25.07.2009MV.1
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
VerhaltenVerhalten
vonvon
Maschinen und ModellenMaschinen und Modellen
25.07.2009MV.2
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
•• Geometrische RelationenGeometrische Relationen
•• Eingeschwungener ZustandEingeschwungener Zustand
•• Ohne elastische VerformungenOhne elastische Verformungen
x
yz
w
Kuka
•• Dynamische EigenschaftenDynamische Eigenschaftenohne und mit elastischen Verohne und mit elastischen Ver--formungenformungen sowie ohne und mitsowie ohne und mitthermischen Effektenthermischen Effekten
Verhalten von Maschinen
25.07.2009MV.3
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Kompensation
Elimination
Ursachen für absolute Positionierfehler
x
yz
w
1. Kinematische Parameter:1. Kinematische Parameter:(Nullage, Fluchtung und L(Nullage, Fluchtung und Läänge)nge)
2. Lage des Maschinen2. Lage des Maschinen--KS KS zum Basiszum Basis--KSKS
3. Temperatur3. Temperatur--schwankungenschwankungen
4. Gelenk4. Gelenk--elastizitelastizitäätenten
5. Element5. Element--elastizitelastizitäätenten6. Getriebefehler6. Getriebefehler
7. Lagerspiel7. Lagerspiel
8. Weggeber8. Weggeber
9. Reibung9. Reibung
10. Steuerung:10. Steuerung:(Rundungen und numerische (Rundungen und numerische Verfahrensfehler)Verfahrensfehler)
Kuka
25.07.2009MV.4
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
System
Modell
Identifika-tionsalgo-rithmus
xR
x
yR
y
yM
∆x ∆y
p Min M Mp y y p x− < >( , ) ,m r ε ε 0
x x x y y y≡ → ≡1 1t t t t t t,..., ,...,I Ic h c h
, {1,..., }i D i I∈ ∈ ⊂xx !
Dim{ } Dim{ }iI ≥y p
•• Geometrisches MaschinenmodellGeometrisches Maschinenmodell•• IdentifikationsIdentifikations--AlgorithmusAlgorithmus•• Fehlerfortpflanzung / AbschFehlerfortpflanzung / Abschäätzung der Unsicherheitentzung der Unsicherheiten•• OptimierungsmOptimierungsmööglichkeitenglichkeiten
Systemidentifikation als Minimierungsproblem I
{ }I M MMin ( , , , ) , 0ε ε< >p f p x y
25.07.2009MV.5
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
t
1( , )
,
( , )I
≡
x
x
x
J p x
J
J p x
"
t
1( , )
,
( , )I
≡
y
y
y
J p x
J
J p x
"1( , )
( , )I
≡
p
p
p
J p x
J
J p x
"
x x x y y y≡ → ≡1 1t t t t t t,..., ,...,I Ic h c h
Implizites Modell:Implizites Modell:
System Matrizen:System Matrizen:
I ( , , ) ,i i =f y p x 0 mit Dim{ } Dim{ }iI ≥y p, {1,..., } ,i D i I∈ ∈ ⊂xx !
Komposition:Komposition:
Systemidentifikation als Minimierungsproblem II
Identifizierbarkeit:Identifizierbarkeit:
25.07.2009MV.6
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
OffeneOffene
kinematischekinematische
KettenKetten
25.07.2009MV.7
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Typische Maschinen-Konfigurationen
Warnecke
25.07.2009MV.8
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
IAM, Uni Rostock
Typische Gelenke
f := degreeof freedom
25.07.2009MV.9
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
xx
yy
zz
yy
Koordinatensysteme an Werkzeugmaschinen I
Drehungen umDrehungen umKoordinatenachsenKoordinatenachsen
in einer Koordinatenin einer Koordinaten--systemebenesystemebene
Translation in Richtung derTranslation in Richtung derKoordinatenachsenKoordinatenachsen
Aktives Gelenk:Aktives Gelenk:typisch genautypisch genauein Antriebsein Antriebs--
parameterparameterpro Gelenkpro Gelenk
WerkzeugWerkzeug-- und und WerkstWerkstüückck--KOSKOS
PalettenPaletten-- und Werkzeugund Werkzeug--magazinmagazin--KOSKOS
25.07.2009MV.10
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Koordinatensysteme an Werkzeugmaschinen II
DrehmaschineDrehmaschine
Vogel
M := MaschinennullpunktW := WerkzeugnullpunktE := WerkzeugeinstellpunktT := Werkzeugträgerbezugspunkt
25.07.2009MV.11
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Vogel
M := MaschinennullpunktW := WerkzeugnullpunktE := WerkzeugeinstellpunktT := WerkzeugträgerbezugspunktR := Referenzpunkt
Koordinatensysteme an Werkzeugmaschinen III
FrFrääsmaschinensmaschinen
25.07.2009MV.12
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Kinematische Transformation I
Si
Si+1
i-tes Gelenk
SR
Ti
SG
S0
WKSRoboter-
KS
TCP
( +1)-tesGelenki
i-tesGelenk
ti
x i+1
y i+1z i+1
x i
y i z i
p := Parametervektorx := ideale Maschinenkoordinaten
3 3 3 31 1 1 1 1, mit , ,x
i i i i i i i− − − − −= + ∈ ∈ ∈r D r t D t r# # #
Koordinatentransformation (klassisch)(klassisch)
r D D D D D D r t t t t t t0 5 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 5 6= + + + + +FH IK + =− − − − − − − − − − − −I I I I I I i I I I I I I Ic hd ie je j ,
25.07.2009MV.13
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
4 4 3 3 31 11 1 1 1 1, mit , ,
1x xi i
i i i i i i− −
− − − − −
= = ∈ ∈ ∈
D tv T v T D t
0# # #
( ) ( )t tt 41 1i i i i ix y z= = ∈v r #
Homogene KoordinatentransformationHomogene Koordinatentransformation
Kinematische Transformation II
Homogene KoordinateHomogene Koordinate
r D t
0
ri i i i− − −FHGIKJ =FHG
IKJFHGIKJ
1 1 1
1 1 1=
+FHG
IKJ
− −D r ti i i1 1
1
MatrixMatrix--VektorVektor--ProduktProdukt
25.07.2009MV.14
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
⇒ = =∏T T f p xjj
( , )
Koordinatentransformation Koordinatentransformation TT bei einer kinematischen Kettebei einer kinematischen Kette
Produkte der homogenen MatrizenProdukte der homogenen Matrizen Tj
Kinematische Transformation III
VorteileVorteile
homogener Koordinatenhomogener Koordinaten
25.07.2009MV.15
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Kinematische Transformation IV
p := konstante Achsparameter des kinematischenModells
x := ideale variable Antriebskoordinaten auchideale variable Maschinenkoordinaten genannt
xS := reale variable Sensorkoordinaten der internen Wegmesssysteme bzw. reale variableMaschinenkoordinaten
25.07.2009MV.16
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
( ), ( , )P M ND W+∀ ∈ ⊆ ∃ ∈ ⊆ =f yp x y y f p x# #( , ) ( , )
∂≡ =∂x x
fJ J p x p x
x
t
2
( , )
==
= +
= + +
=
x
x
x x
x x x
x
dy J dx
y J x
y J x J x
y J x J x J x
Τ J p x F
$ $$$$ $ $$$$ $$$$ $ $$ $$$
Beweise, siehe Script Robotik.
