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Value at Risk

Seminararbeit

vorgelegt am 27. Februar 2018

ausgefuhrt am Institut fur Finanz- undVersicherungsmathematik der technischen Universitat

Wien

Name: Sandra RadlMatrikelnummer: 01527137Betreuer: Ao. Univ. Prof. Dr. Stefan Gerhold

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Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 2

2 Definition 22.1 Zeithorizont . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3 Berechnunngsmethoden 33.1 Historische Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.2 Modellbildungsansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.2.1 Lineares Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.2.2 Quadratisches Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2.3 Monte-Carlo-Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.3 Vergleich der Ansatze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.4 Zusammenfassen von Marktvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.4.1 Cahs Flow Mapping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4 Stress Testing 19

5 Back Testing 19

6 Kritik 206.1 Verlust im (100-x)%-Quantil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

6.1.1 Expected Shortfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

7 Zusammenfassung 22

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1 Einleitung

“Some risks that are thought to be unknown, are not unknown. With someforesight and critical thought, some risks that at first glance may seem

unforeseen, can in fact be foreseen. Armed with the right set of tools, procedures,knowledge and insight, light can be shed on variables that lead to risk, allowing us

to manage them.” 1

Ein moglicher Weg um Aufschluss uber die Risikosituation zu erhalten ist die Be-rechnung des Value at Risks, womit sich die vorliegende Arbeit beschaftigt. AlsHauptquelle diente das Werk [?]

”Optionen, Futures und andere Derivate”, ver-

fasst von John C. Hull.

Im zweiten Kapitel soll naher gebracht werden, worum es sich beim Value at Riskhandelt und von welchen Parametern er abhangt.Anschließend werden im dritten Kapitel, dem Hauptteil dieser Seminararbeit, dieBerechnungsmethoden vorgestellt. Den Anfang macht hierbei die historische Simu-lation, gefolgt von den Modellbildungsansatzen, wobei auf das lineare Modell, dasquadratische Modell und die Monte-Carlo-Simulation eingegangen wird. Im Zugedessen wird auf die zu beobachtende Diversifikation hingewiesen. Nach einem kur-zen Vergleich der verschiedenen Ansatze folgt das Unterkapitel

”Zusammenfassen

von Marktvariablen”, in welchem das Thema Cash Flow Mapping behandelt wird.In weiterer Folge ist eine kompakte Erklarung der Begriffe Stress Testing und BackTesting vorzufinden.Zu guter Letzt wird ein Blick auf einen der Schwachpunkte des Value at Risk, dasNichtbeachten des Verlusts im (100-x)% -Quantil, geworfen.

2 Definition

Der V alue at Risk (V aR) ist ein Maß, welches das Gesamtrisiko eines Portfoliosvon Finanzinstrumenten widerspiegelt. Ziel ist es, eine Aussage der Gestalt

”In den nachsten N Tagen werden wir zu x% nicht mehr als V Euro verlieren.”

treffen zu konnen, wobei die Variable V fur den Value at Risk steht. Man kannschon an der obigen Aussage erkennen, dass der Value at Risk von den ParameternN und x abhangt. Dabei steht N fur den Zeithorizont und x fur das Konfidenzni-veau.Der Value at Risk gibt also den Verlust an, der in N Tagen nur mit einer Wahr-scheinlichkeit von (100−x)% uberschritten wird. Anders ausgedruckt bedeutet das,dass der Value at Risk das (100−x)% -Quantil der Verteilung der Veranderung desPortfoliowertes in den nachsten N Tagen ist (ein Verlust wird hierbei als negativeVeranderung, ein Gewinn als positive Veranderung angesehen).[?, S. 556f]

1Zitat von Daniel Wagner

2

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Wenn die erwahnte Portfoliowertanderung annahernd normalverteilt ist, veran-schaulicht Abbildung ?? den Value at Risk zu einem Konvidenzniveau von (100−X)%:

Abbildung 1: Value at Risk bei normalverteilten Portfoliowertanderungen [?, S.557]

2.1 Zeithorizont

Wie bereits erwahnt wurde, ist der Value at Risk abhangig vom Konfidenzniveaux und vom Zeithorizont N. In der Praxis wird der Value at Risk aber nicht furjedes N berechnet, stattdessen berechnet man nur den Eintages-Value at Risk. Umden Value at Risk fur ein beliebiges N zu berechnen, benutzt man die Formel

N − TagesV aR = Eintages− V aR ∗√N.

Diese Formel ist auch unter dem Namen”Wurzel − Zeit− Formel” beziehungs-

weise”Sqaure root of time”Regel bekannt. [?, S. 558]

Ein Grund fur diese Vorgehensweise ist, dass die direkte Schatzung der Wertanderungenuber einen langeren Zeitraum aufgrund von zu wenig vorhandenen Daten in vielenFallen nicht beziehungsweise nur sehr schwer moglich ist.[?, S. 558]

Es sei jedoch bemerkt, dass die erwahnte Formel nicht immer exakt ist. Fallsdie Wertanderungen des Portfolios von aufeinander folgenden Tagen unabhangigvoneinander und identisch verteilt sind, ist sie exakt, ansonsten stellt sie nur eineNaherung dar.[?, S. 558]

3 Berechnunngsmethoden

3.1 Historische Simulation

Eine beliebte Methode zur Bestimmung des Value at Risks ist die sogenannte

”historische Simulation”. Wie der Name schon vermuten lasst, beruht diese Me-

thode auf der Verwendung von historischen Daten, um einen Richtwert fur die

3

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zukunftigen Wertanderungen zu berechnen.

Angenommen man mochte den Eintages-Value at Risk eines bestimmten Port-folios zu einem Konfidenzniveau von 95 Prozent berechnen und hat Zugang zu denMarktdaten der letzten 501 Tage, dann wird folgendermaßen vorgegangen [?, S.559]:

• Zu Beginn mussen jene Marktvariablen (darunter versteht man zum BeispielAktienkurse, Wechselkurse, Zinssatze oder Ahnliches) identifiziert werden,welche einen Einfluss auf das Portfolio haben.

• Im nachsten Schritt untersucht man die Veranderungen der beeinflussendenVariablen in den vergangenen 501 Tagen. Daraus ergeben sich 500 moglicheSzenarien fur die Entwicklung der Marktvariablen von heute auf morgen.Im ersten Szenario entspricht die prozentuelle Anderung der Marktvariablenvon heute auf morgen der prozentuellen Veranderung der Marktvariablenvon Tag 0 auf Tag 1 unserer historischen Daten, Szenario 2 entspricht einerprozentuellen Wertanderung wie von Tag 1 auf Tag 2 usw.

• Anschließend berechnet man fur jedes Szenario die Wertanderung des Port-folios von heute auf morgen. Dadurch erhalt man eine Wahrscheinlichkeits-verteilung fur die tagliche Portfoliowertanderung.

