SPEZIELLE MASSZAHLEN I:ETA UND ETA²
Martin-Luther-Universität Halle-WittenbergInstitut für SoziologieÜbung Einführung in die deskriptive Statistik
Dipl.-Pol. Christoph Korb (Wintersemester 2016/17) 114.11.18
Agenda
• Einfaktorielle Varianzanalyse: Eta und Eta²
• Verwendung
• PRE-Logik
• Berechnung aus Rohdaten
• Berechnung mithilfe von SPSS-Outputs
• Interpretation
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Fallbeispiel: Shoppingdauer
Ein Marktforscher möchte wissen, ob die Shoppingdauer eines Befragten von seinem Geschlecht abhängt. Hierbei steht bei dem Geschlecht der Wert 0 für Frauen und 1 für Männer. Für 10 Befragte erhält er hierbei folgende Werte:
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Person 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Geschlecht 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1Einkaufsdauer in Minuten 22 140 160 183 245 15 30 37 65 103
Quiz: Welches Skalenniveau haben die beiden Variablen? Handelt es sich um eine symmetrische oder asymmetrische Fragestellung?
Fallbeispiel: Analyse
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Ein Marktforscher möchte wissen, ob die Shoppingdauer eines Befragten von seinem Geschlecht abhängt.
Person 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Gesch-lecht
0 0 0 0 0 1 1 1 1 1
Einkaufs-dauer in Minuten
22 140 160 183 245 15 30 37 65 103
asymmetrische Fragestellung:
Geschlecht(X)àEinkaufszeit(Y)
Geschlecht: nominalEinkaufsdauer: metrisch
geeignetes Zusammenhangsmaß:
Eta/Eta²
Einfaktorielle Varianzanalyse: Eta² und Eta
• Verwendung:• bei einer mindestens nominalen unabhängigen Variablen (X) und
einer metrischen abhängigen Variablen (Y)• unabhängige Variable kann mehr als zwei Ausprägungen haben
• Berechnung:• !" = $%& = '()'*
'(• ! = !"
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Wie bestimmen sich hier E0- und E1-Fehler?
Eta und Eta²: !"-Fehler (Gesamtvariation)
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!"-Fehler: Fehler ohne Kenntnis der unabhängigen X-Variablen
Person 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Y: Einkaufsdauer in Minuten
22 140 160 183 245 15 30 37 65 103
Quiz: Welcher Wert, wäre hier der beste Tipp, wenn man den Fehler, den man machen will möglichst gering halten will?
Quiz: Mit welchem Maß lässt sich die entsprechende Abweichung beschreiben?
Eta und Eta²: !"-Fehler II (Gesamtvariation)
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bester Tipp: Gesamtmittelwert #$
Bestimmung !"−Fehler:!" = &'() =*
+,-
.$+ − #$ 0
Abweichung des Punktes vom
Gesamtmittelwert$+ − #$
Eta und Eta²: !"-Fehler I (Fehlervariation bzw. nicht-erklärte Variation)
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!"-Fehler: Fehler mit Kenntnis der unabhängigen X-Variablen
Person 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Geschlecht 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1
Einkaufsdauer in Minuten 22 140 160 183 245 15 30 37 65 103
Quiz: Was wäre hier der beste Tipp, wenn wir wissen, dass ein
Befragter eine Frau ist? Was wäre der beste Tipp für die
Shoppingdauer von Männern?
Eta und Eta²: E"-Fehler(Fehlervariation bzw. nicht-erklärte Variation)
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Was wäre hier der beste Tipp für die Zeit, wenn wir das Geschlecht kennen?
Lösung: Gruppenmittelwerte #$%
Wie lässt sich damit der E1-Fehler bestimmen?
&" =(%)"
*(
+)"
,-$%,+ − #$%
0
Summe der Variationen aller Gruppen
(hier: Mann und Frau)
Abweichung des Punktes vom
Gruppenmittelwert$+ − #$%
Eta und Eta²: E" − $%(erklärte Variation)
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Abweichung des Punktes vom
Gruppenmittelwert&'( − &'
$" − $% = *+,-./01234$" − $% =5
(6%
78( ∗ &'( − &' :
Summe der Variationen zwischen den Gruppen
Eta und Eta²: Berechnung und Interpretation I
• Berechnung Eta²:
• !" = $%& = '()'*'(
• &+ = ,-./01234 = ,-.5 = ∑789: ;7 − =; "
• &9 = ,-.7::0>?2@A = ∑B89C ∑789:D ;B,7 − =;B
"
• &+ − &9 = ∑B89C FB ∗ =;B − =; "
• Interpretation Eta²:
• PRE-Maß!
