Verstarkungseigenschaften der Feed-Forward Chain

Jana Cherniatinska & David Lindemann

1. Aufbau des Ohrs Das Ohr wird in drei Bereiche eingeteilt:

• Das Außenohr umfasst den Ohrknorpel, die Ohrmuschel, das Ohrlappchen, denaußeren Gehorgang oder auch Ohrkanal und die Außenseite des Trommelfells.

• Zum Mittelohr gehoren das Trommelfell und die Gehorknochelchen Hammer, Am-boss und Steigbugel. Das Mittelohr mit den hebelformig verbundenen Gehorknochelchenhat die Aufgabe, den im Gehorgang ankommenden Schall moglichst vollstandig indie Horschnecke (Cochlea), unser eigentliches Hororgan, einzuleiten.

• Das Innenohr umfaßt neben dem Hororgan in der Cochlea das aus drei Bo-gengangen bestehende Gleichgewichtsorgan.

Bild 1: Das Ohr

Cochlea (Horschnecke) Die Cochlea ist ein schneckenhausformiges Gebilde mit zweiein-halb Windungen, das im ausgerollten Zustand eine Lange von etwa 32 Millimetern habenwrde. Die Schnecke besteht aus drei flussigkeitsgefullten Kammern (Scala vestibuli, Scalatympani und Ductus cochlearis), die jeweils durch eine Membran in Langsrichtung ge-trennt sind. Die mittlere Kammer (Ductus cochlearis), der so genannte Schneckengang,beherbergt das Corti’sche Organ, das auf einer der beiden Trennmembranen (Basilarmem-bran) sitzt. Das Corti’sche Organ besteht in Langsrichtung gesehen aus drei Reihen

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außerer und einer Reihe innerer Haarzellen, die durch eine Deckmembran abgedeckt undgekoppelt sind. Insgesamt hat der Mensch pro Ohr etwa 20.000 Haarzellen, an welche dieNervenfasern der Hornerven anschließen.

Bild 2: Cochlea

• Die Außeren Haarsinneszellen (3 Reihen) dienen der Verstarkung der Schallwan-derwellen (Cochlea Verstarker). Sie arbeiten als akustischer Vorfilter, das Dankder Fahigkeit der außeren Haarzellen zur direkt vom Frequenzspektrum gesteuertenLangenverstellung auch ein schnell adaptives Filter ist.

• Die Inneren Haarzellen (eine Reihe) sind fur die Umwandlung mechanischer Schwingun-gen in Nervenimpulse (die so genannte Transduktion) zustandig, die an das Gehirnweitergeleitet werden.

Bild 3: Basilarmembran

Beim Horvorgang wird durch die Schwingungen des Trommelfells und der Gehorknochelchenketteund damit der Steigbugelfußplatte auf der Basilarmembran eine so genannte Wanderwelle

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ausgelost. Durch den speziellen Aufbau des Innenohres kommt es dabei zur maximalenAuslenkung der Basilarmembran jeweils an einem bestimmten Ort, der von der dargebote-nen Frequenz abhangt (Bild 3), und es kommt zur Mitbewegung des Cortischen Organsgegenuber der Tektorialmembran.

So ist jedem Ort auf der Basilarmembran eine bestimmte Frequenz bzw. Tonhohezugeordnet: Hohe Frequenzen werden an der Schneckenbasis, tiefe Frequenzen in derSchneckenspitze verarbeitet und reizen die dort sitzenden Haarzellen sehe Bild 4.

Dadurch entsteht eine Schwingung der Sinnesharchen der außeren Haarzellen undUbertragung der Druckschwankungen auf die Endolymphe in der Scala media. Hierdurchschwingen die Sinnesharchen der inneren Haarzellen in der Flussigkeit. Dementsprechendsind die außeren Haarzellen, die besonders schadigungsanfallig sind, keine typischen Sin-nenszellen, die Informationen ans Gehirn senden, sondern sie sprechen die inneren Haarzellenan und erfullen damit in erster Linie Regel- und Verstarkungsfunktionen. Die innerenHaarzellen fungieren dagegen als Sinneszellen, die mechanische Schwingungen in Nerven-impulse umsetzen.

Bild 4: Cochlea. Die inneren (IHZ) haben intensive synaptische Kontakte zu afferentenFasern (rot), die außeren (AHZ) hauptsachlich zu efferenten Fasern aus der oberen Olive(ocker). Beide strecken Sinneshaare (Stereozilien) zur Tektorialmembran, mit der dieStereozilien der AHZ direkten Kontakt haben.