• Anhand dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung kann man nun das gewunschteQuantil berechnen. Die funfundzwanzigschlechteste tagliche Wertanderunggibt bei Verwendung der Daten der 501 letzen Tage das 5 %-Quantil derVerlustverteilungsfunktion, also den gesuchten Value at Risk. Wurde mansich fur das 1 %-Quantil, also fur ein Konfidenzniveau von 99%, interessie-ren, musste man die funftschlechteste Wertanderung auswahlen usw. Vor-ausgesetzt die Wertanderungen der letzten 501 Tage sind ein gutes Indiz furdie Wertanderung von heute auf morgen konnen wir uns also zu 95 % si-cher sein, dass der Verlust nicht hoher als die funfundzwanzigstschlechtesteWertanderung ist. Diese Annahme trifft in der Praxis jedoch durchaus nichtzu.

Die Tabellen ?? und ?? sollen die oben beschriebene Methodik anhand eines Bei-spiels veranschaulichen.

In Tabelle ?? befinden sich die historischen Daten, man kann ihr also die Wer-te jeder Marktvariable an jedem der 501 vergangenen Tage entnehmen, wobei dieMarktvariablen jeden Tag zu einem bestimmten Zeitpunkt, meistens zu Handels-schluss, beobachtet werden [?, S. 559]. Tag 0 ist der erste Tag, von welchem wirDaten besitzen, Tag 1 der zweite usw. Tag 500 ist der heutige Tag, Tag 501 stehtfur morgen.

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Tag Marktvariable 1 Marktvariable 2 . . . Marktvariable N0 15,66 1,03 . . . 90,511 15,85 1,07 . . . 94,022 16,12 1,04 . . . 93,583 15,93 1,09 . . . 93,27...

......

......

498 17,75 1,45 . . . 89,73499 17,98 1,51 . . . 90,01500 18,32 1,48 . . . 89,76

Tabelle 1: Historische Daten der letzten 501 Tage

Tabelle ?? enthalt die Marktvariablenwerte und Portfoliowerte fur morgen furjedes mogliche Szenario bzw. die zugehorige Portfoliowertanderung von heute aufmorgen. Sei v(n,i) der Wert der n-ten Marktvariable an Tag i, dann lasst sich dermorgige Wert der Marktvariable n im i-ten Szenario mithilfe der Formel

v(n,501) = v(n,500) ∗v(n,i)v(n,i−1)

berechnen [?, S. 559]. Der morgige Wert der ersten Marktvariablen im ersten Sze-nario ist also

v(1,501) = v(1,500) ∗v(1,1)v(1,0)

= 18, 32 ∗ 15, 85

15, 66= 18, 54.

Analog berechnet man die anderen Werte der Tabelle ??. Mit den gegebenenMarktvariablen kann man nun den Portfoliowert fur die einzelnen Szenarien be-rechnen. In diesem Beispiel gehen wir davon aus, dass unser Portfolio heute, al-so an Tag 500, einen Wert von 50,32 Mio. Euro hat, damit lasst sich auch dieWertanderung bestimmen.

Szenario Markt- Markt- . . . Markt- Portfolio- Wert-variable 1 variable 2 variable N wert anderung

in Mio. e in Mio. e1 18,54 1,53 . . . 93,24 36,61 -13,712 18,63 1,44 . . . 89,34 55,72 +5,403 18,10 1,55 . . . 89,46 50,64 +0,32...

......

......

......

499 18,55 1,54 . . . 90,04 54,45 +4,14500 18,66 1,45 . . . 89,51 55,67 + 5,35

Tabelle 2: Szenarien fur die Marktwerte bzw. Portfoliowerte am Tag 501

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Mochten wir nun den Eintages-Value at Risk zu einem Konfidenzniveau von 95Prozent bestimmen, wahlen wir den funfundzwanzigschlechtesten Wert der letztenSpalte von Tabelle ??.

Am nachsten Tag, an Tag 501, kann man der Tabelle ?? die neuen Werte fur dieMarktvariablen an Tag 501 hinzufugen, dafur streicht man die Daten von Tag 0.Man hat also wieder die Werte der letzten 501 Tage zur Berechnung des Value atRisks zu Verfugung und kann nach dem gleichen Schema wie oben vorgehen. AnTag 521 wurde man die Werte von Tag 21 bis 521 benutzen usw.[?, S. 561]

3.2 Modellbildungsansatz

Die Hauptalternative zur historischen Simulation bildet der Modellbildungsansatz.Da im Folgenden immer wieder der Begriff Volatilitat vorkommt, soll zuerst geklartwerden, worum es sich hierbei uberhaupt handelt.

Volatilitat

Die Volatilitat σ eines Assets ist ein Maß fur die Unsicherheit der zukunftigenWertanderungen des Assets. Je hoher die Volatilitat, desto wahrscheinlicher ist es,dass ein Asset stark an Wert verliert oder gewinnt. Die Volatilitat kann auch alsStandardabweichung der prozentualen Anderung des Assetpreises definiert werden.[?, S. 259]

Ublicherweise wird die Volatilitat als Volatilitat pro Jahr angegeben. Aus demKapitel Definition wissen wir aber bereits, dass bei der Berechnung des Value atRisks die Einheit fur die Zeit Tage sind. Um bei gegebener Volatilitat pro Jahr dieVolatilitat pro Tag zu bestimmen, kann man unter der Annahme, dass ein Jahr252 Handelstage hat die Formel

σTag =σJahr√

252

benutzen, die tagliche Volatilitat betragt damit etwa 6 Prozent der jahrlichenVolatilitat. [?, S. 561] Wenn im Weiteren von der Volatilitat gesprochen wird, istdamit stets die Standardabweichung der prozentualen Anderungen des Assetpreisesan einem Tag gemeint.

3.2.1 Lineares Modell

Einfuhrungsbeispiel

Um die Idee des linearen Modells naher zu bringen, soll dieses zuerst anhandvon zwei einfachen Beispielen erklart werden.

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Ein-Asset-Fall

Angenommen, wir haben ein Portfolio bestehend aus einer einzelnen Position ineiner einzelnen Aktie und mochten fur dieses Portfolio den Funftages-Value at Riskzu einem Konifidezniveau von 99 Prozent bestimmen. Wir mochten also wissen,welche Verlusthohe wir in den nachsten 5 Tagen zu 99 Prozent nicht uberschreiten.Bei der Aktie soll es sich um die Erste Group Bank Aktie handeln und das Portfo-lio soll einen Ausgangswert von 10 Millionen Euro haben. Zuerst werden wir denEintages-Value at Risk bestimmen und dann mithilfe der Wurzel-Zeit-Formel denFunftages-Value at Risk berechnen.

