ2j
τfkjπe
τfkjπe
Tτ
τ/2τ/2τ/2
τ/2 fkπ2j
tfkπ2jeT1dttfkπ2je
T1
kc
t
T0
s(t)
1
-τ/2-T0τ/2
Integrationsbereich von -T0/2 bis T0/2
sinc-förmige ck-Spektrallinien
check DC-Wert c0 = τ/T0
School ofEngineering
Zeitbereich
spektrale Dichte existiert
t
T0
s(t)1
τ fix-T0
DC-Wert geht gegen Null(andere ck-Werte auch)
Beispiel: Herleitung FT des RechteckpulsSiSy, Rumc, 3-4
Frequenzbereich
0
0
0
Tτπk
)Tτksin(π
Tτ
kc
0
0
0
Tτπk
)Tτksin(π
τ1/T
kc
0Tτc
00
0 T
School ofEngineering
Nullstellen bei Vielfachen von 1/τ = 4 Hz
Abstand f0 = 1 Hz
Beispiel: Herleitung FT des RechteckpulsSiSy, Rumc, 3-5
School ofEngineering
Nullstellen bei Vielfachen von 1/τ = 4 Hz
Abstand f0 = 0.5 Hz
Beispiel: Herleitung FT des RechteckpulsSiSy, Rumc, 3-6
School ofEngineering
dfeS(f)s(t)
dtes(t)S(f)
tf2πj
tf2πj
Fourier- (Rück-) Transformation
Grenzübergang T0->∞
Amplitudendichtespektrum S(f) [V/Hz]
wobei
f = k·f0 = k/Tund
für später:Die Fourier-Transformation FT kann auchaus der Laplace-Transformation hergeleitetwerden, indem man s = jω setzt.
Definition der Fouriertransformation (FT)SiSy, Rumc, 3-7
0
)1/Tc(limS(f)
0
k
T0
/2T
/2Tdttfkπ2jes(t)
T1
kc0
0
0
0
School ofEngineeringVergleich FT mit FR
SiSy, Rumc, 3-8
Ein periodisches Signal s(t) besteht aus einer Summe von Harmonischen => Linienspektrum
● kompl. Fourierreihe (FR):
● ck-Koeffizient enthält Amplitude und Phase der k-ten Harmonischen
dfeS(f)s(t) tf2πj
k
tkfj2πk
0ecs(t)
Ein nicht-periodisches Signal s(t) besteht aus einer "Summe" (Integral) von "allen" Frequenzkomponenten => Dichtespektrum
● (inverse) Fouriertransformation (FT):
● S(f)-Koeffizient enthält Amplitude und Phase der Frequenzkomponente f
School ofEngineeringFouriertransformation Rechteckpuls
SiSy, Rumc, 3-9
fj2πee
τ/2τ/2
f2πjedte1dt es(t)S(f)
τfjπτfπjtf2πjτ/2
τ/2
tf2πjtf2πj
Rechteckpuls s(t) der Dauer τ
τfπ)τfπsin(
τfj2πeeS(f)
τf-jπτfπj
(Dichte-) Spektrum bzw. Fouriertransformierte S(f)
sinc-förmig!
School ofEngineeringFouriertransformation Rechteckpuls
SiSy, Rumc, 3-10
Der Rechteck-Puls hat ein sinc-förmiges Spektrum!
Pulsdauer τ
Bandbreite B = 1/τ
- 4 dB
- 14 dB
τfπτ)fsin(πτS(f)
Pulsdauer τ mal Bandbreite B ≈ 1
Nullstellen bei Vielfachen von 1/τ
School ofEngineering
x(t) = a·s1(t) + b·s2(t) ○-● X(f) = a·S1(f) + b·S2(f)
Eigenschaften der FT: LinearitätSiSy, Rumc, 3-11
Beispiel
○-●s1(t) = 1
s2(t) = cos(2π·f0t)
x(t) = 1 + cos(2π·f0t)
X(f)
ff0-f0
11/2
Linearkombinationder Zeitsignale
Linearkombinationder Spektren
School ofEngineeringEigenschaften der FT: Zeitverschiebung
SiSy, Rumc, 3-12
x(t) = s(t-t0) ○-● X(f) = S(f) · e-j2πf·to
gleiche Betragsspektren
Darstellung in Polarform
Beweis
S(f)edt'e)s(t'edt'e)s(t'dte)t-s(tX(f) 000 tf2πj
-
t'f2πjtf2πj
-
)t(t'f2πj
-
tf2πj0
Substitutiont’ = t - t0
Phasendrehung !Zeitverschiebung
)tf2π-(S(f))(j(X(f))j 0eS(f)eX(f)
0tf2π-(S(f))(X(f)) =>
S(f)X(f) =>
Phasendrehung
School ofEngineeringBeispiel Zeitverschiebung
SiSy, Rumc, 3-13
t/τeτ1u(t)s(t)
τf2πj11
0τ)f2πj(1edte
τ1dtes(t)S(f)
τ)/τfj2π(1t
0
τ)/τfj2π(1ttfj2π
τ = 1/(2π) ms = 0.159 ms
t0 = 0.5 ms
τ
4π
j
0 e2
1j1
1)S(f
S(f) @ f0 = 1/(2π·τ) = 1 kHz:
τf2πj1eeS(f)X(f)
00
tf2πjtf2πj
π)
4π
j(
0 e2
1)X(f
X(f) @ f0 = 1 kHz:
Einseitige Exponentialfunktion
Fourier-Spektrum
Fourier-Spektrum zeitverschobenes Signal
School ofEngineering
x(t) = s(a·t) ○-● X(f) = (1/IaI)·S(f/a)
Fall a>1: Verkürzung Signal s(t) <=> breiteres Spektrum S(f)Fall a<1: Dehnung Signal s(t) <=> schmaleres Spektrum S(f)
Je „kürzer“ ein Puls-Signal ist, desto „grösser“ ist die Bandbreite des Spektrums. Umgekehrt haben „lang“ dauernde Einzelpulse schmale Spektren.