Die beobachtete Dynamik den aßeren Haarzellen hat man experimentell versuchtdarzustellen.

2. Elektronische Simulation Es gibt Modelle, die das Horsystem imitieren, undderen Elemente in der Nahe einer Hopf Bifurkation abgestimmt sind.

Man vermutet, dass die Elemente, deren Eigenschaften qualitativ den Van der Pol Os-zillatoren ahneln, fur die Verstarkung in einigen dieser Fallen verantwortlich sein konnen.Aufgrund des Auftretens von Hopf Bifurkation in den Gehorsystemen einer Reihe vonTieren und Insekten, existieren physiologische Beweise fur diese aktive Art der Audition.

Es wurden auch Modelle vorgeschlagen, die die Kopplung zwischen den Grenzzyklen,die aus Hopf Bifurkation entstehen, benutzen. Diese Kopplung ist dafur da, um diesignifikante Verstarkungseigenschaft des Insektengehors zu produzieren. Mc Cullen fuhrte

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Experimente an als Feed-Forward Chains gekoppelten nichtlinearen modifizierten Van derPol unabhangigen Oszillatoren durch. Eine graphische Darstellung ist Bild 5.

Bild 5: Das Schema einer Feed-Forward Chain mit periodischen Erzwingung. Drei iden-tischen Oszillatoren (oder ”Zellen”) sind in eine Richtung, wie man an den Pfeilen sieht,gekoppelt. Es wurde ein kleines erzwingtes Signal mit der Amplitude ε und Frequenz ωFzu der Zelle-1 hinzugegeben,dass eine Schwingung in dem System erzeugt.

Eine auffallige Eigenschaft des ursprunglichen nichterzwungenen Modells ist die Prog-nose, dass die Amplitude der dritten Zelle proportional zu λ

16 wachst. In der zweiten Zelle

ist der Wachstum λ12 .

Die Idee war, ein Netzwerk zu benutzen, das ausgewahlte Inputsignale der speziellenFrequenz verstarkt. Die Reaktion auf die harmonische Erzwingung mit der Amplitudeε und der variierten Frequenz ωF sind in dem Bild 6 zu sehen. In dem Experimentwurde das Verhaltnis der Reaktion der Amplitude zwischen den Zelle zwei und drei furden begrenzten Bereich der erzwingten Frequenz gemessen. Die Ergebnisse sind in demrechten Bild zu sehen. Aufgezeichnet wurde auch eine Gerade mit der Steigung m = 1/3.Man sieht einen linearen Zusammenhang mit der kleinsten Quadraten Schatzung desAmplitudenverhaltnisses von 0.3687± 0.001602.

Zur Erinnerung: Ein Bandpass ist ein Audiofilter, der nur Signale eines bestimmtenBereiches von Frequenzen passieren lasst, wahrend die Signale mit der Frequenz außerhalbdes Bereiches gedamft werden. Wie man sieht, verhalt sich die Feed-Forward Chain wieein Bandpassfilter bei Signalen mit erstaunlich kleinen Amplituden,falls die Inputfrequenznahe genug der Hopffrequenz ist. Damit wir die Frequenz des Inputsignals auch als genaudiese Wahrnehmen, sollte das menschliche Gehor genau diese Eigenschaft haben.

Zusammengefasst, zeigen die Experimente von McCullen mit (naherungsweise) iden-tisch gekoppelten elektronischen Schaltungen die vermutete Eigenschaft, dass die FeedForward Chain sich als Bandpass Filter verhalt. Sie zeigen auch die erwartete Wachstum-srate des Outputs.

Einige Autoren haben vorgeschlagen, dass die Struktur der Außeren Haarzellen auf derBasilarmembran linearen Anordnung der gekoppelten Zellen eingestellt sein kann. JedeZelle ist nahe dem Bifurkation Punkt abgestimmt, aber mit unterschiedlichen Frequenzen.

