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TD n°5 : CORRECTION
Intégrales doubles, triples, théorème de Green-Riemann, courbes paramétrées. .
a)
𝑡 −𝜋
2 −
𝜋
4 0 +
𝜋
4 +
𝜋
2
𝑥′ 𝑡 = 2𝑐𝑜𝑠 2𝑡 -2 - 0 + 0 - -
𝑥 𝑡 = 𝑠𝑖𝑛 2𝑡
0
0
1
-1 0
𝑦 𝑡 = 𝑐𝑜𝑠 𝑡
1
− 2
2
2
2
0 0
𝑦′ (𝑡) = −𝑠𝑖𝑛 𝑡 1 0 -1
Γ est donc bien un chemin fermé, on a 𝑀 −𝜋
2 = 𝑀
𝜋
2 = (0; 0) et on ne parcourt qu’une seule fois le chemin sur
l’intervalle donné.
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b) Aire de S.
Calcul d’aires planes.
Avec 𝜔 𝑥, 𝑦 =1
2 −𝑦𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦 , ou 𝜔 𝑥, 𝑦 = −𝑦𝑑𝑥 ou 𝜔 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑑𝑦 on a :
𝜕𝑄
𝜕𝑥−
𝜕𝑃
𝜕𝑦= 1
et donc : 𝐴𝑖𝑟𝑒 𝐷 = ∬ 1 𝑑𝑥𝑑𝑦𝐷
= ∬ 𝜕𝑄
𝜕𝑥−
𝜕𝑃
𝜕𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦
𝐷= ∬ 𝑑𝑥𝑑𝑦
𝐷= ∫ 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦
𝛤= 𝜕𝐷
𝐴𝑖𝑟𝑒(𝐷) = 1
2 𝑥𝑑𝑦 − 𝑦𝑑𝑥 𝛤= 𝜕𝐷
= − 𝑦𝑑𝑥𝛤= 𝜕𝐷
= 𝑥𝑑𝑦𝛤= 𝜕𝐷
En coordonnées polaires cela donne : 𝐴𝑖𝑟𝑒(𝐷) = 1
2∫ 𝑟²𝑑𝜃𝛤= 𝜕𝐷
Attention ici, le sens de parcours n’est pas le sens direct :
𝒜𝑖𝑟𝑒 𝑆 = − 𝑥𝑑𝑦𝛤= 𝜕𝐷
= − sin 2𝑡 × (− sin 𝑡) 𝑑𝑡
𝜋2
−𝜋2
= 2 𝑠𝑖𝑛 𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑡 × (𝑠𝑖𝑛 𝑡) 𝑑𝑡
𝜋2
−𝜋2
= 2 𝑐𝑜𝑠 𝑡 × 𝑠𝑖𝑛² 𝑡 𝑑𝑡
𝜋2
−𝜋2
𝒜𝑖𝑟𝑒 𝑆 = 2 sin 𝑡 3
3 −
𝜋2
𝜋2
=𝟒
𝟑
c) ∬ 𝒙𝒅𝒙𝒅𝒚𝑺
Formule de Green-Riemann
Soit S un compact simple de ℝ2, on note Γ la courbe délimitant S, orientée dans le sens direct. On note Γ = ∂S le bord de S.
Soit 𝜔 une forme différentielle de classe C1 définie dans S. ∬
𝜕𝑄
𝜕𝑥−
𝜕𝑃
𝜕𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑆= ∫ 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦
Γ= ∂S
Avec 𝜔 𝑥, 𝑦 = 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 = −𝑥𝑦𝑑𝑥 on a : 𝜕𝑄
𝜕𝑥−
𝜕𝑃
𝜕𝑦= 𝑥.
Puis on applique Green-Riemann (attention au sens de parcours)
𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦𝑆
= 𝜕𝑄
𝜕𝑥−
𝜕𝑃
𝜕𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑆
= − 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦Γ= ∂S
= 𝑥𝑦𝑑𝑥Γ= ∂S
= sin 2𝑡 × cos 𝑡 × (2 cos 2𝑡)𝑑𝑡
𝜋2
−𝜋2
∬ 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦𝑆
= 0 car l’intégrande est impaire et on intègre sur un intervalle symétrique par rapport à 0.
