Zentraliibong6
Integration auf LP Roomers
Wdh : Messroiume ( X,
oh, µ )
Wahrscheinlichkeitsmap next -- 7
Wenn dim CHI -
- oo gilt H - I - L'
Lebesgue Integral : ldee :* ? ult- '
left ) # im Limes
A- f - so : fin C f- Idf ;)) → If du
→Ax
Zent rales Ergebnis : monotone Konvergent beliebigerMessroom
↳Sei Ok f.E f , I
. . .
E fan eine Fodge mess barer Fun ktionen fn : M → RI
Wenn f : --
sup In punktweise konvergiert ,damn gilt nlirnoofffn du= Ifdu
n I r
f
punk tweisekonrergenz.fm - of punktweise , wenn f '
teI
tf E > O FXEM F no EN I f- ( x ) - fn C × ) I L E , -=--
=- f
.
gleich ma"
pig konvergent : fn - of gleich ma"
pig , wenn
V ESO F no EN : Fx EM Hn > no If Cx ) - fncxll LE
Result at f- n - sf gleich MEA ,-
g mit fn stetig ⇒ f stetig
Konsequenzen : f , g IO mess bar,
a C- Rt
it If tag du = Stdµ
t A fgduiit ) EI fndu = ffndu
↳ Das gilt nicht fer das Riemann Integral↳ war um wichtigfiir QU ?
00
for 147 EH mi t dim # too, also 147 = I Cn Int
n = n
Wir mich ten integrieren , Skalarprodukte bit den, . . .
Dis hier him waren die Fonktionen positive was ist mit FLO ?
Def : Eine Ionktion heist inte grier bar f : M - or
it f ist mess bar
ii ) I Ifl d µ Loo 2=7 If 't
du Loo und ft -
du Loo
ft#max I f , O ) ¥:-. mail - fi o )
Bsp
#-ft
UF
is beliebiges f Cf inte grierbarl :f f du = I ft du - ff -
du
Eigen schatten : it faftgdm -- xffdeut Jg du are R
it ft g fast Eber all ⇒ If du If gdu-
For alle Teil mergenUc Dfl mit MCU ) to
Bsp Dcom ,= f
? × E Rl
O XE Q
Dcom ] = f- Cx ) = 7 fast berall
Dominies te Konvergenz
Sei en a ) fr, . . . , fan mess bar I 9
# f n
b) fn
- of fast is berall ( ponkweise ) Nyt '
c) Sei g± o
, mess bar mit Jg dm 200,
-
sodas Ifnl Ig ,fast ciberall
damn gilt it f und alle fi sind integrier bar
iil Iimn - soo
) Ifn - fl du = o
iiil Inigo,
f fndu =) f du
L'
= ?
I '
= f f : M → ¢ I f mess bar J Ift du L OOF
-
HIERf : M - o Cl ist das Vorgehen iden tisch zu vor her
f- = Re Cf ) ti I m C f)
JIdu - - J re Cfl die ti J Im Ifl du II14 >
,I 45 e LZ
WC 145 Messe wenn 14 >gegebenk It 414712
mi ti
e4147=14*4 du
Wenn 4 , 4 E L'
m it 4=4 fast Eberall,
damn gilt to E L ?
e 9107 = e 41017
⇒ physikalische sind 4 und y nicht unter scheid bar
e⇐define re f
ng ⇒ f=g fast Eber all
L'
-- f If In If e L
'
f
[ f)n
: -- f g e f
'
I g- f ] -
L '
ist des ein zig e LP der gleich zeitig Hilbert room ist.
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