( )
1
1
1 1
1 1 1
-1t
2
( , )
−
−
− −
− − −
=
=
= +
= + +
=
x
x
x x
x x x
x
dx J dy
x J y
x J y J y
x J y J y J y
F J p x Τ
$ $$$$ $ $$$$ $$$$ $ $$ $$$
VorwVorwäärtsrts
Positions-, Geschwindigkeits-, Beschleunigungs-, Ruck/Stoß- und Kraftverhalten
InverseInverse
Max( ) ,x t vε ε≤$ Max( ) ,x t aε ε≤$$ {1,..., }fε ∈Technische RestriktionenTechnische Restriktionen
25.07.2009MV.17
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Mechanische Übertragungsglieder
Isermann
25.07.2009MV.18
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
x x m xk k k k= +S S S0' '
Inverse linearisierte stationInverse linearisierte stationääre Sensorgleichungre Sensorgleichung
x x m xk k k kS S S= +0
Linearisierte stationLinearisierte stationääre Sensorgleichungre Sensorgleichung
NullagenfehlerNullagenfehler
NullagenfehlerNullagenfehler
SteigungsfehlerSteigungsfehler
SteigungsfehlerSteigungsfehler
Linearisierte Sensorgleichung
25.07.2009MV.19
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
J1
M1
M2
J2
ω1
ω2
Abtrieb
Antrieb ün
n= =ωω
2
1
2
1
M
M1
2
2
1
1= ωω η
J
J1
2
2
1
2
=FHGIKJ
ωω
, J J J ii
G 1 =FHGIKJ +∑2
2
1
2
1
ωω
Rotationsachse: Rotation ⇔⇔⇔⇔ Rotation
mn
nmS S1
' '= 2
1
GetriebeGetriebeüübersetzungsfehlerbersetzungsfehlerffüühren zu Sensorssteigungsfehlerhren zu Sensorssteigungsfehler
25.07.2009MV.20
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
h := Spindelsteigung
Antriebv F
Schlitten
Spindel
m
Jspω M
hs v v= = =ϕ ϕ
πω$
2
M
F
v=ω η
1
J
m
v= FHGIKJω
2
, J mv
J J ii
G 1 sp= FHGIKJ + +∑ω
2
1
Linearachse: Rotation ⇔⇔⇔⇔ Translation
m h mS S1' '=SpindelsteigungsfehlerSpindelsteigungsfehler
ffüühren zu Sensorssteigungsfehlerhren zu Sensorssteigungsfehler
25.07.2009MV.21
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
T f p= +, x m xk k kS'
S'
S0d i d ie j
Kinematische Transformation mit Sensorkoordinaten
Sensornullagenfehler undSensornullagenfehler undSensorsteigungenSensorsteigungen
kköönnen als Parameternnen als Parameterdes Modells interpretiert werden.des Modells interpretiert werden.
= =f m x p x f p x' ' '( , , , ) ( , )S'
S'
S S0
= = FH IKf p x p p' ' '( , ) ,S S' t
S' t t
t
m xk kd i d i0
25.07.2009MV.22
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
stationstationäärereKennlinieKennlinie
„Spiel“
xI
xA
xI System
Input Output
xA Mechanisches Mechanisches „„SpielSpiel““ffüührt bei einem hrt bei einem
Richtungswechsel Richtungswechsel von Krvon Krääften und ften und
Momenten zu Momenten zu Umkehrspannen bzw. Umkehrspannen bzw.
einem einem richtungsabhrichtungsabhäängigenngigenPositionierverhalten Positionierverhalten
von Maschinen.von Maschinen.
25.07.2009MV.23
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Welche MaWelche Maßßnahmen knahmen köönnen zur Reduktion der nnen zur Reduktion der Umkehrspannen ergriffen werden?Umkehrspannen ergriffen werden?
Aufbau von mechanischen Vorspannungen im Bereich Aufbau von mechanischen Vorspannungen im Bereich elastischer Verformungenelastischer Verformungen
(Verringert Wirkungsgrad und erhöht Verschleiß)..
Maßnahmen zur Reduktion der Umkehrspanne I
25.07.2009MV.24
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Lagekorrekturwerte in AbhLagekorrekturwerte in Abhäängigkeitngigkeitvon dervon der
BewegungsrichtungBewegungsrichtungder Antriebe berder Antriebe berüücksichtigencksichtigen
(Nicht stetig differenzierbare Bewegungsmodelle sind makroskopis(Nicht stetig differenzierbare Bewegungsmodelle sind makroskopisch ch unphysikalisch und funphysikalisch und füühren zu vergrhren zu vergrößößerten Bahnfehlern)erten Bahnfehlern)..
Wirkstellennahe PoseWirkstellennahe Pose--/Positionsmessung, die die /Positionsmessung, die die Umkehrspannen erfasstUmkehrspannen erfasst
(Derartige Nichtlinearit(Derartige Nichtlinearitääten sind kritisch und kten sind kritisch und köönnen zu Schwingungen nnen zu Schwingungen im Lageregelkreis fim Lageregelkreis füühren, die den Verschleihren, die den Verschleißß im Gesamtsystem im Gesamtsystem
erherhööhen)hen)..
Maßnahmen zur Reduktion der Umkehrspanne II
25.07.2009MV.25
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Inverse kinematische Inverse kinematische TransformationTransformation
25.07.2009MV.26
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
x y t
y T y T y f p x
→ =
≡ =FHGIKJ =∏
RTCP
R
TCP t
RTCP
RTCP
RTCP
t t
( ) ( , )
ΘΘΘΘd i
b gjj
Kuka
VorwVorwäärtstransformationrtstransformation
Inverse TransformationInverse Transformation
y x y f y
x f yy
RTCP
RTCP
RTCP
RTCP
→ =
≡ =
−
−
%c h c hc h
1
1
SHW
Kinematische Vorwärts- und inverse Transformation I
25.07.2009MV.27
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Aufgabe der kinematischen Transformation ist es, aus den Aufgabe der kinematischen Transformation ist es, aus den MaschinenMaschinen--/Gelenkkoordinaten die Pose zu berechnen./Gelenkkoordinaten die Pose zu berechnen.
Aufgabe der inversen kinematischen Transformation ist es, Aufgabe der inversen kinematischen Transformation ist es, unter vorgegebener Pose die Maschinenunter vorgegebener Pose die Maschinen--/Gelenkkoordinaten /Gelenkkoordinaten
zu berechnen.zu berechnen.
Kinematische vorwärts und inverse Transformation II
25.07.2009MV.28
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Die inverse kinematische Transformation ist nicht Die inverse kinematische Transformation ist nicht notwendigerweise eindeutig, so dass fnotwendigerweise eindeutig, so dass füür eine Pose r eine Pose
mehrere Lmehrere Löösungen existieren ksungen existieren köönnen.nnen.
Diese Mehrdeutigkeiten kDiese Mehrdeutigkeiten köönnen z.B. dazu genutzt nnen z.B. dazu genutzt werden, Hindernissen auszuweichen.werden, Hindernissen auszuweichen.
Wozu lassen sich diese MehrdeutigkeitenWozu lassen sich diese Mehrdeutigkeitenin der Praxis nutzen?in der Praxis nutzen?
