Einführung in die Informatik I - Lab4Inf · · 2016-06-23Prof. Dr. Nikolaus Wulff Einführung in...

Prof. Dr. Nikolaus Wulff

Einführung in die Informatik I

Das Rechnen in Zahlensystemen zur Basis b=2, 8, 10 und 16

2© Prof. Dr. Nikolaus Wulff Informatik I

Zahlensysteme

• Neben dem üblichen dezimalen Zahlensystem zur Basis 10 sind in der Informatik Systeme zur Basis 2, 8 und 16 gebräuchlich.

• Zahlen werden gebildet aus den einzelnen Ziffern (Symbolen) eines Alphabets ∑.

• Die Anzahl |∑| der Elemente des Alphabets entspricht der jeweiligen Basis b.

• Die mit Hilfe dieser Symbole bildbaren Wörter w ∈∑*

werden mit dem Stellenwertverfahren des Zahlen-systems auf die natürlichen Zahlen abgebildet.

• Dasselbe Symbol a∈∑ hat verschiedene Bedeutung.

ℕ


• Zahlen sind Wörter (an-1

an-2

...a0)

b ∈ ∑* gebildet aus

den b verschiedenen Zeichen des Alphabets ∑.

• Zur Schreibweise gehört eine Interpretation innerhalb eines Stellenwertsystems zur Basis b:

Zahlendarstellung

an−1 an−2a1 a0b=∑ j=0

n−1a j b

j und 0≤a jb

– Achtung: – Das Symbol ∑ wird auf der Folie in zwei Bedeutungen verwendet:

1) Der griechischer Buchstabe ∑ (Sigma) als Abkürzung für das Alphabet, bzw. ∑* zur Kennzeichnung aller Wörter des Alphabets.

2) Als mathematisches Zeichen für die Summation.

Darstellung einer vorzeichenlosen Ganzzahl zur Basis b


Dezimalsystem• Basis b=10

Benutze Symbole/Ziffern ∑ = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

• Interpretation:

• Beispiel:

– (1011)10

= 1103 + 0102 + 1101 + 1100

• = 11000 + 0100 + 110 + 11 = „eintausendelf“

an−1 an−2a1 a010=∑ j=0

n−1a j 10 j


Binärsystem• Basis b=2

Benutze Symbole/Ziffern ∑ = {0,1}

• Interpretation:

• Beispiel:

– (1011)2 = 123 + 022 + 121 + 120 = 8 + 2 + 1= „elf“

an−1 an−2a1 a02=∑ j=0

n−1a j 2

j


Hexadezimalsystem• Basis b=16

Symbole ∑ = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}

• Interpretation:

• Beispiel:

– (1011)16

= 1163 + 0162 + 1161 + 1160

• = 1 4096 + 0256 + 116 + 11

• = „viertausendeinhundertdreizehn“

an−1 an−2a1 a016=∑ j=0

n−1a j 16 j


Oktalsystem• Basis b=8

Symbole ∑ = {0,1,2,3,4,5,6,7}

• Interpretation:

• Beispiel:

– (1011)8 = 183 + 082 + 181 + 180

• = 1512 + 064 + 18 + 11

• = „fünfhunderteinundzwanzig“

an−1 an−2a1 a08=∑ j=0

n−1a j 8

j


Rechnen im Stellenwertsystem

• Die Addition erfolgt ähnlich zum gewohnten Schulrechnen zur Basis 10:

• Der „Überlauf“ passiert nicht bei der Zehn sondern der jeweilige Basis b:

3423+ 5678

9101

1 1 1

01012

+ 00112

10002

1 1 1

34238

+ 56768

113218

1 1 1 1

346416

+ D6D616

10B3A16

1 1


Basiswechsel

• Offensichtlich sind neben der Basis 2, 8, 10 und 16 beliebig viele verschiedene Zahlensysteme möglich.

• Zahlen dürfen nicht einfach blind miteinander ver-glichen oder verarbeitet werden, wenn sie in unter-schiedlichen Basen repräsentiert werden.