• Durch Kenntnis der unabhängigen Variablen verbessert sich die
Prognose der abhängigen Variablen um … %
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E0-Fehler:
Gesamtvariation
E1-Fehler :
Variation innerhalb der
Gruppen
E0-E1 :
Variation zwischen den
Gruppen
Eta und Eta²: Berechnung und Interpretation II
• Berechnung Eta:• ! = !#
• Interpretation Eta:• normales Zusammenhangsmaß• Es besteht kein / ein niedriger / mittlerer / starker Einfluss der X-
Variablen auf die y-Variablen.
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Wie kann ich eine Aussage zur „Richtung“ des Zusammenhangs
treffen?
Eta und Eta²: Berechnung und Interpretation III
• „Richtung“:• Vergleich der Mittelwerte der Variablen• Der Mittelwert der Gruppe 1 ist niedriger / gleich / höher als der
Mittelwert der Gruppe 2.
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Fallbeispiel: Shoppingdauer
Ein Marktforscher möchte wissen, ob die Shoppingdauer eines Befragten von seinem Geschlecht abhängt. Für 10 Befragte erhält er hierbei folgende Werte:
a) Berechnen Sie Eta² / Eta als geeignetes Zusammenhangsmaß.
b) Interpretieren Sie Ihr Ergebnis vollständig. Gehen Sie hierbei auf Eta², Eta und die Mittelwerte ein und geben Sie eine inhaltliche Interpretation.
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Person 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Geschlecht 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1
Einkaufsdauer in Minuten 22 140 160 183 245 15 30 37 65 103
Fallbeispiel Shoppingdauer II
• Berechnung:• !" = $%&$'
$%• () = *+,- = *+,./0123 = ∑5678 95 − ;9 "
• (7 = *+,588/<=1>? = ∑@67A ∑5678B 9@,5 − ;9@
"
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Berechnen Sie zunächst den E0-Fehler. Bilden Sie hierzu zunächst den Gesamtmittelwert ;9 und berechnen Sie anschließend die Gesamtvariation
*+,-.
Person 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Geschlecht 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1Einkaufsdauer in Minuten 22 140 160 183 245 15 30 37 65 103
Fallbeispiel Shoppingdauer III
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Person !" !" − $! %
1 22 60842 140 16003 160 36004 183 68895 245 210256 15 72257 30 49008 37 39699 65 1225
10 103 9$! = 100 )*+, = 56526
Fallbeispiel Shoppingdauer III
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Person !" !" − $! %
1 22 60842 140 16003 160 36004 183 68895 245 210256 15 72257 30 49008 37 39699 65 1225
10 103 9$! = 100 )*+, = 56526
01 = )*+, = )*+234567 = 56526
Fallbeispiel Shoppingdauer IV
• Berechnung:• !" = $%&$'
$%• () = 56526• (- = ./0122345678 = ∑:;-< ∑1;-
2= >:,1 − A>:"
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Person 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Geschlecht 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1Einkaufsdauer in Minuten 22 140 160 183 245 15 30 37 65 103
Berechnen Sie nun den E1-Fehler. Bilden Sie hierzu zunächst die gruppenspezifischen Mittelwerte für Männer und Frauen und bestimmen Sie
für beide Gruppen die Variation. Addieren Sie abschließend beide Werte.
Fallbeispiel Shoppingdauer V
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Gruppe 1: Frauen Gruppe 2: Männer
Person !"#$%,' !' − )!*+,- .
1 22 163842 140 1003 160 1004 183 10895 245 9025
)!/012 = 150 7AQ/012 = 26698
Person !>,??,' !' − )!>,?? .