Kinematische vorwärts und inverse Transformation III
25.07.2009MV.29
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Kinematische vorwärts und inverse Transformation IV
Kinematik Vorwärts-Transformation
Inverse-Transformation
seriell analytisch nur unter bestimmtenAnnahmen analytischlösbar, Mehrdeutig-keiten
parallel iterativ lösbar,Mehrdeutigkeiten
analytisch
kartesisch analytisch analytisch
SHW
Kuka
25.07.2009MV.30
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Inverse AbbildungInverse Abbildung
25.07.2009MV.31
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
x f g x f g x= =( )( ) ( ( ))% f g≡ −1 u g f u g f u= =( )( ) ( ( ))%
⇒∂∂
= ∂∂
∂∂
=( )f gx
fu
gx
E% ⇒
∂∂
= ∂∂
∂∂
=( )g fu
gx
fu
E%
⇒∂∂
= ∂∂FHGIKJ
∂∂
≠−
gx
fu
fu
1
0, det ⇒∂∂
= ∂∂FHGIKJ
∂∂
≠−
fu
gx
gx
1
0, det
⇒ ∂ = ∂∂FHG
IKJ ∂ ∂
∂≠
−
gfu
u ufu
u( ) , det ( )0
1
0 0
⇒ = = ∂∂FHG
IKJ + ∂
∂≠z z
−
g dgfu
u du cfu
u( ) , det ( )0
1
0 0 0
Inverse Abbildung I
25.07.2009MV.32
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Inverse Abbildung II
gfu
u du cfu
u= ∂∂FHG
IKJ + ∂
∂≠
−
z ( ) , det ( )0
1
0 0 0
Die inverse Abbildung von Die inverse Abbildung von f ist in der lokalen Umgebung ist in der lokalen Umgebung
eines reguleines reguläären Punktes eindeutig bis auf eine ren Punktes eindeutig bis auf eine
additive Konstante additive Konstante c bestimmt.bestimmt.
Die singulDie singuläären Stellen definieren zugleich die Verzweigungsren Stellen definieren zugleich die Verzweigungs--
punkte der inversen Abbildung. Die Elemente der Menge der punkte der inversen Abbildung. Die Elemente der Menge der
inversen Abbildungen unterscheiden sich nur hinsichtlich inversen Abbildungen unterscheiden sich nur hinsichtlich
einer additiven Konstanten einer additiven Konstanten c . .
det ( )∂∂
≠fu
u0 0
25.07.2009MV.33
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
NewtonNewton--VerfahrenVerfahren
∆∆∆∆ ∆∆∆∆y J xxRTCP = ⋅
∆∆∆∆ ∆∆∆∆x J y
J x
x
x
= ⋅
=
−1RTCP
Rang Dim
,
m r l qx x J y yx= + ⋅ −−
01
R STCP
R 0TCPd i
Inversen Berechnung I
Lineare NLineare Nääherungherung
Nur lokal umNur lokal umeinen Arbeitspunkt einen Arbeitspunkt x0
anwendbaranwendbar
Min RTCP
R STCP
x y f p x y x( , )b go t− →
MinimierungsproblemMinimierungsproblem
Rechenzeitaufwendig,Rechenzeitaufwendig,Mehrdeutigkeiten,Mehrdeutigkeiten,
StartwertStartwert x0 erforderlicherforderlich
Iterativer AnsatzIterativer Ansatz
x x xi i i→ ∈+1 00 1, { , , } ,…
S := Sollwert
25.07.2009MV.34
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Ist , so liegt ein redundanter EiIst , so liegt ein redundanter Eingangsngangs--
grgrößößenvektorenvektor1 vor. Dann existiert eine unendliche Anzahl vor. Dann existiert eine unendliche Anzahl
von Lvon Löösungen. sungen.
Rang DimJ xxm r l q<
Inversen Berechnung II
1 redundante Kinematik
25.07.2009MV.35
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
AnalytischeAnalytischeinverseinverse
kinematischekinematischeTransformationTransformation
25.07.2009MV.36
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Ansatz für analytische inverse kinematische Transformation
⇒ = −T A T6
11
1
6b gT A A T6
22
1
1
1
6= − −b g b gT A A A T6
33
1
2
1
1
1
6= − − −b g b g b gT A A A A T6
44
1
3
1
2
1
1
1
6= − − − −b g b g b g b gT A A A A A T6
55
1
4
1
3
1
2
1
1
1
6= − − − − −b g b g b g b g b gPaulSukzessive Maschinenkoordinaten isolieren.Sukzessive Maschinenkoordinaten isolieren.
T A A A A A A6 1 2 3 4 5 6=
6 nicht redundante Achsentransformationen 6 nicht redundante Achsentransformationen Ai ffüürr6 Freiheitsgrade des Tool6 Freiheitsgrade des Tool--CenterCenter--Point:Point:
25.07.2009MV.37
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Kinematische Inverse
•• Die zu lDie zu löösenden Gleichungen sind im allgemeinen nicht senden Gleichungen sind im allgemeinen nicht linear.linear.
•• Es kEs köönnen mehrdeutige Lnnen mehrdeutige Löösungen auch bei nicht sungen auch bei nicht redundanten Kinematiken auftreten.redundanten Kinematiken auftreten.
•• Redundante Kinematiken besitzen eine unendliche Anzahl Redundante Kinematiken besitzen eine unendliche Anzahl von Lvon Löösungen.sungen.
•• Es kEs köönnen fnnen füür die Kinematik nicht zulr die Kinematik nicht zuläässige Lssige Löösungensungenauaußßerhalb des Definitionsbereiches erhalb des Definitionsbereiches Dx auftreten.auftreten.
•• Geschlossene analytische LGeschlossene analytische Löösungen existieren bisher nur sungen existieren bisher nur ffüür parallele oder orthogonale Gelenkachsen.r parallele oder orthogonale Gelenkachsen.
(Lösung, siehe Robotik Script im Internet)
25.07.2009MV.38
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
KoordinatentransformationKoordinatentransformation
undund
PosePose
25.07.2009MV.39
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
n,o,a := Einheitsvektoren des Ausgangs-koordinatensystems im Ziel-koordinatensystem beschrieben
ex,ey,ez:= Einheitsvektoren des Ziel-koordinatensystem
T := homogene Transformations-matrix vom Ausgangs- zumZielkoordinatensystem
R := orthogonale (orthonormale) Rotationsmatrix
t := Translationsvektor zwischen Ausgangs- und Zielkoordinaten-system im Zielkoordinaten-system beschrieben.
T
n
ex
ey
ez
oa
t
Kinematische Transformation
25.07.2009MV.40
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
⇒ =−F
HGIKJ
−TD D t
01
1
t t
Inverse homogene KoordinatentransformationInverse homogene Koordinatentransformation
D D Et =
Eigenschaften der Drehmatrix und der Inversen
OrthonormalitOrthonormalitäätt
⇒ ⇒3 3Freiheitsgrade Winkel
r D r t' = + D−1 von links
⇒ = + = + = +D r D D r D t E r D t r D tt t t t t' −D tt
⇒ = −r D r D tt t'
KoordinatentransformationKoordinatentransformation
mehreremehrereWinkelbegriffeWinkelbegriffe
25.07.2009MV.41
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
xR
yR
zR
TK’
R
TK
R
TK’
K
xK’
yK’
zK’
ey
K’
ex
K’
ez
K’
xK
yK
zK
ex
Rey
R
ez
R ( ) 1K' K K 'R R K
−=T T T E
Geschlossener UmlaufGeschlossener Umlauf
Homogene Transformationen
TRK = ?