• Es ist daher wichtig geeignete Vorschriften zur Umrechnung von einer Basis p zur Basis q zu haben.

• Eine solche eindeutige Rechenvorschrift wird auch Algorithmus genannt.

• Algorithmen können von Hand – oder besser noch vom Computer – abgearbeitet/ausgeführt werden.


Basiswechsel bei b=2k

• Soll zwischen den Basen 2, 8, 16 umgerechnet werden, so bietet die Darstellung b=2k ein einfaches Verfahren mit Hilfe der Gruppierung nach 3 und 4 Bitfeldern an:

•

•

• 3 Bit bilden eine Oktalzahl

•

• Ein Nibbel bildet eine Hexzahl

...0101101101012

010 110 110 101(2 6 6 5 )

8

0101 1011 0101

(5 B 5 )16

5B516

= 146110

= 26658 = 0000010110110101

2

146110

=


Modulo-Division

• Dividiert man eine natürliche Zahl durch eine andere natürliche Zahl so ergibt sich ein Quotient q und ein Rest r.

• Diese Art der Modulo-Division mit Rest wird in der Informatik mit mod bezeichnet, um sie von der gewöhnlichen Division div zu unterscheiden.

• Die Menge wird bei der Division nicht verlassen. Es gilt z. B. 9 div 3 = 3 jedoch 7 div 3 = 2, da 2.333... keine natürliche Zahl ist. ( )

• Es gilt die Beziehung: z = (z div d)*d + (z mod d)

z∈ℕd≠0

ℕ

2. 333∈ℚ⊂ℝ≠ℕ

z=q×d r ⇒ z /d=q Rest r


Hornerschema

• Basiswechsel lassen sich effizient bestimmen mit der Darstellung nach dem Hornerschema zur Basis b:

–

–

• Obige Zahl z geteilt durch b ergibt•

•

• weitere Division von mit b ergibt •

•

• d.h. jede weitere Division liefert eine weitere Ziffer der Darstellung zur Basis b, bis der Quotient Null ist.

z

z=∑ j=0

n−1a j b

j=an−1 ban−2ba2ba1ba0

an−1 ban−2ba2b≡z

a1 Rest a0

an−1 ban−2bba2 Rest a1


Divisionsalgorithmus

1. Teile die Zahl z durch die Basis b und ermittele den Quotienten q und den Rest r.

2. Ist der Quotient q≠0 setze z=q und fahre fort mit 1.

3. Die einzelnen Reste rk von rückwärts gelesen sind

die Repräsentation von z= (rnr

n-1...r

0)

b in der Basis b.

436110:8=545 + Rest 1

54510:8= 68 + Rest 1

6810:8= 8 + Rest 4

810:8= 1 + Rest 0

110:8= 0 + Rest 1

436110:16=272 + Rest 9

27210:16= 17 + Rest 0

1710:16= 1 + Rest 1

110:16= 0 + Rest 1

436110

= 104118 = 1109

16


Umrechnung von b=10 nach b=2k

• Zur Umrechnung einer Zahl z im Zehnersystem zur Basis 2 empfiehlt es sich diese zunächst in das Oktalsystem zu überführen (8 liegt dicht an 10) und dann jedes Oktalsymbol als 3-Bitzahl zu schreiben:

z = 436110

= 104118 siehe vorhergehende Folie

1 0 4 1 1 8

001 000 100 001 001

z = 00010001000010012

in 16 Bit Darstellung


Vorzeichenbehaftete Ganzzahlen

• Bis lang wurden nur natürliche Zahlen betrach-tet, um auch negative Zahlen darzustellen wird das höchste Bit v als Vorzeichenbit interpretiert:

• Da ein Bit für das Vorzeichen verwendet wird gibt es – bei gleicher Bitlänge –, nur noch halb so viele positive Zahlen, im Vergleich zur Repräsentation ohne Vorzeichen.

z∈ℕz∈ℤ

(v an−2 an−3…a1 a0)2

Darstellung einer Ganzzahl zur Basis 2


Zweierkomplement

• Die Darstellung negativer Zahlen sind allerdings nicht im Stellenwertsystem codiert!

