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Roter Faden:
Lösungen der Schrödingergleichung
Vorlesung 8:
Folien auf dem Web:http://www-ekp.physik.uni-karlsruhe.de/~deboer/
Siehe auch: http://www.chemie.uni-bremen.de/stohrer/skripte/QM-Skript.pdf
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Zum Mitnehmen
Teilchencharakter der Strahlung führt zu Störungen bei der Beobachtung
Die Störungen können berechnet werden wenn man die Teilchen als Wellenpakete annimmt. Dies führt zur Unsicherheitsrelation.
Die Wellenfunktion eines Teilchens gehorcht der Schrödingergleichung
Die beobachtbaren Zustände sind Eigenfunktionen der SGund die Messungen entsprechen der Eigenfunktionsgleichung: Ô|Ψ>=o| Ψ>Hier ist Ô ein Operator, der den “Kollaps” der Wellenfkt. aufeine Eigenfunktion herbeiführt und o ist der Messwert.
Nicht-kommutierende Operatoren entsprechen Observablen, dieman nicht gleichzeitig scharf messen kann und die Wellenfkt.sind nicht gleichzeitig Eigenfunktionen dieser Observablen.
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Vertauschungsrelationen
(auch Kommutator genannt)
von
z.B.
x
x(Ô2Ô1-Ô1Ô2)Ψ=(O2O1-O1O2)Ψ=0, wenn Ψ gleichzeitig Eigenfkt.von Ô1 und Ô2 ist. Kommutator gleich 0 bedeutet also das Messungvon O1 keine Nachwirkung für anschliessende Messung von O2 hat.Umgekehrt: wenn Kommutator zweier Variablen ≠ 0, dann sind diese nicht gleichzeitig scharf zu bestimmen. Unsicherheit gegeben durch [ ].
Bsp
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Weitere Vertauschungsrelationen
Gesamtdrehimpuls und eine derKomponenten nur gleichzeitig zubestimmmen.
Gesamtdrehimpuls und Energiegleichzeitig zu bestimmmen.Z-Komponente des Drehimpulsesund Energie gleichzeitig zu bestimmmen.
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Zusammenfassung der Operatoren für Observablen
Kurzschreibweise fürBerechnung einesMittelwertes eines Operators (entsprichtMittelwert einer Messung):
<o>=<Ψ|Ô|Ψ>/<Ψ|Ψ>
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Bedingungen einer Zustandsfunktion
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Übersicht der Postulate der QM
durch <o>=<Ψ|Ô|Ψ>/<Ψ|Ψ> gegeben ist.
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Übersicht der Postulate der QM
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Lösung der SG im eindimensionalen Fall
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2. Ansatz zur Lösung der SG im eindimensionalen Fall
Nur komplexe Funktionen als Lösung der SG!Gilt nicht für relat. Klein-Gordon-Gleichung,weil dort die ZWEITE Ableitung der Zeit vorkommt.
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2. Ansatz zur Lösung der SG im eindimensionalen Fall
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3. Ansatz zur Lösung der SG im eindimensionalen Fall
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4. Ansatz zur Lösung der SG im eindimensionalen Fall
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Zusammenfassung
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Wenn Ψ keine Eigenfkt. von p, was ist dann Erwartungswert von p?
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Wellenpakete sind Lösung der SG und sind quadratisch integrierbar
Wellenpaket ist Superposition vieler Wellen:
Wellenpakete sind Lösung der SG
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Wellenpakete also Lösung der SG, jedochLösung begrenzt durch Unschärferelation
Wahrscheinlichkeitsdichte <Ψ|Ψ>
Die Fouriertransformierte eines gaussförmigen Wellenpaket mit Standardabweichung σergibt im Impulsraum wieder einen Gaussform, jedoch mit Standardabweichung 1/σ !
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Phasenraumpunkt [dx,dy,dz,dpx,dpy,dpz] nicht beliebiggenau zu bestimmen:∆x∆px>h ∆y∆py>h ∆z∆pz>h
Fläche>ħ
Unschärferelation im Phasenraum
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Lösung der SG bei Streuung am Doppelspalt
Teil derWellereflektiert.
Anfang:
GausschesWellenpaket
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Lösung der SG bei Streuung an einem attraktiven Potentialwall
Streuung von2 Teilchen(GausscheWellenpakete)mit Impakt-parameter ≠ 0
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Lösung der SG in einem externen Potentialfeld
Coulombpotential ≈ Rechteckpotential bei kleinen Abständen
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Lösung der SG für Teilchen in einem endlichen Potentialtopf (schwach gebundener Zustand)
E=Ekin+V0
Ansatz:
LösungfürI+III
Lösungfür II
⇒
⇒
Quadratische Integrierbarkeit verlangtuA für x<0 und uB für x>0.Zusätlich Stetigkeit der Lösung ergibtgezeichnete Lösung: AW max. im Topf,aber exp. abnehmend ausserhalb(=Tunneleffekt, klassisch nicht erlaubt!)
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Lösung der SG für Teilchen in einem unendlich tiefen Potentialtopf (gebundener Zustand)
Stetigkeit der Lösung verlangt:
mit Randbedingung
oder mit Quantisierungder Energie durchRandbedingungen!
Für n=0
⇒Ψ=0, daher sinnlos,da Teilchen nichtvorkommt. -> n>0,d.h. n=1,2,3….
n=1 entspricht Nullpunktsenergie, die nichtunterschritten werden kann, auch bei T=0K.Nach Unschärferel.⇒ Nullpunktsschwingungen
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Normierung der Wellenfunktion
Aus
mit
folgt
Gesamtwellenfuntion:
Ψ1
Ψ2
Ψ3
Ψ4Amplitude derWellenfkt. Ψnfür diskreteEnergieniveaus(Eigenfkt.der Energie)
Realteil Ψ formt stehende Wellen
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Energiewerte, Wellenfkt. und Aufenthaltswahrscheinlichkeiten
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Erlaubte Energieniveaus in unterschiedlichen Potentialkasten
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Dies ist das Korrespondenzprinzip
Korrespondenzprinzip: QM⇒KM für makroskopische Systeme
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Erwartungswert von x
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Die Erwartung ist dass der Mittelwert von x in der Topfmitte ist
Erwartungswert von x
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Erwartungswert von px
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Die Erwartung ist dass der Mittelwert von px 0 ist, d.h. Teilchen hat mit gleicher Wahrscheinlichkeit ein Impuls nach links oder nach rechts.
Erwartungswert von px
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Zum Mitnehmen
Die Randbedingungen der SG führt zur Quantisierung der Energien
Klassische Zustände sind immer Überlagerungen von vielen Eigenzuständen.
Es gibt eine niedrigste Energie für jedes Quantensystem ≠ 0, weilansonsten die AW 0 wird. Dies entspricht eine Impulsunschärfeund dementsprechend eine Ortsunschärfe ⇒ Nullpunktsschwingungen (auch bei absoluter Temp. = 0!)
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