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𝒜𝑖𝑟𝑒 𝑆 = ∫ 𝑥𝑑𝑦𝛤= 𝜕𝐷
où 𝛤 = 𝛤1 ∪ 𝛤2 avec 𝛤1 = courbe paramétée par γ et 𝛤2 = segment de A 2π; 0 à O(0; 0)
∫ 𝑥𝑑𝑦𝛤1
= ∫ 𝑡 − sin 𝑡 × sin 𝑡 𝑑𝑡2𝜋
0 = ∫ 𝑡 sin 𝑡 𝑑𝑡
2𝜋
0 − ∫ sin 𝑡 2𝑑𝑡
2𝜋
0
𝑡 − sin 𝑡 × sin 𝑡 𝑑𝑡2𝜋
0
= sin 𝑡 − 𝑡 cos 𝑡 02𝜋 −
𝑡
2−
sin 2𝑡
4
0
2𝜋
= −2𝜋 − 𝜋 = −3𝜋
∫ 𝑥𝑑𝑦𝛤2
= 0
𝓐𝒊𝒓𝒆 𝑺 = 𝒕 − 𝐬𝐢𝐧 𝒕 × 𝐬𝐢𝐧 𝒕 𝒅𝒕𝟐𝝅
𝟎
= 𝟑𝝅
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Sur 𝜞𝟏 :
Par passage en coordonnées polaires, 𝑥 = 𝑥 𝑡 = 2 cos 𝑡𝑦 = 𝑦 𝑡 = 2 sin 𝑡
avec 𝑡 qui varie de 0 à 𝜋. Donc 𝑥′(𝑡) = −2 sin 𝑡
𝑦′ (𝑡) = 2 cos 𝑡
Sur 𝜞𝟐 :
𝑥 = 𝑥 𝑡 = 𝑡𝑦 = 𝑦 𝑡 = 0
avec 𝑡 qui varie de2 à − 2. Donc 𝑥′(𝑡) = 1
𝑦′ (𝑡) = 0
𝑎 = 4𝑑𝑥 + 𝑥𝑦𝑑𝑦𝛤1
= 8 − sin 𝑡 + 𝑐𝑜𝑠² 𝑡 sin 𝑡 𝜋
0
𝑑𝑡 = 8 cos 𝑡 − cos 𝑡 3
3
0
𝜋
= −𝟑𝟐
𝟑
𝑏 = 4𝑑𝑥 + 𝑥𝑦𝑑𝑦𝛤2
= −𝟏𝟔
𝑐 = ∬ 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦𝑆
On passe en polaires
𝑐 = 𝑟² sin 𝑡 𝑑𝑡𝜋
0
2
0
𝑟𝑑𝑟 = 𝑟3
3
0
2
× − cos 𝑡 0𝜋 =
𝟏𝟔
𝟑
b)
En posant : 𝜔 𝑥, 𝑦 = 4𝑑𝑥 + 𝑥𝑦𝑑𝑦 = 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 , on a : 𝜕𝑄
𝜕𝑥−
𝜕𝑃
𝜕𝑦= 𝑦 − 0 = 𝑦
Formule de Green-Riemann
Soit D un compact simple de ℝ2, on note Γ la courbe délimitant D, orientée dans le sens direct. On note Γ = ∂D le bord
de D.
Soit 𝜔 une forme différentielle de classe C1 définie dans D. ∬
𝜕𝑄
𝜕𝑥−
𝜕𝑃
𝜕𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦
𝐷= ∫ 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦
Γ= ∂D
Attention au sens de parcours.
𝑐 = ∬ 𝜕𝑄
𝜕𝑥−
𝜕𝑃
𝜕𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑆= ∬ 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑆= ∫ 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦
Γ1∪Γ2= ∂D = ∫ 4𝑑𝑥 + 𝑥𝑦𝑑𝑦
Γ1∪Γ2= ∂D
D’après le th. de Green-Riemann
𝑐 = ∫ 4𝑑𝑥 + 𝑥𝑦𝑑𝑦 Γ1∪Γ2= ∂D
= ∫ 4𝑑𝑥 + 𝑥𝑦𝑑𝑦 Γ1
− ∫ 4𝑑𝑥 + 𝑥𝑦𝑑𝑦 Γ2
= 𝑎 − 𝑏
D’après la relation de Chasles
Donc 𝒂 = 𝒃 + 𝒄
A(2,0) B(-2,0)
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On intègre sur un cylindre.