3. Analytische Untersuchung (Periodische Erzwingung)der Feed Forward Chain.

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Bild 6: (Links)Die Reaktion einer Feed-Forward Chain auf die Veranderung der Frequenzω. Durch den Anschluss der dritten Zelle bekommt man eine Vergroßerung der Amplitude.Um dies zu sehen, werden die Reaktionen der Zellen 2 und 3 einzeln angezeigt. Man siehteine scharfe Spitze bei ωF = ωH , der Eigenfrequenz des Systems bei der Hopf Bifurkation.(Rechts) Die Verstarkung der Schwingung in den Zellen 2 und 3 in dem Bereich zwischen129.5 und 130 Hz von ωF . Die Gerade zeigt einen Gradienten von 1/3 in dem Bereich vonωF .

Definition der Feed-Forward Chain Die 2-dimensionale, 3-zellige Feed-ForwardChain ist definiert durch

x1 = f(x1, x1, λ),

x2 = f(x2, x1, λ),

x3 = f(x3, x2, λ),

wobei x1, x2, x3 ∈ R2, λ ∈ R, f : R2 × R2 × R → R, (u, v, λ) 7→ f(u, v, λ) stetig differen-zierbar, eine graphische darstellung ist auf dem Bild 1. Weiterhin nehmen wir an, dassf(0, 0, λ) = 0 ∀λ ∈ R.

Bild 7: 3-Zellen Feed-Forward Chain

Die Wachstumsrate der Amplitude der periodischen Losungen hat bei der gewohnlichenHopf Bifurkation des Systems mit dem Bifurkations Parameter λ die Ordnung λ

12 .

Oben genannter Netzwerk erzeugt eine bestimmte Dynamik unter der Synchronie-brechende Hopf Bifurkation. Diese spezielle Hopf Bifurkation der Feed-Forward Zellenfuhrt zu der Famillie der periodischen Losungen, deren Amplitude mit unerwartet großerWachstumsrate von λ

16 wachst. Diese Eigenschaft wird in der weiteren Ausarbeitung

gezeigt.

Solche Wachstumsrate weist darauf hin, dass, wenn die Feed-Forward Chain nahe derSynchronie-brechenden Hopf Bifurkation abgestimmt ist, es dazu dienen kann, periodische

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Signale, deren Frequenz ω nahe der Hopf Frequenz ωH liegt, zu verstarken und die Signale,deren Frequenz ω weit weg von ωH liegt, zu dampfen.

Nummerische Simulationen (McCullen) mit identisch gekoppelten Schaltungen zeigen,dass Feed-Forward Chain sich als leistungfahiger Filterverstarker verhalten konnte. DieseBehauptung wird allerdings nur unter beschrankten theoretischen Annahmen nachgewiesen.

Wir nehmen an, dass zu der ersten Zelle der Feed-Forward Chain eine periodischeErzwingung mit der Frequenz ωf und einer kleinen Amplitude ε hinzugefugt wird. Seiweiterhin λ der Bifurkationsparamter der internen Dynamik der Zellen, die nahe demHopf Bifurkations Punkt abgestimmt ist. Die Frage ist: Wie groß ist die Amplitude derReaktion auf die Erregung in der Zelle 2 und 3 als eine Funktion der periodischen Frequenzωf .

Aufgrund der Resonanz, sollte die Reaktion auf die Erregung groß sein, wenn dieFrequenz der Schwingung sich der Hopf Frequenz ahnelt, und klein andererseits.

Bild 8: 3-Zellen Feed-Forward Chain

Die differentiale Gleichung fur die periodisch schwingte Feed-Forward Chain gegebendurch

x1 = f(x1, x1 + εg(ωf t), λ),

x2 = f(x2, x1, λ),

x3 = f(x3, x2, λ),

wobei x1, x2, x3 ∈ R2, λ ∈ R ist der Bifurkationsparameter, g : R → R2 ist 2πperiodische Funktion der Schwingung.

Um die Simulation durchzufuhren, geben wir die g und f an. Speziell gelten folgendeAnnahmen fur die interne Dynamik der Zellen:

(B1) der Phasenraum internen Zellen ist 2-dim und identifiziert mit C

(B2) die Dynamik internet Zellen ist durch ”truncated” gekurzte Normal Form fur dieHopf Bifurkation beschrieben

(B3) Hopf Bifurkation ist superkritisch, d.h. die Losung ist stabil fur λ < 0. GraphischeDarstellung im Bild

(B4) der kubische Term solcher Normal Form ist reell

(B5) die Koppelung des Netzwerkes ist linear

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Bild 9: Superkritische Hopf Bifurkation.Nichtlinearitat erfullt Z = (λ+ iω)Z − (1 + ib)|Z|2Z. Fur λ > 0 sind die Z = 0

Losungen instabil.