Gesuchte TransformationGesuchte Transformation
( ) 1K' K K ' K'R R K R von links
−=T T T E T
( ) 1K K ' K' K'R K R K von rechts
−=T T T E T
( ) 1K K' K 'R R K
−=T T E T
( ) 1K K' K 'R R K
−=T T T
25.07.2009MV.42
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
( )( ) ( ) 4 4
1i jt × = = ∈
n o a tT
0#
( )t1
4 4
1
1
x y z
x y z
x y z
n n n
o o o
a a a
−
×
− ⋅
− ⋅ = − ⋅
− ⋅ − ⋅ = ∈ − ⋅
t n
n o a t oT
t a
0
t n
t o
t a
0
#
T
n
ex
ey
ez
oa
t
Homogene Transformationsmatrix
25.07.2009MV.43
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
EndeEnde15.04.200815.04.2008
25.07.2009MV.44
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Verschiedene Winkelbeschreibungen
Euler Euler -- WinkelWinkel
Roll Roll -- Pitch Pitch -- Yaw Yaw -- WinkelWinkelschlingern-neigen - gieren
Elementar Elementar -- DrehungenDrehungen
Kardan Kardan -- WinkelWinkel
Drehung um AchsvektorDrehung um Achsvektor
25.07.2009MV.45
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Elementardrehungen I
kartesisches rechtsorientierteskartesisches rechtsorientiertesKoordinatensystemKoordinatensystem
mathematisch positive Zmathematisch positive Zäählrichtunghlrichtungder Winkelder Winkel
Drehung in mathematisch positiver Zählrichtung um die Koordinatenachse bewirkt bei einem Rechtsgewinde
Bewegung in positiver Achsrichtung
25.07.2009MV.46
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Rot x x x x
x x
( ) cos sin
sin cos
Θ Θ ΘΘ Θ
= −F
HGG
I
KJJ
1 0 0
0
0
Rot y y
y y
y y
( )
cos sin
sin cos
ΘΘ Θ
Θ Θ=
−
F
HGGG
I
KJJJ
0
0 1 0
0
Rot z z
z z
z z( )
cos sin
sin cosΘΘ ΘΘ Θ=
−F
HGG
I
KJJ
0
0
0 0 1
T
n
ex
ey
ez
oa
t
Θx
Θy
Θz
Elementardrehungen II
25.07.2009MV.47
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Reihenfolge der Drehungen
R R Rot Rot Rot≡ = ⋅ ⋅( ) ( ) ( ) ( )ΘΘΘΘ z z y y x xΘ Θ Θ
≠ ⋅ ⋅Rot Rot Rotx x z z y y( ) ( ) ( )Θ Θ Θ
Matrixprodukt ist nicht kommutativMatrixprodukt ist nicht kommutativ
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Reihenfolge der Drehungen nichtReihenfolge der Drehungen nichtvertauschbar !vertauschbar !
25.07.2009MV.48
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Roll-Pitch-Yaw-Winkel/Transformation
=⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅
F
HGGG
I
KJJJ
cos cos cos sin sin - sin cos cos sin cos + sin sin
sin cos sin sin sin + cos cos sin sin cos - cos sin
-sin cos sin cos cos
Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ ΘΘ Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ
Θ Θ Θ Θ Θ
z y z y x z x z y x z x
z y z y x z x z y x z x
y y x y x
R R Rot Rot Rot≡ = ⋅ ⋅( ) ( ) ( ) ( )ΘΘΘΘ z z y y x xΘ Θ Θ
25.07.2009MV.49
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Euler-Winkel/Transformation
R R≡ =( ) ,ΘΘΘΘ ΘΘΘΘE E tϕ ϑ ψa f
=⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅
⋅ ⋅
F
HGG
I
KJJ
cos cos - sin cos sin -cos - sin cos
sin cos cos sin -sin cos
sin sin
ψ ϕ ψ ϑ ϕ ψ ϕ ψ ϑ ϕ ψ ϑψ ϕ ψ ϑ ϕ ψ ϕ ψ ϑ ϕ ψ ϑ
ϑ ϕ ϑ ϕ ϑ
sin cos sin sin
cos sin cos cos cos sin
sin cos cos
=⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅
F
HGGG
I
KJJJ
e e e e e e
e e e e e e
e e e e e e
x x x y x z
y x y y y z
z x z y z z
' ' '
' ' '
' ' '
x x’
y
y’zz’
φx’
x’’
y’y’’z’z’’
x’’
x’’’
y’’
y’’’
z’’z’’’
ψ
25.07.2009MV.50
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Kardan-Winkel/Transformation
R R Rot Rot Rot≡ = ⋅ ⋅( ) ( ) ( ) ( )ΘΘΘΘK K K Kx x y y z zΘ Θ Θ
=⋅ − ⋅
⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅
F
HGGG
I
KJJJ
cos cosK K K K K
K K K K K K K K K K K K
K K K K K K K K K K K K
Θ Θ Θ Θ ΘΘ Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ ΘΘ Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ
y z y z y
x z x y z x z x y z x y
x z x y z x z x y z x y
cos sin sin
cos sin sin sin cos cos cos sin sin sin sin cos
sin sin cos sin cos sin cos cos sin sin cos cos
25.07.2009MV.51
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
x
y
z
α
β
rx
ry
rz
R R r R R R R R≡ = − −( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ϑ α β ϑ β αz y z y z
=− + − − − +− + − + − −− − − + − +
F
HGGG
I
KJJJ
r r r r r r r
r r r r r r r
r r r r r r r
x x y z x z y
x y z y y z x
x z y y z x z
2
2
2
1 1 1
1 1 1
1 1 1
cos cos cos sin cos sin
cos sin cos cos cos sin
cos sin cos sin cos cos
ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ
a f a f a fa f a f a fa f a f a f
r = r r rx y zc ht ,
sin , cos
sin , cos ,
α α
β β
=+
=+
= + =
r
r r
r
r r
r r r
y
x y
x
x y
x y z
2 2 2 2
2 2
Drehung um Achsvektor
25.07.2009MV.52
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Pose /Pose /
Position und OrientierungPosition und Orientierung
25.07.2009MV.53
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
y t f T1 2 1 26
,t
,t t
( )= ≡ ∈ΘΘΘΘc h !
t =
=
=−− +RST
=
=
t t t
t
t
t t
t t
x y z
y
x y y
z y y
14 24 34
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2
31
31
1 2 32 1 2 33 1 2
1 2 21 1 2 11 1 2
2
2
b gc h
t
, , , ,
t
,
, , ,
, , ,
arcsin( )
arcsin( )
arctan ( / cos( ), / cos( ))
arctan ( / cos( ), / cos( ))
ΘΘΘΘ Θ Θ Θ
Θ
Θ Θ ΘΘ Θ Θ
für I und II
für III und IVπ
Roll-Pitch-Yaw-Pose I
T
n
ex
ey
ez
oa
t
Θx
Θy
Θz
25.07.2009MV.54
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
ti j
z y z y x z x z y x z x
z y z y x z x z y x z x
y y x y x
c he j =⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅
F
HGGG
I
KJJJ
cos cos cos sin sin - sin cos cos sin cos + sin sin
sin cos sin sin sin + cos cos sin sin cos - cos sin
-sin cos sin cos cos
Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ ΘΘ Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ
Θ Θ Θ Θ Θ
Θ y
t
t1 2
31
31,
arcsin( )
arcsin( )=
−− +RST
für I und II
für III und IVπ
Θ Θ Θx y yt t1 2 32 1 2 33 1 22, , ,arctan ( / cos( ), / cos( ))=
Θ Θ Θz y yt t1 2 21 1 2 11 1 22, , ,arctan ( / cos( ), / cos( ))=
Roll-Pitch-Yaw-Pose II
25.07.2009MV.55
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
y t f T1 2 1 2,
t,
t t( )K K K= ≡ΘΘΘΘc h
t =
=
=−RST
= −
= −
t t t
t
t
t t
t t
x y z
y
x y y
z y y
14 24 34
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2
13
13
1 2 23 1 2 33 1 2
1 2 12 1 2 11 1 2
2
2
b gc h
t
, , , ,
t
,
, , ,
, , ,
arcsin( )
arcsin( )
arctan ( / cos( ), / cos( ))
arctan ( / cos( ), / cos( ))
ΘΘΘΘK K K K
K
K K K
K K K
für I und II
für III und IV
Θ Θ Θ
Θ
Θ Θ Θ
Θ Θ Θ
π
Kardan-Pose
25.07.2009MV.56
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
y t r f T1 2 1 2,
t,
t( )A t A= ≡ϑc h
t
r r
=
=
+ + −FH
IK
+ + + −FH
IK
RS||
T||
≠
=−−−
F
HGG
I
KJJ =
t t t
t t t
t t t
t t
t t
t t
14 24 34
1 2
11 22 33
11 22 33
1 2
21 23
13 31
21 12
1
2
1
2
0
1
21
b gt
,
,
,
arccos
arccos
,
sin, .
