5/26/2018 TM1_Seilstatik_7_2_2
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Technische Mechanik IKapitel 7: Seilstatik 1
7.2 Anwendung auf typische Belastungsflle
7.2.1 Seil unter Brckenlast (Hngebrcke)
Eigengewicht des Seils gegenber Brckenlast vernachlssigbar
x
y
f L
q0=const.
l
A B
Oft ist bei gegebenen
Gren q0, l, und Lder Durchhang f desSeils gesucht.
Seilkurve:
(5) : y(x) = 1
Hq(x) =
1
Hq0 y(x) = q0
Hx+C1
y(x) = q02H
x2 +C1x+C2 (9)
Randbedingungen: y(0) = 0 und y(l) = 0
y(0) (9)= C2
!= 0 C2= 0 (10)
y(l)
(9,10)
=
q0l2
2H +C1l
!
= 0 C1= q0l
2H (11)
(10), (11) in (9):
y(x) = q0l
2
2H
xl
2 x
l
(quadratische) Parabel (12)
Bestimmung von H:
(8) : L = l
0
1 +
q0
Hx l
2 =y(0)
2
dx
L =
l0
1 +
q0l
2H
2
x
l 1
2dx (13)
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Substitution: q0l
2H
2
x
l 1
= sinh u
Lsung: L = H
2q0 [u+ sinh(u) cosh(u)]u(x=l)u(x=0) (14)
Transzendente Gleichung, aus der Hbei gegebenem Lnumerisch ermittelt werden kann.
Analytische Nherungslsung:
Annahme = flach gespanntes Seil mit |y| 1hier: |y|max = |y(0)| = |y(l)| = q0l2H 1
Mit der Reihenentwicklung
1 +u = 1 +
1
2u 1
8u2 +
1
16u3 . . . 1 +1
2u
folgt aus (13) nherungsweise
L =
l0
1 +1
2
q0l
2H
2
x
l 1
2dx
=
l0
1 +q0
2l2
8H2
4
x2
l2 4x
l + 1
dx
=
x+
q02l2
8H2
4
3
x3
l3 2x
2
l +x
0
l
L = l+q0
2l3
8H24
3 2 + 1
= 13
= l +
q02l3
24H2
H2 = q0
2l2
24
l
L
l
H = q0l2
6
1
Ll 1(15)
(15) in (12) ergbit die Seilkurve fr ein flach gespanntes Seil unter Brckenlast:
y(x) =
6l(L l)x
l
2x
l
(16)
Berechnung des Durchhangs f:
Aus der Symmetrie des vorliegenden Problems ist sofort ersichtlich, dass die maximale Auslenkungdes Seils bei x= a = l
2auftritt. Ansonsten ist aaus der Bedingung y(a) = 0 zu bestimmen.
Fr Seilkurve ohne Nherung:
f= y
l
2
(12)
= q0l2
2H
1
41
2
=
q0l2
8H mit Haus (14) (17)
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Fr straff gespanntes Seil (Nherung):
f=
y l2 (16)= 6l(L l)1
41
2 = 3
8 (L
l)
l (18)
Zahlenbeispiel: l= 100m, L= 102m f (18)=
75m 8, 66m
Zusatz: Seikraft
(6) S(x) =H
1 +y2(x)
Fr flach gespanntes Seil unter Brckenlast (Nherung):
(16) y(x) =
6(L l)l
2
x
l 1
S(x) (15)= q0l
2
6
l
L l
1 +
6(L l)l
2
x
l 1
2S(x) =
q0l
2
l
6(L l)+
2x
l 1
2(19)
Die Seilkraft wir maximal an den Lagerungen, d.h. bei x= 0 und x= l.
S(0) =q0l
2
1 +
l
6(L l)=S(l) (19a)
Zahlenbeispiel von oben: S(0) 1, 53q0l = 1, 53 GBrcke
Bemerkung:
Aus (6) ist sofort ersichtlich, dass S(x) minimal ist fr x= a = l2
, woy(a) =y
l2
= 0 gilt.
S(a) =S l
2
= H, d.h. and der Durchhangstelle ist die Seilkraft nur gleich dem Horizontalzug H.
7.2.2 Seil unter Eigengewicht (Kettenlinie)
Streckenlast = Eigengewicht des Seils (homogen)gleichmig verteilt ber der (Bogen-) Lngskoordinate s des Seils q(s) = q0 = = g; 0 s L
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dsq(s) =
dy
q(x)
dx
Es gilt, dass die Vertikalkrfte gleich sein mssen:
ds = q(x)dx (20)
Auerdem gilt:
ds2 = dx2 + dy2 (21)
aus (20) und (21):
q(x) =ds
dx =
1 +
dy
dx
2=
1 +y2 (22)
Einsetzen in die Differenatialgleichung der Seilkurve (5) ergibt:
y(x) =
H
1 +y2(x) (nichtlineare) DGL der Kettenlinie (23)
Lsung der (nichtlinearen) Differentialgleichung (23):
Substitution: y = u ; y = u = dudx
Trennung der Variablen
Integration
du
dx =
H
1 +u2
uu=u0
du1 + u2
=
H
xx=x0
dx
arsinh(u)|u
u0 =
H(x
x0)
arsinh(u) =
H(x x0) + arsinh(u0)
u = y =dy
dx = sinh
H
(x x0) + arsinh(y0)
yy0
dy =
xx0
sinh
H(x x0) + arsinh(y0)
dx
y(x) = y0 + H
cosh
H
(x x0) + arsinh(y0)
cosh (arsinh(y0)) =
1+y0
2 aus: cosh2 zsinh2 z=1
(24)
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Wahl eines speziellen Koordinatensystems (Ursprungslage):
x
y
A
B
H
f
x0 = 0
y0 = H
y0 = 0
y(x) = H
+ H
cosh(
Hx) 1
y(x) = H
cosh(
Hx) Kettenlinie= Kurve des Seils unter Eigengewicht (25)
Bestimmung von H:
aus (8): L=
xBx=xA
1 +y2(x)dx (25)=xB
xA
1 + sinh2(Hx)dx=
xBxA
cosh(
Hx)dx=
H
sinh(
HxB) sinh(
HxA)
(26)
Transzendente Gleichung, aus der Hbei gegebenem Lnumerisch ermittelt werden kann.