Nehme an, f sei von der Form

f(u, v, λ) = (λ+ iωH − |z|2)z − y, (∗)

ωH > 0, z, y ∈ C, λ < 0, so dass die interne Dynamik um den Punkt der Hopf Bifurkationschwingt (dies ist nicht die Normalform fur eine Hopfbifurkation, allerdings ist sie ahnlich).

Die analytische Untersuchung wird mit zwei Arten von Schwingungen durchgefuhrt,und zwar mit einfacher harmonischer Schwingung und mit ”spiking” Schwingung. Dieeinfache harmonische Schwingung hat die Form: g(t) = eit. Die ”spike” Schwingungbekommt man als nummerische Losung der Fitzhugh-Nagumo Gleichung

υ = 6.4− 120m3h(υ − 115)− 36n4(υ + 12)− 0, 3(υ − 10.5989)

n = αn(1− n)− βnn,

wo

h = 0.8− n m = αm/(αm + βm) αm = 0.1(25− υ)e1−(25−υ)/10

βm = 4e−υ/18 αn = 0.01(10− υ)e1−(10−υ)/10 βn = 0.125e−υ/80

Um g(t) zu erhalten, normalisieren wir (υ(n), n(t)) so, dass es Mittelwert 0 undDurchmesser 2 hat. Die erste Koordinate der Zeitreihe fur die ”Spike” Schwingung in demrechten Bild 10 gezeigt. Diese Zeitreihe ist zu der einfachen harmonische Erzwingung indem linken Bild verglichen.

Fur hinreichend klein ε, periodische Schwingung des Systems gewohnlicher differentialGleichungen mit Amplitude nahe stabilem Gleichgewicht, erzeugt der Ordnung ε peri-odische Antwort auf die Erregung. Frequenz der Schwingung ist gleich der Frequenz derAntwort auf die Erregung.

Periodischer Output x1(t) kommt in die Zelle 2 rein; λ < 0 impliziet, dass der Ursprungin der Gleichung der Zelle 2 stabil ist. Der Fakt, dass λ nahe dem Bifurkation Punkt,impliziet, dass die Anziehungsrate dieses Gleichgewichtes klein wird. DAdurch, nur wenn

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Bild 10: Die erste Koordinate der Zeitreihe der 2π-periodischen Losung. (Linkt) Einfacheharmonische Schwingung cost.(Rechts) ”Spike” Schwingung

ε sehr klein ist, wird der periodische Output der Zelle 2 der Ordnung ε.

Aufgrund der Resonanz, erwarten wir die Amplitude von x2(t) groß zu sein, wenn ωfnahe ωH ist. Allerdings, Kern und Stoop haben beobachtet, dass wenn die differentialGleichung fr f ist (∗) mit ε > |λ| 32 , dann wird der Wachstum des periodischen Outputs

der Ordnung ε13 . Daruber hinaus erwarten wir die Amplitude von x3(t) noch großer in

dem Region zu sein; also wir konnen erwarten, dass die Amplitude der Zelle 3 wachst mitder Rate ε

19 .

Um diese Aussage bildlich darzustellen, fuhren wir folgende Simulation durch.

Wir fixieren erst die ε > 0 und λ < 0. Danach werden die Amplituden der periodischenZustanden der Zellen 1,2 und 3 als die Funktion der erzwingten Frequenz ωf aufgezeichnet.Das Ergebnis ist im Bild graphisch dargestellt.

Bild 11: Amplitude der Zellen 1 (punktierte Kurve), 2 (gestrichelte Kurve) und 3 (durchge-zogene Kurve) als Funktion von der periodischen Erzwingung; λ = −0.01, ε = 0.03,ωH = 1, 0.7 ≤ ωf ≥ 1.3 (Links) Einfache harmonische Schwingung; (Rechts) ”Spike”Schwingung

Man sieht hier, dass die Inputschwingung verstarkt ist, wenn ωf ≈ ωH . Dieses quali-

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tative Ergebnis hangt insbesondere nicht von der Form von g ab. Die Kurve der Antwortauf die Erregung ist symmetrisch in ωf = ωH .