Angenommen, die Volatilitat pro Jahr der Erste Group Bank Aktie betragt 22, 11%[?]. Die Volatilitat pro Tag betragt dann

σTag =σJahr√

252=

0, 2211√252

= 0, 01392799 = 1, 39%.

Die Standardabweichung der taglichen Wertanderung des Portfolios betragt dem-nach 1,39 Prozent von 10 Millionen Euro, also 139.280 Euro.

Fur die nachsten Schritte nehmen wir an, dass die erwartete Wertanderung nullbetragt (dies trifft zwar nicht exakt zu, ist aber eine durchaus vernunftige Annah-me, deshalb trifft man diese Annahme beim Modellbildungsansatz meist).Daruber hinaus sei angenommen, dass die Wertanderung normalverteilt ist, wasdie Berechnung des Value at Risks um einiges einfacher macht, da diese Vertei-lung bekanntermaßen gut erforscht ist und wir beispielsweise auf die Wertetabelleder Standardnormalverteilung zuruckgreifen konnen.[?, S. 562] Dieser zufolge giltN(−2, 33) = 0, 01. Das bedeutet, dass der Wert einer normalverteilten Variablezu einem Prozent um mehr als 2,33 Standardabweichungen sinkt oder anders aus-gedruckt, dass der Wert der Variable zu 99 Prozent um nicht mehr als 2,33 Stan-dardabweichungen sinkt. Angewendet auf unser Beispiel bedeutet das, dass derWert der Erste Bank Aktie innerhalb eines Tages zu 99% nicht um mehr als das2,33-fache der Standardabweichung sinken wird. Somit betragt der Eintages-Valueat Risk unseres Portfolios

2, 33 ∗ 139.280 = 324.522, 22e.

Aus der Wurzel-Zeit-Formel folgt daher, dass der Funftages-Value at Risk derErste Bank Aktie zu einem Konfidenzniveau von 99 Prozent

5− TagesV aR = EintagesV aR ∗√

5 = 324.522, 22 ∗√

5 = 725.653, 67e

betragt.

Da dies im Abschnitt Diversifikationseffekt noch benotigt wird, berechnen wirnach dem selben Schema den Funftages-Value at Risk eines Portfolios bestehend

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aus RBI Aktien mit einem Portfolioausgangswert von 5 Mio. Euro. Angenommen,die Volatilitat pro Jahr betragt 29,71 Prozent [?], dann betragt die Volatilitat proTag

σTag =σJahr√

252=

0, 2971√252

= 0, 01871554 = 1, 87%.

Sei wieder vorausgesetzt, dass die Wertanderung der Aktie normalverteilt ist, dannbetragt der Eintages Value-at Risk zu einem Konfidenzniveau von 99%

2, 33 ∗ 93.577 = 218.036, 04 e

und der Funftages-Value at Risk zu einem Konfidenzniveau von 99 % folglich

5− TagesV aR = EintagesV aR ∗√

5 = 218.036, 04 ∗√

5 = 487.543, 41 e.

Zwei-Asset-Fall

Nun betrachten wir ein Portfolio, welches aus zwei Positionen besteht, namlich10 Mio. Euro in Erste Group Bank Aktien und 5 Mio. Euro in RBI Aktien. Wirnehmen an, dass die Wertanderungen der beiden Aktien zweidimensional normal-verteilt sind und einen Korrelationskoeffizienten von 0,4 besitzen. Aus der Statis-tik wissen wir bereits, dass fur zwei Großen X und Y mit Standardabweichung σXbzw. σY und einem Korrelationskoeffizienten ρ die Standardabweichung von X+Ygemaß der Formel

V ar(X, Y ) = V ar(X) + V ar(Y ) + 2 ∗ Cov(X, Y )

⇒ σX+Y =√σ2X + σ2

Y + 2ρσXσY

berechnet werden kann. [?, S. 562]

Dieses Ergebnis mochten wir nutzen, um die Standardabweichung der Wertanderungunseres Portfolios, also der Summe der Erste Group Bank Aktien und der RBI Ak-tien, zu berechnen. Dabei bezeichne σE die Standardabweichung der Wertanderungder Erste Group Bank Aktien und σR die Standardabweichung der Wertanderungder RBI Aktien. Aus dem vorherigen Beispiel wissen wir bereits, dass

σE = 139.280 e σR = 93.577 e.

Somit betragt die Standardabweichung der Wertanderung des Portfolios an einenTag

σE+R =√σ2E + σ2

R + 2ρσEσR

=√

139.2802 + 93.5772 + 2 ∗ 0, 4 ∗ 139.280 ∗ 93.577

= 196.423, 77 e.

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Mochten wir nun wiederum den Funftages-Value at Risk zu einem Konfidenzniveauvon 99 Prozent berechnen, berechnen wir mit

2, 33 ∗ 196.423, 77 = 457.667, 38 e

zuerst den Eintages-Value at Risk und anschließend mithilfe der Wurzel-Zeit-Formel

5− TagesV aR = EintagesV aR ∗√

5 = 457.667, 38 ∗√

5 = 1.023.375, 37 e

den gewunschten Funftages-Value at Risk.

Diversifikationseffekt

Wirft man erneut einen Blick auf die Ergebnisse der vorherigen Beispiele

• Der Funftages-Value at Risk eines Portfolios von 10 Mio. Euro in Erste GroupBank Aktien zu einem Konfidenzniveau von 99 Prozent betragt 725.653,67Euro.

• Der Funftages-Value at Risk eines Portfolios von 5 Mio. Euro in RBI Aktienzu einem Konfidenzniveau von 99 Prozent betragt 487.543,41 Euro.

• Der Funftages-Value at Risk eines Portfolios von 10 Mio. Euro in Erste GroupBank Aktien und 5 Mio. Euro in RBI Aktien zu einem Konfidenzniveau von99 Prozent betragt 1.023.375,37 Euro.

so kann man erkennen, dass die Summe der Value at Risks der Ein-Asset-Beispielenicht dem Value at Risk des Zwei-Asset-Beispiel entspricht. Dieses Phanomen be-zeichnet man auch als Diversifikation. Der monetare Nutzen der Diversifikationbetragt in userem Beispiel

(725.653, 67 + 487.543, 41)− 1.023.375, 37 = 189.821, 71 e.