Il faut faire attention à l’ordre d’intégration.
Méthode 1 :
Le volume D est la région comprise à l’intérieur du cylindre d’équation : 4 = 𝑥² + 𝑦², sous le plan
horizontal d’équation 𝑧 = 1 et au dessus du plan (xOy).
𝐷 = 𝑥; 𝑦; 𝑧 ∈ ℝ3 , 𝑥² + 𝑦² ≤ 4 , 0 ≤ 𝑧 ≤ 1 .
On peut faire varier z de 0 à 1 et prendre (x ;y) dans le disque de centre O et de rayon 2.
𝐷 = 𝑥; 𝑦; 𝑧 ∈ ℝ3 , 0 ≤ 𝑧 ≤ 1, 𝑥; 𝑦 ∈ 𝐷𝑧 .
𝐷𝑧 = 𝑥; 𝑦 ∈ ℝ2, 𝑥² + 𝑦² ≤ 4 = 𝐷𝑖𝑠𝑞𝑢𝑒 𝑂; 𝑅 = 2 .
Par passage en coordonnées cylindriques on obtient :
𝐼 = 𝑧𝑥²+𝑦² 𝑑𝑥𝑑𝑦𝐷𝑧
𝑑𝑧2
0
= 𝑟 𝑧𝑟²𝑑𝑟𝑑𝑡1
0
2𝜋
0
𝑑𝑧2
0
En appliquant Fubini :
𝐼 = 𝑟 𝑧𝑟²𝑑𝑟𝑑𝑡1
0
2𝜋
0
𝑑𝑧2
0
= 𝑟 𝑧𝑟²𝑑𝑧1
0
𝑑𝑟2
0
𝑑𝑡2𝜋
0
𝐼 = 𝑟 𝑧𝑟²+1
𝑟² + 1
0
1
𝑑𝑟2
0
𝑑𝑡2𝜋
0
= 𝑟
𝑟² + 1𝑑𝑟
2
0
𝑑𝑡2𝜋
0
= ln(𝑟2 + 1)
2
0
2
𝑑𝑡2𝜋
0
𝑰 = 𝝅 𝐥𝐧𝟓
Méthode 2 :
𝐼 = 𝑟 𝑧𝑟²𝑑𝑡2𝜋
0
2
0
𝑑𝑟 𝑑𝑧1
0
= 𝝅 𝒛𝟒 − 𝟏
𝒍𝒏 𝒛
𝟏
𝟎
𝒅𝒛
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Sphériques
𝑥 = 𝑟 sin 𝜑 cos 𝜃
𝑦 = 𝑟 sin 𝜑 sin 𝜃𝑧 = 𝑟 cos 𝜑
0 ≤ 𝑟 ≤ 2
𝜃 ∈ 0;𝜋
2
𝜑 ∈ 0 ; 𝜋
𝐝𝐞𝐭 𝑱 = −𝒓² 𝐬𝐢𝐧 𝝋
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
𝐷
= 𝑓
𝑟 sin 𝜑 cos 𝜃 𝑟 sin𝜑 sin 𝜃
𝑟 cos 𝜑 × 𝒓² 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝜑
K=𝜙−1(𝐷)
𝑥𝑦𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
𝑉
= 𝑟5 sin 𝜑 3 cos 𝜑 cos 𝜃 sin 𝜃 𝑑𝑟 𝑑𝜑 𝑑𝜃
𝜋2
0
𝜋
0
2
0
𝑥𝑦𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
𝑉
= 𝑟6
6
0
2
× sin 𝜑 4
4
0
2
× − cos² 𝜃
2
0
2
= 𝟎
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a)
Le volume V est la région comprise à l’intérieur du paraboloïde d’équation : 𝑧 = 𝑥² + 𝑦², sous le plan horizontal d’équation
𝑧 = 1 .
𝑉 = 𝑥; 𝑦; 𝑧 ∈ ℝ3, 𝑥² + 𝑦² ≤ 𝑧 ≤ 1 .
On peut faire varier z de 0 à 1 et prendre (x ;y) dans le disque de centre O et de rayon 𝑧.
𝑉 = 𝑥; 𝑦; 𝑧 ∈ ℝ3 , 0 ≤ 𝑧 ≤ 1, 𝑥; 𝑦 ∈ 𝐷𝑧 .