6 15 12257 30 4008 37 1699 65 225
10 103 2809)!@1AA = 507AQ@1AA = 4828
• CD = 7EF'GGHIJKLM = ∑OPDQ ∑'PD
GR !O,' − )!OS= 7EFTIKU + 7EFWKGG
• CD = 26698 + 4828 = 31526
Fallbeispiel Shoppingdauer VI• Alternativ: Berechnung der erklärten Variation (E0-E1):
• !" − !$ = &'()*+,-./0 = ∑23$4 52 ∗ 782 − 78 9
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: Bezeichnung 52 782 782 − 78 782 − 78 9 52 ; 782 − 78 9
1 Frau 5 150 +50 2500 125002 Männer 5 50 -50 2500 12500Gesamt Gesamt 10 100 !" − !$ = 25000
Fallbeispiel Shoppingdauer VI
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• gegeben:• !"#$%& = 150• !"+%,, = 50• -. = 56526• -1 = 31526
• Formeln:
• 34 = 5675856
• 3 = 34
Fallbeispiel Shoppingdauer VII
• Berechnung:• !" = $%&$'
$%
• !" = ()(")&*+(")()(") = "(,,,
()(")• !" = 0,4427• ! = !"• ! = 0,6650
14.11.18 Dipl.-Pol. Christoph Korb (Wintersemester 2016/17) 22
456789 = 15045;8<< = 50=, = 56526=+ = 31526
Fallbeispiel Shoppingdauer VIII
• Interpretation Eta²:• !" = 0,4427• Durch Kenntnis des Geschlechts lässt sich im vorliegenden
Beispiel 44,3% der Streuung der Shoppingdauer erklären.• Interpretation Eta:
• ! = 0,6650• Es besteht ein hoher Einfluss des Geschlechts auf die
Shoppingdauer.• Interpretation Mittelwerte:
• Es fällt auf, dass Frauen mit durchschnittlich 150 Minuten deutlich länger einkaufen als Männer mit durchschnittlich 50 Minuten.
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SPSS: Eta² über ANOVA-Tabelle
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!" = $%&'()*+,
!- = $%&.//(01*23
!" − !- = $%&56.)71(/
8 = 89
89 = !" − !-!"
Exkurs: Zusammenhang Varianzanalyse mit zwei Gruppen und bivariate Dummyregression
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Bei beiden stimmen die Werte in den ANOVA-Tabellen
überein, ebenso entspricht Eta-Quadrat immer R-
Quadrat.
Pearsons r und Eta sind vom Betrag her identisch,
allerdings ist zu beachten, dass Eta kein Vorzeichen
aufweist, also immer positiv ist, während Pearson r eine Richtungsangabe beinhaltet.
Exkurs: Zusammenhang Varianzanalyse mit zwei Gruppen und Dummyregression II
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Geschlecht:0 – Frau1 – Mann
Quiz: Was sagte uns hier nochmal die Regressionskonstante und das Regressionsgewicht? Wie würde das Modell aussehen, wenn wir die Codierung von Mann und Frau tauschen, also 0=Männer, 1=Frauen?
Wiederholung: Dummyregression
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Geschlecht:0 – Mann1 – Frau
SPSS: Mittelwerte, Varianzen und Fallzahlen für Gruppen bestimmen
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Fallzahl
!"#$ = &'(&̅ *
+(,geschätzte
Populationsvarianz
arithmetisches Mittel
Achtung: Da wir uns in der deskriptiven Statistik befinden haben wir
bisher die Stichprobenstandardabweichung -# = !"# ∗ +(,+ = &'(&̅ *
+verwendet.
FAQ: Warum mit (n-1) multiplizieren?
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Variation !"#$ = &' − &̅ *
Varianz s,* = -./-̅ 0
1Stichprobenvarianz s,* = -./-̅ 0
1
geschätzte Varianz der Population 23,* = -./-̅ 0
1/4∗ (7 − 1)
∗ 7
/(7 − 1)
/7
Aufgabe 1: Klausurpunktzahl
Ein Qualitätssicherungsbeauftragter einer Universität interessiert sich dafür, ob es einen Einfluss des Dozenten, bei dem die Übung belegt wurde, auf die erzielte Punktzahl in der Klausur gibt. Mithilfe von SPSS erhält er folgende Tabelle:
a) Welches Maß ist hier geeignet? b) Berechnen Sie das Maß!c) Interpretieren Sie das Maß vollständig!
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Achtung: Die Variation ergibt sich hier durch
(Fallzahl-1)*Varianz, da wir es mit dem Schätzer für die Grundgesamtheit
zu tun haben.