• Die naive Verallgemeinerung der Codierung ist falsch:

• Es gäbe zwar gleich viele positive wie negative möglich darstellbare Zahlen, hätte aber zur Folge, dass es eine positive und eine negative Null gibt.

• Es wird daher eine unsymmetrische Codierung gewählt, das Zweierkomplement, es entsteht durch Invertierung aller Bit und Addition von Eins.

(v an−2 an−3…a1 a0)2≠(−1)v∑ j=0

n−2a j 2

j


Darstellung im Zweierkomplement

0000000100100011010001010110011110001001101010111100110111101111

Bitfolge unsigned

0123456789

101112131415

01234567

-0-1-2-3-4-5-6-7

01234567

-1-2-3-4-5-6-7-8

01234567

-8-7-6-5-4-3-2-1

mögliche Interpretationen

positiv

negativ

01234567

-7-6-5-4-3-2-1-0


Invertierung einer Binärzahl

• Eine Binärzahl wird invertiert, indem alle Nullen durch Einsen und alle Einsen durch Nullen ersetzt werden.

• Diese Invertierungsoperation lässt sich einfach in der Hardware einer CPU realisieren.

x=∑ j=0

n−1a j2

j⇒ x=∑ j=0

n−11−a j2

j

x=0100⇒ x=1011x=0101⇒ x=1010

x=0000⇒ x=1111


Negative Binärzahlen• Der Vorteil der Zweierkomplementdarstellung ist die

einfache Berechenbarkeit durch Invertierung der Bitfolge und anschließende Addition von 1.

–

–

–

• Die Subtraktion zweier Zahlen lässt sich somit im Binärsystem auf einfache Addition zurückführen.

x=0100⇒ x=1011

x1=1100≡−x

x− y = x− y= x y1= x y 1

−x=x1


Beispiel: Binäre Subtraktion

4−6=4−6=461

610=01102 ⇒ 610=10012 −610=10102

410=01002

01002

+ 10012

11012

+

12

1110

2

11102=−210=410−610

Rechnung: 01002

+ 10102

11102

oder

Ergebnis:


Gleitkommazahlen

• Mit Hilfe der Zweierkomplementdarstellung ist es möglich negative und positive Ganzzahlen darzustellen. Gebrochene oder irrationale Zahlen lassen sich jedoch so nicht darstellen.

• Insbesondere gehen bei der Division zweier Ganzzahlen die Nachkommastellen verloren!

– Gleitkommaarithmetik: 19/10 = 1.9

– ganzahlige Arithmetik: 19/10 = 1.(9) = 1• 19/10 liefert 1 Rest 9 und die 9 wird nicht berücksichtigt!

• Um den Zahlenbereich von auf auszudehnen sind Nachkommastellen erforderlich.

ℤ ℝ

x∈ℤ


Idee der Gleitkommazahlen

• Darstellung von Gleitkommazahlen im Zehnersystem:–

•

•

• Die Kommastelle lässt sich „Durchschieben“:

• 34.567 lässt sich zur Basis 10 darstellen als die Ganzzahl 34567 mit dem negativen Exponenten -3 oder als 0.34567 mit Exponent 2 („Normalform“).

34.567=3.4567×101=0.34567×102

=34567×10−3

(Vorzeichen, Exponent, Mantisse)

v e a−1a−m10=−1v 10e∑ j=1

ma j 10− j

v an−1a0 , a−1a−m10=−1v∑ j=−m

n−1a j 10 j

34.567=3⋅1014⋅100

5⋅10−16⋅10−2

7⋅10−3


• Gleitpunkzahlen werden zur Basis 2 dargestellt als:•

•

• Gleitpunktzahlen werden als 4-Byte (einfache) oder 8-Byte Zahlen (doppelte Genauigkeit) codiert.