𝐷𝑧 = 𝑥; 𝑦 ∈ ℝ2, 𝑥² + 𝑦² ≤ 𝑧 = 𝐷𝑖𝑠𝑞𝑢𝑒 𝑂; 𝑅 = 𝑧 .
Par Fubini on obtient :
𝑉 = 𝑑𝑥𝑑𝑦𝐷𝑧
𝑑𝑧1
0
𝑉 = 𝜋 𝑧 2 𝑑𝑧
1
0
= 𝜋𝑧 𝑑𝑧1
0
= 𝜋 𝑧2
2
0
1
𝑽 =𝝅
𝟐
b) ∭ 𝑥²𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑉
= ∫ ∬ 𝑥²𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦𝐷𝑧
𝑑𝑧1
0= ∫ 𝑧 ∬ 𝑥²𝑑𝑥𝑑𝑦
𝐷𝑧 𝑑𝑧
1
0
∬ 𝒙𝟐𝒅𝒙𝒅𝒚𝑫𝒛
On va passer en coordonnées polaires.
𝑥2𝑑𝑥𝑑𝑦𝐷𝑧
= 𝑟𝑐𝑜𝑠 𝑡 2 𝑑𝑡2𝜋
0
𝑧
0
𝑟𝑑𝑟 =𝜋𝑧2
4
𝑥²𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑉
= 𝑧 𝑥²𝑑𝑥𝑑𝑦𝐷𝑧
𝑑𝑧1
0
= 𝑧 𝜋𝑧2
4 𝑑𝑧
1
0
=𝝅
𝟏𝟔
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Autre exemple :
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t de -20 à 20
t de -3 à 3
t de -2 à 2
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a) Symétrie.
On utilise un changement de paramétrage pour Γ d’équation :
𝛾 𝑡 = 𝑥 = 𝑥 𝑡 = 3𝑡² − 1
𝑦 = 𝑦 𝑡 = 𝑡3 − 3𝑡 sur 𝐼 = ℝ
Soit 𝑔 ∶ 𝑡 ↦ 𝑔(𝑡) de I dans I telle que 𝐼 = 𝐼′ ∪ 𝑔(𝐼′ ) et 𝐼′ ∩ 𝑔 𝐼′ = ∅ 𝑜𝑢 𝑢𝑛 𝑠𝑖𝑛𝑔𝑙𝑒𝑡𝑜𝑛
Suivant la formule liant 𝛾𝑜𝑔 et 𝛾, on fait varier t dans I’, d’où une courbe Γ’, puis une courbe Γ’’
déduite de Γ’, et 𝛤 = 𝛤’⋃𝛤’’
Isométrie permettant de passer de Γ’ à Γ’’
𝑥 𝑔(𝑡) = 𝑥(𝑡)
𝑦 𝑔(𝑡) = 𝑦(𝑡) Identité
𝑥 𝑔(𝑡) = 𝑥 𝑡 + 𝑎
𝑦 𝑔(𝑡) = 𝑦 𝑡 + 𝑏 Translation de vecteur 𝑎 𝑖 + 𝑏𝑗
𝑥 𝑔(𝑡) = −𝑥(𝑡)
𝑦 𝑔(𝑡) = 𝑦(𝑡) Symétrie par rapport à (Oy)
𝑥 𝑔(𝑡) = 𝑥(𝑡)
𝑦 𝑔(𝑡) = −𝑦(𝑡) Symétrie par rapport à (Ox)
𝑥 𝑔(𝑡) = −𝑥(𝑡)
𝑦 𝑔(𝑡) = −𝑦(𝑡) Symétrie par rapport au point O
𝑥 𝑔(𝑡) = 𝑦(𝑡)
𝑦 𝑔(𝑡) = 𝑥(𝑡) Symétrie par rapport à la première bissectrice
Généralement on teste :
𝒈(𝒕) = −𝒕 pour 𝐼 = ] − 𝑎; 𝑎[ et alors I’ = [0; 𝑎[
𝒈 𝒕 = 𝒂 + 𝒃 − 𝒕 pour 𝐼 = [𝑎; 𝑏] et alors 𝐼’ = [𝑎 ;𝑎+𝑏
2[
𝒈 𝒕 =𝟏
𝒕 pour 𝐼 = ] 0; + ∞[ et alors I’ = ]0; 1]
Ici :
𝛾 −𝑡 = 𝑥 = 𝑥 −𝑡 = 𝑥(𝑡)
𝑦 = 𝑦 −𝑡 = −𝑦(𝑡) Donc pour 𝐼 = ] − ∞; ∞[ , on a I’ = [0; ∞[
On passe de Γ’ pour t dans I’ à Γ’’ par symétrie par rapport à l’axe Ox
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b) Points réguliers et biréguliers de la courbes.