Waren die beiden Aktien perfekt positiv korreliert, das heißt wurde der Korrelati-onskoeffizient 1 betragen, konnte man keine Diversifikation beobachten. Je naherder Korrelationskoeffizent bei -1 liegt (perfekt negativ korreliert), desto starker istder Effekt der Diversifikation. [?, S. 564]

Die Diversifikation fuhrt also dazu, dass das Risiko minimiert wird, wobei dieRendite gleicht bleibt, man kann also die Rendite pro Einheit an eingegangenemRisiko erhohen. [?, S. 924]

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Einer der ersten Forscher, der die Vorteile der Diversifikation fur Portfolio-Manageruntersuchte war der US-amerikanische Okonom Harry Markowitz, im Jahre 1952wurde im Journal

”The Journal of F inance” sein Artikel

”Portfolio Selection”

veroffentlicht. Fur seine Untersuchungen erhielt er im Jahre 1990 den Wirtschafts-nobelpreis. [?, S. 564]

Allgemeine Formulierung des linearen Modells

Es bezeichne P den Wert eines Portfolios bestehend aus n Assets. Dabei wur-de in Asset i (1 ≤ i ≤ n) der Betrag αi angelegt. ∆xi steht fur die Rendite desi-ten Assets an einem Tag. Die Wertanderung des Teiles unseres Porfolios, welchesaus den Investitionen in Asset i besteht, betragt an einem Tag also αi∆xi. Fur dasgesamte Portolio folgt daher

∆P =n∑

i=1

αi∆xi.

In unseren Beispiel wurden 10 Mio. Euro in die Erste Group Bank Aktie und 5Mio. Euro in die RBI Aktie investiert, angenommen die Einheit der αi sei MillionenEuro, dann waren α1 = 10 und α2 = 5 und demnach

∆P = 10∆x1 + 5∆x2.

Wie bereits in den Beispielen nehmen wir auch nun an, dass die ∆xi mehrdi-mensional normalverteilt sind und Erwartungswert null haben. Dann ist auch ∆Pnormalverteilt mit Erwartungswert null. Um den Value at Risk unseres Porfolioszu ermitteln, mussen wir nun nur noch die Standardabweichung von ∆P berech-nen. Zu diesem Zweck definieren wir σi als die tagliche Volatilitat des i-ten Assets,also die Standardabweichung von ∆xi, und ρij als den Korrelationskoeffizientenzwischen den Renditen von Asset i und Asset j, also den Korrelationskoeffizientenzwischen ∆xi und ∆xj. Fur die Varianz σ2

P von ∆P gilt dann

σ2P =

n∑i=1

n∑j=1

ρijαiαjσiσj

was umgeformt werden kann zu

σ2P =

n∑i=1

α2iσ

2i + 2

n∑i=1

∑j<i

ρijαiαjσiσj.

Ist die Standardabweichung von ∆P bekannt, kann man mithilfe der Wertetabelleder Standardnormalverteilung und der Wurzel-Zeit-Formel problemlos den Valueat Risk berechnen. [?, S. 564f]

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Fur das Beispiel aus dem Abschnitt”Zwei−Asset−Fall” wurde gelten α1 = 10,

α2 = 5, σ1 = 0, 0139, σ2 = 0, 0187 und ρij = 0, 4. Fur die Varianz von ∆P ergibtsich in diesem Fall also

σ2P =

2∑i=1

α2iσ

2i + 2

2∑i=1

∑j<i

ρijαiαjσiσj

= 102 ∗ 0, 01392 + 52 ∗ 0, 01872 + 2 ∗ 0, 4 ∗ 10 ∗ 5 ∗ 0, 0139 ∗ 0, 0187

= 0, 038582

⇒ σP = 0, 196424 Mio. e.

Der Funftages-Value at Risk zu einem Konfidenzniveau von 99 Prozent betragtalso

2, 33 ∗ 0, 196424 ∗√

5 = 1, 023375 Mio. e.

Dies stimmt mit dem Ergebnis aus dem vorherigen Abschnitt uberein.

Anwendungen

Am Besten geeignet ist das lineare Modell zur Value at Risk-Berechnung von Port-folios, welche ausschließlich Aktien, Anleihen, Wahrungen und Rohstoffe beinhal-ten, da in diesem Fall die Anderung des Portfoliowertes linear von der prozentualenAnderung der Assets abhangt. [?, S. 566]

Forward-Kontrakte

Eines der wenigen Derivate, fur welches das lineare Modell gut geeignet, ist derForward-Kontrakt zum Kauf einer Wahrung. Unter einem Forward-Kontrakt ver-steht man eine Vereinbarung, ein gewisses Gut zu einem bestimmten Zeitpunktund einem im Vorhinein vereinbarten Kurs zu kaufen beziehungsweise zu verkau-fen. Wird der Forward-Kontrakt zum Zeitpunkt T fallig, kann er als Austausch voneinem Zerobond mit Laufzeit T in Fremdwahrung gegen einen Zerobond mit Lauf-zeit T in inlandischer Wahrung betrachtet werden. Er ist also die Zusammenset-zung einer Long-Position in einer Fremdwahrungsanleihe und einer Short-Positionin einer inlandischen Anleihe und der Value at Risk kann demnach gut mit demlinearen Modell berechnet werden.[?, S. 566]

Optionen

Betrachten wir nun ein Portfolio, welches aus Optionen auf eine einzelne Aktiebesteht. Im Weitern wird auf das Options-Delta Bezug genommen. Darunter ver-steht man das Verhaltnis der Anderung des Optionspreises zur Anderung des zu-grundeliegenden Aktienkurses, also die Sensitivitat des Portfoliowerts gegenuber

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der Aktienpreisanderung oder die parteille Ableitung des Portfoliowerts nach demAssetpreis. Es gilt naherungsweise

δ =∆P

∆S∆P = δ ∗∆S

wobei ∆P die absolute Anderung des Portfoliowerts an einem Tag und ∆S dieabsolute Anderung des Aktienpreises an einem Tag bezeichnet. Sei ∆x als dieprozentuelle Anderung des Aktienpreises an einem Tag definiert, also

∆x =∆S

S.

Fur die absolute Portfoliowertanderung folgt somit

∆P = S ∗ δ ∗∆x.

Besteht das Portfolio nun aus Optionen auf n Marktvariablen, ergibt sich folglichdie Beziehung

∆P =n∑

i=1

Si ∗ δi ∗∆xi.

Si bezeichnet hierbei den Wert der Marktvariablen i und δi die Sensitivitat desPortfoliowerts gegenuber der Marktvariablen i. Definiert man nun

αi := Si ∗ δi

erhalt man die bereits aus dem Abschnnitt”Allgemeine Formulierung des linearen

Modells”bekannte Formel

∆P =n∑

i=1

αi ∗∆xi.