In der weiteren Abbildung zeigen wir die Amplitude der Reaktion auf die Erregungin den drei Zellen als eine Funktion von ε fur beide Schwingungen, harmonische und”spiking”. In beiden Fallen sieht man anlichen Muster der Wachstumsrate der Amplitude.Die Amplitude der ersten Zelle wachst linear mit ε. In der zweiten Zelle, wenn ε steigt, dieWachstumsrate strebt gegen ’Kubikwurzel’, r ∼ ε

13 . In anlicher Weise sieht man in der

dritten Zelle, fur große ε, r ∼ ε19 . Da ε von Null an wachst, gibt es ein Ubergangsbereicht

fur diese Regime. Es scheint fur verschiedene Werte von ε und verschiedene Arten derErregung(Schwingung). Dies ist nicht unerwartet. Man hat wirkurlich entschieden denDurchmesser der zwei Arten der Erregung gleich zu setzen, weil es unklar ist, wie mandie Amplitude der ”spiking” Erregung definieren sollte.

Bild 12: Lol-log plot der Amplituden in den Zellen 1 (◦), 2 (×) und 3 (+) als Funktionvon ε, fur harmonische und ”spike” Erregung. Es wurden auch Linien mit der Steigung1, 1

3und 1

9graphisch dargestellt. Die Parameter sind ωf = ωH = 1,λ = −0.01 (a)

0.0005 < ε < 0.36, (b) 0.0025 < ε < 0.9.

4. Periodische erzwingte Schwingung (Erzwingung). Die Beobachtung in dennummerischen Simulationen und Experimenten regt fur weiteres theoretische Ansatz derperiodischen Erzwingung der Systemen nahe der Hopf Bifurkation an.

In diesem Abschnitt betrachten wir die periodischen Erzwingung der Systemen naheder Hopf Bifurkation. Insbesondere wollen wir folgendes zeigen. Wenn der kubischeTerm in Hopf Bifurkation einen ausreichend großen imaginaren Teil hat, tretten vielfacheperiodische Losungen, da ωf neben der Hopf Frequenz ωH variiert. Die Existenz derBereichen der Vielfachheit erfordert allgemeine Theory fur periodische Erzwingung derSystemen nahe der Hopf Bifurkation.

Wir haben angenommen, dass das erzwungene System ist in der ”truncated” normalForm. Desweiterem erfullt das System nur (B1-B3) (das kubische Term ist nicht mehrreell).

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Wir addieren eine Erzwingung und bekommen eine Gleichung der Form

z = (λ+ iωH)z + c|z|2z + ε expiωf t,

wo λ < 0 und ε > 0, c = cR + icI und cR < 0. Wir skalieren z neu beim SetztencR = −1.

Die skalierte Gleichung hat die Form

z = (λ+ iωH)z + (−1 + iγ)|z|2z + εeiωf t, (∗∗)

wo γ = cRcI

.

In dem unteren graphischen Darstellung sind die Ergebnisse der Simulation, wennγ = 0 und γ = 10 zu sehen. Beide Simulationen zeigen Verstarkung der Erzwingungwenn ωf ∼ ωH = 1. Bei γ 6= 0 kann allerdings Bistabilitat der periodischen Losungenvorkommen.

Bild 13: Amplitude der Losungen als eine Funktion der Hopf Frequenz der Gleichung(**), mit ωH = 1,λ = −0.0218, ε = 0.02. (Links) γ = 0 (Rechts) γ = 10 ′sund◦’s bezeich-nen zwei separate Gruppen der Simulation mit verschiedenen Anfangsbedingungen. Fur0.35¡ωf ¡0.7 gibt es zwei stabile Losungen.

Da die Normalform fur die Hopf Bifurkation Phasenverschiebungssymmetrie hat, konnendie Gleichungen der Normalform durch eine Koordinatendrehung gelost werden. Das gle-iche gilt fur ein erzwingtes System. Es gilt z = uei(ωf t−θ), wo θ beliebige Phasenver-schiebung. Wir setzen dies in (**) ein:

u = (λ+ iω)u+ (−1 + iγ)|u|2u− εeiθ,

wo ω = ωH − ωf . Stationare Losungen in u fur alle θ stimmen mit den periodischenLosungen in z(t) mit der Frequenz ωf . Wir setzen u = 0 und losen

g(u) ≡ (λ+ iω)u+ (−1 + iγ)|u|2u = εeiθ

fur alle u und θ.

Es gilt |g(u)|2 = ε2 und |g(u)|2 = (λ2 + ω2)|u|2 + 2(ωγ − λ)|u|4 + (1 + γ2)|u|6.

|g(u)|2 hangt nur von |u|2 ab.