Définition.
Soit Γ la trajectoire de l’arc paramétré 𝛾: 𝑡 ⟼ 𝛾 𝑡 = 𝑀(𝑡) de classe 𝐶1
On dit que M(t) est un point régulier de Γ si et seulement si : 𝜸′ (𝒕) ≠ 𝟎
Si 𝛾 est de classe 𝐶2
On dit que M(t) est un point birégulier de Γ si et seulement si : la famille 𝒇’(𝒕) ; 𝒇’′(𝒕) est libre.
Pour les déterminer on écrit que le déterminant de la famille est non nul
Un point non régulier est dit stationnaire.
Théorèmes.
𝛾 un arc paramétré de classe 𝐶1
En tout point régulier M t de Γ, Γ admet une tangente et celle-ci est dirigé par 𝜸′ (𝒕).
Soit M t point régulier de Γ, et T(t) la tangente en M(t)à Γ.
Si 𝑥′ 𝑡 ≠ 0, T(t) a pour coeff. directeur : 𝑦 ′ 𝑡
𝑥 ′ 𝑡
Si 𝑥′ 𝑡 = 0, T t est parallèle à Oy dans ce cas on a y’ t non nul car M t régulier
Théorème.
𝛾 un arc paramétré de classe 𝐶𝑘 , et 𝐴(𝑡) = 𝛾 𝑡
Si l’un au moins des vecteurs dérivés successifs 𝒇’(𝒕) ; 𝒇’′(𝒕) ; … . ; 𝒇(𝒌)(𝒕) est non nul, alors Γ
admet en A(t) une tangente et celle-ci est dirigée par le premier vecteur dérivé successif qui soit
non nul.
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Allure de la courbe au voisinage d’un point.
Soit p le plus petit entier ≥ 1 tel que : 𝒇(𝒑)(𝒕) ≠ 𝟎
Soit q le plus petit entier > p tel que : 𝒇 𝒑 𝒕 ; 𝒇 𝒑 𝒕 soit libre
Points réguliers de l’arc paramétré 𝜸.
Ici : 𝛾 𝑡 = 𝑥 = 𝑥 𝑡 = 3𝑡² − 1
𝑦 = 𝑦 𝑡 = 𝑡3 − 3𝑡 donc 𝛾′ 𝑡 =
𝑥′ 𝑡 = 6𝑡
𝑦′ 𝑡 = 3𝑡2 − 3
𝛾′ 𝑡 = 0 ⟺ 𝑥′ 𝑡 = 6𝑡 = 0
𝑦′ 𝑡 = 3𝑡2 − 3 = 0
ce qui est impossible car si 𝑥′ 𝑡 = 0, alors 𝑡 = 0 or 𝑦’ 0 = −3 ≠ 0
De ce fait l’arc paramétré 𝜸 est régulier car tous ces points sont réguliers.
Points biréguliers de l’arc paramétré 𝜸.
𝛾′ 𝑡 = 𝑥′ 𝑡 = 6𝑡
𝑦′ 𝑡 = 3𝑡2 − 3 donc 𝛾′′ 𝑡 =
𝑥′ ′ 𝑡 = 6
𝑦′ ′ 𝑡 = 6𝑡
Alors : 𝑥′ 𝑡 × 𝑦′′ 𝑡 − 𝑦′ 𝑡 × 𝑥′′ 𝑡 = 36𝑡² − 18𝑡² + 18 = 0
implique : 18𝑡² + 18 = 18 𝑡2 + 1 = 0.
Donc 𝑥′ 𝑡 × 𝑦′′ 𝑡 − 𝑦′ 𝑡 × 𝑥′′ 𝑡 ≠ 0 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡𝑜𝑢𝑡 𝑟é𝑒𝑙 𝑡
De ce fait l’arc paramétré 𝜸 est birégulier car tous ces points sont biréguliers.
