Übungen zu Geostatistik 1
Theoretische Verteilungen
Normalverteilung und Standardnormalverteilungals Beispiel einer theoretischen Verteilung
- Normalverteilung (Gaußverteilung) kann auf sehr viele Zufallsprozesse angewendet werden.
- Stetige (kontinuierliche), symmetrische (Schiefe=0), “glockenförmige” Verteilung.
- Mittelwert = Median = Modus- Schiefe = 0- Exzeß = 0
- Annahme der NV als Verteilungsmodell dort, wo die mittleren Werte eines Datenkollektivs gleichzeitig die häufigsten (wahrscheinlichsten) sind.
- Standardisierte Normalverteilung (zV) bei = 0 und = 1μ σ
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Theoretische Verteilungen
Theoretische Verteilung und empirische Häufigkeitsverteilung
7.00 8.00 9.00 10.00
Jahresmittel
0%
5%
10%
15%
Pro
zen
te
7.00 8.00 9.00 10.00
Jahresmittel
0%
25%
50%
75%
100%
Pro
zen
te
Beispiel:JahresmitteltemperaturMitteleuropäischer Stationen
KumulativeempirischeHäufigkeitsverteilung
Empirische Häufigkeitsverteilung
Beispiel:Normalverteilung
Verteilungsfunktion
Wahrscheinlich-keitsdichtefunktion
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Theoretische Verteilungen
Anpassung einer empirischen Häufigkeitsverteilung an eine theoretische Verteilung
Schritte:
- Suche nach einer, der empirischen HV ähnlichen theoretischen Verteilung
(- Visuelle Prüfung (Histogramm, Stem- and Leaf Plot, Boxplot - Deskriptive Parameter)
- Anpassung der gewählten theoret. Verteilung (Umrechnung der theoret. Verteilung auf Datenwerte der empirischen Verteilung)
- Überprüfung der Güte der Anpassung mittels graphischer Verfahren oder durch spezielle Anpassungstests
SPSS-Menü-> Deskriptive Statistik
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Theoretische Verteilungen
Prüfung der Güte der Verteilungsanpassung
Graphische „Tests“:
(1) Histogramm mit (angepasster) theoretischer Wahrscheinlichkeitsdichte- bzw. Verteilungsfunktion
7.00 8.00 9.00 10.00
Jahresmittel
0%
5%
10%
15%
Pro
zen
te
7.00 8.00 9.00 10.00
Jahresmittel
0%
25%
50%
75%
100%
Pro
zen
te
SPSS-Menü-> Deskriptive Statistik -> Häufigkeiten
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Theoretische Verteilungen
Prüfung der Güte der Verteilungsanpassung
Graphische „Tests“:
(2) Visuelle Prüfung der Anpassungsgüte mit QQ- (Quantile-Quantile) bzw. PP- (Probability-Probability) Plots
6 7 8 9 10 11
Beobachteter Wert
6
7
8
9
10
11
Erw
arte
ter
Wer
t von
Nor
mal
Q-Q-Diagramm von Normal von Jahresmittel
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
Beobachtete Kum. Wahrsch.
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0E
rwar
tete
Kum
. Wah
rsch
.
P-P-Diagramm von Normal von Jahresmittel
SPSS-Menü-> Deskriptive Statistik -> Explorative Datenanalyse
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Theoretische Verteilungen
Prüfung der Güte der Verteilungsanpassung
Statistische Anpassungstests (Beispiele):(Vergleich einer empirischen (SP) mit einer theoretischen (GG) Verteilung)
Zur Erinnerung: Statistische Test- und Prüfverfahren
Das Signifikanzniveau:
● Si = Signifikanzniveau (Sicherheitswahrscheinlichkeit) = Wahrscheinlichkeit eines richtigen Testentscheids
● = Irrtumswahrscheinlichkeit (1 – Si) = Wahrscheinlichkeit eines falschen αTestentscheids
● grobe (und willkürliche) Einteilung:
Si = 90% = „signifikant“Si = 95% = „sehr signifikant“Si = 99% = „hochsignifikant“
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Theoretische Verteilungen
Prüfung der Güte der Verteilungsanpassung
Statistische Anpassungstests (Beispiele):(Vergleich einer empirischen (SP) mit einer theoretischen (GG) Verteilung)
Zur Erinnerung: Statistische Test- und Prüfverfahren
Testentscheid:
In SPSS: Ausgabe der Wahrscheinlichkeit p für das Eintreten des empirisch festgestellten Ereignisses (ermittelter Wert der Prüfgrösse) bei Gültigkeit von H0
Ablehnen (Verwerfen) der Nullhypothese auf dem gewählten Signifikanzniveau
wenn p > α
(Synonyme für p in SPSS: Sig., Asymptotische Signifikanz)
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Theoretische Verteilungen
Prüfung der Güte der Verteilungsanpassung
Statistische Anpassungstests (Beispiele):(Vergleich einer empirischen (SP) mit einer theoretischen (GG) Verteilung)
Zur Erinnerung: Statistische Test- und Prüfverfahren
Anwendungsvoraussetzungen versch. Prüfverfahren:
● Testparameter zur Berechnung der Prüfgrösse (Übernahme von SP-Kenngrößen möglich oder modifizierte Berechnung?)
● Stichprobenumfang (Mindestumfang bei einer SP, Gleichheit der SP-Umfänge bei SP-Vergleichen?)