Man setzt δ = ε2 und R = |u|2. Einsetzten in die obere Gleichung ergibt

G(R, λ, ω, γ, δ) ≡ (1 + γ2)R3 + 2(ωγ − λ)R2 + (λ2 + ω2)R− δ = 0 (∗ ∗ ∗)

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Wir konnen annehmen, dass γ ≥ 0, da G(R, λ, ω, γ, δ) invariant unter der Parameter-symmetrie (ω, γ) → (−ω,−γ). Wenn γ = 0, dann ist G(R, λ, ω, γ, δ) invariant unter derParametersymmetrie ω → −ω.

Wir legen λ < 0,δ > 0 und γ ≥ 0. Ermittele Bifurkationsdiagramm, das aus derLosungen R > 0 zu (∗ ∗ ∗) besteht, bei veranderung der ω. Die Veranderung beziehtsich auf die Veranderung entweder von ωf oder ωH in der ursprunglichen erzwungtenGleichung (∗∗).

Bild 14: Bifurkationsdiagramm der Losungen zu (∗∗∗) fur verschiedene γ. Wenn γ steigt,wird die Reaktionskurve assymetrisch. Und da es weiter steigt, gibt es vielfache Losungenfur manche Werte von ω . Die benutzten Parameter sind δ = 0.01,λ = −0.109

Wir benutzen die Theory uber hysteresis Punkte, um das Auftretten der Vielfachheitfur beliebig kleine λ < 0 und δ > 0 zu zeigen. Hysteresis Punkte entsprechen solchenPunkten, in welchen die Bifurkationsdiagramm eine vertikale der kubischen Ordnung Tan-gente hat. Diese Punkte sind folgend definiert:

G = GR = GRR = 0 and Gω 6= 0 6= GRRR

G = (1 + γ2)R3 + 2(ωγ − λ)R2 + (λ2 + ω2)R− δ = 0 (4.1),

GR = 3(1 + γ2)R2 + 4(ωγ − λ)R + (λ2 + ω2) = 0 (4.2),

GRR = 6(1 + γ2)R + 4(ωγ − λ) = 0 (4.3),

GRRR = 6(1 + γ2) > 0,

Gω = 2R(γR + ω) 6= 0,

und

GωR = 2(2γR + ω),

Gγ = 2R2(γR + ω),

GγR = 2R(3γR + 2ω).

Vielfachheit der Losungen trett dann auf, wenn die Veranderung der γ zu allgemeinerEntfaltung des hysteresis Punktes furt. γ ist allgemeiner Entfalltungsparameter dann undnur dann, wenn∣∣∣∣Gω GωR

Gγ GγR

∣∣∣∣ 6= 0

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Die obere Determinante ist G2ω, die 6= 0 in jeden hysteresis Punkt ist. Daruber hinaus

wird die Veranderung der γ immer zu der allgemeiner Entfaltung des histeresis Punktesund zu der Vielfachheit der Losungen fur eine festes ω.

Bild 15: Hysterese

Satz Es existiert ein einziger hysteresis Punkt von G in R = Rc(δ, λ),ω = ωc(δ, λ),γ = γc(δ, λ) fur alle kleine λ < 0 und δ > 0. Ferner gilt,

ωc(δ, 0) = −√

3(2δ)13 γc(δ, 0) =

√3 Rc(δ, 0) = ( δ

4)13 (4.4).

Beweis:

Wir behaupten, dass die Gleichungen (1)−(2) durch δ und λ die Rc,ωc und γc eindeutigbestimmen (definieren).

Besonders zeigen wir, dass

Rc(δ, λ) = ( δ1+γ2c

)13 > 0 (4.5)

γc(δ, λ) = λ+√3ωc

ωc−√3λ

(4.6).

Ferner gelte es

p(ω) = ω3 −√

3λω2 + λ2ω −√

3λ3 = (ω −√

3λ)(ω2 + λ2) (4.7).

Dann ist ωc(δ, λ) die Losung der Gleichung

∂(ωc) = −6√

3δ (4.8).

Diese Losung ist eindeutig.

Wenn λ = 0 ist, ω3c = −6

√3δ.

Wir uberprufen die Gleichung (4.5). Als erstes losen wir (4.3). Daraus ergibt sich

R = −2(ωγ−λ)3(1+γ2)

(4.9).