• Format nach Standard IEEE 754-1985:

Gleitpunktzahlen

...(Vorzeichen, Exponent, Mantisse)

4 Byte: 1-Bit, 8-Bit, 23-Bit

8 Byte: 1-Bit, 11-Bit, 52-Bit

-127 ≤ e ≤ 128

-1023 ≤ e ≤ 1024

(v e a−1…a−m)2=(−1)v 2e∑ j=1

ma j 2

− j

10-38 ≤ f ≤ 1038

10-308 ≤ d ≤ 10308

Bereich

Beim Exponent ebias

wird fest als bias 127 bzw. 1024 zu e hinzugerechnet, so dass

ebias

intern als vorzeichenlose Ganzzahl verarbeitet wird und es gibt ein Hidden Bit.


Prinzip der Gleitpunktzahl

3.62510=3100.62510=⋯0001120.62510

0.62510=0.1012

• Die Koeffizienten aj ergeben sich ähnlich den

Ganzzahlen mit sukzessiver Multiplikation mit 2j

• Durchschieben des Binärpunkts

Probe: 2-1 +2-3 =0.625

3.62510=⋯00011.1012

0 0 ...0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1

3.62510=⋯00011.1012=0.111012×22

0.62510 ×2 = 1.2510

0.2510 ×2 = 0.510

0.510 ×2 = 1.010

Achtung:Dies ist

nicht das IEEE Format!


IEEE754-Gleitpunktzahl

• Im IEEE Format wird das erste signifikante Bit der Mantisse eingespart, um einen Faktor 2 im mög-lichen Zahlenbereich zu gewinnen das Hidden Bit.

• Die erste 1 der Mantisse vor dem Komma wird nicht abgespeichert und der Exponent um den Bias 127 verschoben (=> vorzeichenloser Exponent):

0 1 ...0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1

3.62510=⋯00011.1012=1.11012×21

3.62510=⋯00011.1012=+1.11012×21

21=2(128−127) 12810=100000002

IEEE754


Darstellungsfehler

• Nicht alle Zahlen lassen sich exakt zu beliebiger Basis b darstellen und es kommt daher zu Fehlern.

1/3 = 0.13 ≃0.3333⋯310≃0.0101010101⋯012

2 /3 = 0.23 ≃0.6666⋯610≃0.1010101010⋯102

1/10 = 0.110≃0.00011⋯00112

1/5 = 0.210≃0.0011⋯00112

0.110≃0.000110012=0.0976562510

Probe: Fehler 2.3 10-3 8-Bit 1.4 10-4 12-Bit

∞

∞

∞

∞

∞

∞

0.110≃0.000110011001 2=0.09985...10

0.110≃0.0001100110011001 2=0.0999908...10

Achtung 3-Bit gehören in den Exponenten


Fehlerabschätzung• Mit der Darstellung

–

•

•

• lässt sich der Quantisierungsfehler abschätzen zu:–

–

–

• Für e=0 ergibt sich für m=8, 12 und 16 die Abschätzung |

x | ≤ 410-3, 210-4 und 110-5 und

für m=23 und 52 |x| ≤ 110-7 und 210-16.

x= x̃+δx

x=−1v 2e∑ j=1

∞

a j 2− j

δx=(−1)v 2e∑ j=m+1

∞

a j 2− j

∣δx∣=2e∑ j=m+1

∞

a j 2− j ≤ 2e∑ j=m+1

∞

2− j = 2e−m

x=−1v 2e∑ j=1

ma j 2

− j∑ j=m1

∞

a j 2− j


Zusammenfassung

• Darstellung natürliche Zahlen zu beliebiger Basis b.

• Übliche Zahlensysteme sind Binär-, Oktal- und Hexadezimal- sowie die bekannten Dezimalzahlen.

• Negative Zahlen erfordern ein Vorzeichenbit und werden durch die Zweikomplementdarstellung repräsentiert.

• Gleitpunktzahlen werden zur Basis 2 dargestellt mit Angabe von Vorzeichen, Exponent und Mantisse.

• Nicht alle Gleitpunktzahlen lassen sich zur Basis 2 exakt genau darstellen.

– Z.B. alle Zahlen 1/p mit p Primzahl>2.

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