Somit kann mithilfe der bereits oben erwahnten Formel

σ2P =

n∑i=1

α2iσ

2i + 2

n∑i=1

∑j<i

ρijαiαjσiσj

die Standardabweichung und folglich der Value at Risk berechnet werden.[?, S.567]

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3.2.2 Quadratisches Modell

Das lineare Modell liefert im Falle eines Portfolios mit Optionen nur eine Ap-proximation des Value at Risks, da das Gamma der Option außer Acht gelassenwird. Dabei handelt es sich um die Sensitivitat des Portfolio-Deltas gegenuberdem Assetpreis, also die zweite parteille Ableitung des Portfoliowerts nach demAsset-Preis. Gamma gibt somit die Krummung des Portfoliowerts gegenuber deszugrundeliegenden Assetpreises an. [?, S. 311, S.449, S. 568]

Die Abhangigkeit der Portfoliowert-Wahrscheinlichkeitsverteilung von Gamma sollin Abbildung ?? veranschaulicht werden.

Abbildung 2: Portfoliowert-Wahrscheinlichkeitsverteilung fur (a) positives Gamma(b) negatives Gamma [?, S. 569]

Es ist zu beobachten, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung bei positivem Gammatendenziell rechtsschief und bei negativen Gamma tendenziell linksschief ist. Furdie Berechnung des Value at Risks eines Portfolions ist der tail loss, also der Ver-lust am

”linken Rand” der Wahrscheinlichkeitsverteilung von großer Bedeutung.

Verwendet man beispielsweise ein Konfidenzniveau von 99 Prozent, ist der Valueat Risk jener Wert am linken Rand der Verteilung, unter welchem sich nur einProzent der Verteilung befindet. Bei positivem Gamma befindet sich, wie Abbil-dung ?? (a) zu entnehmen ist, weniger Wahrscheinlichkeitsmasse im linken Randals bei einer Normalverteilung. Gehen wir nun dennoch davon aus, dass die Port-foliowertanderung normalverteilt ist, werden wir einen tendenziell zu hohen Valueat Risk berechnen. Bei einem negativen Gamma werden wir im Gegensatz dazuaufgrund der hoheren Wahrscheinlichkeitsmasse im linken Rand tendenziell einenzu niedrigen Value at Risk berechnen.[?, S. 569f]

Den Grund fur die Rechtsschiefheit der Portfoliowert-Wahrscheinlichkeitsverteilungbei positiven Gamma soll Abbildung ?? verdeutlichen. Hier wird der Zusammen-hang zwischen dem Wert einer Longposition in einer Kaufoption (positives Gam-ma) und dem zugrundeliegenden, normalverteilten Underlying gezeigt. Man kannerkennen, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Optionspreises, wie wie wires erwartet haben, rechtsschief ist. Analoge lasst sich am Beispiel des Short Callsdie Linksschiefheit bei negativem Gamma erklaren.

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Abbildung 3: Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Long Calls bei normalverteiltemUnderlying [?, S. 569]

Es ist nun naheliegend, fur eine genauere Schatzung des Value at Risks neben Deltaauch Gamma zu berucksichtigen. Betrachten wir also ein Portfolio aus Optionen,welches von einem einzigen Asset mit Preis S abhangt, δ und γ seinen hierbei Deltaund Gamma des Portfolios. Fur die absolute Anderung ∆P des Portfoliowerts giltdann naherungsweise

∆P = δ ∗∆S +1

2∗ γ ∗ (∆S)2.

Diese kann mittels Taylorreihen-Entwicklung der Anderung des Portfolio-Wertesgezeigt werden worauf im Zuge dieser Arbeit jedoch nicht naher eingegangen wer-den soll. Definiert man

∆x :=∆S

S

lasst sich dies umformen zu

∆P = S ∗ δ ∗∆x+1

2∗ S2 ∗ γ ∗ (∆x)2.

Hangt unser Portfolio nun nicht nur von einer Marktvariable sonder von n Markt-variablen ab, wobei jedes Asset des Portfolios nur von einer Markvariable abhangt,folgt daraus

∆P =n∑

i=1

Si ∗ δi ∗∆xi +n∑

i=1

1

2∗ S2

i ∗ γi ∗ (∆xi)2.

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Kann ein Asset des Portfolios auch von mehreren Marktvariablen abhangen, sogilt die allgemeinere Formel

∆P =n∑

i=1

Si ∗ δi ∗∆xi +n∑

i=1

n∑i=1

1

2∗ Si ∗ Sj ∗ γij ∗∆xi ∗∆xj

wobei γij fur das so genannte”Cross−Gamma”, definiert als

γij =∂2P

∂Si∂Sj

steht. Diese Gleichung kann jedoch nicht so leicht wie jene der Optionen im linearenModell auf die Form ∆P =

∑ni=1 αi ∗ ∆xi gebracht werden. Stattdessen kann

sie benutzt werden, um die Momente von ∆P zu berechnen. Die Cornish-Fisher-Entwicklung ermoglicht es dann, mithilfe der Momente das gewunschte Quantilzu berechnen, darauf soll im Zuge dieser Arbeit jedoch nicht naher eingegangenwerden. [?, S. 570f]

3.2.3 Monte-Carlo-Simulation

Ein weiterer Modellbildungsansatz zur Value at Risk Berechnung ist es, die Wahr-scheinlichkeitsverteilung von ∆P mittels Monte-Carlo-Simulation zu erzeugen. ZurBerechnung des Eintages-Value at Risks wird dabei folgendermaßen vorgegangen[?,S. 571]:

1. Zu Beginn wird das Portfolio unter Verwendung der gegenwartigen Werteder Marktvariablen bewertet.

2. Im nachsten Schritt wird ein Zufallsergebnis aus der mehrdimensionalen Nor-malverteilung der ∆xi gezogen.

3. Diese Zufallswerte werden nun zur Bestimmung aller Marktvariablenwertebenutzt.

4. Auf Grundlage dieser Marktvariablen wird das Portfolio am Tagesende neubewertet.

5. Die Differenz des Portfoliowerts im ersten Schritt und im vierten Schrittbildet nun einen moglichen Wert fur ∆P .

6. Die Schritte 2 bis 5 werden nun mehrfach wiederholt, womit man eine Wahr-scheinlichkeitsverteilung von ∆P erzeugt.

Der Value at Risk ist nun das Quantil dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung. Wur-den die Schritte 2 bis 5 beispielsweise 10.000 mal durchgefuhrt und mochte manden Eintages-Value at Risk zu einem Konfidenzniveau von 99 Prozent berechnen,wahlt man den 100-schlechtesten Wert von ∆P . Der N-Tages-Value at Risk kannmit der Wurzel-Zeit-Formel berechnet werden.