ϑπ
ϑ
für I oder II
für III oder IV
Drehachsenparameter
x
y
z
α
β
rx
ry
rz
25.07.2009MV.57
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
ϕπ
=+
− +
RS|T|arcsin
arcsin
y x y
y x y
2 2
2 2
e je j
für I oder IV
für II oder III
ϕπ
=+
− +
RS|T|arccos
arccos
x x y
x x y
2 2
2 22
e je j
für I oder II
für III oder IV
ϕ
π
=
=≡ ≥
+ ≡
RS|T|
arctan ( , )
arctan
arctan
2
0
0
y x
y x x
y x x
a fa f
für I oder IV
für II oder III <
ey
ex
III
III IV
Mehrdeutigkeiten der arc-Funktionen
25.07.2009MV.58
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Objektkoordinatensystem I
p1R
:= Ursprung des Körper- imReferenz-KS
x-Achse des Körper-KS in Richtung der Verbindungsgeraden von p1
R und p2
R
p p p1 2 3R R R, , := Koordinaten im Referenz-KS
xR
yR
zR
TK
R
xK
yK
zK
ex
R
ey
Rez
R
p1
R
p2
R
p3
R
x/y-Ebene des Körper-KS geht durch die Punkte p1
R, p2R und p3
R
25.07.2009MV.59
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
xR
yR
zR
TK
R
xK
yK
zK
ex
R
ey
Rez
R
p1
R
p2
R
p3
R
a ep p p p
p p p pR R
R R R R
R R R R≡ =
− × −
− × −z2 1 3 1
2 1 3 1
c h c hc h c h
o e e eR R R R≡ = ×y z x
n ep pp p
R RR R
R R≡ = −
−x2 1
2 1
Objektkoordinatensystem II
25.07.2009MV.60
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Objektkoordinatensystem III
Te e e p
0RK
R R R R
=FHG
IKJ
x y zc h 1
1
T
p e
e e e p e
p e
0
KR
R R
R R R t R R
R R=
− ⋅− ⋅− ⋅
F
H
GGGG
I
K
JJJJ
1
1
1
1
x
x y z y
z
c h
xR
yR
zR
TK
R
xK
yK
zK
ex
R
ey
Rez
R
p1
R
p2
R
p3
R
25.07.2009MV.61
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Objektkoordinatensystem IV
r = + +r r rx y z2 2 2
r =F
HGGI
KJJ ∈
r
r
r
x
y
z
!3 ,
c a b
e e e
= × =x y z
x y z
x y z
a a a
b b b
= − + − + −a b a b a b a b a b a by z z y x z x x z y x y y x zc h b g c he e e
und
≡−−−
F
HGGG
I
KJJJ
a b a b
a b a b
a b a b
y z z y
z x x z
x y y x
25.07.2009MV.62
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Boeing
Anwendungsbeispiel I
Posemessung von BauteilenPosemessung von Bauteilen
BauteilfBauteilfüührung von Eintakthrung von Eintakt--in Montageposein Montagepose
SR
Laser-Tracker
BauteilformkorrekturBauteilformkorrektur
25.07.2009MV.63
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
p p p1 2 3R;K R;K R;K, , := Koordinaten im Körper-
und Referenz-KS(hochgestellter Index K und R)
T T TRK
RK'
K'K mit=
−c h 1,
Te e e p
0RK'
R R R R
=FHG
IKJ
x y zc h 1
1,
T
p e
e e e p e
p e
0
KK'
K K
K K K t K K
K Kc h c h−=
− ⋅− ⋅− ⋅
F
H
GGGG
I
K
JJJJ1
1
1
1
1
x
x y z y
z
,
xR
yR
zR
TK’
R
TK
R
TK’
K
xK’
yK’
zK’
ex
R;K
ey
R;Kez
R;K
p1
R;K
p2
R;K
p3R;K
xK
yK
zK
ex
Rey
R
ez
R
Anwendungsbeispiel II
25.07.2009MV.64
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
ep p p p
p p p pzR;K
R;K R;K R;K R;K
R;K R;K R;K R;Kund=
− × −
− × −2 1 3 1
2 1 3 1
c h c hc h c h
e e ey z xR;K R;K R;K= ×
ep pp px
R;KR;K R;K
R;K R;K= −
−2 1
2 1
,
Anwendungsbeispiel III
25.07.2009MV.65
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
ObjektObjekt--orientiertesorientiertes
ProgrammProgramm--
DesignDesign
25.07.2009MV.66
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Vektor<double> MessPointsIst(iDEF_DIMHomogeneKoodinaten),XYZ1Pos(iDEF_DIMHomogeneKoodinaten);
HMatrix<double> HT_RA;
::::::::::::::::::::::::::::::::
HT_RA.RPY(m_XYZAktuator.GetPoseRA());PosErrorA = XYZ1Pos - HT_RA * MessPointsIst;
Objekt-orientierter Programmentwurf
MS Visual C++MS Visual C++
25.07.2009MV.67
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
MesstechnischeMesstechnische
CharakterisierungCharakterisierung
derder
UnsicherheitenUnsicherheiten
von Maschinenvon Maschinen
25.07.2009MV.68
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
SHW
WerkzeugmaschinenWerkzeugmaschinen
Kuka
RoboterRoboter
ReferenzReferenz--systemesysteme
Vermessung von Maschinen I
SchaublinSchaublin
25.07.2009MV.69
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Die Maschinen sollten/mDie Maschinen sollten/müüssen unter den Betriebsssen unter den Betriebs--bedingungenbedingungen vermessen werden:vermessen werden:
•• KraftKraft-- und Momente,und Momente,
•• Temperatur usw.Temperatur usw.
Es wird Es wird üüberwiegend das stationberwiegend das stationääre Poseverhaltenre Poseverhaltenherangezogen. Dynamische Posemessungen werdenherangezogen. Dynamische Posemessungen werdenim Gegensatz zur Positionsmessung weniger verwirklichtim Gegensatz zur Positionsmessung weniger verwirklicht(Messmittel sehr teuer bzw. stehen nur einschränkt zur Verfügung).