Analytische Nherungslsung:
Annahme: straff gespanntes Seil (= flach durchhngende Kette) mit:
y(x) 1, d. h. sinh(H
x) H
x 1
Mit der Reihenentwicklung
cosh u = 1 + u2
2! +
u4
4! +
u6
6! . . . 1 + u
2
2!
folgt aus (25) nherungsweise:
y(x) = H
+
2Hx2 Kurve des straff gespannten Seiles unter Eigengewicht (27)
Das straff gespannte Seil hngt unter Eigengewicht nherungsweise parabelfrmig durch (vgl.konstantes q(x) unter 7.2.1).
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Mit (27) folgt aus (8), wie auch aus (26) unter Verwendung von sinh u u+ u33!
:
L= (xB
xA) + 2
6H2(xB
3
xA
3)
H= 6
xB3 x3AL(xB xA) (28)
Berechnung des Durchhangs f(von Aufhngung A aus):
f=y(xA) y(0) (siehe Bild) (29)
Fr die Kettenlinie (ohne Nherung):
(25) f= H
cosh(
HxA) 1
mit Haus (26) (30)
Fr das straff gespannte Seil (nherungsweise):
(27) f= 2H
xA2 mit Haus (28) (31)
Zusatz: Seilkraft
(6): S(x) =H
1 +y2(x)
Fr Kettenlinie:
S(x) (25)
= H
1 + sinh2(
Hx) =Hcosh(
Hx)
(25)= y(x) (32)
Smax = ymax,d.h. die grte Seilkraft tritt bei xA oder xB auf (Lager!) mit
ymax
= max{
yA
, yB}
Fr straff gespanntes Seil:
S(x) (27)
= H
1 +
2
H2x2 =
H2 +2x2
(28)=
xB3 xA3
6(L (xB xA))+x2 (33)
Smax tritt an den Rndern, d.h. in einem der Lager auf, also in xA oder xB.Fr ein symmetrisch aufgehngtes Seil mit
y(xA) =y(xB) und xB
xA=l, d.h. xA =
l2
und xB= l2
, folgt aus (33):
Smax= S( l2
) =S(l
2) =
l
2
1 +
l
6(L l) (vgl. (18)) (34)
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Technische Mechanik IKapitel 7: Seilstatik 7
Beispiel: Freileitung
x
y
A B
f
l
L
Geg.:
= 120 Nm
l = 100mL = 110m
Ges.: Durchhang f, maximale Seilkraft Smax (mit Nherung)
(31) f = 2H
x2A,B =
2H( l
2)2 =
l2
8H
(28) H = 6
( l2
)3 ( l2
3)
L
( l2
+ l2
) = l
2
6 l
L
l
f =
3
8l(L l) (vgl. (18))
f =
375m 19, 4 m
H 7746N 7, 7 kN
(34) Smax = l2
1 +
l
6(L l) 9788N 9, 8 kN
Bemerkung:
|ymax| =|y(l
2)|
H
l
2 0, 77
|ymax| 1 ist nicht sehr gut erfllt, dennoch ist die Nherung sehr brauchbar.
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Technische Mechanik IKapitel 7: Seilstatik 8
Hngende Kette. Gateway Arch, St. Louis, MO, USA.
7.2.3 Seil unter Einzelkraftbelastung
Einzelkrfte sind gro im Vergleich zur Gewichtskraft des Seils q(x) 0
x
yA B
f
l
L
F
Durchhang: Aus der Geometrie erhlt man fr das undehnbare Seil
f2 +
l
2
2=
L
2
2 f=1
2
L2 l2 (35)
Seilkurve:
(5) Hy(x) =q(x) = 0 y(x) = 0 y(x) =C1x+C2 (36)Fr das gewhlte Koordinatensystem gilt:
y(0) = 0 und y
l
2
= y
l
2
= f (37)
Aus (36) und (37) folgt mit (35):
y(x) = L2l2
1 |x| (38)
Die Seilkurve besteht also aus zwei Geraden ( bzw. aus mehreren Geraden im Falle mehrerer Einzel-krfte)
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Technische Mechanik IKapitel 7: Seilstatik 9
Seilkraft:
A B
f
F
L2
L2
S S
l
Krftegleichgewicht: 2Scos = F
Geometrie: cos = fL2
=2f
L
S = F l4f
(39)
(39) mit (35) : S= F
2
LL2
l2
=F
2
1
1 l2L2(40)
Fr l L : S Fr l = L : S = F
2
Zusatz: Fr den Horizontalzug H folgt aus der Geometrie:
H=Ssin ; sin = l
L H=S
l
L (41)
H= F2
lL2 l2 (42)
Bemerkung: (41) folgt auch aus (5) mit y2(x) = L2
l2 1 aus (38).