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Ein Nachteil der Value at Risk-Berechnung mittels Monte-Carlo-Simulation ist,dass diese Methode sehr aufwandig ist, da das Portfolio bei jeder Wiederholungneu bewertet werden muss, dieses kann bei großen Unternehmen aus tausendenvon Finanzinstrumenten bestehen.[?, S. 572]

3.3 Vergleich der Ansatze

Wir haben nun also zwei Methoden kennengelernt, welche zur Value at Risk-Berechung verwendet werden konnen, den Modellbildungsansatz und die histo-rische Simulation. Der Vorteil des Modellbildungsansatzes ist die schnelle Berech-nung der Ergebnisse (mit Ausnahme der Monte-Carlo-Simulation), der Hauptnach-teil hingegen, dass davon ausgegangen wird, dass die Marktvariablen eine mehrdi-mensionale Normalverteilung besitzen. In der Praxis weichen die Verteilungen derAnderungen der Marktvariablen oft stark von einer Normalverteilung ab.[?, S. 572]

Die historische Simulation punktet im Gegensatz dazu damit, dass sie den Markt-variablen keine Normalverteilung

”unterstellt”, sondern die historischen Daten

zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeitsverteilung herangezogen werden. Dafurschwachelt dieser Ansatz im Bezug auf die Aufwendigkeit und der beschranktenAussagekraft bezuglich zukunftigen Werten von vergangenen Werten.[?, S. 572]

3.4 Zusammenfassen von Marktvariablen

Die Berechnung des Value at Risks wird sehr aufwandig, wenn fur jeden Zinssatz,Aktienkurs, Wechselkurs oder ahnlichem gegenuber welchem das Unternehmenein Exposure aufweist eine eigene Marktvariable defineriert wird. Eine moglicheVereinfachung ist die Annahme, dass in der Renditkurve ausschließlich Parallel-verschiebungen auftreten, in diesem Fall musste demnach nur eine Marktvariabledefiniert werden. Da diese Methode sehr ungenau ist, ist es nicht ratsam, sie zuverwenden.[?, S. 565]

Eine genauere und daher auch ublichere Methode liefert der Ansatz, die Preiseder Zerobonds mit Standardlaufzeiten (1 Monat, 3 Monate, 6 Monate, 1 Jahr,2 Jahre, 5 Jahre, 7 Jahre, 10 Jahre und 30 Jahre) als Marktvariablen zu verwen-den. Um den Value at Risk eines Portfolios zu berechnen werden die Cashflowsder Wertpapiere dieses Portfolios analysiert und passenden standardisierten Zero-bonds zugeordnet. [?, S. 565f]

Befindet sich in unserem Portfolio beispielsweise ein Treasury Bond mit einer Lauf-zeit von einem Jahr und einem Nominalwert von 10.000 e, welcher halbjahrlich,und zwar nach 6 Monaten und nach einem Jahr, einen Kupon von 5 Prozent aus-zahlt, wird diese Position einem 6-Monats-Zerobond mit einem Nominalwert von250 e und einem Zerobond mit einer Laufzeit von einem Jahr und einer Nominalevon 10.250 e zugeordnet.

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Etwas komplizierter wird diese Zuordnung, wenn die Cashflows unseres Wertpa-pieres nicht zu

”Standardzeitpunkten” stattfinden. Ein Beispiel hierfur ware ein

Treasury Bond mit einer Laufzeit von 1,3 Jahren und einer Nominale von 10.000e, welcher nach 0, 3, 0, 8 und 1, 3 Jahren einen Kupon in Hohe von 5 Prozent aus-zahlt. Dies konnte man einem Zerobonds mit Laufzeiten von 0, 3 und 0, 8 Jahren,jeweils mit einem Nominalwert von 250 eund einem Zerobond mit einer Laufzeitvon 1,3 Jahren und einer Nominale von 10.250 ezuordnen. Da es sich bei diesenZeitpunkten nicht um Standardzeitpunkte handelt, mussen die gegeben Zerobondsnun noch passenden Standardzerobods zugeordnet werden. Die Position im Zero-bond mit einer Laufzeit von 0,3 Jahren muss durch die aquivalente Position inZerobonds mit Laufzeiten von 3 Monaten und 6 Monaten ersetzt werden, die Posi-tion im Zerobond mit einer Laufzeit von 0,8 Jahren durch die aquivalente Positionin Zerobonds mit Laufzeiten von 6 Monaten und einem Jahr und die Position imZerobonds mit einer Laufzeiten von 1,3 Jahren durch einen Zerobonds mit einerLaufzeit vom einem Jahr und zwei Jahen.Diese Methodik wird auch

”CashF lowMapping” und die Bestimmung der passen-

den Positionen in Standardzerobonds”Mapping V erfahren” genannt.[?, S. 566]

3.4.1 Cahs Flow Mapping

In diesem Abschnitt soll das Mapping Verfahren anhand des Beispiels aus demvorherigen Abschnitt naher erlautert werden. Im ersten Schritt mochten wir alsoeinem Zerobond mit einer Laufzeit von 0,3 Jahren und einem Nominalwert von 250e durch die passenden Positionen in Zerobonds mit Laufzeiten von 3 Monatenund 6 Monaten ersetzen. Davor mussen noch einige Annahmen uber die SpotRates, also die Zerobond-Zinssatze, die taglichen Anleihepreis-Volatilitaten unddie Korrelationskoeffizienten zwischen den Anleiherenditen getroffen werden, wasden Tabellen ?? und ?? zu entnehmen ist.

Laufzeit 3 Monate 6 Monate 1 Jahr 2 JahreSpot Rate in % bei jahrlicher 4,00 4,50 5,50 7,50

VerzinsungAnleihepreis-Volatilitat in % pro Tag 0,05 0,09 0,15 0,26

Tabelle 3: Spot Rate und Anleihepreis-Volatilitat

Nun wird der 0,3-Jahres-Zins, also der 3,6-Monats-Zins mittels linearer Interpola-tion zwischen dem 3-Monats-Zins und dem 6-Monats Zins ermittelt.

4, 00 + 0, 6 ∗ 4, 50− 4, 00

3= 4, 10

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Korrelation zwischen 3-monatige 6-monatige 1-jahrige 2-jahrigetaglichen Ertragen Anleihe Anleihe Anleihe Anleihe3-monatige Anleihe 1 0,9 0,6 0,36-monatige Anleihe 0,9 1 0,7 0,51-jahrige Anleihe 0,6 0,7 1 0,62-jahrige Anleihe 0,3 0,5 0,6 1

Tabelle 4: Korrelationskoeffizienten der taglichen Ertrage

Damit kann man nun den Barwert des 250 e Cash Flows, der in 0,3 Jahren anfallenwird, berechnen.

250

1, 0410,3= 247, 00 e

Wie schon die Spot Rate wird nun auch die Volatilitat interpoliert.

0, 05 + 0, 6 ∗ 0, 09− 0, 05

3= 0, 058

Sei nun α der Anteil des Barwerts, welcher auf die Anleihe mit 3 Monaten Lauf-zeit entfallt, und demnach 1 − α der Anteil des Barwerts, welcher dem 6-MonatsZerobond zugeordnet werden kann. Aus dem Abschnitt Allgemeine Formulierungdes Linearen Modells wissen wir schon, dass fur die Volatilitat σ gilt

σ2P =

n∑i=1

α2iσ

2i + 2

n∑i=1

∑j<i

ρijαiαjσiσj.

Angewendet auf unser Beispiel fuhrt das zu

0, 000582 = 0, 00052 ∗ α2 + 0, 00092 ∗ (1− α)2 + 2 ∗ 0, 9 ∗ 0, 0005 ∗ 0, 0009 ∗ α ∗ (1− α).

Diese quadratische Gleichung kann nun nach α aufgelost werden.

0, 000582 = 0, 00052 ∗ α2 + 0, 00092 ∗ (1− 2 ∗ α + α2) + 1, 8 ∗ 0, 0005 ∗ 0, 0009 ∗ (α− α2)

0 = α2 ∗ (0, 00052 + 0, 00092 − 1, 8 ∗ 0, 0005 ∗ 0, 0009)

+ α ∗ (−2 ∗ 0, 00092 + 1, 8 ∗ 0, 0005 ∗ 0, 0009)

+ 0, 00092 − 0, 000582

⇒ α1 = 0, 76559962547

α2 = 2, 47440037453

Es sollen also 76,56 Prozent des Wertes einem Zerobond mit einer Laufzeit von 3Monaten zugeordnet werden. Somit wird die Anleihe mit einer Laufzeit von 0,3

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Jahren und einem Wert von 247 e durch einen Zerobond mit einer Laufzeit von 3Monaten und einem Wert von

247 ∗ 0, 76559962547 = 189, 10 e

und einem 6-Monats-Zerobond mit einem Wert von

247 ∗ (1− 0, 76559962547) = 57, 90 e

ersetzt.Analog kann bei den Zerobonds mit einer Laufzeit von 0,8 und 1,3 Jahren vorge-gangen werden.

4 Stress Testing

Unter Stress Testing versteht man die Erstellung von Schatzungen, wie sich dasPortfolio bei den extremsten Marktbewegungen der letzten 10 bis 20 Jahren ver-halten wurde. Ein Beispiel fur solch eine extreme Marktbewegung ware die pro-zentuale Anderung der Marktvariablen in Großbritannien am 10. April 1992, alssich die Rendite fur zehnjahrige Anleihen um 7,7 Standardabweichungen bewegte.In manchen Fallen werden die zu verwendenden Szenarien auch von der Unterneh-mensfuhrung vorgegeben. [?, S. 573]

Stress Testing soll bezwecken, dass auch extreme Ereignisse, die von Zeit zu Zeitauftreten, gemaß der verwendeten Wahrscheinlichkeitsverteilung aber praktischunmoglich sind, berucksichtigt werden. Ein Beispiel hierfur ware eine Bewegungeiner normalverteilten Marktvariable um funf Standardabweichungen. Gemaß derNormalverteilung kommt es einmal in 7.000 Jahren zu solche einem Ereignis, inder Realitat lasst sich dies aber weitaus ofter, namlich circa ein- bis zweimal in 10Jahren, beobachten. [?, S. 566]

5 Back Testing

Beim Back Testing wird uberpruft, wie gut unsere Value at Risk Schatzer in derVergangenheit waren. Mochte man beispielsweise die Berechnungsmethode derEintages-Value at Risks zu einem Konfidenzniveau von 99 Prozent uberprufen,untersucht man, in wie vielen Prozent der Falle der Verlust an einem Tag denberechneten Value at Risk uberschritten hat. Geschah dies in circa 1 Prozent derFalle, scheinen unsere Berechnungen einigermaßen richtig zu sein,ist der Prozent-satz jedoch hoher, sollte man die Methodik dringend nochmals uberdenken.[?, S.566]

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6 Kritik

“The [Value at Risk model] was like a faulty speedometer, which is arguablyworse than no speedometer at all. If you place too much faith in the broken

speedometer, you will be oblivious to other signs that your speed is unsafe. Incontrast, if there is no speedometer at all, you have no choice but to look around

for clues as to how fast you are really going.” 2

Der Value at Risk ist ein in der Praxis sehr beliebtes Risikomaß, da er durchauseinfach zu verstehen ist und mit einem Wert das gesamte Risiko beschrieben wird.Man sollte sich dennoch die Frage stellen, ob der Value at Risk die beste Wahl desRisikomaßes ist, oder ob es andere, bessere Risikomaße gibt und einen Blick aufdie Schwachstellen des Value at Risks werfen.

6.1 Verlust im (100-x)%-Quantil

A 99% Value-at-Risk calculation does not evaluate what happens in the last onepercent. This is like an airbag that works all the time, except when you have a car

accident.”3

Wie schon in der Definition erwahnt, mochte man mit der Berechnung des Valueat Risks eine Antwort auf die Frage

”In den nachsten N Tagen werden wir zu x% nicht mehr als V Euro verlieren.”

finden. Infragesteller des Value at Risk kritisieren, dass nicht berucksichtigt wird,wie hoch die potentiellen Verluste im (100-x) %-Quantil sind. Dies soll anhand desfolgenden Beispiels verdeutlicht werden.[?, S. 558]

Wir betrachten zwei Portfolios A und B von Finanzinstrumenten, deren Verlust-verteilungsfunktionen in Abbildung ?? bzw. Abbildung ?? dargestellt werden.

Abbildung 4: Verlustverteilungsfunktion von Portfolio A [?, S. 557]

2Zitat von Charles Wheelan, Naked Statistics: Stripping the Dread from the Data3Zitat von David Einhorn

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Abbildung 5: Verlustverteilungsfunktion von Portfolio B [?, S. 558]

Die beiden Portfolios haben den selben Value at Risk, dennoch ist Portfolio Bum einiges riskanter, da der zu erwartende tail loss, also der Verlust

”am linken

Rand”, oder etwas exakter ausgedruckt, der zu erwartende Verlust im (100-X)%Quantil der Wertanderungsverteilungsfunktion wesentlich hoher ist als bei Portfo-lio A. Kritiker sind der Meinung, dass dies Handler dazu treiben kann, vermehrtin riskantere Portfolios, wie zum Beispiel Portfolio B, zu investieren.[?, S. 557f]

6.1.1 Expected Shortfall

Ein Risikomaß, welches auf diese Problematik eingeht, ist der Expected Shortfall,auch bekannt unter dem Namen Conditional V alue atRisk (C − V aR) oder TailLoss. Mit der Berechnung dieses Maßes mochte man eine Antwort auf die Frage

”Mit welchem Verlust kann ich rechnen, wenn der Fall eintritt, dass der Verlust

den Value at Risk uberschreitet?”

finden.[?, S. 558] In Abbildung ?? wird der Expected Shortfall veranschaulicht,wobei ein Konfidenzniveau von 95 Prozent gewahlt wurde.

