3. Übung

Aufgabe 0.1 Bilden Sie den Di�erenzenquotienten für die folgenden Funktio-nen und berechnen Sie dessen Grenzwert an der angegebenen Stelle anhand derDe�nition!

a) f(x) =√

x an der Stelle x = 4

b) f(x) = tgx an der Stelle x = π4

c) f(x) = 1x an der Stelle x = 3

Beispiel: Wenn f(x) = x + 1x , dann ist der Di�erenzenquotient:

f(x + h)− f(x)h

=

(x + h + 1

x+h

)−

(x + 1

x

)h

= 1− 1x(x + h)

Der Grenzwert des Di�erenzenquotienten ist die Ableitung (oder Di�erentialquo-tient) der Funktion f :

f ′(x) = limh→0

f(x + h)− f(x)h

= limh→0

1− 1x(x + h)

= 1− 1x2

Ist eine Stelle, z.B. x = −2 vorgeschrieben, so kann sie eingesetzt werden:

f ′(−2) = 1− 1(−2)2

=34.

Aufgabe 0.2 Bestimmen Sie die Ableitungfunktion folgender Funktionen!

a) f(x) = |x2 − 1| b) f(x) =√|x| c) f(x) = |3x− 1| − x

Beispiel: Wenn f(x) = |2x + 4| + 3x, dann schreibt man diese Funkion nachder De�nition des Betrags als

f(x) ={−(2x + 4) + 3x = x− 4 falls x < −2(2x + 4) + 3x = 5x + 4 falls x ≥ −2

Wir haben also

f ′(x) ={

(x− 4)′ = 1 falls x < −2(5x + 4)′ = 5 falls x > −2

bzw. an der Stelle x = −2 ist f(x) = |2x + 4|+ 3x nicht di�erezierbar.

Aufgabe 0.3 Bestimmen Sie f ′(x) mit Hilfe der Ableitungsregeln!

a) f(x) = 3x3 − x2 + 2x− 1

b) f(x) = (x + 1)(x2 + 2x)

c) f(x) = x2 − 1x

d) f(x) = (x2 − x) sinx

1

e) f(x) =√tgx

f) f(x) = x−2x2−2x

g) f(x) = sin2 xcos x

h) f(x) = arctg(√

x− 1)

i) f(x) = 21x

j) f(x) = ln√

x2 − 2x + 1

Beispiel:Wenn f(x) = 3

√x4 − 3x7 − 1

4x2 , dann

f ′(x) =(

x43 − 3x7 − 1

4x−2

)′=

43x

13 −3·7x6− 1

4·(−2)x−3 =

4 3√

x

3−21x6+

12x3

Wenn f(x) = x2

5−3x , dann nach der Quotientenregel für die Ableitung:

f ′(x) =(x2)′(5− 3x)− (x2)(5− 3x)′

(5− 3x)2=

2x(5− 3x)− (x2)(−3)(5− 3x)2

=10x + 3x2

(5− 3x)2=

Wenn f(x) = arcsin(√

1− x2), dann nach der Kettenregel für die Ableitung:

f ′(x) =1√

1− (√

1− x2)2·(

√1− x2)′ =

1x· 12√

1− x2·(1−x2)′ =

12x√

1− x2·(−2x) =

−1√1− x2

2