Bandbreite und Dauer eines Pulssignals können also nicht unabhängig von einander gewählt werden. Das Zeit-Bandbreite-Produkt ist eine Konstante.
S(f/a)a1dt'e)s(t'
a1dtes(at)
-
t'(f/a)2πj
-
tf2πj
Beweis: Substitution t‘ = a·t
Zeit-Bandbreite-Produkt
Eigenschaften der FT: ZeitskalierungSiSy, Rumc, 3-14
Pulsdauer mal Bandbreite τ·B ≈ 1
School ofEngineering
kostengünstiges OszilloskopTektronix TDS3012B100 MHz / 1.25 GSps
3 dB-Bandbreite = 100 MHzPulse mit ca. 10 ns Dauer
noch "sichtbar"
Le Croy WaveRunner 640 Zi4 GHz / 40 GSps
3 dB-Bandbreite ≈ 4 GHzPulse mit ca. 0.25 ns
noch "sichtbar"
Anwendung "Zeit – Bandbreite – Produkt"SiSy, Rumc, 3-15
School ofEngineeringBeispiel Zeitskalierung
SiSy, Rumc, 3-16
Rechteckpulse mit Dauer τ0 und τ0/2 sowie zugehörige Spektren
Zeit-Bandbreite-Produkt bleibt konstant!!!
School ofEngineering
s(t) ○-● S(f)
S(t) ○-● s(-f)
BeispielRechteckförmig im Zeitbereich ○-● sinc-förmig im Frequenzbereich sinc-förmig im Zeitbereich ○-● rechteckförmig im Frequenzbereich
g
g
1 für f f / 2H(f)
0 für f f / 2
ffg/2-fg/2
Eigenschaften der FT: Dualität und BeispielSiSy, Rumc, 3-17
○-●g
gg ftπ
)ftsin(πfh(t)
School ofEngineering
Multiplikation mit ej2πf0·t ○-● Frequenzverschiebung um +f0 (nach rechts)
duale Aussage zur Zeitverschiebung
Prinzip wird in der Nachrichten- und Messtechnik oft verwendet(siehe Beispiel auf der nächsten Folie)
x(t) = s(t) · ej2πf0·t ○-● X(f) = S(f-f0)
Eigenschaften: FrequenzverschiebungSiSy, Rumc, 3-18
School ofEngineering
s(t)
cos(2π·fc·t)
Hilfs-Trägersignal (engl. carrier)
y(t)Nachrichtensignals(t) = 1+0.5·cos(2π·fTon·t)
Amplituden-Moduliertes(AM-) Signal
Nachricht s(t) "steckt" in der Amplitude des Trägersignals
Eigenschaften: FrequenzverschiebungSiSy, Rumc, 3-19
School ofEngineeringBeispiel Frequenzverschiebung
SiSy, Rumc, 3-20
Multiplikation (Basisband)-Signal s(t) mit cos-(Träger)-Signal
Y(f) = 0.5 · S(f-f0) + 0.5 · S(f+f0)
Amplitudenmodulation
= 0.5 · s(t) · ej2πf ·t + 0.5 · s(t) · e-j2πf ·t 0 0
Frequenzverschiebung(Mischung)
= s(t)·cos(2πf0t)
hochfrequentes Signal kann über Antenne abgestrahlt werden
School ofEngineering
dn/dtn s(t) ○-● (j2πf)n·S(f)
( ) 1( ) (0) ( )2 2
t S fs d S fj f
Beispiel aus der Wechselstromlehre
Eigenschaften: Differentiation / IntegrationSiSy, Rumc, 3-21
Differentialgleichung DGL ○-● algebraische Gleichungsimple Substitution von dn/dtn durch (jω)n
sehr oft genügt die Lösung der DGL im Frequenzbereich
i(t) L
u(t)
DGL u(t) = L·di(t)/dt
Algebraische Gleichung
U(f) = jωL·I(f)
komplexer Widerstand / Impedanz
ZL = U(f) / I(f) = jωL = j·2πf·L
○-●
School ofEngineeringEigenschaften der FT: Faltung
SiSy, Rumc, 3-22
Faltung
○-● X(f) · Y(f)
Visualisierung der Faltung
dττ)y(t)x(τy(t)*x(t)
τ / s1
1
x(τ)
τ / s1
1
y(τ)
0.5
τ / s1
1
0.5
t / s1
0.5
0.5 1.5
y(0.25-τ) = y(-(τ-0.25))
x(t)*y(t)
τ / s1
1
y(τ-0.25)
0.5
"Faltung"
Faltung x(t)*y(t) @ t = 0.25
0.25dτ1dττ)y(0.25)x(τ0.25
0
0.25
0
Multiplikation
School ofEngineering
Faltung Rechteckpuls der Dauer τ0 mit sich selbst
1/√τ0
r(t-τ)
τ0/2 -τ0/2 t τ0- τ0
r(τ)
t
τ
d(t)1
- 28 dB
Dreieckpuls
sinc2-förmigesSpektrum
○-●
Beispiel FaltungSiSy, Rumc, 3-23
siehe Demo
School ofEngineering
LTI-System
x(t) = δ(t)
t
y(t) = h(t)
t
Definition der Stoss- bzw. Impulsantwort h(t)
Ausblick zur FaltungSiSy, Rumc, 3-24
x(t) LTI-System
Die Stossantwort h(t) beschreibt ein LTI-System vollständig
Ausgangssignal = Faltung von Eingangssignal mit StossantwortAusgangsspektrum = Eingangsspektrum x Frequenzgang des Systems
○-●
X(f)
Linear, Time-Invariant
H(f) = F{h(t)} Frequenzgang des LTI-Systems
Y(f) = X(f)·H(f) Analyse im Frequenz-bereich genügt oft !
h(t)*x(t)dττ)h(t)x(τy(t)
School ofEngineering
Spektrum S(f) eines reellwertigen Zeitsignals s(t)
s(t) reell ○-● S(-f) = S*(f)
s(t) reell, ungerade ○-● S(f) imaginär
s(t) reell, gerade ○-● S(f) reell
Eigenschaften der FT: SymmetrieSiSy, Rumc, 3-25
Beispiel Spektrum eines reellen Signals
ffg
IS(f)I
-fg
ffg-fg
S(f)
ffg
IS(f)I
-fg
ffg-fg
S(f)
Betragsspektrum (gerade Funktion)IS(-f)I = IS(f)I
Phasenspektrum (ungerade Funktion)angle{S(-f)} = -angle{S(f)}
Matlab: abs(.) Matlab: angle(.)
Beispiel: sin(.)
Beispiel: cos(.)
School ofEngineering
Energieberechnung mit Satz von Parseval
dfS(f)dt(t)sE 22 (an 1Ω)
überprüfe die Dimension (IS(f)I hat Dimension V/Hz)!
Signalenergie, Spektrum Dirac-PulsSiSy, Rumc, 3-26
Spektrum eines Dirac-Impulses
s(t) = δ(t) ○-● S(f) = 1
s(t) = 1 ○-● S(f) = δ(f)
Ein unendlich schmaler Puls hat ein flaches bzw. weisses Spektrum, in dem alle Frequenzkomponenten vorkommen. Umgekehrt hat ein DC-Signal eine sehr schmale Linie bei f = 0 im Amplitudendichte-Spektrum.
t f
S(f)s(t)
t f
S(f)s(t)DC
School ofEngineeringFT eines periodischen Signals
SiSy, Rumc, 3-27
j2πkf t0s(t) = c ekk=-
○-●
k
0k )kfδ(fcS(f)
BeispielAmplitudendichtespektrum des cos-Signals s(t) = cos(2πf0·t)
f
(1/2) (1/2)
f0-f0
S(f)
"Linien"-Spektrum(Dirac-Impulse statt Linien)
periodisches Signal(Darstellung als Fourierreihe)
Beweis: Verwende 1. Linearitätseigenschaft der FT2. Identität ck ○-● ck·δ(f)3. Frequenzverschiebungseigenschaft der FT
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