Trotz seiner Schwachen ist der Value at Risk sowohl bei Aufsichtsbehorden als

Abbildung 6: Expected Shortfall [?]

auch im Managementbereich das beliebteste Risikomaß zur Bestimmung des Ge-samtrisikos. [?, S. 558]

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7 Zusammenfassung

Zusammenfassend ist zu sagen, dass der Value at Risk ein Risikomaß zur Be-stimmung des Gesamtrisiko eines Portfolios von Finanzinstrumenten ist. Mit derBerechnung des Value at Risks wird eine Antwort auf die Frage

”In den nachsten N Tagen werden wir zu x% nicht mehr als V Euro verlieren.”

gegben, wobei N fur den Zeithorizont, x fur das Konfidenzniveau und V fur denValue at Risk steht. Im Bezug auf den Zeithorizont ist die Wurzel-Zeit-Formelzu erwahnen, welche es ermoglicht, vom Eintages-VaR auf den N-Tages-VaR zuschließen.

Eine Moglichkeit zur Berechnung des Value at Risks ist die historische Simula-tion, welche auf historischen Daten basiert. Alle beeinflussenden Marktvariablenwerden auf Basis der vergangenen Wertanderungen neu bewertet, dies wird furjedes der vergangenen Szenarien wiederholt. Fur jedes Szenario wird der neuePortfoliowert bestimmt, was zu einer Wahrscheinlichkeitsverteilung der Portfolio-wertanderungen fuhrt. Um den Value at Risk zu bestimmen, muss man im letztenSchritt das passende Quantil dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung bestimmen.

Eine Alternative dazu ist der Modellbildungsansatz, bei welchem die Volatilitat,also die Standardabweichung der prozentualen Anderung des Assetpreises, vongroßer Bedeutung ist. Bei dieser Methode wird von einer Normalverteilung derPortfoliowertanderung ausgegangen. Auf deren Basis kann das gewunschte Quan-til bestimmt werden. Zu erwahnen ist hierbei der Diversifikationseffekt, welcherdie Rendite pro Einheit an eingegangenem Risiko erhoht. Das lineare Modell istam besten geeignet fur Portfolios, welche ausschließlich aus Aktien, Anleihen,Wahrungen und Rohstoffen bestehen, aber auch einige wenige Derivate, wie zumBeispiel Forward-Kontrakte, sind gut modellierbar. Generell liefert das lineare Mo-dell fur Optionen aber nur eine Naherung, da das Options-Gamma außer Acht ge-lassen wird. Ein genaueres Ergebnis liefert das quadratische Modell, welches nebendem Options-Delta auch das Options-Gamma berucksichtigt.

Den Abschluss der behandelten Modellbildungsansatze bildet die Erzeugung ei-ner Wahrscheinlichkeitsverteilung der Portfoliowertanderung mittels Monte-Carlo-Simulation. Hierbei werden Zufallsergebnisse aus der mehrdimensionalen Normal-verteilung der Wertanderung der Marktvariablen gezogen, auf Basis derer das Port-folio neu bewertet wird. Mehrfache Wiederholung fuhrt zu einer Wahrscheinlich-keitsverteilung der Portfoliowertanderung, anhand welcher das passende Quantilbestimmt werden kann.

Um die Zahl der beeinflussenden Marktvariablen in Grenzen zu halten, konnenMarktvariablen zusammengefasst werden. Ein sehr ungenaues Ergebnis liefert dieAnnahme, dass in der Renditkurve ausschließlich Parallelverschiebungen auftreten.Besser geeignet ist es, die Zerobonds mit Standardlaufzeiten als Marktvariablenzu verwenden und die Cashflows des betrachteten Portfolios den passenden Zero-bonds mit Standardlaufzeiten zuzuordnen (Cash Flow Mapping).

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Um herauszufinden, wie gut die Value at Risk Schatzer in der Vergangenheit wa-ren, greifen Unternehmen auf das so genannte Back Testing zuruck. Hierbei wirduberpruft, ob der Prozentsatz der Falle, in welchen der Verlust hoher als der Valueat Risk war, dem Konfidenzniveau entspricht.

Zusatzlich wird auch Stress Testing durchgefuhrt, wobei eine Schatzung Portfo-liowertanderung bei extremen Marktbewegungen (reale, vergangene Marktbewe-gungen oder von der Unternehmensfuhrung vorgegebene Schock-Szenarien) erstelltwird.

Ein Schwachpunkt des Value at Risks ist, dass der potentielle Verlust im (100-x)%-Quantil nicht berucksichtigt wird und Handler dadurch moglicherweise zumInvestieren in Portfolios mit hoheren tail losses ermutigt werden.Abhilfe bei diesem Problem verschafft der Expectet Shortfall, ein Risikomaß, wel-ches den erwarteten Verlust im (100-x)%-Quantil widerspiegelt.

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Abbildungsverzeichnis

1 Value at Risk bei normalverteilten Portfoliowertanderungen [?, S.557] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Portfoliowert-Wahrscheinlichkeitsverteilung fur (a) positives Gam-ma (b) negatives Gamma [?, S. 569] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Long Calls bei normalverteiltemUnderlying [?, S. 569] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4 Verlustverteilungsfunktion von Portfolio A [?, S. 557] . . . . . . . . 205 Verlustverteilungsfunktion von Portfolio B [?, S. 558] . . . . . . . . 216 Expected Shortfall [?] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Tabellenverzeichnis

1 Historische Daten der letzten 501 Tage . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Szenarien fur die Marktwerte bzw. Portfoliowerte am Tag 501 . . . 53 Spot Rate und Anleihepreis-Volatilitat . . . . . . . . . . . . . . . . 174 Korrelationskoeffizienten der taglichen Ertrage . . . . . . . . . . . . 18

Literatur

[1] John C. Hull. Optionen, Futures und andere Derivate. Pearson Studium,Martin-Kollar-Straße 10-12, D-81829 Munchen/Germany, 7., aktualisierte edi-tion, 2009. Ubersetzt von Hendrik Hoffmann, fachl. Betreuung der dt. Ubers.durch Manfred Steiner, Wolfgang Mader, Marc Wagner und Martin Wennger.

[2] https://www.finanzen.net/aktien/Erste Group Bank/Volatilitaet-Rendite,abgefragt am 19.01.2018 um 21:50.

[3] https://www.finanzen.net/aktien/RBI/Volatilitaet-Rendite, abgefragt am19.01.2018 um 22:00.

[4] http://investsolver.com/conditional-value-risk-calculator/, abgefragt am18.01.2018 um 20:00.

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