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1°) 𝑓 𝑡 = cos3 𝑡sin3 𝑡
= 𝑥(𝑡)𝑦(𝑡)
𝑓 −𝑡 est 2π-périodique, étude sur [-π ;π]
Symétries.
o 𝑓 −𝑡 = 𝑥(𝑡)
−𝑦(𝑡) donc Γ présente une symétrie / Ox , on réduit l’étude à 0 ;π .
o 𝑓 π − 𝑡 = −𝑥(𝑡)𝑦(𝑡)
donc Γ présente une symétrie / Oy), on réduit l’étude à [𝟎 ;𝝅
𝟐].
Remarque on pouvait encore réduire l’intervalle d’étude mais bon …
Variations.
𝑓′ 𝑡 = −3 sin t cos2 𝑡3 cos t sin2 𝑡
et tableau de variations aisé.
t 0 𝝅
𝟐
𝑥’(𝑡) 0 - 0
𝑥 1
0
𝑦 0
1
𝑦’(𝑡) 0 + 0
Points non réguliers.
Sur l’intervalle d’étude, 𝑓′ 𝑡 = 0 ssi 𝑡 = 0 𝑜𝑢 𝝅
𝟐 , ce sont les deux seuls points non réguliers.
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Etude aux points caractéristiques.
o Pour t=0 : En 𝑴(𝟎) = 𝑨(𝟏 ; 𝟎)
A=M(0) est un point non régulier car 𝑓′ 0 = 0
On calcule : 𝑓′′ 0 = −30
, dirige la tangente en A.
𝑓′′′ 0 = 06 et 𝒇 𝟐 𝒕 ; 𝒇 𝟑 𝒕 est libre
donc p=2 et q=3, Γ présente en A un point de rebroussement de 1ère espèce.
o Pour 𝒕 =𝝅
𝟐 : En 𝑴(
𝝅
𝟐) = 𝑩(𝟎 ; 𝟏)
𝐵 = 𝑀 𝝅
𝟐 est un point non régulier car 𝑓′ 0 = 0
On calcule : 𝑓′′ 𝝅
𝟐
=
0−3
, dirige la tangente en B.
𝑓′′′ 𝝅
𝟐
=
−60
et 𝒇 𝟐 𝒕 ; 𝒇 𝟑 𝒕 est libre
donc p=2 et q=3, Γ présente en B un point de rebroussement de 1ère espèce.
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2°) 𝑓 𝑡 = ch 𝑡 =
𝑒𝑥 +𝑒−𝑥
2
sh 𝑡 =𝑒𝑥−𝑒−𝑥
2
= 𝑥(𝑡)𝑦(𝑡)
définie sur ℝ
Symétries.
o 𝑓 −𝑡 = 𝑥(𝑡)
−𝑦(𝑡) donc Γ présente une symétrie / Ox), on réduit l’étude à 0 ;+∞ .
Variations.
𝑓′ 𝑡 = 𝑠 𝑡𝑐 𝑡
et tableau de variations aisé.
t 0 +∞ 𝑥’(𝑡) 0 + 0
𝑥 1
+∞ 0
𝑦 0
+∞
𝑦’(𝑡) 1 +
Points non réguliers :
Il n’y a pas de points non réguliers car 𝑓′ 𝑡 ≠ 0 pour tous les t. En effet, si 𝑥′ 𝑡 ≠ 0 ∀ 𝑡 ∈ ℝ
Etude aux points caractéristiques.
o Pour t=0 : En 𝑴(𝟎) = 𝑨(𝟏 ; 𝟎)
𝐴 = 𝑀(0) , 𝑓′ 0 = 01 ≠ 0 qui dirige la tangente en A.
Branches infinies.
o Γ présente une branche infinie en +∞ car lim𝑡→+∞ 𝑓(𝑡) = +∞.
o lim+∞ 𝑥 𝑡 = +∞ = lim+∞ 𝑦(𝑡) donc on étudie le rapport 𝑦/𝑥
o lim𝑡→+∞
𝑦(𝑡)
𝑥 𝑡 = 1
lim𝑡→+∞ 𝑦 𝑡 − 1 × 𝑥 𝑡 = 0
,
alors Γ admet une pour asymptote la droite d’équation 𝒚 = 𝟏𝒙 + 𝟎 = 𝒙.
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3°) 𝑓 𝑡 =
𝑡²
1+𝑡²
𝑡3
1+𝑡²
= 𝑥(𝑡)𝑦(𝑡)
définie sur ℝ
Symétries.
o 𝑓 −𝑡 = 𝑥(𝑡)
−𝑦(𝑡) donc Γ présente une symétrie / Ox , on réduit l’étude à 0 ;+∞ .
Variations. : 𝑓′ 𝑡 =
2𝑡
1+𝑡² ²
𝑡²(3+𝑡2)
1+𝑡² ²
et tableau de variations aisé.
t 0 +∞
𝑥’(𝑡) 0 + 0
𝑥 0
1 0
𝑦 0
+∞
𝑦’(𝑡) 0 +
Points non réguliers.
Sur l’intervalle d’étude, 𝑓′ 𝑡 = 0 ssi 𝑡 = 0 , 𝐴(0; 0) = 𝑀(0) est le seul point non régulier.
Etude aux points caractéristiques.
o Pour t=0, 𝐴(0; 0) = 𝑀(0) est un point non régulier car 𝑓′ 0 = 0
On calcule : 𝑓′′ 0 = 20 , dirige la tangente en A.
𝑓′′′ 0 = 06 et 𝒇 𝟐 𝒕 ; 𝒇 𝟑 𝒕 est libre
donc p=2 et q=3, Γ présente en A un point de rebroussement de 1ère espèce.
Branches infinies.
o Γ présente une branche infinie en +∞ car lim𝑡→+∞ 𝑓(𝑡) = +∞.
o lim𝑡→𝑎 𝑦(𝑡) = +∞
lim𝑡→𝑎 𝑥 𝑡 = 1 ,
alors Γ admet pour asymptote la droite d’équation 𝒙 = 𝟏.
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4°) 𝑓 𝑡 = 𝑡² + 𝑡4
𝑡² − 𝑡3 = 𝑥(𝑡)𝑦(𝑡)
définie sur ℝ
Aucune Symétrie.
Variations. : 𝑓′ 𝑡 = 2𝑡(2𝑡2 + 1)𝑡(2 − 3𝑡)
et tableau de variations aisé.
t -∞ 0 2/3 +∞ 𝑥’(𝑡) - 0 + 68/27 + 0
𝑥 +∞ 0
52/81
+∞ 0
𝑦 +∞ 4/27
-∞
𝑦’(𝑡) - 0 + 0 -
Points non réguliers.
Sur l’intervalle d’étude, 𝑓′ 𝑡 = 0 ssi 𝑡 = 0 , 𝐴(0; 0) = 𝑀(0) est le seul point non régulier.
Etude aux points caractéristiques.
o Pour t=0, 𝐴(0; 0) = 𝑀(0) est un point non régulier car 𝑓′ 0 = 0
On calcule : 𝑓′′ 0 = 22 , dirige la tangente en A.
𝑓′′′ 0 = 0
−6 et 𝒇 𝟐 𝒕 ; 𝒇 𝟑 𝒕 est libre
donc p=2 et q=3, Γ présente en A un point de rebroussement de 1ère espèce.
o Pour t=2/3 : En 𝑴 𝟐
𝟑 = 𝑩
𝟓𝟐
𝟖𝟏 ;
𝟒
𝟐𝟕
𝐵 = 𝑴 𝟐
𝟑 est un point régulier car 𝑓′
𝟐
𝟑
=
68
27
0 ≠ 0 qui dirige la tangente en B.
Branches infinies.
o Γ présente une branche infinie en +∞ car lim𝑡→+∞ 𝑓(𝑡) = +∞.
o lim𝑡→±∞𝑦(𝑡)
𝑥 𝑡 = 0 ,
alors Γ admet une branche parabolique de direction asymptotique (Ox).
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Intersection de la courbe avec l’axe (Ox).
𝑦 𝑡 = 0 𝑠𝑠𝑖 𝑡 = 0 𝑜𝑢 1 et 𝑥 0 = 0, 𝑥 1 = 2
Donc les points d’intersection de la courbe avec l’axe (Ox) sont les points : 𝑀 0 = 𝐴(0; 0)
𝑀 1 = 𝐶(2; 0)
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