Aufgabe 1a: Analyse
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asymmetrische Fragestellung:Methode(X)àPunktzahl(Y)
Methode: nominalPunktzahl: metrisch
geeignetes Zusammenhangsmaß:
Eta/Eta²
Ein Qualitätssicherungsbeauftragter einer Universität interessiert sich dafür, ob es einen Einfluss des Dozenten, bei dem die Übung belegt wurde, auf die erzielte Punktzahl in der Klausur gibt.
Aufgabe 1b: Lösung
• Berechnung:• !" = $%&$'
$%• () = *+,- = *+,./0123• () = 4./0123 − 1 ∗ 89./0123"
• () = 20 − 1 ∗ 955,158• @A = BCBDC, AAE
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Aufgabe 1b: Lösung II
• Berechnung:• !" = $%&'()*+," + $%&'()*+,.• !" = /'()*+,*" − 1 ∗ 34'()*+,". + /'()*+,. − 1 ∗ 34'()*+,..
• $%&'()*+," = 10 − 1 ∗ 1124,667• $%&'()*+," = 10122,003• $%&'()*+,. = 10 − 1 ∗ 669,556• $%&'()*+,. = 6026,0004• !" = 10122,003 + 6026,004• >? = ?@?AB, CCD
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Aufgabe 1b: Lösung III
• Berechnung Eta²• !" = $%& = '()'*
'(
• !" = +,+-,,//" )+0+-,,//1+,+-,,//"
• !" = 0,110205• Berechnung Eta
• ! = !"• ! = 0,332
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• &/ = 18148,002• &+ = 16148,007
Aufgabe 1c: Lösung
• Interpretation Eta²• Durch Kenntnis des Dozenten
verbessert sich die Prognoseder Klausurpunktzahl um 11,02%
• Interpretation Eta:• Es besteht ein mittlerer Einfluss des Dozenten auf die
Klausurpunktzahl.
• Interpretation Mittelwerte:• Anhand der Mittelwerte wird deutlich, dass die Klausurpunktzahl
bei Dozenten 1 im Durchschnitt 20 Punkte höher liegt als beim 2. Dozenten. (66 bzw. 46 Punkte)
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• !" = 0,110205• ! = 0,332• *+,-./012 = 66 456789• *+,-./01" = 46 456789
Aufgabe 2: Geschlecht und ArbeitszeitEine Arbeitsmarktforscher möchte wissen, ob das Geschlecht der Befragten einen Einfluss auf die wöchentliche Arbeitszeit in Stunden ausübt. Mithilfe von Daten aus dem ALLBUS 2014 erhält er folgende Tabelle:
a) Welches Maß ist hier geeignet? b) Berechnen Sie das Maß!c) Interpretieren Sie das Maß vollständig!
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Aufgabe 2a: Analyse
14.11.18 Dipl.-Pol. Christoph Korb (Wintersemester 2016/17) 38
asymmetrische Fragestellung:
Geschlecht (X)àArbeitszeit(Y)
Geschlecht: nominalArbeitszeit: metrisch
geeignetes Zusammenhangsmaß:
Eta/Eta²
Eine Arbeitsmarktforscher möchte wissen, ob das Geschlecht der Befragten einen Einfluss auf die wöchentliche Arbeitszeit in Stunden ausübt. Mithilfe von Daten aus dem ALLBUS 2014 erhält er folgende Tabelle
Aufgabe 2b: Lösung
• Berechnung E0:• !" = $%&'()*+, = 124,095 ∗ 1910 − 1 = 236.897,355
• Berechnung E1:• !; = $%&<*== + $%&?@*A• $%&<*== = 87,075 ∗ 1063 − 1 = 92.473,65• $%&?@*A = 124,839 ∗ 846 = 105.613,794• !; = 198.087,444
14.11.18 Dipl.-Pol. Christoph Korb (Wintersemester 2016/17) 39
Aufgabe 2b: Lösung II
• Berechnung:• !" = $%&$'
$%
• !" = "().+,-,(// &0,+.1+-,222"().+,-,(//
• !" = 0,1638• ! = 0,405
14.11.18 Dipl.-Pol. Christoph Korb (Wintersemester 2016/17) 40
:1 = 236.897,355:0 = 198.087,444
Aufgabe 2c: Lösung
• Interpretation Eta²/Eta:• Eta beträgt 0,405. Dies bedeutet, dass ein mittlerer Einfluss des
Geschlechts auf die wöchentliche Arbeitszeit in Stunden besteht.