● Voraussetzungen bzgl. des Verteilungstyps der betr. Kollektive (verteilungsgebundene / parametrische bzw. verteilungsfreie / nonparametrische Verfahren?)
● Skalenniveau der Kollektive
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Theoretische Verteilungen
Prüfung der Güte der Verteilungsanpassung
Statistische Anpassungstests (Beispiele):(Vergleich einer empirischen (SP) mit einer theoretischen (GG) Verteilung)
Generell gilt für Anpassungstests („Goodness of Fit“ Tests) die Nullhypothese:
H0 = Die empirische Häufigkeitsverteilung stimmt mit einer
(gewählten) theoretischen Häufigkeitsverteilung überein.
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Theoretische Verteilungen
Prüfung der Güte der Verteilungsanpassung
Statistische Anpassungstests (Beispiele):(Vergleich einer empirischen (SP) mit einer theoretischen (GG) Verteilung)
(1) Kolmogoroff-Smirnoff-Anpassungstest(Modifizierter Test nach Lilliefors: Parameter der TV werden aus SP geschätzt)
Berechnung der Prüfgrösse:
SHk(SP): Summenhäufigkeit der empirischen Verteilung
SHk(TV): Summenhäufigkeit der theoretischen Verteilung
K: Anzahl der Klassenn: Stichprobenumfang
Voraussetzungen: Klassenorientierung der SP, n > 50, nk ≥ 4, kumulative Häufigkeiten, verteilungsfreier Test
Pr=∣Max SHk SP−SHk TV k=1
K ∣n
SPSS-Menü-> Deskriptive Statistik -> Explorative Datenanalyse-> Normalverteilungs- diagramme mit Tests
bzw.-> Nichtparametrische Tests-> K-S bei einer Stichprobe
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Theoretische Verteilungen
Prüfung der Güte der Verteilungsanpassung
Statistische Anpassungstests (Beispiele):(Vergleich einer empirischen (SP) mit einer theoretischen (GG) Verteilung)
(2) X2-Anpassungstest
Berechnung der Prüfgrösse:
Hk: Klassenhäufigkeit der empirischen (SP), der theoretischen (TV) Verteilung
K: Anzahl der KlassenΦ = K-Z: Zahl der Freiheitsgrade, Z: Zahl der Parameter der theoretischen Verteilung
Voraussetzungen: Klassenorientierung der SP, n > 50, nk ≥ 4, verteilungsfreier Test
X2=∑
k=1
K Hk SP−Hk TV 2
Hk TV
SPSS-Menü-> Nichtparametrische Tests -> Chi Quadrat
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Theoretische Verteilungen
Prüfung der Güte der Verteilungsanpassung
Statistische Anpassungstests (Beispiele):(Vergleich einer empirischen (SP) mit einer theoretischen (GG) Verteilung)
(3) Shapiro-Wilk-Anpassungstest
Berechnung der Prüfgrösse:
Anwendung: - Nur für Prüfung auf NV anwendbar!- Insbesondere bei Vorliegen kleiner Stichprobenumfänge (<50) zuverlässiger als KS-Test und X2-Test
SPSS-Menü-> Deskriptive Statistik -> Explorative Datenanalyse-> Normalverteilungs- diagramme mit Tests
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Theoretische Verteilungen
Wahrscheinlichkeitsschätzungen auf Grundlage der angepassten Verteilungsfunktion
Beispiel Normalverteilung u. Standardnormalverteilung
(2) Intervallschätzung
(a) Mutungsbereiche (Konfidenzintervalle), für Verteilungskenngrößen der GG (In SPSS z.B. Konfidenzintervall des Mittelwerts -> Deskriptive Statistik -> Explorative Datenanalyse)
(b) Ereignisschätzungen<- Schätzung des Intervalls, in dem auf Grund eines angepassten theoretischen Verteilungsmodells künftige SP-Daten mit definitiver Wahrscheinlichkeit vermutet werden.
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Theoretische Verteilungen
Wahrscheinlichkeitsschätzungen auf Grundlage der angepassten Verteilungsfunktion
Beispiel Normalverteilung u. Standardnormalverteilung
(b) Ereignisschätzungen
2 Vorgehensweisen:
- Wahrscheinlichkeit F(a) ist vorgegeben, zugehöriger Wert/Wertebereich (Werteintervall ∆a) wird geschätzt
- Wert/Wertebereich (Werteintervall ∆a) ist vorgegeben, zugehörige Eintrittswahrscheinlichkeit F(a) wird geschätzt
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Theoretische Verteilungen
Wahrscheinlichkeitsschätzungen auf Grundlage der angepassten Verteilungsfunktion
Beispiel Normalverteilung u. Standardnormalverteilung
(b) Ereignisschätzungen
In SPSS: (-> Transformieren -> Berechnen -> Funktionen)
(1) CDF.Verteilung(Zahl, Parameter der Verteilung)– ergibt die Wahrscheinlichkeit, mit der eine Zufallsvariable (ZV), die der angegebenen Verteilung folgt, einen Wert kleiner oder gleich Zahl annimmt (Unterschreitungswahrscheinlichkeit).
(2) IDF.Verteilung(Wahrscheinlichkeit, Parameter der Verteilung)– liefert den Wert, den eine der angegebenen Verteilung folgende ZV mit einer kumulierten Wahrscheinlichkeit von Wahrscheinlichkeit annimmt.
SPSS berücksichtigt nur Unterschreitungswahrscheinlichkeiten!
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