1. Vorlesung Partielle Differentialgleichungen · Karlsruhe Institute of Technology...

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Karlsruhe Institute of Technology KIT – University of the State of Baden-Wuerttemberg and National Research Center of the Helmholtz Association www.kit.edu 1. Vorlesung Partielle Differentialgleichungen Wolfgang Reichel Übersee-Vorlesung aus Oaxaca, Mexiko, 19. Oktober 2010 Institut für Analysis

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Karlsruhe Institute of Technology

KIT – University of the State of Baden-Wuerttemberg and

National Research Center of the Helmholtz Association www.kit.edu

1. Vorlesung Partielle DifferentialgleichungenWolfgang Reichel

Übersee-Vorlesung aus Oaxaca, Mexiko, 19. Oktober 2010

Institut für Analysis

Karlsruhe Institute of TechnologyInhaltsübersicht

1. Einführung: Notation und Beispiele

2. Laplace- und Poissongleichung

3. Diffusions- und Wärmeleitungsgleichung

4. Wellengleichung

5. Methode der Charakteristiken (Gleichungen 1. Ordnung)

2/23 19. Oktober 2010 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis

Karlsruhe Institute of Technology1. Einführung: Notation und Beispiele1.1. NotationΩ ⊂ Rn sei offen. u : Ω→ R sei eine Funktion. Schreibweise: u(x) bzw.u(x1, x2, . . . , xn).

Falls alle partielle Ableitungen der Ordnung ≤ k ∈ N existieren undstetig sind so schreibt man:

u ∈ Ck (Ω)

C0(Ω) = Menge der auf Ω stetigen Funktionen

∂u∂xi

, uxi , i = 1, . . . , n partielle Ableitung 1.Ordnung nach xi

∂2u∂xj∂xi

, uxi xj , i, j = 1, . . . , n partielle Ableitung 2.Ordnung nach xi , xj

Reihenfolge erheblich? Satz von Schwarz: u ∈ C2(Ω)⇒ uxi xj = uxj xi

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Karlsruhe Institute of TechnologyGradient, Hesse-Matrix

Für u ∈ C1(Ω) heisst der Spaltenvektor

grad u = ∇u =

(∂u∂x1

, . . . ,∂u∂xn

)T

= (ux1 , . . . , uxn )T

Gradient von u (=Richtung des steilsten Anstiegs von u)

Für u ∈ C2(Ω) heisst die symmetrische n × n-Matrix

D2u =

ux1x1 · · · ux1xn...

. . ....

uxnx1 · · · uxnxn

=

∂2u∂x2

1· · · ∂2u

∂x1∂xn

.... . .

...∂2u

∂xn∂x1· · · ∂2u

∂x2n

Hesse-Matrix von u.

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Karlsruhe Institute of TechnologyHöhere partielle AbleitungenWie beschreibt man effizient höhere partielle Ableitungen von u?Multiindex-Schreibweise

Definition (Multiindex)Ein Vektor α = (α1, . . . , αn) ∈ Nn

0 mit ganzzahligen Einträgen heisstMultiindex. Die ganze Zahl

|α| = α1 + . . . + αn

heisst Ordnung des Multiindexes.Für u ∈ C |α|(Ω) heisst

Dαu :=∂|α|u

∂xα11 · · · ∂xαn

n

partielle Ableitung der Ordnung |α| zum Multiindex α.

5/23 19. Oktober 2010 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis

Karlsruhe Institute of TechnologyBeispiele

n = 2, α = (0, 1)

Dαu =∂u∂x2

n = 3, α = (2, 0, 1)

Dαu =∂3u

∂x21∂x3

n = 4, α = (1, 1, 1, 1)

Dαu =∂4u

∂x1∂x2∂x3∂x4

6/23 19. Oktober 2010 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis

Karlsruhe Institute of TechnologyVektorwertige FunktionenIst U : Ω→ Rl eine vektorwertige Funktion und U = (u1, . . . , ul)

T sobedeutet U ∈ Ck (Ω), dass u1, . . . , ul ∈ Ck (Ω) liegen.Ebenso:

DαU = (Dαu1, . . . ,Dαul)T

Divergenz: im Fall l = n

div U = ∇ · U =n∑

i=1

∂ui

∂xi= u1,x1 + · · ·+ un,xn

Rotation: im Fall l = n = 3

rot U = ∇ × U =

u3,x2 − u2,x3

u1,x3 − u3,x1

u2,x1 − u1,x2

=

∂u3

∂x2−∂u2

∂x3∂u1

∂x3−∂u3

∂x1∂u2

∂x1−∂u1

∂x2

7/23 19. Oktober 2010 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis

Karlsruhe Institute of TechnologyIdentitäten zwischen rot, div, grad und ∆

Seien u : Ω→ R, U : Ω→ Rn C2-Funktionen. Es gilt

div grad u = ∇ · (∇u) =n∑

i=1

∂2u∂x2

i

= ux1x1 + · · ·+ uxnxn = ∆u

∆ =∑n

i=1∂2

∂x2i

heisst Laplace-Operator.

Für n = 3 giltrot(rot U) = grad(div U) −∆U

unddiv(rot U) = 0, rot(grad u) = 0.

8/23 19. Oktober 2010 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis

Karlsruhe Institute of Technology1.2. Was ist eine partielle DGl?

Pseudo-DefinitionEine partielle Differentialgleichung (pDGl) ist eine Gleichung, welcheFunktionswerte und partielle Ableitungen einer Funktion u : Ω→ Rl

enthält. Dabei ist Ω ⊂ Rn offen.

Beispiel: (Wellengleichung). n = 2, l = 1, Ω = R2. Sei

u :

R2 → R

(x, t) 7→ u(x, t)eine zweimal stetig differenzierbare Funtion

u heisst Lösung der Wellengleichung

(1) utt − uxx = 0

falls gilt: utt (x, t) − uxx(x, t) = 0 für alle (x, t) ∈ Ω × R.t =Zeit, x =Ort. (1) heisst eindimensionale Wellengleichung.

Alternative Schreibweise für (1):∂2u∂t2−∂2u∂x2

= 0.

9/23 19. Oktober 2010 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis

Karlsruhe Institute of Technology1.3. Woher kommen pDGlen?Welche Fragen stellen sich bei pDGlen?

Physik: Quantenmechanik, Elektrodynamik, Thermodynamik,Elastizitätstheorie, Optik, Flüssigkeits- und Gasdynamik, Kristallbildung,Wasserwellen usw.

Biologie: Populationsdynamik, Musterbildung (Morphogenese),Räuber-Beute-Modelle, Ausbreitung von Krankheiten

Chemie: Reaktionskinetik, Reaktions-Diffusionsmodelle

Finanzmathematik: Bestimmung von Optionspreisen (Black ScholesModell), stochastische Differentialgleichungen

Geometrie: Bestimmung von Flächen vorgegebener mittlerer oderGaußscher Krümmung, Beweis der Poincaré-Vermutung

10/23 19. Oktober 2010 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis

Karlsruhe Institute of TechnologyFragestellungen

Explizite Lösungen sind die Ausnahme!

Existenz von Lösungen

Eindeutigkeit oder Vielfachheit von Lösungen

Stetige Abhängigkeit der Lösungen von den Daten

qualitative Aussagen über Lösungen; Verhalten für grosse Zeiten;Aussagen über die Gestalt der Lösungen

Bestimmung von Näherungen (-> Numerik)

11/23 19. Oktober 2010 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis

Karlsruhe Institute of Technology1.4. Beispiele von pDGLen(a) Transportgleichung:u(x, t) = Stoffkonzentration zur Zeit t ∈ R am Ort x ∈ Rn. u ∈ C1(Rn+1).

c ∈ Rn: Wind konstanter Stärke und Richtung

Sei D ⊂ Rn offen: M(D) = Stoffmenge in D zum Zeitpunkt t

M(D) =

∫D

u(x, t) dx =

∫D+cτ

u(x, t + τ) dx

wobei τ > 0 eine beliebige Zeitspanne ist(Annahme: nichts geht verloren, nichts kommt dazu)

M(D) =

∫D

u(x, t) dx =

∫D

u(x + cτ, t + τ) dx

Differentiation nach τ und Auswertung bei τ = 0:

12/23 19. Oktober 2010 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis

Karlsruhe Institute of TechnologyTransportgleichung:

ddτ

∣∣∣∣∣τ=0

∫D

u(x, t) dx =ddτ

∣∣∣∣∣τ=0

∫D

u(x + cτ, t + τ) dx

0 =

∫D

n∑i=1

∂u∂xi

(x, t)ci +∂u∂t

(x, t)

dx

D ⊂ Rn beliebig:⇒

Transportgleichung: (2)n∑

i=1

ci∂u∂xi

(x, t) +∂u∂t

(x, t) = 0

Kurz:

C · ∇u +∂u∂t

= 0, C = (c1, . . . , cn)T = konstant

Verallg. Transportgleichung: (3)n∑

i=1

ci(x, t)∂u∂xi

(x, t) +∂u∂t

(x, t) = 0

13/23 19. Oktober 2010 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis

Karlsruhe Institute of Technology(b) Diffusions- bzw. Wärmeleitungsgleichungu(x, t) = Stoffkonzentration zur Zeit t ≥ 0 am Ort x ∈ Ω ⊂ Rn.u : Ω × [0,∞)→ R sei C1-Funktion.

DiffusionMechanismus, der Unterschiede in Stoffkonzentrationen ausgleicht.

Wir betrachten folgendens Modell für Diffusion:

F(x,t)

Ω

F(x, t) ∈ Rn: Richtung und Stärkeder Stoffzufuhr pro Zeiteinheitdurch x ∈ Ω zum Zeitpunkt tf(x, t , u(x, t)) ∈ R: Reaktionsterm.Gibt Erzeugungs- (f > 0) oderVernichtungsrate (f < 0) des Stoffesan der Stelle x zur Zeit t an. Kannabhängen von x, t sowie deraktuellen Stoffmenge u(x, t).

14/23 19. Oktober 2010 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis

Karlsruhe Institute of TechnologyHerleitung der DiffusionsgleichungSei D ⊂ Ω ein Normalgebiet, ν=äussere Normal an ∂D

F(x,t)

Ω

D

ν(x)

ν(x)

∫D

u(x, t) dx =

Stoffmenge in D zum Zeitpunkt t

ddt

∫D

u(x, t) dx︸ ︷︷ ︸Änderung der Stoffmenge

= −

∮∂D

F(x, t) · ν(x) do︸ ︷︷ ︸Zufuhr/Abfluss durch ∂D

+

∫D

f(x, t , u(x, t)) dx︸ ︷︷ ︸Reaktionsterm

F · ν > 0: Abfluss, F · ν < 0: Zufuhr

15/23 19. Oktober 2010 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis

Karlsruhe Institute of TechnologyHerleitung der Diffusionsgleichung – Forts.

ddt

∫D

u(x, t) dx︸ ︷︷ ︸Änderung der Stoffmenge

= −

∮∂D

F(x, t) · ν(x) do︸ ︷︷ ︸Zufuhr/Abfluss durch ∂D

+

∫D

f(x, t , u(x, t)) dx︸ ︷︷ ︸Reaktionsterm

Gaußscher-Integralsatz:————–↓∫D

∂u∂t

(x, t) dx =ddt

∫D

u(x, t) dx =

∫D

(− divx F(x, t)+f(x, t , u(x, t))

)dx

D ⊂ Ω beliebig⇒:∂u∂t

(x, t) = − divx F(x, t) + f(x, t , u(x, t))

Kurz:∂u∂t

= − divx F + f

16/23 19. Oktober 2010 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis

Karlsruhe Institute of TechnologyModellierung der Diffusion

Bisher:∂u∂t

= − divx F + f

Diffusionsmodell: F ist proportional zu ∇u, d.h.

F(x, t) = −d ∇u(x, t), d = Diffusionskonstante > 0.

Ergebnis:

Diffusionsgleichung: (4)∂u∂t

= d∆u + f

wobei ∆=Laplace Operator in den Ortskoordinaten x1, . . . , xn ist.