Vermessung von Maschinen II
25.07.2009MV.70
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Systematische Fehler
Messbereich
x I
xS
ideale Regressions-Sensor/Objekt-Gerade
Worst-Case-Fehler
DifferentielleFehler
MittlererFehler
25.07.2009MV.71
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Vergleich mit Referenzmaßen
25.07.2009MV.72
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Positionierverhalten einer Achse
K- K
B
K+
- λ σ+ µ+ + λ σ+
p
Kµ
K- K
B
K+
- λ σ- µ- + λ σ-
p
Kµ
u
UmkehrspanneUmkehrspanne
{ },v v v x y zu v v x y z∆ λ σ ϕ ϕ ϕ≤ + ∈UnsicherheitenUnsicherheiten
u µ µ+ −= −
SollSoll--positionposition
x
y
25.07.2009MV.73
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
99,99%4
99 %3
95 %2
68 %1
Pλ
K- K
B
K+
- λ σ µ + λ σ
p
Kµ
( ) { },v v v v v x y zw v x y zµ λ σ µ λ σ ϕ ϕ ϕ+ + − −≤ + − + ∈
Wiederholgenauigkeit einer Achse
( )XP X µ λ σ− <
25.07.2009MV.74
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
---------------------------------------------------------------Wost-Case-Größen
Differentielle Größen
Fehlergleichungen
Unsicherheiten
zufällige FehlerSystematische FehlerBezeichnung
im Sensor/Objekt- oder Referenz-KOS (Index S und R) beschrieben.{S, R}ε ∈
ε ε ε ε ε ε εM SE NE( ) ( ) ( )= + +r r r r r r r
ε ε ε ε εMSE SE( ) ( )= +r r r r r ε ε ε ε ε
MNE NE( ) ( )= +r r r r r
( ) ( )ε ε εMSE ba SE b SE a= −r r r r r∆∆∆∆
ε 2 ε ε 2 εN N
ε ε 2 ε ε 2 εMNE ba N N
ε 2 ε ε 2 εN N
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
x a x b
y a y b
z a z b
σ σ
σ σ
σ σ
+ = + +
r r
r r r
r r
∆∆∆∆
( ) ( ){ }ε ε ε ε εMSE SE b SE aE E
Max≤ −r r r r r∆∆∆∆
Systematische und zufällige Fehler
25.07.2009MV.75
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
mittlerer quadratischer Fehler(RMS)
mittlerer Betragsmessfehler
maximaler Messfehler
mittlerer Messfehler
Systematische FehlerBezeichnung
sind differentielle Größen zwischen Mess- und Referenzsystem im Sensor/Objekt-oder Referenz-KOS beschrieben. Liegen signifikante zufällige Messfehler vor, so ist
zu wählen (r ist entweder ein Positions- oder Orientierungsvektor).
ε εM R M RE E
1
1 I
iiI =
= ∑r r∆ ∆∆ ∆∆ ∆∆ ∆
{ }ε εM R Max ; ; M R ; ;Maxi x y z i x y z=r r∆ ∆∆ ∆∆ ∆∆ ∆
2 2ε εM R M RE E
1
1 I
i iiI =
= ∑r r∆ ∆∆ ∆∆ ∆∆ ∆
ε εM R M R
1
1 I
iiI =
= ∑r r∆ ∆∆ ∆∆ ∆∆ ∆
εM Rir∆∆∆∆
εM R
εM Ri i
≡r
r∆∆∆∆
∆ µ∆ µ∆ µ∆ µ
Genauigkeitskenngrößen systematischer Fehler
25.07.2009MV.76
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Globale mittlere Streuung
Globaler mittlerer Fehler
ortsabhängige Streuung
ortsabhängiger Erwartungswert
Zufällige FehlerBezeichnung
εM R
εM R
1
1 K
k iikK =
= ∑rr
∆∆∆∆µ ∆µ ∆µ ∆µ ∆
( )ε εM R M R
22 ε
M R1
1 K
k ii ikK =
= −∑r rr µ
∆∆∆∆σ ∆σ ∆σ ∆σ ∆
εM R
εM R
1 1
1 I K
k ii kI K = =
= ∑∑rr
∆∆∆∆µ ∆µ ∆µ ∆µ ∆
( )ε εM R M R
2ε
M R1 1
1 I K
k i ii kI K = =
= −∑∑r rr2222
∆ ∆∆ ∆∆ ∆∆ ∆σ ∆ µσ ∆ µσ ∆ µσ ∆ µ
Ortsindex i, I := Anzahl der OrteMessindex k, K := Anzahl der Messungen
Genauigkeitskenngrößen bei signifikanten zufälligen Fehlern
25.07.2009MV.77
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Problem: Erwartungswert und Streuung des zufälligen Prozesses sind unbekannt.
Erwartungswert und Streuung müssen über Messungen geschätzt werden. Die notwendigerweise endliche Stichprobenzahl N führt zwangsläufig zur Notwendigkeit der Angabe von Vertrauensintervallen. Die Vertrauensintervalle definieren Bereiche um die berechnet Werte, innerhalb derer die wahren Wert liegen.
Genauigkeitskenngrößen und Stichproben 1
25.07.2009MV.78
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Der arithmetische Mittelwert der
normalverteilten Stichproben ist selbst eine
normalverteilte Zufallsgröße, deren Vertrauensintervall sich
über berechnet.
1
1 N
nn
X XN =
= ∑nX
% % %P x PP X X PN N
σ σλ µ λ − ≤ ≤ + =
siehe Heinhold/Gaede Ingenieur-Statistik
Eine Reduktion des Vertrauensintervall auf
führt somit zu Stichproben.
% % ,P PqN
σλ σ λ=
2
1N
q=] 0,1 ]q ∈
Genauigkeitskenngrößen und Stichproben 2
25.07.2009MV.79
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Problem: Die Abschätzung der erforderlichen Stichproben setzt eine Kenntnis der Streuung voraus, die ihrerseits erst empirischermittelt werden muss.
Die Stichprobenzahl sollte hierfür um den Faktor 10 größer gewählt werden als bei der Berechnung des Erwartungswertes.
Ist der Prozess ortsinvariant, so kann man eine räumliche Mittelung vornehmen. Anderenfalls muss die Erhebung injeder Pose vollzogen werden.
Genauigkeitskenngrößen und Stichproben 3
25.07.2009MV.80
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Die Fehlervektoren können sowohl im Sensor/Objekt- als auch Referenzkoordinatensystem beschrieben werden. Hierzu ist es notwendig, entweder die Sensor/Objektkoordinaten ins Referenz-oder die Referenzkoordinaten ins Sensorkoordinatensystem zu transformieren. Dabei müssen die Transformationsparameter hinreichend genau bekannt sein. Dieses bereitet im allgemeinen Schwierigkeiten, weshalb die unbekannten Transformations-parameter zunächst über das Minimierungsproblem
zu bestimmen sind.
RS
S RR SM MS R OptMin ( )
1 1i i
i
− →
∑p
r rT p p
SR Optp
Fehlervektoren I
25.07.2009MV.81
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Sodann können die Fehlervektoren im
Sensor/Objekt- oder Referenz-
koordinatensystem beschrieben werden.
S S RRM R M MS Opt( )
1 1 1i i i
= −
r r rT p
∆∆∆∆ R S R1 RMR M M
S Opt( )1 1 1i i i−
= −
r r rT p
∆∆∆∆
Fehlervektoren II
25.07.2009MV.82
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Fehlervektoren III
RS
S RR SM MS R OptMin ( )
1 1i i
i
− →
∑p
r rT p p
S S RRM R M MS Opt( )
1 1 1i i i
= −
r r rT p
∆∆∆∆ R S R1 RMR M M
S Opt( )1 1 1i i i−
= −
r r rT p
∆∆∆∆
OptimierungsproblemOptimierungsproblem
Sensor/ObjektSensor/Objekt--KSKS ReferenzReferenz--KSKS
25.07.2009MV.83
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Eigenschaften verschiedenerEigenschaften verschiedener
MaschinenmodelleMaschinenmodelle
25.07.2009MV.84
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Anzustrebende Eigenschaften der Modelle
I M M M E M( ) ( , , ) ( , ) , 0Q ε ε= ≡ − < >p f p x y y f p x
•• VollstVollstäändigkeitndigkeitDas gemessene Systemverhalten (Index M) wird mit ausreichender Genauigkeit beschrieben:
•• MinimalitMinimalitäättDas Modell weist eine minimale Anzahl von Parametern auf. Die schließt insbesondere auch Linearkombinationen zwischen den Parametern aus.
•• RobustheitRobustheitStetigkeit: Kleine Änderungen der Parameter und Eingangsgrößen bewirken nur kleine Änderungen der Ausgangsgrößen.Parameterunempfindlichkeit: Kleine Änderungen der Eingangs- und Aus-gangsgrößen bewirken nur kleine Änderungen der Parameter.
25.07.2009MV.85
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Minimalität der kinematischen Transformation
n r tK K K= + +4 2 6
rK := Anzahl der Drehgelenke
tK := Anzahl der Schubgelenke
nk := Anzahl der Parameter des minimalen, vollständigenMaschinenmodells einer offenen und unverzweigtenkinematischen Kette
25.07.2009MV.86
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
ModellbildungModellbildungDenavit Hartenberg ‘55 Achsmodell Gewinn an Verlust Eindeutigkeit
MinimalitätHayati, Mirmirani ‘85 “ “ “Spur, Schröer ‘93 Stetigkeit, Vollständigkeit “ “
RangdefekteRall, Gossel ‘96 Konstruktion mini- nicht identifizier- keine Lösungs-
maler Modelle bare Parameter und Maschinen-genauigkeitWollnack ‘98 numerische Kon- identifizierbare
struktion minimaler Parameter, keine Lösungs-Modelle geordnet nach und Maschinen-
Signifikanz genauigkeit
Maschinenmodelle
25.07.2009MV.87
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Eigenschaften kinematischer Achsmodelle I
ang Dim{ } { *}*J pp <Nicht-Minimalität / Rangdefekte ⇒ Mehrdeutigkeiten und Unsicher-
heiten der Parameteridentifikation
Denavit- ja ja (global) 4 rK + 4 tK + 6 bei parallelen AchsenHartenberg
Hayati- ja nein (global) 4 tK + 6 orthogonale Rotationsachsen; BeliebigenMirmirani nur lokal, für nicht Rotationsachsen, die sich im Ursprung
aufeinanderfolgende des Ausgangs-KS schneiden.identische Rotationsachsen
Veitschegger- ja ja (global) 5rK + 5 tK + 6 Rotationsachsen, die die z-Achse im Aus-Wu gangskoordinatensystem schneiden; bei
Rotationsachsen, die parallel zur x/y-Ebene liegen.
Trans- Stetig- Voll- Minimalitätformation keit ständigkeit 4 rK + 2 tK + 6 Rangdefekte
Roll-Pitch- ja ja (global) 6 rK + 6 tK + 6 Drehungen, bei der die z-Achse in die x/y-Yaw übergeht.
25.07.2009MV.88
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Denavit-Hartenberg / DH - Transformation I
Gelenk +1i
Glied +1i
ai zi
xi
Si
Si -1
xi -1
zi -1di
Si
Glied -2i
Gelenk -1i
Gelenk i
Glied -1i
Glied i
Θi-1
Θi
Θi
αi
Θi+1
Roos
25.07.2009MV.89
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
TransformationstypRangverlust bei parallelen Achsen Vollständigkeit ja (global) Stetigkeit ja Minimalität 4 parametrig
T R T T R= z z x xd a( ) ( ) ( ) ( )Θ α
Denavit-Hartenberg / DH - Transformation II
25.07.2009MV.90
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Gelenk +1iGelenk i
Si -1
gi
yi -1 zi-1
xi -1
Ei
x´
ai
Si
xi
yi
zi
zi -1
y´´
x´
Θi
Θi
Θi+1
αi
i
Roos
Hayati-Mirmirani / HM - Transformation I
25.07.2009MV.91
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Hayati-Mirmirani / HM - Transformation II
Transformationstyp(nur Drehgelenke)
Rangverlust Bei orthogonalen Rotationsachsenund beliebigen Rotationsachsen,die sich im Ursprung des Aus-gangskoordinatensystemsschneiden.
Vollständigkeit nein (global); nur lokal, für nichtaufeinanderfolgende identische Rotationsachsen
Stetigkeit ja Minimalität 4 parametrig
T R T R R= z x x ya( ) ( ) ( ) ( )' ' ''Θ α β
25.07.2009MV.92
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Veitschegger-Wu / VW - Transformation
TransformationstypRangverlust Bei Rotationsachsen, die die z-Achse im
Ausgangskoordinatensystem schneidenund bei Rotationsachsen, die parallel zurx/y-Ebene liegen.
Vollständigkeit ja (global) Stetigkeit ja Minimalität 5 parametrig
T R T T R R= z z x x yd a( ) ( ) ( ) ( ) ( )' ' ''Θ α β
Kombination der DHKombination der DH-- und HMund HM--AnsAnsäätze mit dem Ziel, die tze mit dem Ziel, die RangRang--verlusteverluste ffüür aufeinanderfolgende identische Achsen r aufeinanderfolgende identische Achsen auszuauszu--schlieschließßenen..EinfEinfüührung eines weiteren Drehwinkels mit dem Verlust an hrung eines weiteren Drehwinkels mit dem Verlust an MinimalitMinimalitäät.t.
25.07.2009MV.93
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
FFüür Maschinen mit Translationsachsenr Maschinen mit Translationsachsenexistieren bisher keineexistieren bisher keine
minimalen Modelleminimalen Modelle
Eigenschaften kinematischer Achsmodelle II
25.07.2009MV.94
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Bosch
SCARA / HorizontalSCARA / Horizontal--KnickarmKnickarm--
Selective-Compliance-Assembly-Robot-Arm
SHW
WerkzeugmaschinenWerkzeugmaschinen
KUKA
Roboter aufRoboter aufLinearachseLinearachse
Beispiele für Systeme mit Linearachsen
25.07.2009MV.95
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Foulloy, Davies ‘84/’90 Fehlermatrizen einfach nur lokalHayati ‘85 Parameter- ID (simulativ) global höherer AufwandHayati, Roston ‘86 Parameter- ID (experimentell) einfach nur lokal
FehlerkorrekturFehlerkorrektur
Behrens, Roos ‘98 Subraum-Parameter einfach, global suboptimalWollnack ‘95 2D-SCARA-ID on-line nicht global, suboptimal
Genauigkeitssteigerung von Maschinenmodellen
Verringerung der Verringerung der Fertigungstoleranzen der Bauteile Fertigungstoleranzen der Bauteile sind technisch und wirtschaftlich sind technisch und wirtschaftlich
Grenzen gesetzt.Grenzen gesetzt.
Identifikation
25.07.2009MV.96
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Idee der Maschinen-Kalibration
Modellparameter ausModellparameter ausgemessenemgemessenem
PositionierverhaltenPositionierverhaltenberechnenberechnen
3D3D--ModellModell
Globale KalibrationGlobale Kalibration
Kuka
xMx
yM
y
zMz
SR
SM
S
25.07.2009MV.97
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
WerkzeugmaschineWerkzeugmaschineM M M
M M M Cx y zx y z= + + +r u u u r
SHW
Position kartesischer AchsenPosition kartesischer Achsen(Orthogonalit(Orthogonalitäätsfehler)tsfehler)
M M MC M M Mx y zx y z= − = + +r r r u u u∆∆∆∆
Differenzielle PositionDifferenzielle Position(werkstückbezogen)
Sensorposition Sensorposition (werkstückbezogen)M S
S
S
x
y
z
x C x
y C y
z C z
=
Systeme mit Linearachsen 1
; ; M 1x y z =u
GetriebeübersetzungSpindelsteigungSensorwert pro moder rad/grad
xMx
yM
y
zMz
SR
SM
S
25.07.2009MV.98
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Systeme mit Linearachsen 2
M M MC M M Mx y zx y z= − = + +r r r u u u∆∆∆∆
Kinematische Inverse Kinematische Inverse (werkstückbezogen)
FFüür existiert eine einfache analytisr existiert eine einfache analytische che LLöösung sung (keine Orthogonalit(keine Orthogonalitäätsfehler)tsfehler)::
; ; M ; ; Mx y z x y z=u e
M
M
M
x
y
z
x r
y r
z r
=
∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆
25.07.2009MV.99
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Kartesische kinematische Inverse mit OrthogonalitKartesische kinematische Inverse mit Orthogonalitäätsfehlerntsfehlern(werkstückbezogen)
M M MS M M M Sx y zx y z− = + + −r r u u u r∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆
{ }MM M M M
M M M S EMin x y zx y z+ + − →
ru u u r r∆∆∆∆
Kinematische Inverse als Minimierungsproblem Kinematische Inverse als Minimierungsproblem (werkstückbezogen)
Systeme mit Linearachsen 3
( )tM M M MS x y z− → =r r r∆ ∆∆ ∆∆ ∆∆ ∆ Analytische LAnalytische Löösung ?sung ?
25.07.2009MV.100
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Systeme mit Linearachsen 4
Sofern die OrthogonalitSofern die Orthogonalitäätsfehler hinreichend klein sind,tsfehler hinreichend klein sind,kköönnen die Startwerte des Minimierungsverfahrensnnen die Startwerte des Minimierungsverfahrensanalytisch mit dem orthogonalen Modell analytisch mit dem orthogonalen Modell üüberber
berechnet werden.berechnet werden.
( ) ( )ttM t M M M0 x y z
x y z r r r= =r ∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆
M0r
Mit dem NewtonMit dem Newton--Verfahren Verfahren (numerisch Paul(numerisch Paul--Verfahren) Verfahren) lassen lassen sich iterativ die Maschinenkoordinatensich iterativ die Maschinenkoordinatenberechnen. Der Fixpunkt der Iteration berechnen. Der Fixpunkt der Iteration produziert die Lproduziert die Löösung des inversen Problems.sung des inversen Problems.
M M1 N ( ) , {0,1, }i i i+ = ∈r f r …
M * M *N ( )=r f r
Nf
25.07.2009MV.101
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Analytische 4Analytische 4--PunktePunkte--KalibrationKalibration
( )tS S S S1 0 0 0x y z=p
( )tS S S S2 1 0 0x y z=p
( )tS S S S3 0 2 0x y z=p
Systeme mit Linearachsen 5
( )tS S S S4 0 0 3x y z=p
C unbekannt!r
xMx
yM
y
zMz
SR
SM
S
25.07.2009MV.102
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Empirische Bestimmung SteuerungskoordinatensystemsEmpirische Bestimmung Steuerungskoordinatensystems
33--PunktePunkte--FormForm
( )tS S S S1 0 0 0x y z=p
( )tS S S S2 1 0 0x y z=p
( )tS S S S3 0 2 0x y z=p
Systeme mit Linearachsen 6
Te e e p
0RK
R R R R
=FHG
IKJ
x y zc h 1
1( )
R R1
tR R R R RR 1K
R R1
1
x
x y z y
z
− −=
−
p e
e e e p eT
p e
0
xR
yR
zR
TK
R
xK
yK
zK
ex
R
ey
Rez
R
p1
R
p2
R
p3R
C unbekannt!r
xMx
yM
y
zMz
SR
SM
S
25.07.2009MV.103
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Systeme mit Linearachsen 7
Aus der Definition des SteuerungskoordinatensystemsAus der Definition des Steuerungskoordinatensystemsfolgt die notwendige Bedingung:folgt die notwendige Bedingung:
( )( )( )
t
M M
t
M M
t
M M
0 0
0
x xx
y yx yy
z zx zy zz
u
u u
u u u
=
=
=
u
u
u
25.07.2009MV.104
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Wie lassen sich die Modellkonstanten Wie lassen sich die Modellkonstanten empirisch bestimmen?empirisch bestimmen?
, { , , }C x y zPεε
ε ε= ∈
Welche transformationsinvariante GrWelche transformationsinvariante Größößenenlassen sich hierflassen sich hierfüür heranziehen?r heranziehen?
Systeme mit Linearachsen 8
25.07.2009MV.105
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Systeme mit Linearachsen 9
Empirische Bestimmung der ModellkontantenEmpirische Bestimmung der Modellkontanten
( )tR S S Si i
x y z↔r S S A Ai j i j− = −r r r r44--PunktePunkte--FormForm
( )tS S S S1 0 0 0x y z=p
( )tS S S S2 1 0 0x y z=p
( )tS S S S3 0 2 0x y z=p
SSS S01 0SSR R01 0 z
x
yyx xC
z
−= = − r r
SSS S02 0SSR R02 0 z
y
xxy yC
z
−= = − r r
SSS S03 0SSR R03 0
z
xxz zC
yy
−= = − r r
⇒
( )tS S S S4 0 0 3x y z=p
25.07.2009MV.106
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Systeme mit Linearachsen 10
R A A RR A , {1,2,3,4}i i i= + ∈r D r t
( )R R A A R A R RR A R Ai j i j⇒ − = + − +r r D r t D r t
( )R R A A ARi j i j⇒ − = −r r D r r
R R A AARR R A A
i j i j
i j i j
− −⇒ =
− −r r r r
Dr r r r
R RR 1 0A R R
1 0
x
−=−
r ru D
r rR R
R 2 0A R R
2 0
y
−=−
r ru D
r r
R RR 3 0A R R
3 0
z
−=−
r ru D
r r
⇒
Empirische Bestimmung der normierten AchsrichtungsvektorenEmpirische Bestimmung der normierten Achsrichtungsvektoren
R R A Ai j i j− = −r r r r
44--PunktePunkte--Form:Form:
25.07.2009MV.107
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
Systeme mit Linearachsen 11
tI
1
Min ( , , ) ( , , ) , mitI
i i i ii=
→ ∑p r p x y r p x y p
2t
E( , , ) ( , , ) ( , , )i i i i i i=r p x y r p x y r p x y
Iterative Parameteridentifikation kartesischer SystemeIterative Parameteridentifikation kartesischer Systeme
Minimierungsproblem:Minimierungsproblem:
Startwerte analytisch Startwerte analytisch üüber 4ber 4--PunktePunkte--MethodeMethodeberechnen.berechnen.
25.07.2009MV.108
Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack
( )S S S R AM M M R( , , ) ( ) , miti i x i x y i y z i z iC x C y C z= + + − +R
Ar p x y u u u D r tΘΘΘΘ
( )tt t t t A tM M M Rx y z x y zC C C= R
Ap u u u tΘΘΘΘ
( )tx y z=xR=y r
Residuum:Residuum:
( )( )( )
t
M M
t
M M
t
M M
0 0
0
x xx
y yx yy
z zx zy zz
u
u u
u u u
=
=
=
u
u
u
Systeme mit Linearachsen 12
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