• Eta² liegt bei 0,163. Durch Kenntnis des Geschlechts lässt sich die Prognose der wöchentlichen Arbeitszeit einer Person um 16,3 % verbessern.
14.11.18 Dipl.-Pol. Christoph Korb (Wintersemester 2016/17) 41
Aufgabe 2c: Lösung II
• Interpretation Mittelwerte:• Die durchschnittliche Arbeitszeit der Männer ist mit 43,8
Wochenstunden deutlich höher als die durchschnittliche Arbeitszeit der Frauen mit 34,7 Wochenstunden.
• Wenn man sich die Varianzen beider Ausprägungen anschaut, fällt auf, dass die Abweichung in den wöchentlichen Arbeitszeiten bei den Frauen höher ist als bei den Männern.
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Aufgabe 3: Geschlecht und GewichtEine Gesundheitsforscherin möchte wissen, ob das Geschlecht der Befragten einen Einfluss auf das Gewicht in kg ausübt. Mithilfe von Stata erhält sie für Daten aus dem ALLBUS 2014 folgende Tabelle:
a) Welches Maß ist hier geeignet? b) Berechnen Sie das Maß!c) Interpretieren Sie das Maß vollständig!
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Aufgabe 3a: Analyse
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asymmetrische Fragestellung:
Geschlecht (X)àGewicht(Y)
Geschlecht: nominalGewicht: metrisch
geeignetes Zusammenhangsmaß:
Eta/Eta²
Eine Gesundheitsforscherin möchte wissen, ob das Geschlecht der Befragten einen Einfluss auf das Gewicht in kg ausübt.
Aufgabe 3b: Lösung
• Berechnung E0:• !" = $%&'()*+, = 16,5843 ∗ 3421 − 1 = 940.599,3715
• Berechnung E1:• !< = $%&=*>> + $%&@A*B• $%&=*>> = 15,1133 ∗ 1756 − 1 = 400.846,8596• $%&@A*B = 14,3783 ∗ (1665 − 1) = 343.993,535• !< = 744.840,3946
14.11.18 Dipl.-Pol. Christoph Korb (Wintersemester 2016/17) 45
Aufgabe 3b: Lösung II
• Berechnung:• !" = $%&$'
$%
• !" = ()*.,((,./0, &/)).1)*,.()2()*.,((,./0,
• !" = 0,2081• ! = 0,456
14.11.18 Dipl.-Pol. Christoph Korb (Wintersemester 2016/17) 46
:* = 940.599,3715:0 = 744.840,3946
Aufgabe 3c: Lösung
• Interpretation Eta²/Eta:• Eta beträgt 0,456. Dies bedeutet, dass ein mittlerer Einfluss des
Geschlechts auf das Gewicht besteht.• Eta² liegt bei 0,208. Durch Kenntnis des Geschlechts lässt sich die
Prognose der Gewichts um 20,8 % verbessern.
14.11.18 Dipl.-Pol. Christoph Korb (Wintersemester 2016/17) 47
Aufgabe 3c: Lösung II
• Interpretation Mittelwerte:• Betrachtet man die Mittelwerte, so fällt auf das Männer im
Durchschnitt mit 85,3 kg etwa 15,1 kg schwerer sind als Frauen, die im Durchschnitt 70,2 kg wiegen.
• Wenn man sich die Standardabweichungen beider Variablen anschaut, fällt auf, dass das Gewicht bei dem Männern etwas mehr streut als bei den Frauen.
14.11.18 Dipl.-Pol. Christoph Korb (Wintersemester 2016/17) 48
Literaturhinweise
• Kerstin Völkl / Christoph Korb (2018): Deskriptive Statistik. Eine Einführung für Politikwissenschaftlerinnenund Politikwissenschaftler. S. 234-243.
• Hans Benninghaus (2007): Deskriptive Statistik. Eine Einführung für Sozialwissenschaftler. S. 228-250.
14.11.18 Dipl.-Pol. Christoph Korb (Wintersemester 2016/17) 49
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