Danach losen wir RGRR −GR = 0, wir erhalten folgendes

R2 = λ2+ω2

3(1+γ2)(4.10).

12

Durch die Multiplikation (4.9) mit R und Einsetzten in die (4.10), bekommen wir

2(ωγ − λ)R = −(λ2 + ω2) (4.11).

Wir setzten letzte Gleichung in (4.1) ein:

G = (1 + γ2)R3 + (2(ωγ− λ)R)R+ (λ2 +ω2)R− δ = (1 + γ2)R3− (λ2 +ω2)R+ (λ2 +ω2)R− δ = 0

⇐⇒ R3 = δ1+γ2

(4.12)

Daraus folgt (4.5).

Wir setzen R = −2(ωγ−λ)3(1+γ2)

in (4.12) und in (4.10) ein und bekommen

(1 + γ2)R3 = (1 + γ2)(−2(ωγ−λ)3(1+γ2)

)3 = − 8(ωγ−λ)327(1+γ2)2

= δ (4.13)

und

3(1 + γ2)R2 = 3(1 + γ2)(−2(ωγ−λ)3(1+γ2)

)2 = 4(ωγ−λ)23(1+γ2)

= λ2 + ω2 (4.14)

(4.14) =⇒ 4(ωγ − λ)2 = 3(1 + γ2)(λ2 + ω2)

⇐⇒ ω2γ2 − 3ω2 + λ2 − 8ωγλ− 3γ2λ2 = 0

⇐⇒ ω2(γ2 − 3)− 8ωγλ+ λ2(1− 3γ2) = 0 (4.15)

⇐⇒ (γ(ω −√

3λ)− (λ+√

3ω))(γ(ω +√

3λ)− (λ−√

3ω)) = 0 (4.16)

Moglicherweise gibt es zwei Losungen fur γc

γ = λ+√3ω

ω−σ√3λ, (4.17)

wo σ = ±1.

Mit der Hilfe von (4.16) zeigen wir, dass

ωγ − λ =√

3 λ2+ω2

σω−√3λ

(4.18)

Quadrieren der Gleichung (4.14) und einsetzen in (4.13) ergibt

(λ2 + ω2)2 = 16(ωγ−λ)49(1+γ2)2

= −−8(ωγ−λ)32(ωγ−λ)

27(1+γ2)2 13

= −6(ωγ − λ)ω (4.19)

Wir setzen (4.19) in (4.18) ein:

(ω2 + λ2)(δω −√

3λ) = −6√

3δ. (4.20)

Da δ positive ist, muss δω −√

3λ < 0 und δω <√

3λ < 0.

Wir fordern σ = +1 fur γ ≥ 0. Da λ < 0 und σω < 0, ist der Zahler in (4.17) negative.

Falls σ = −1 ist, ist der Nenner in (4.17) σ(σω−√

3λ) > 0, weil σω−√

3λ < 0. Daherγ < 0. Auf diese Weise σ = +1, dass (4.6) bestatigt.

Wir behaupten, dass fur gegebene δ und λ die ω eine eindeutige Losung der Gleichung(4.20) ist.

Man stellt fest, dass das kubische Polynom der linken Seite der Gleichung (4.20) dasPolynom (4.7) ist.

Da p′(ω) = (√

3ω − λ)2, (4.21)

13

ist p(ω) monoton, und es existiert eine eindeutige Losung ωc wie es behauptet wurde.

Als letztes zeigen wir, dass Gω ungleich Null ist. Es gilt, wenn γc(δ, λ)Rc(δ, λ) +ωc(δ, λ) < 0.

Wir erheben die Gleichung (4.13) in die dritte Potenz und quadrieren die Gleichung(4.14). Wir eliminieren ωγ − λ durch Dividieren von veranderten (4.13) durch (4.14).

1 + γ2c = (λ2+ω2c )

3

27δ2.

(4.12)=⇒ Rc = δ

13

(1+γ2c )13

= δ13

3δ23

λ2+ω2c

= 3δλ2+ω2

c.

(4.17)=⇒ Rcγc = 3δ

λ2+ω2c

λ+√3ωc

ωc−√3λ

(4.20)= −λ+

√3ωc

2√3,

Somit Rcγc + ωc =√3ωc−λ2√3

= 12(ωc − 1√

3λ)

( 1√3λ>√3λ)

< 12(ωc −

√3λ) < 0.

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