17/23 19. Oktober 2010 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis

Karlsruhe Institute of TechnologySpezialfälle von ut = d∆u + f

(i) f ≡ 0; homogene Diffusionsgleichung (Wärmeleitungsgleichung)

(5)∂u∂t

= d∆u

(ii) f linear; lineare, inhomogene Diffusionsgleichung

f :

Ω × [0,∞) × R → R

(x, t , s) 7→ c(x, t)s + f0(x, t)

(6)∂u∂t

= d∆u + c(x, t)u + f0(x, t)

c(x, t) = relative Wachstums-/Vernichtungsratef0(x, t) = absolute Wachstums-/Vernichtungsrate

18/23 19. Oktober 2010 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis

Karlsruhe Institute of TechnologyVergleich mit gewöhnlicher DGl

partielle DGl. (6)∂u∂t

= d∆u + c(x, t)u + f0(x, t)

gewöhnliche DGl. (6′) u = c(t)u + f0(t), u(0) = u0

Lösung der gewöhnlichen DGl.:

u(t) = u0e∫ t0 c(s) ds +

∫ t

0f0(τ)e−

∫ τt c(s) dsdτ

und falls c =konstant

u(t) = u0ect +

∫ t

0f0(τ)ec(t−τ)dτ

Gilt etwas Ähnliches für die partielle DGl.? Wir werden sehen....

19/23 19. Oktober 2010 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis

Karlsruhe Institute of TechnologyDie 1-dimensionale Diffusionsgleichungn = 1, x1 < x. Betrachte das Intervall D = (x1, x). Hier bedeutet:

F(x1, t) > 0 Zufluß am Punkt x1, F(x, t) > 0 Abfluß am Punkt x

ddt

∫ x

x1

u(ξ, t) dξ = −F(x, t) + F(x1, t) +

∫ x

x1

f(. . .) dξ

=

∫ x

x1

∂u∂t

(ξ, t) dξ

Differentiation ddx :

∂u∂t

(x, t) = −ddx

F(x, t) + f(x, t , u(x, t))

Modellierung: F(x, t) = −d∂u∂x

(x, t)x x

F(x,t)>0 F(x,t)<0

1-dimensionale Diffusionsgleichung:∂u∂t

= d∂2u∂x2

+ f(x, t , u(x, t))

20/23 19. Oktober 2010 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis

Karlsruhe Institute of TechnologyVerallgemeinerungenFluß F = F1 + F2

F1(x, t) = −d∇u(x, t), d = Diffusionskonstante

F2(x, t) = Cu(x, t), C = (c1, . . . , cn) ∈ Rn = Konvektionskonstante

∂u∂t

= d∆u − C · ∇u︸ ︷︷ ︸Transportterm

+f(x, t , u)

vgl. Transportgleichung.Sowohl die Diffusion- als auch die Konvektionskonstanten können vonx, t abhängen.Ferner: d = (dij)

ni,j=1 ist i.A. eine Matrix mit Koeffizienten dij(x, t).

(7)∂u∂t

= div(d(x, t)∇u

)− C(x, t) · ∇u + f(x, t , u)

Allgemeine Diffusions-Konvektions-Reaktionsgleichung21/23 19. Oktober 2010 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis

Karlsruhe Institute of TechnologyKontext

In physikalischem, chemischem, biologischem Kontext:

u(x, t) =

Wärmemenge [(5) heisst auch Wärmeleitungsgleichung]Konzenration einer ChemikalieDichte einer Population

Der Diffusionsmechanismus (=Konzentrationsausgleich) kann in vieleModelle leicht eingebaut werden:

Logistische DGl.

u = u(α − βu)

u : [0,∞)→ Rgewöhnliche DGl.

Logistische DGl. mit Diffusion

(8)∂u∂t

= d∆u + u(α − βu)

u : Ω × [0,∞)→ Rpartielle DGl.

22/23 19. Oktober 2010 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis

Karlsruhe Institute of TechnologyDiffusion beim Räuber-Beute ModellRäuber-Beute Modell u = u(a − bv)

v = v(−c + du)

gekoppeltes System gewöhnlicherDGlen.

Räuber-Beute Modell mit Diffusion∂u∂t

= d1∆u + u(a − bv)

∂v∂t

= d2∆v + v(−c + du)

gekoppeltes System partiellerDGlen.

DiffusionDiffusion = Mobilität der Population, d.h. Mitglieder der Populationtendieren dazu, Stellen hoher Konzentration von Artgenossen zuverlassen und sich zu Stellen niedrigerer Konzentration zu bewegen.

Achtung: in manchen Modellen ist man am genauen Gegenteilintersessiert. Konzentrationphänomene bzw. Rudelbildung!

23/23 19. Oktober 2010 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis