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Produktdesign und Semi–Statische Absicherung von Turbo–Zertifikaten Dr. Antje Mahayni Michael Suchanecki 29. August 2005 ¨ Uberblick Turbo–Zertifikate in Long– und Short–Versionen sind eines der beliebtesten und umsatzst¨ arksten strukturierten Produkte f¨ ur Privatanleger am deutschen Markt. Hierbei handelt es sich um Barrier–Optionen in Form von Up–and–Out–Puts und Down– and–Out–Calls, die sich hinsichtlich des Basispreises, der Schran- ke und der R¨ uckverg¨ utung unterscheiden. Das Produktdesign dieser Zertifikate l¨ asst sich anhand von leicht replizierbaren oberen und unteren Preisschranken erkl¨ aren. Mit Hilfe der Put–Call–Symmetrie onnen diejenigen Zertifikattypen bestimmt werden, die eine semi–statische Absicherung in Standard– Optionen bzw. Forward–Vertr¨ agen erlauben. Im Gegensatz zu der in der Praxis g¨ angigen Preisstellung kann eine Absicherung der Zahlungsverpflichtungen im Allgemeinen nicht unabh¨ angig von der Volatilit¨ at erfolgen. JEL: G10, G13, G21 ur wertvolle Hinweise zu unserem Beitrag danken wir Prof. Dr. Klaus Sandmann, Prof. Dr. Dieter Sondermann, Dipl.–Math. oec. Sven Balder, Dipl.–Volksw. An Chen und den beiden anonymen Gutachtern. Dr. Antje Mahayni ist wissenschaftliche Assistentin in der Betriebswirtschaftlichen Abteilung III am Institut f¨ ur Gesellschafts– und Wirtschaftswissenschaften der Universit¨ at Bonn, e–mail: antje.mahayni@uni–bonn.de Dipl.–Volksw. Michael Suchanecki M.A. ist wissenschaftlicher Mitarbeiter in der Statistischen Abteilung am Institut f¨ ur Gesellschafts– und Wirtschaftswissenschaften der Universit¨ at Bonn, e–mail: michael.suchanecki@uni–bonn.de

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Produktdesign und Semi–Statische Absicherungvon Turbo–Zertifikaten

Dr. Antje Mahayni Michael Suchanecki

29. August 2005

Uberblick

• Turbo–Zertifikate in Long– und Short–Versionen sind eines derbeliebtesten und umsatzstarksten strukturierten Produkte furPrivatanleger am deutschen Markt. Hierbei handelt es sich umBarrier–Optionen in Form von Up–and–Out–Puts und Down–and–Out–Calls, die sich hinsichtlich des Basispreises, der Schran-ke und der Ruckvergutung unterscheiden.

• Das Produktdesign dieser Zertifikate lasst sich anhand von leichtreplizierbaren oberen und unteren Preisschranken erklaren. MitHilfe der Put–Call–Symmetrie konnen diejenigen Zertifikattypenbestimmt werden, die eine semi–statische Absicherung in Standard–Optionen bzw. Forward–Vertragen erlauben.

• Im Gegensatz zu der in der Praxis gangigen Preisstellung kanneine Absicherung der Zahlungsverpflichtungen im Allgemeinennicht unabhangig von der Volatilitat erfolgen.

JEL: G10, G13, G21

Fur wertvolle Hinweise zu unserem Beitrag danken wir Prof. Dr. Klaus Sandmann, Prof. Dr. DieterSondermann, Dipl.–Math. oec. Sven Balder, Dipl.–Volksw. An Chen und den beiden anonymenGutachtern.

Dr. Antje Mahayni ist wissenschaftliche Assistentin in der Betriebswirtschaftlichen AbteilungIII am Institut fur Gesellschafts– und Wirtschaftswissenschaften der Universitat Bonn,e–mail: antje.mahayni@uni–bonn.deDipl.–Volksw. Michael Suchanecki M.A. ist wissenschaftlicher Mitarbeiter in der StatistischenAbteilung am Institut fur Gesellschafts– und Wirtschaftswissenschaften der Universitat Bonn,e–mail: michael.suchanecki@uni–bonn.de

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PRODUKTDESIGN UND SEMI–STATISCHE ABSICHERUNG VONTURBO–ZERTIFIKATEN

Zusammenfassung. Turbo–Zertifikate gehoren derzeit zu den beliebtesten struk-turierten Produkten fur Privatanleger. Sie lassen sich als Spezialformen von Barrier–Optionen auffassen. In Bezug auf das Produktdesign ist das Verhaltnis von Kurs-schranke und Basispreis von Bedeutung. Unter Ausnutzung der Put–Call–Symmetrie

wird gezeigt, dass eine geeignete Wahl der Ausstattungsmerkmale dem Emitten-ten eine semi–statische Uberabsicherung in Standard–Optionen ermoglicht, diebezuglich einer ganzen Modellklasse gultig ist. Im Gegensatz zu der in der Pra-xis gangigen Preisstellung kann eine Absicherung der Zahlungsverpflichtungen imAllgemeinen nicht unabhangig von der Volatilitat erfolgen.

A. Einleitung

Strukturierte Produkte werden dem Privatanleger mit dem Argument verkauft,

dass sie Auszahlungsprofile ermoglichen, die durch Standardprodukte nicht erreich-

bar sind. Beispielsweise werden Turbo–Zertifikate1 und Mini Futures in den Ver-

kaufsprospekten der Emittenten mit einem im Vergleich zur Direktinvestition und im

Vergleich zu Standard–Optionen hohen Hebel beworben. Es lasst sich jedoch beob-

achten, dass eine Vielzahl der emittierten strukturierten Zertifikate durch statische

bzw. semi–statische Portfoliostrategien in Standardprodukten duplizierbar ist. Die

zugrundeliegenden Investitionsstrategien konnen von den Herausgebern der Zertifi-

kate genutzt werden, sind jedoch fur Privatanleger aufgrund der benotigten Volumina

in den Standardprodukten sowie den sich hieraus ergebenden Sicherheitsleistungen

(z.B. fur Futures–Kontrakte) nicht durchfuhrbar. Will der Privatanleger das Auszah-

lungsprofil des strukturierten Produktes erwerben, so muss er dafur zumeist einen

uberhohten Preis zahlen, der sich nicht rechtfertigen lassen wurde, waren die Duplika-

tionsstrategien fur alle Marktteilnehmer gleichermaßen zuganglich. Auf der anderen

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Seite bieten sich fur die Emittenten der Zertifikate risikolose Gewinne, falls sie einen

Preis fur ihre Produkte erzielen, der die Investition in die Absicherung ubersteigt.

Hiermit lasst sich leicht das große Angebot an Turbo–Zertifikaten erklaren, das seit

erstmaliger Herausgabe der Zertifikate im Jahre 2001 immer weiter angestiegen ist.

Im Jahr 2004 variierte die Anzahl der an der EUWAX handelbaren Knock–Out–

Produkte zwischen 3.278 (Marz 2004) und 6.012 (November 2004). Die vier großten

Emittenten im Bereich der Knock–Out–Produkte an der EUWAX sind, gemessen am

Umsatz in 2004, die ABN AMRO mit einem geschatzten Marktanteil von 30,65%, die

Deutsche Bank (26,07%), die Citigroup (15,07%) und die Commerzbank (11,06%).

Bei den Neueinfuhrungen im Bereich der Knock–Out–Produkte an der EUWAX war

im Jahr 2004 die HSBC Trinkaus & Burkhardt mit 4.835 Neueinfuhrungen vor der

Deutschen Bank mit 3.757 vertreten. Insgesamt gab es in 2004 an der EUWAX 17.754

neue Knock–Out–Produkte. Auf das Jahr 2004 gerechnet kann der Gesamtumsatz an

Knock–Out–Produkten an der EUWAX auf etwa 5,1 Milliarden Euro geschatzt wer-

den. Nach den uberaus erfolgreichen Vorjahren stellt dies eine Stagnation auf hohem

Niveau dar. Die Knock–Out–Produkte sind nach wie vor das umsatzstarkste Teilseg-

ment an der EUWAX.2

Die in dieser Arbeit betrachteten Knock–Out–Zertifikate stellen Barrier–Versionen

von Standard–Optionen dar, deren Underlying ein Index, eine Wahrung, eine Aktie

oder auch ein Rohstoff sein kann. Im Folgenden wird zur Vereinfachung angenom-

men, dass es sich bei dem zugrundeliegenden Wertpapier um einen Index, z.B. den

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DAX (Performance–Index), handelt. Turbo–Short–Zertifikate ergeben die Auszah-

lung einer Put–Option, falls der Index wahrend der Laufzeit eine obere Kursschran-

ke nicht beruhrt oder uberschreitet. Turbo–Long–Zertifikate ergeben die Auszah-

lung einer Call–Option, falls eine untere Kursschranke wahrend der Laufzeit nicht

beruhrt oder unterschritten wird. Die Grundidee bei der Herausgabe dieser Zertifi-

kate kann wie folgt skizziert werden. Im Gegensatz zu einer Standard–Option, de-

ren Auszahlung alleine auf dem Schlusskurs des Underlyings basiert, wird eine Aus-

zahlung gemaß der Option nur dann gewahrt, falls eine vorgegebene Kursschranke

wahrend der Laufzeit des Produktes nicht beruhrt wird. Insbesondere bedeutet dies,

dass das betrachtete Produkt im Vergleich zur herkommlichen Option preiswerter

wird, da hochstens die Auszahlung der Option erzielt werden kann. Dementsprechend

benotigt das Knock–Out–Zertifikat einen geringeren Kapitaleinsatz als die entspre-

chende Standard–Option. Diese Eigenschaft wird mit den Worten beworben: bereits

mit kleinem Kapitaleinsatz konnen uberproportionale Gewinne erzielt werden. Des

Weiteren wird ein geringerer Kapitaleinsatz, der die gleichen Gewinne ermoglicht,

mit einem hoheren Hebel assoziiert, auch wenn diese Gewinne in weniger Fallen ein-

treten als in dem Vergleichsprodukt.

Bei der Absicherung von Barrier–Optionen kann eine Vielzahl von Problemen auftre-

ten. Diese lassen sich jedoch durch eine spezielle Wahl der Ruckvergutung und/oder

des Verhaltnisses von Kursschranke und Basispreis weitgehend vermeiden. Aus der

Perspektive des Herausgebers der Zertifikate ist eine obere Preisgrenze der Produkte

interessant. Existiert eine selbstfinanzierende oder uberfinanzierende Portfoliostrate-

gie, welche die Auszahlung des Zertifikates dupliziert oder dominiert, so impliziert

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die Anfangsinvestition in diese Uberabsicherungsstrategie (Superhedge) eine obere

Preisschranke. Angenommen, es ist dem Herausgeber moglich, das Zertifikat zu ei-

nem Preis entsprechend der Anfangsinvestition in diese Strategie zu verkaufen, so

kann er einen risikolosen Gewinn erzielen. Von Interesse ist das Design eines Zer-

tifikates, dessen obere Preisschranke sich einfach nachbilden lasst. Dies kann durch

eine Portfoliostrategie realisiert werden, die aus gehandelten Wertpapieren besteht

und weitestgehend unabhangig von den Annahmen uber die zukunftige Entwicklung

des Indexpreises ist. Letzteres ist bei einem statischen Hedge gewahrleistet, da dieser

kein Modellrisiko beinhaltet. Ein statischer Hedge besitzt zudem den Vorteil, dass

die in der Realitat anfallenden Transaktionskosten im Vergleich zu einer dynamischen

Portfolioanpassung geringer sind, zumindest falls der Hedge aus einer endlichen An-

zahl von Hedge–Instrumenten besteht. Im Rahmen von Barrier–Optionen besitzen

semi–statische Absicherungsstrategien eine besondere Bedeutung. Diese sind dadurch

gekennzeichnet, dass sie zumindest eine Umschichtung des Portfolios vorsehen, falls

die Kursschranke wahrend der Laufzeit des Zertifikates beruhrt wird. Die hier be-

trachteten Knock–Out–Zertifikate beenden den Vertrag bei Beruhren der Schranke,

so dass der Hedge als statisch angesehen werden kann, wobei jedoch der Zeitpunkt,

zu dem der Hedge aufgelost werden muss, unbekannt ist.

Eine Erorterung von Turbo–Zertifikaten erfolgte bereits in den Arbeiten von Fi-

scher, Greistorfer und Sommersguter–Reichmann (2002, 2003), Baule, Scholz und

Wilkens (2004) und Scholz, Baule und Wilkens (2005). Fischer, Greistorfer und

Sommersguter–Reichmann (2002) behandeln die optionspreistheoretische Bewertung

von Turbo–Long–Zertifikaten und analysieren neben den ublichen Sensitivitaten auch

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den Hebel der Zertifikate. In ihrem Folgeartikel werden diese Analysen fur Turbo–

Short–Zertifikate durchgefuhrt. In Baule, Scholz und Wilkens (2004) wird erstmals ein

Zusammenhang der obigen Zertifikate mit Forward–Positionen aufgezeigt. Es werden

sowohl normale Short–Zertifikate und Turbo–Short–Zertifikate (Knock–Out–Short–

Zertifikate) ohne Ruckvergutung betrachtet, deren Barrier dem Basispreis entspricht,

als auch Turbo–Short–Zertifikate mit Ruckvergutung in Hohe eines konstanten (inne-

ren) Wertes. In Scholz, Baule und Wilkens (2005) wird die von den Emittenten kom-

munizierte Preisstellung und die Absicherung von Turbo–Zertifikaten in Long– und

Short–Versionen mit endlicher Laufzeit und einer speziellen Ruckvergutung ausfuhr-

lich diskutiert.

Ziel dieser Arbeit ist eine Analyse der allgemeinen Struktur von Turbo–Zertifikaten in

ihren entsprechenden Long– und Short–Versionen mit Hinblick auf das Produktdesign

und den damit verbundenen Absicherungsstrategien. Eine Darstellung der Turbo–

Zertifikate durch Barrier–Optionen liefert eine allgemeinere Produktklasse und um-

fasst nicht nur bereits emittierte Produkte, sondern eroffnet auch Moglichkeiten fur

Produktinnovationen. Unser Hauptanliegen ist eine Erorterung der Frage wie, wann

und warum eine geeignete Wahl der Ausstattungsmerkmale Basispreis, Kursschran-

ke und Ruckvergutung den Herausgebern der Zertifikate eine semi–statische, fur eine

Klasse von Modellen gultige Uberabsicherung ermoglicht.3 Hinsichtlich einer robu-

sten Absicherung von Barrier–Optionen besitzt die sogenannte Put–Call–Symmetrie

eine besondere Bedeutung. Dies wurde bereits in Carr, Ellis und Gupta (1998) er-

kannt.4 Mit Hilfe dieser Symmetrie werden obere und untere Preisschranken beste-

hend aus Standard–Optionen fur Long– und Short–Zertifikate gewonnen, die fur eine

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Klasse von Modellen gultig sind. Zudem wird im Rahmen einer Portfoliobetrachtung

erortert, ob eine gemeinsame Betrachtung von Long– und Short–Positionen einen

Effekt auf die modellfreie Absicherung besitzt.

Die Arbeit gliedert sich wie folgt. Im nachsten Abschnitt wird die allgemeine Aus-

zahlungsstruktur der relevanten Barrier–Versionen analysiert. Die Relevanz der Aus-

stattungsmerkmale fur die Absicherung der Vertrage wird anhand von Beispielen

motiviert. Abschnitt C gibt einen Uberblick uber die Absicherungsproblematiken

von Barrier–Optionen und diskutiert deren Bedeutung fur das Produktdesign von

Turbo–Zertifikaten. In Abschnitt D wird im Rahmen des Modells von Black und

Scholes (1973) eine verallgemeinerte Put–Call–Symmetrie hergeleitet. Diese wird da-

zu benutzt, um semi–statische Sub– und Superhedging–Strategien fur Knock–Out–

Zertifikate in Standard–Optionen anzugeben. Insbesondere zeigt sich an dieser Stelle,

dass eine Forward–Position geeignet ist, um eine Uberabsicherung fur ein Turbo–

Long–Zertifikat zu erzielen. Dementsprechend liefert ein Terminvertrag lediglich eine

Unterabsicherung fur ein Short–Zertifikat. Vor abschließenden Bemerkungen werden

die gewonnenen Ergebnisse in Abschnitt E anhand von Marktdaten illustriert.

B. Auszahlung von Turbo–Zertifikaten

Turbo–Zertifikate werden als Long– und Short–Versionen gehandelt. Diese lassen

sich als exotische Optionen interpretieren, deren Auszahlung nicht alleine auf dem

Schlusskurs des zugrundeliegenden Indexes basiert, sondern an zusatzliche Bedin-

gungen an den Kursverlauf gebunden ist. Von Bedeutung sind hierbei insbesondere

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die Barrier–Versionen in Form von Up–and–Out–Put– und Down–and–Out–Call–

Optionen.5 Turbo–Short–Zertifikate ergeben die Auszahlung einer Put–Option, falls

der Index wahrend der Laufzeit eine obere Kursschranke nicht beruhrt oder uber-

schreitet. Turbo–Long–Zertifikate ergeben die Auszahlung einer Call–Option, falls ei-

ne untere Kursschranke wahrend der Laufzeit nicht beruhrt oder unterschritten wird.

Zudem besteht grundsatzlich die Moglichkeit, dass bei Beruhren der Kursschranke

eine Ruckvergutung gezahlt wird. Bezeichnet6

T den Falligkeitszeitpunkt des Zertifikates,

t einen beliebigen Zeitpunkt zwischen 0 und T ,

St den Indexkurs zum Zeitpunkt t,

K den Basispreis,

L(t) eine deterministische Kursschranke (abhangig von der Restlaufzeit T − t),

τ den Zeitpunkt, an dem die Kursschranke beruhrt wird,

R(t) eine zeitabhangige Ruckvergutung,

r die annualisierte konforme Zinsrate,

so findet in Abhangigkeit der Kursentwicklung des Indexes entweder eine Auszah-

lung zum Zeitpunkt T in Hohe der Auszahlung der Option oder zum Zeitpunkt τ

eine Auszahlung in Hohe der Ruckvergutung statt. Inbesondere lassen sich die Zer-

tifikate hinsichtlich der folgenden Punkte unterscheiden:

(a) begrenzte/ unbegrenzte Laufzeit,

(b) Call/Put (Long/Short–Zertifikat),

(c) Verhaltnis von Basispreis und Kursschranke (regulare/reverse Barrier–Version),

(d) Wahl der Ruckvergutung.

Wir beschranken uns hier auf Zertifikate mit endlicher Laufzeit. Benutzt man den

Marktzins r, so kann zur Vergleichbarkeit der Auszahlungen die Auszahlung der Zer-

tifikate zum Zeitpunkt τ auf den Zeitpunkt T aufgezinst werden. Demzufolge kann

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beispielsweise ein Short–Zertifikat durch ein Produkt beschrieben werden, dessen

Auszahlung sich zum Zeitpunkt T formal wie folgt darstellen lasst.

Auszahlung =

max {K − ST , 0} falls St < L(t) fur alle t ∈ [0, T ]

R(τ)er(T−τ) falls St ≥ L(t) fur mindestens ein t ∈ [0, T ].

Im Folgenden wird diese Auszahlungsfunktion fur einige am Markt beobachtbare Aus-

stattungsmerkmale betrachtet. Die Beispiele sollen ein intuitives Verstandnis dafur

liefern, wie sich durch eine geschickte Wahl der Ausstattungsmerkmale einige der von

Barrier–Optionen implizierten Absicherungsproblematiken vermeiden lassen. Spezi-

alfall 1 illustriert den Zusammenhang eines einfachen Zertifikates mit einem Knock–

Out–Zertifikat, Spezialfall 2 entspricht der gangigen Praxis, dass der Basispreis und

die Kursschranke ubereinstimmend gewahlt werden und Spezialfall 3 bezieht eine

Ruckvergutung mit in die Analyse ein. Wahrend die Falle 1 und 2 einen reinen

Motivationscharakter besitzen, ergibt Fall 3 eine fur das Produktdesign wesentliche

Erkenntnis uber die Wahl der Ruckvergutung.

Spezialfall 1a (Standard–Option): Als Spezialfall ergibt sich fur L(t) = L mit

L → ∞ gerade die Auszahlung einer Europaischen Put–Option auf den Index mit

Falligkeit T und Basispreis K.

Spezialfall 2a (Barrier–Option): Praxisrelevanter und interessanter ist die Wahl

L(t) = K, d.h., die Kursschranke L ist konstant und entspricht gerade dem Basispreis

der zugrundeliegenden Put–Option, in Kombination mit R(t) = 0, d.h., das Zertifikat

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wird bei Beruhren der Barrier wertlos. Fur die obige Auszahlung folgt somit

Auszahlung =

max {K − ST , 0} falls St < K fur alle t ∈ [0, T ]

0 falls St ≥ K fur mindestens ein t ∈ [0, T ]

=

K − ST falls St < K fur alle t ∈ [0, T ]

0 falls St ≥ K fur mindestens ein t ∈ [0, T ]

K − ST falls St < Ke−r(T−t) fur alle t ∈ [0, T ]

0 falls St ≥ Ke−r(T−t) fur mindestens ein t ∈ [0, T ].

Es ist zu beachten, dass durch die Wahl von K = L der Maximumoperator weg-

definiert wird. Dies verdeutlicht den Ubergang von einer Option zu einem Forward-

geschaft. Bei einem Up–and–Out–Put findet ein Knock–Out bei Beruhren der Kurs-

schranke statt. Eine Reduktion der Kursschranke fuhrt zu einem Knock–Out bei

Erreichen eines geringeren Niveaus, so dass sich eine untere Preisschranke fur das

betrachtete Short–Zertifikat aus dem Preis eines Up–and–Out–Puts mit zeitabhangi-

ger Barrier Lt = Ke−r(T−t) ≤ K ergibt, vgl. Baule, Scholz und Wilkens (2004),

S. 325. Diese kann durch eine Short–Position in einem Forward–Vertrag mit Liefer-

preis K semi–statisch abgesichert werden, d.h., die Position wird hochstens einmal

wahrend der Laufzeit umgeschichtet. Insbesondere erfolgt eine Auflosung der Position

bei Beruhren der Barrier. Hierbei wird unterstellt, dass die Preispfade stetig sind und

Handel zum Zeitpunkt der Barrier–Beruhrung moglich ist. Der Wert des Forward–

Vertrages ist bei Beruhren der Barrier null, so dass in diesem Fall die Auszahlung des

Barrier–Puts dupliziert wird. Falls die Schranke nicht beruhrt wird, wird die Position

im Forward bis zur Falligkeit beibehalten, d.h., es ergibt sich die Auszahlung K−ST .

Es ist jedoch zu beachten, dass eine Unterabsicherung bezuglich des betrachteten

Short–Zertifikates fur den Herausgeber des Zertifikates nicht von Interesse ist. Im

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Verlaufe dieser Arbeit wird allerdings gezeigt, dass ein einfacher Hedge in Standard–

Optionen sowohl fur den oben betrachteten Fall (L = K) als auch fur den allgemeine-

ren Fall einer regularen Barrier–Put–Option (L ≥ K) eine Uberabsicherung erlaubt.

Spezialfall 3 illustriert nun, dass sich durch eine geeignete Ruckvergutung die Aus-

zahlung sogar exakt durch eine Forwardposition nachbilden lasst.

Spezialfall 3a (Barrier–Option mit Ruckvergutung): Eine perfekte semi–statische

Absicherung in einer Forward–Position wird ermoglicht, falls ein Turbo–Short–Zertifikat

mit L(t) = L ≤ Ke−rT in Kombination mit R(t) = Ke−r(T−t) − L betrachtet wird.

Die

Auszahlung =

max {K − ST , 0} falls St < L fur alle t ∈ [0, T ](Ke−r(T−τ) − Sτ

)er(T−τ) falls St ≥ L fur mindestens ein t ∈ [0, T ]

=

K − ST falls St < L fur alle t ∈ [0, T ]

K − Sτer(T−τ) falls St ≥ L fur mindestens ein t ∈ [0, T ]

kann ebenso durch den Eingang eines Terminvertrages mit Lieferpreis K erzeugt wer-

den, falls diese Position zum Zeitpunkt τ aufgelost wird.

Es ist somit zu beachten, dass unter dem Oberbegriff Turbo–Zertifikate auch teilwei-

se Produkte subsummiert werden, die nicht die wesentlichen Charakteristika einer

Barrier–Option aufweisen. Durch eine Wahl der Ruckvergutung wie in Spezialfall 3a

wird insbesondere eine Abhangigkeit von der Aktienkursvolatilitat ausgeschlossen.

Da sich die Auszahlung des Vertrages ausschließlich durch eine Position in einem

Termingeschaft erzeugen lasst, erweist sich die in der Praxis ubliche Bezeichnung

Mini Future als treffender. Spezialfall 3a charakterisiert die Grundidee des Produkt-

designs von Mini Futures. In der Praxis wird ausgenutzt, dass der Handel in borsen-

gehandelten Futures–Kontrakten zwar fur die Herausgeber der Zertifikate, aufgrund

von Sicherheitsleistungen nicht aber fur den Privatanleger, moglich ist. In Scholz,

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Baule und Wilkens (2005) wird ausfuhrlich dargestellt, dass es sich bei der Preisstel-

lung der am Markt gehandelten Produkte um einen Forward–Preis zuzuglich eines

zeitabhangigen, in der Restlaufzeit fallenden Aufschlags handelt. Demzufolge stellt

der Mini Future zwar prinzipiell einen Forward–Vertrag dar, allerdings wird dieser

zu unfairen Konditionen angeboten.7

Analog kann nun ein (Turbo–) Long–Zertifikat durch ein Produkt beschrieben wer-

den, dessen Auszahlung sich zum Zeitpunkt T formal wie folgt darstellen lasst.

Auszahlung =

max {ST − K, 0} falls St > L(t) fur alle t ∈ [0, T ]

R(τ)er(T−τ) falls St ≤ L(t) fur mindestens ein t ∈ [0, T ].

Als Spezialfall 1b ergibt sich fur L(t) = L = 0 die Auszahlung einer Europaischen

Call–Option auf den Index mit Falligkeit T und Basispreis K. Die Wahl von L(t) = K

in Kombination mit R(t) = 0 fuhrt zu Spezialfall 2b. Hierbei resultiert eine obere

Preisschranke fur das Turbo–Long–Zertifikat aus dem Preis einer Down–and–Out–

Call–Option mit zeitabhangiger Barrier Lt = Ke−r(T−t) ≤ K bzw. einer Long–

Position in einem Forward–Vertrag.8 Ebenso kann ein Spezialfall 3b analog zu

Spezialfall 3a dargestellt werden.

Zum Abschluss dieses Abschnitts soll auch die Portfolioabsicherung anhand des Aus-

zahlungsprofiles motiviert werden. Lediglich der (unrealistische) Fall r = 0 besitzt

eine leicht nachvollziehbare Interpretation. Es wird ein Portfolio betrachtet, das aus

jeweils einem Turbo–Short– und einem Turbo–Long–Zertifikat besteht. KC (KP ) be-

zeichnet den Basispreis des Long– (Short)–Zertifikates und LC (LP ) den jeweiligen

Schrankenparameter. Eine einfache Darstellung des Auszahlungsprofiles ergibt sich

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fur den Fall LC = KC < S0 < KP = LP wie folgt:

Auszahlung

PutUO + CallDO=

KP − KC falls KC < St < KP fur alle t ∈ [0, T ]

KP − ST falls St < KP fur alle t ∈ [0, T ]

und St ≤ KC fur mindestens ein t ∈ [0, T ]

ST − KC falls St > KC fur alle t ∈ [0, T ]

und St ≥ KP fur mindestens ein t ∈ [0, T ]

0 falls St ≤ KC

und St ≥ KP fur mindestens ein t, t ∈ [0, T ].

Obige Auszahlung kann ebenso durch eine Long–Position in einem Termingeschaft

mit Lieferpreis KC und einer Short–Position in einem Termingeschaft mit Lieferpreis

KP erzeugt werden. Eine Auflosung der Positionen erfolgt vorzeitig, falls die entspre-

chende Schranke beruhrt wird. Unter Ausschluss von Arbitragemoglichkeiten ergibt

sich der heutige Preis des Portfolios zu

S0 − KC − (S0 − KP ) = KP − KC ,

d.h., der Preis ist unabhangig vom Preis des Underlyings. Hierbei ist zu beachten,

dass sich die Long– und Short–Position im Forward aufhebt, so dass auch eine risiko-

lose Anlage des Betrags KP −KC zur Absicherung ausreicht. Wird die Kursschranke

KP (KC) wahrend der Laufzeit getroffen, so wird die Anlage aufgelost und eine

Long– (Short–)Position in dem Forward mit Lieferpreis KC (KP ) eingegangen. Es

wird spater gezeigt, dass diese einfache Vorgehensweise im Fall r > 0 nicht moglich

ist.

In den obigen Beispielen wurde illustriert, dass bei speziellen Kombinationen der

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Ausstattungsmerkmale eine sehr einfache Absicherung durchfuhrbar ist. Fur die all-

gemeinere Klasse der Barrier–Optionen ist dies nicht der Fall. Ein Uberblick uber die

Absicherungsproblematik dieser exotischen Optionen und deren Bedeutung fur das

Produktdesign von Turbo–Zertifikaten erfolgt im nachsten Abschnitt. Im Anschluss

hieran wird die Klasse der Knock–Out–Zertifikate, fur die eine einfache semi–statische

Absicherung mittels Forwards und Standard–Optionen moglich ist, erweitert.

C. Absicherung von Barrier–Optionen

Fur das Risikomanagement von bedingten Finanzvertragen sind neben der Preis-

funktion auch die Risikokennziffern, die Griechen, relevant. Bei einer dynamischen

Delta–Strategie wird die Anzahl des zur Absicherung gehaltenen Underlyings ent-

sprechend der Preissensitivitat, verstanden als die erste partielle Ableitung des Op-

tionspreises nach dem Preis des Underlyings, bestimmt. Mit der zweiten partiellen

Ableitung, dem Gamma, wird die Haufigkeit der notwendigen Umschichtungen be-

schrieben. In Hinblick auf die Unvollstandigkeit realer Finanzmarkte wird in der

Praxis versucht, eine moglichst gamma–neutrale Position einzugehen. Die Kennzif-

fern Delta und Gamma sind somit von besonderer Bedeutung. Bei den im Rahmen

dieser Arbeit betrachteten Barrier–Versionen verursacht die Schranke eine Unstetig-

keit der Preisfunktion und folglich auch der Risikokennziffern. Wird beispielsweise

eine Down–and–In–Call–Option betrachtet, so ist der Optionspreis vor Beruhren der

Kursschranke monoton fallend im Preis des Underlyings. Nach Eintreten der Barrier–

Bedingung handelt es sich um eine Standard–Call–Option und der Preis ist monoton

wachsend im Underlying. Die durch das Delta beschriebene Preissensitivitat besitzt

also einen Vorzeichenwechsel und das Gamma nimmt nahe der Barrier sehr hohe

Werte an. Unter Berucksichtigung von Transaktionskosten wird deshalb oftmals die

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Schlussfolgerung gezogen, dass eine dynamische Delta–Absicherung umso weniger

geeignet ist, desto unstetiger die Preisfunktion ist. Als eine mogliche Alternative zu

dynamischen Absicherungsstrategien haben sich semi–statische Absicherungsstrate-

gien etabliert.9 Es ist an dieser Stelle kritisch anzumerken, dass bei allen Strategien,

die eine Umschichtung bei Erreichen der Kursschranke vorsehen, eine wesentliche

Voraussetzung fur die Effizienz der Strategie eine ausreichende Liquiditat in den Ab-

sicherungsinstrumenten ist.

In Hinblick auf das Produktdesign von Turbo–Zertifikaten besitzt die Unterschei-

dung zwischen regularen und reversen Barrier–Optionen eine besondere Bedeutung.

Regulare Barrier–Optionen sind dadurch gekennzeichnet, dass die Optionen bei Ent-

stehen bzw. Vergehen keinen inneren Wert besitzen. Demzufolge handelt es sich um

einen regularen Barrier–Put (Call), falls die Kursschranke großer (kleiner) oder gleich

dem Basispreis ist. Die reversen Barrier–Optionen besitzen hingegen bei Erreichen

der Kursschranke einen positiven inneren Wert, d.h., bei einem reversen Barrier–Put

(Call) ist die Kursschranke kleiner (großer) oder gleich dem Basispreis. In Spezial-

fall 3 aus dem vorherigen Abschnitt wurde eine reverse Barrier–Option betrachtet.

Es zeigte sich, dass die Gewahrung einer Ruckvergutung in Hohe des Wertes einer

Forward–Position eine sehr einfache Absicherungsstrategie impliziert. Ein zusatzli-

cher Vorteil fur den Emittenten ergibt sich aus der Moglichkeit, sein Gap–Risiko,

verstanden als das Risiko bei Eintreten der Schrankenbedingung die Absicherungs-

positionen nicht rechtzeitig auflosen zu konnen, auf den Anleger zu transferieren. In

der Praxis ist es ublich, dass sich die Ruckvergutung entsprechend des Betrages, der

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15

bei Auflosen der Position erzielt wird, bestimmt.10 Dies ist bei den regularen Barrier–

Versionen nicht moglich, da sie bei Erreichen der Kursschranke keinen inneren Wert

besitzen und somit nicht die Moglichkeit einer positiven Ruckvergutung besteht. Eine

negative Ruckvergutung wurde eine Nachzahlung auf Seiten des Kundens implizieren

und wird deshalb ausgeschlossen. Dies konnte ein Grund sein, warum in der Praxis

bisher lediglich reverse Barrier–Versionen sowie der Fall (L = K), der sowohl revers

als auch regular ist, gehandelt wird.

In Hinblick auf ein Produktdesign, das eine einfache Absicherung impliziert, ist aller-

dings auch die regulare Version ohne Ruckvergutung moglich. Im nachsten Abschnitt

wird gezeigt, dass sich hierbei eine Strategie in Standard–Optionen ergibt. Mit Hilfe

der Put–Call–Symmetrie werden obere und untere Preisgrenzen fur die Long– und

Short–Zertifikate basierend auf semi–statischen Absicherungsstrategien in Standard–

Optionen, analog zur semi–statischen Absicherung von Barrier–Optionen, hergeleitet.

Insbesondere ergibt sich als Spezialfall die bereits gehandelte Parameterkonstellati-

on L = K. Im Fall der reversen Barrier–Optionen ohne Ruckvergutung mussten

hierbei zusatzlich zu den Standard–Optionen Binar–Optionen benutzt werden. Diese

stellen Produkte dar, die zu einer perfekten Absicherung durch ein Kontinuum von

Standard–Optionen synthetisiert werden mussten, vgl. Bowie und Carr (1994), S. 46,

und Carr, Ellis und Gupta (1998), S. 1172. Da dies eine wesentliche Komplikation

im Vergleich zu reversen Barrier–Optionen mit geeigneter Ruckvergutung darstellt,

wird im Folgenden lediglich die Klasse der regularen Barrier–Versionen betrachtet.

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16

D. Semi–statische Absicherung von Barrier–Optionen

Im Zentrum der Diskussion steht nun das Produktdesign von Turbo–Zertifikaten,

die sich als regulare Barrier–Version interpretieren lassen. Es werden deshalb re-

gulare Down–and–Out–Call–Optionen und regulare Up–and–Out–Put–Optionen oh-

ne Ruckvergutung hinsichtlich der semi–statischen Absicherung analysiert.

Es gilt die folgende Notation:

T Falligkeitszeitpunkt der Europaischen Optionen,

t beliebiger Zeitpunkt zwischen 0 und T ,

St Indexkurs zum Zeitpunkt t,

K Basispreis einer Option,

r die annualisierte konforme Zinsrate,

Call(t, St; K,T ) Preis einer Call–Option zum Zeitpunkt t,

Put(t, St; K,T ) Preis einer Put–Option zum Zeitpunkt t,

L Kursschranke,

u Zeitpunkt vor Erreichen der Kursschranke,

CallDO(u, Su; K,L, T ) Preis eines regularen (L ≤ K) Down–and–Out–Calls z. Ztpkt. u,

PutUO(u, Su; K,L, T ) Preis eines regularen (L ≥ K) Up–and–Out–Puts z. Ztpkt. u.

Im Folgenden werden Produkte mit fester Falligkeit T betrachtet. Zur Vereinfa-

chung der Schreibweise wird deshalb auf eine explizite Angabe der Preisabhangigkeit

von T verzichtet. Zum Beispiel wird also nur Call(t, St; K) anstelle von Call(t, St; K,T )

notiert. Zur Bewertung bzw. Absicherung einer Down–and–Out–Call–Option ist es

zweckmaßig, zunachst die entsprechende In–Version zu betrachten. Analog zu dem

Preis einer Standard–Put–Option ist der Preis einer Down–and–In–Call–Option vor

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Beruhren der Kursschranke monoton fallend im Kurs des Underlyings. Dementspre-

chend verhalt sich in diesem Fall die Down–and–In–Call–Option analog zu einer

Put–Option. Es stellt sich die Frage, welche Anzahl α von Put–Optionen mit wel-

chem Basispreis KP dazu notwendig ist, eine Wertgleichheit mit einer Call–Option

mit Basispreis KC zu erzielen. Aus der Forderung

Call (t, St; KC) = αPut (t, St; KP )

ergibt sich im Rahmen des Black/Scholes–Modells mit11

α =KC

St

e−r(T−t)(1)

KP =

(Ste

r(T−t))2

KC

(2)

die Put–Call–Symmetrie. Es ist anzumerken, dass diese Symmetrieeigenschaft auch

in einem allgemeineren Kontext ihre Gultigkeit behalt.12 Unter Ausnutzung der Ho-

mogenitat und des Monotonieverhaltens des Put–Preises in St und K ergibt sich,

wie im Anhang A, Abschnitt II dieser Arbeit gezeigt, die folgende Abschatzung fur

r ≥ 0:

(3)KC

St

Put

(

t, St;S2

t

KC

)

≤ Call (t, St; KC) ≤ KC

St

e−rT Put

(

t, St;

(Ste

rT)2

KC

)

.

Da sich eine Down–and–In–Call–Option bei Beruhren der Kursschranke L in eine

einfache Call–Option umwandelt, muss eine Position in Put–Optionen gewahlt wer-

den, so dass sich die oben betrachtete Wertgleichheit fur St = L ergibt. Fur r = 0

handelt es sich hierbei um eine statische Position in KC

LPut–Optionen mit Basispreis

KP = L2

KC

. Im Fall der regularen Barrier–Call–Option, d.h. fur L ≤ K, folgt zudem,

dass die Put–Optionen zum Zeitpunkt T wertlos verfallen, falls die Kursschranke

nicht wahrend der Laufzeit beruhrt wird.13 Es gilt somit, dass das Portfolio aus Put–

Optionen die Barrier–Option sowohl fur den Fall, dass die zusatzliche Bedingung im

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18

Sinne der Barrier erfullt wird, als auch fur den umgekehrten Fall dupliziert. Aus Ar-

bitrageuberlegungen folgt also fur alle Zeitpunkte u vor Beruhren der Kursschranke

CallDI (u, Su; K,L) =K

LPut

(

u, Su;L2

K

)

fur r = 0.

Somit ist die Kenntnis der Black/Scholes–Formel fur Standard–Optionen ausrei-

chend, um (im Fall r = 0) die Bewertungsformel der Barrier–Option zu erhalten.14

Es folgt

CallDI (u, Su; K,L) = L N(

−d(2)(u, Su))

− KSu

LN

(

−d(1)(u, Su))

mit d(1)(u, Su) =ln

(SuKL2

)+ 1

2σ2(T − u)

σ√

T − u

und d(2)(u, Su) = d(1)(u, Su) − σ√

T − u.

Um eine Abschatzung fur r ≥ 0 zu erhalten, wird Gleichung (3) und die folgen-

de Portfolioargumentation benutzt. Es muss eine Position in Put–Optionen gewahlt

werden, so dass sich fur St = L aus den Put–Optionen mindestens (bzw. hochstens)

soviel ergibt, wie zum Eingang einer Long–Position in der Call–Option benotigt wird.

Man erhalt folgende Abschatzung

(4)KC

LPut

(L2

KC

)

≤ CallDI (K,L) ≤ KC

Le−rT Put

((LerT

)2

KC

)

,

wobei die Optionspreise nur noch in Abhangigkeit des Basispreises und gegebenen-

falls der Schranke notiert sind. Dies wird auch im Folgenden zur Vereinfachung der

Lesbarkeit beibehalten.

Ein Turbo–Long–Zertifikat, dessen Barrier kleiner oder gleich dem Basispreis gewahlt

wurde, entspricht einer regularen Down–and–Out–Call–Option. Unter Beachtung der

folgenden In–Out–Paritat

CallDO (K,L) = Call (K) − CallDI (K,L)

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19

ergeben sich demzufolge fur das Turbo–Long–Zertifikat, dargestellt als Down–and–

Out–Call, CallDO, mit L ≤ K, die folgenden Abschatzungen:

(5) CallDO (K,L) ≤ Call (K) − K

LPut

(L2

K

)

,

(6) CallDO (K,L) ≥ Call (K) − K

Le−rT Put

((LerT

)2

K

)

.

Analoge Uberlegungen ermoglichen eine Abschatzung im Falle eines Up–and–Out–

Puts mit K ≤ L. Zusammenfassend lassen sich anhand der semi–statischen Absiche-

rungsstrategien die folgenden Preisgrenzen fur die Turbo–Zertifikate herleiten:15

Preisgrenzen

untere Preisgrenze obere Preisgrenze

Long (K ≥ L) Call (K) − KLe−rT Put

(

(LerT )2

K

)

Call (K) − KLPut

(L2

K

)

Short (L ≥ K ) Put (K) − KLCall

(L2

K

)

Put (K) − KLe−rT Call

(

(LerT )2

K

)

Wie schon in Abschnitt B gezeigt, ergibt sich in dem Spezialfall L = K die obere

(untere) Preisgrenze eines Long– (Short–) Zertifikates aus der Differenz von Call–

und Put–Preisen. Dies entspricht dem Wert einer Long– (Short–) Position in ei-

nem Forward-Geschaft. Bei dem Long–Forward handelt es sich um eine Uberabsi-

cherung (obere Preisschranke) eines Turbo–Long–Zertifikates. Entsprechend handelt

es sich bei dem Short–Forward um eine Unterabsicherung (untere Preisschranke) ei-

nes Turbo–Short–Zertifikates. Bei den in diesem Abschnitt betrachteten Zertifikaten

handelt es sich um regulare Barrier–Optionen. Ein regularer Barrier–Put und ein

regularer Barrier–Call besitzen ein umgekehrtes Verhaltnis von Basispreis und Kurs-

schranke, d.h., fur ein Long–Zertifikat wird K ≥ L gewahlt und bei einem Short–

Zertifikat L ≥ K. Insbesondere bedeutet K 6= L bei einem Short–Zertifikat L > K

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20

und es folgt mit dem Monotonieverhalten von Call–Preisen

Put (K) − K

LCall

(L2

K

)

≥ Put (K) − Call (K) = −(Su − e−r(T−u)K).

Der Forward mit Lieferpreis K ergibt eine untere Preisschranke des Short–Zertifikates.

Hingegen bedeutet K 6= L bei einem Long–Zertifikates K > L. Es ist zu beachten,

dass der Forward keine Abschatzung fur alle L erlaubt. Der Forward mit Lieferpreis

K bestimmt keine obere Preisschranke des Long–Zertifikates.

Die Abbildungen 1 und 2 illustrieren die Preisgrenzen eines Long– (bzw. Short–)

Zertifikates. Es wurde S0 = 4.185, 22, σ = 0, 2, r = 0, 02 und T = 16

gewahlt. Es

ist zu beobachten, dass der Forward–Preis (fettgedruckte Gerade) nur fur K = L

eine obere Preisschranke ergibt, jedoch in diesem Beispiel fur L < K auch niedriger

sein kann als der Black/Scholes–Preis. Insbesondere ist dies der Fall fur Werte von

L, die wesentlich kleiner sind als K (L < 3.600). Hingegen ergibt der Short–Forward

im Fall des Short–Zertifikates nicht nur fur L = K, sondern auch fur L > K eine

untere Preisschranke. Da es sich bei der Forward–Position lediglich um die untere

Preisschranke handelt, stellt dies nicht den fur die Emittenten relevanten Fall dar.

Wird die Absicherung eines gesamten Portfolios betrachtet, so kann diese nicht teu-

rer sein als die Absicherung der einzelnen Positionen. Unter der Annahme eines

vollstandigen Finanzmarktmodells, wie etwa des Black/Scholes–Modells, handelt es

sich bei dem arbitragefreien Preis um eine lineare Preisregel. Insbesondere impliziert

dies, dass sich die Absicherungspositionen des gesamten Portfolios aus der Summe der

einzelnen Absicherungspositionen ergeben. Im Fall der semi–statischen Absicherung

handelt es sich jedoch wie zuvor gezeigt fur r > 0 um eine Uber– bzw. Unterabsi-

cherung. Demzufolge wird anhand von Preisgrenzen argumentiert. Hinsichtlich der

oberen Preisgrenze ergibt sich im Allgemeinen eine Subadditivitat der Preisregel. Die

kleinste obere Preisschranke des Gesamtportfolios ist geringer als die oder gleich der

Summe der kleinsten oberen Preisschranken der einzelnen Positionen.

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21

Preisgrenzen Turbo–Zertifikate

3500 3520 3540 3560 3580 3600Barrier

582

583

584

585

586Wert

Abbildung 1. Werteund Preisgrenzen einesLong–Zertifikates mit einerRestlaufzeit von 2 Monatenfur einen Basispreis vonK = 3.615 in Abhangigkeitder Kursschranke (L ≤ K).

4300 4400 4500 4600 4700 4800Barrier

40

60

80

100

120

140

Wert

Abbildung 2. Werteund Preisgrenzen einesShort–Zertifikates mit einerRestlaufzeit von 2 Monatenfur einen Basispreis vonK = 4.235 in Abhangigkeitder Kursschranke (L ≥ K).

Die fallende (steigende) durchgezogene Kurve resultiert aus dem Black/Scholes–Preis, die gestrichelten Linien bezeichnen untere und obere Preisgrenzen aus densemi–statischen Absicherungsstrategien. Die fettgedruckte Gerade bezeichnet denForward, die gestrichelte Gerade den Preis der entsprechenden Standard–Option.Zur Bewertung wurden eine Volatilitat σ = 0, 2 und ein Zinssatz von r = 0, 02angenommmen.

Folglich stellt sich in Bezug auf die Turbo–Zertifikate die Frage, ob sich die Preis-

grenzen bei einer Portfoliobetrachtung, d.h., bei der Betrachtung eines Portfolios aus

Turbo–Long– und Turbo–Short–Zertifikaten, verscharfen lassen. Hierbei ist zu beach-

ten, dass sich die Preisgrenzen aus einer nahezu modellfreien semi–statischen Absi-

cherung ableiten. Im Folgenden wird gezeigt, dass eine Verscharfung der Preisgrenzen

nicht aus einer semi–statischen Absicherungsstrategie erfolgen kann. Wird etwa ein

Portfolio aus einem Turbo–Long– und einem Turbo–Short–Zertifikat betrachtet, so

ist die Auszahlung des Portfolios an das Erreichen von zwei Kursschranken gebunden.

Die hieraus resultierende Absicherungsproblematik ist analog zu der Problematik fur

Double–Barrier–Optionen.16 Insbesondere lassen sich keine semi–statischen Absiche-

rungsstrategien fur Double–Barrier–Optionen ausschließlich in Standard–Optionen

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Portfoliowert

3600 3700 3800 3900 4000 4100 4200Index

610

615

620

625

630

Portfoliowert

Abbildung 3. Portfolio bestehend aus jeweilseinem Long– und Short–Turbo–Zertifikat mitKC = LC = 3.615 und KP = LP = 4.235und Restlaufzeit von 2 Monaten bei einem Zins-satz von r = 0, 02 und einer Volatilitat vonσ = 0, 2. Die beiden feiner gestrichelten Lini-en kennzeichnen die aus der Summe der einzel-nen Preisschranken resultierenden Preisschran-ken des Portfolios. Die aufgezinste Differenz derBasispreise ist durch die gestrichelte Gerade dar-gestellt und der Black/Scholes–Preis durch diefettgedruckte Linie.

angeben. Im vorliegenden Fall fuhrt dies dazu, dass sich die semi–statische Absi-

cherung des Portfolios aus der semi–statischen Absicherung der einzelnen Positionen

ergibt. Demzufolge kann also keine Verbesserung bei einer Portfoliobetrachtung er-

zielt werden.

Des Weiteren stellt sich die Frage, ob sich zumindest die Absicherungsstrategie in

dem Sinne vereinfacht, dass sich Long– und Short– Positionen saldieren. Hinsichtlich

einer Long– und Short–Position in einem Forward wurde sich hierbei lediglich die

Differenz aus den Lieferpreisen ergeben. Erneut tritt an dieser Stelle das Problem

auf, dass ein Forward–Geschaft im Allgemeinen lediglich eine untere Preisschranke

fur das Turbo–Short–Zertifikat impliziert.

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Formal lasst sich eine Portfoliobetrachtung fur Turbo–Zertifikate aus Sicht des Emit-

tenten wie folgt durchfuhren. Bezeichnet im betrachteten Portfolio n die Anzahl

der verschiedenen Turbo–Long–Zertifikate, m die Anzahl der verschiedenen Turbo–

Short–Zertifikate und αi und βi die jeweilige Hohe der i–ten Emission. Dann lasst

sich der Wert des Portfolios darstellen als

n∑

i=1

αi CallDO(KiC , Li

C) +m∑

i=1

βi PutUO(KiP , Li

P ).

In dem praxisrelevanten Fall r > 0 lasst sich leicht zeigen, dass der tatsachliche

Black/Scholes–Preis des Gesamtportfolios beliebig nahe an die Summe der Preis-

schranken heranreichen kann. Dies wird in Abbildung 3 illustriert. Die beiden feiner

gestrichelten Linien kennzeichnen die aus der Summe der einzelnen Preisschranken

resultierenden Preisschranken des Portfolios. Es ist zu beobachten, dass sich die-

se Linien beliebig nahe an den tatsachlichen Preis (durchgezogene Linie) annahern.

Die aufgezinste Differenz der Basispreise (gestrichelte Gerade) ergibt keine Absiche-

rung. Insbesondere wird ersichtlich, dass der oben betrachtete Effekt auch fur kurze

Laufzeiten (hier 2 Monate) und bei niedrigen Zinsen (hier r = 0, 02) auftritt. Zusam-

menfassend lasst sich feststellen, dass sich bei der semi–statischen Uberabsicherung

keine Portfolioeffekte erzielen lassen. Fur die Preisschranken eines Portfolios aus bei-

den Typen von Turbo–Zertifikaten gilt eine Additivitat der oberen Preisgrenzen und

nicht nur eine Subadditivitat.

Im nachsten Abschnitt werden Marktdaten benutzt, um die Marktpreise fur die

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Turbo–Zertifikate mit den aus den semi–statischen Absicherungsportfolios hergelei-

teten Preisgrenzen vergleichen zu konnen.

E. Preisgrenzen im Vergleich zu Marktpreisen

Im Folgenden werden die in einem im Vergleich zum Black/Scholes–Modell all-

gemeineren Modell gultigen Preisschranken mit exemplarischen Marktdaten vergli-

chen. Es ist an dieser Stelle zu betonen, dass auch dieser Modellrahmen auf idea-

lisierten Marktbedingungen basiert. Transaktionskosten, Kurssprunge und diskretes

Handeln werden nicht in der Bewertung berucksichtigt. Es ist zu vermuten, dass

die aus den semi–statischen Strategien resultierenden Preisschranken weniger sensi-

tiv auf Transaktionskosten reagieren. Allerdings wird auch hier nicht berucksichtigt,

dass der Kurs uber die Barrier springen kann. Das hierdurch verursachte Gap–Risiko

wird also nicht mitbewertet. Dementgegen spiegeln sich in den Marktpreisen die oben

genannten Marktunvollstandigkeiten wider. Es darf dementsprechend nicht verwun-

dern, dass die Marktpreise im Vergleich zu den hier bestimmten Modellpreisen teurer

sind. Die folgenden beispielhaften Marktdaten illustrieren den durch die Differenz von

Modell– und Marktpreisen bestimmten Aufschlag. Eine Rechtfertigung fur die Hohe

des Aufschlages bedarf eines ganzlich anderen, uber diese Arbeit hinausgehenden,

Modellrahmens. Insbesondere sollte zur Rechtfertigung der in der Praxis gewahlten

Preisstellung auch die Marktmikrostruktur mitberucksichtigt werden.

Es zeigt sich jedoch, dass die im letzten Abschnitt bestimmten Preisgrenzen eine

relativ gute Annaherung an die Marktpreise ermoglichen. Zur Illustration werden die

fur den Emittenten ausschlaggebenden Preisobergrenzen bestimmt. Diese werden mit

den Briefkursen, d.h. dem hochsten von Geld–, Brief und Mittelkursen, verglichen.

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Marktpreise Turbo–Zertifikate

3665 3815 4015 4185 4360 4535Basispreise

591

542

492

442

392

342

292

241

191

139

Briefkurse

Abbildung 4. Marktpreise vom 16.03.2005 von Long– (symbolisiertdurch Sterne) und Short– (symbolisiert durch Boxen) Zertifikaten mit Rest-laufzeit von T − t = 7

52 in Abhangigkeit der gehandelten Basispreise. DerKurs des Underlyings notierte am Stichtag bei 4.185,22 Punkten.

Es werden von HSBC Trinkaus & Burkhardt emittierte Turbo–Zertifikate mit Fallig-

keit 16.03.2005 auf den DAX und deren Marktpreise am Stichtag 24.01.2005 betrach-

tet. Der DAX notierte an diesem Tag bei 4.185,22 Punkten. Laut Produktbeschrei-

bung handelt es sich um Knock–Out–Zertifikate mit der Moglichkeit eines Total-

verlusts, d.h. die Barrier entspricht dem Basispreis. Die Basispreise der gehandelten

Zertifikate und deren Briefkurse sind in den Tabellen 1 und 2 zusammengefasst und

in Abbildung 4 illustriert. Auffallig ist hierbei der lineare Zusammenhang zwischen

Basispreis und Marktpreis. Eine lineare Regression ergibt bei einem R2 von nahezu

eins

Short(K) = −4.114, 28 + 0, 984559K = K − 4.185, 22︸ ︷︷ ︸

innerer Wert Put

+ (70, 94 − 0, 015441K)︸ ︷︷ ︸

Aufschlag

Long(K) = 4.220, 36 − 1, 00364K = 4.185, 22 − K︸ ︷︷ ︸

innerer Wert Call

+ (35, 14 − 0, 00364K)︸ ︷︷ ︸

Aufschlag

.

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Somit werden hier die Preise unabhangig von der Volatilitat des Underlyings gestellt.

Dies ist in Einklang mit einer Preisstellung in Form von innerer Wert zuzuglich eines

Finanzierungsaufschlages. Allerdings lasst sich nicht nachvollziehen, inwiefern eine

oftmals kommunizierte Preisstellung anhand von

Preisstellung Long–Zertifikat := St − Ke−(r+z)(T−t)

Preisstellung Short–Zertifikat := K − St

gultig ist.17 Bei r + z handelt es sich um den sogenannten Finanzierungszinssatz.

Wird der Finanzierungszinssatz in Einklang mit den hier betrachteten Marktpreisen

gebracht, so ergeben sich gemaß der Formel

r + z =− ln

(St− Marktpreis

K

)

(T − t)=

−52 ln(

4185,22− MarktpreisK

)

7

in diesem Beispiel Werte fur r + z zwischen 0,034 (fur K = 4.685) und 0,043 (fur

K = 4.235). Es ist anzumerken, dass in Abhangigkeit von z jeder Preis zwischen

St − Ke−r(T−t) (z = 0) und St (z → ∞) erklart werden kann. Ohne eine verbindli-

che Angabe des Finanzierungszinssatzes r + z legt sich der Emittent auch bei einer

offen kommunizierten Preisstellung nicht fest. Insbesondere wird, wie oben erwahnt,

bei Beruhren der Barrier ein Totalverlust nicht ausgeschlossen, d.h., der Emittent

verspricht in diesem Fall nicht, einen hoheren Wert als den Wert einer Forward–

Position zuruckzuzahlen. Entsprechend den Ausfuhrungen von Abschnitt D handelt

es sich fur K = L bei dem Wert der entsprechenden Forward–Position um eine obere

Preisschranke des Long–Zertifikates. Ein z–Wert großer als null symbolisiert deshalb

bereits einen Aufschlag auf die obere Preisschranke. Die im Vergleich zu der oberen

Preisschranke erhobenen prozentualen Aufschlage sind in Tabelle 1 unter Annahme

von konstanten Zinssatzen von r = 0, 01, r = 0, 02 und r = 0, 03 zusammengefasst.

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Marktpreise und Preisschranken von Long–Zertifikaten

Basispreis Briefkurs obere Preisschranke Prozentualer Aufschlag= Barrier ×100 =Long–Forward = Brief-OP

OP

r = 0, 01 r = 0, 02 r = 0, 03 r = 0, 01 r = 0, 02 r = 0, 03

3.615 591 575,08 579,94 584,79 0,028 0,019 0,0113.665 542 525,15 530,07 534,99 0,032 0,022 0,0133.715 492 475,22 480,21 485,19 0,035 0,025 0,0143.765 442 425,28 430,34 435,39 0,039 0,027 0,0153.815 392 375,35 380,48 385,60 0,044 0,030 0,0173.865 342 325,42 330,61 335,80 0,051 0,034 0,0183.915 292 275,49 280,75 285,00 0,060 0,040 0,0213.965 241 225,55 230,88 236,20 0,068 0,044 0,0204.015 191 175,62 181,02 186,40 0,088 0,055 0,0254.065 139 125,69 131,15 136,60 0,106 0,060 0,018Tabelle 1. Marktpreise vom 16.03.2005 von Long–Zertifikaten in

Abhangigkeit der gehandelten Basispreise und die zinsabhangigen oberen

Preisschranken bei einer Restlaufzeit von T − t = 752 . Zudem wird der pro-

zentuale Aufschlag, d.h. Brief-OPOP angegeben. Hierbei bezeichnet Brief den

Briefkurs und OP die obere Preisschranke.

Die Annahme von r = 0, 03 entspricht der Annahme eines niedrigen Finanzierungs-

zinssatzes und es ergeben sich lediglich Aufschlage in Hohe von 1 bis 2 %. Hingegen

ergeben sich bei einem Zinssatz von r = 0, 01 Aufschlage von bis zu 10% auf die

obere Preisschranke.

Bezuglich der Marktpreise der Short–Zertifikate ist festzustellen, dass sich diese

nicht alleine aus dem inneren Wert der entsprechenden Put–Option ergeben. Im Fol-

genden wird aus diesen Grunden nicht weiter auf die Preisstellung in Form des in-

neren Wertes eingegangen. Vielmehr werden die im Vergleich zu den in Abschnitt D

hergeleiteten oberen Preisschranken erhobenen Aufschlage illustriert. Es zeigt sich,

dass die Volatilitat σ des Underlyings im Vergleich zu dem Modellzinssatz r einen

vergleichsweise geringen Einfluss auf den Aufschlag besitzt. Zur Vereinfachung wird

deshalb von am Markt beobachtbaren Smile–Effekten abstrahiert und die Gultigkeit

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Marktpreise und Preisschranken von Short–Zertifikaten (σ = 0, 3)

Basispreis Briefkurs obere Preisschranke= Prozentualer Aufschlag

= Barrier ×100 Put − e−r× 7

52 Call(

Ke2r× 7

52

)

= Brief-OPOP

r = 0, 01 r = 0, 02 r = 0, 03 r = 0, 01 r = 0, 02 r = 0, 03

4.235 58 49,26 48,74 48,23 0,177 0,190 0,2034.285 105 98,75 97,71 96,68 0,063 0,075 0,0864.335 153 148,24 146,70 145,17 0,032 0,043 0,0544.360 178 172,99 171,21 169,43 0,029 0,040 0,0514.385 202 197,75 195,73 193,70 0,021 0,032 0,0434.435 251 247,28 244,78 242,29 0,015 0,025 0,0364.485 300 296,83 293,89 290,95 0,011 0,021 0,0314.535 350 346,41 343,04 339,68 0,010 0,020 0,0304.585 400 396,01 392,25 388,49 0,010 0,020 0,0304.635 450 445,64 441,50 437,38 0,010 0,019 0,0294.685 500 495,30 490,82 486,35 0,009 0,019 0,028

Marktpreise und Preisschranken von Short–Zertifikaten (σ = 0, 1)

Basispreis Briefkurs obere Preisschranke= Prozentualer Aufschlag

= Barrier ×100 Put − e−r× 7

52 Call(

Ke2r× 7

52

)

= Brief-OPOP

r = 0, 01 r = 0, 02 r = 0, 03 r = 0, 01 r = 0, 02 r = 0, 03

4.235 58 48,32 46,85 45,40 0,200 0,238 0,2784.285 105 96,98 94,19 91,41 0,083 0,115 0,1494.335 153 145,88 141,00 138,13 0,049 0,077 0,1084.360 178 170,44 166,10 161,78 0,044 0,072 0,1004.385 202 195,06 190,34 185,64 0,036 0,061 0,0884.435 251 244,48 239,18 233,90 0,027 0,049 0,0734.485 300 294,09 288,42 282,75 0,020 0,040 0,0614.535 350 343,85 337,92 332,01 0,018 0,036 0,0544.585 400 393,69 387,61 381,53 0,016 0,032 0,0484.635 450 443,58 437,38 431,20 0,014 0,029 0,0444.685 500 493,49 487,21 480,94 0,013 0,026 0,040Tabelle 2. Marktpreise vom 16.03.2005 von Short–Zertifikaten in

Abhangigkeit der gehandelten Basispreise und die zinsabhangigen oberen

Preisschranken bei einer Restlaufzeit von T − t = 752 . Zudem wird der pro-

zentuale Aufschlag, d.h. Brief-OPOP angegeben. Hierbei bezeichnet Brief den

Briefkurs und OP die obere Preisschranke.

des Black/Scholes–Modells mit konstanter Volatilitat von σ = 0, 3 (bzw. σ = 0, 1) zur

Bestimmung der oberen Preisschranken postuliert. Fur den Zinssatz wurden entspre-

chend den Ausfuhrungen zu den Long–Zertifikaten Werte von r = 0, 01 bis r = 0, 03

Page 30: Produktdesign und Semi–Statische Absicherung von Turbo ... · Produktdesign und Semi–Statische Absicherung von Turbo–Zertifikaten Dr. Antje Mahayni Michael Suchanecki 29. August

29

gewahlt. Es ist zu beobachten, dass die hochsten Aufschlage von etwa 20% bei einem

Basispreis und somit auch einer Barrier nahe dem derzeitigen Kurs des Underly-

ings zu beobachten sind. Dies ist intuitiv klar, da eine Preisstellung, die unabhangig

von der Volatilitat erfolgt, im Vergleich zu dem Modellpreis im Sinne der oberen

Preisschranke der Barrier–Version nicht die Wahrscheinlichkeit fur den Knock–Out

berucksichtigt. Fur alle anderen Basispreise und die hier unterstellten Volatilitaten

und Zinssatze ergeben sich relativ moderate Aufschlage (allerdings bezuglich der obe-

ren Preisschranke!) in Hohe von 1 bis 5%. Abschließend ist zu betonen, dass obwohl

die Preisstellung der Turbo–Zertifikate weitgehend unabhangig von der Volatilitat

ist, dies, wie in den vorherigen Abschnitten gezeigt und hier illustriert, in dieser All-

gemeinheit nicht fur die Absicherung der Zahlungsverpflichtungen und der hierdurch

implizierten Preisgrenze gilt.

F. Schlussbetrachtungen

Eines der beliebtesten und umsatzstarksten strukturierten Produkte fur Privatan-

leger am deutschen Markt sind Turbo–Zertifikate in ihren Long– und Short–Versionen.

Dahinter verbergen sich jedoch bei genauerer Betrachtung der Auszahlungsprofile

nichts anderes als Barrier–Optionen in Form von Up–and–Out–Puts und Down–

and–Out–Calls, die sich hinsichtlich des Basispreises, der Schranke und der Ruck-

vergutung unterscheiden. Unter Berucksichtigung einer allgemeinen Produktklasse

wurden diejenigen Zertifikattypen bestimmt, die bezuglich einer Klasse von Model-

len eine semi–statische Absicherung in Standard–Optionen bzw. Forward–Vertragen

erlauben. Hierzu gehoren reverse Barrier–Optionen in Kombination mit einer speziel-

len Wahl der Ruckvergutung. Diese werden in der Praxis als Mini Futures gehandelt.

Eine statische Absicherung von regularen Barrier–Optionen ohne Ruckvergutung ist

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30

auch moglich. Unter Ubereinstimmung von Kursschranke und Basispreis werden sol-

che Zertifikate unter dem Namen Knock–Out–Produkte gehandelt. Die allgemeinere

Form der regularen Barrier–Version wird derzeit zwar noch nicht als Zertifikat emit-

tiert, ist aber als Produktinnovation denkbar.

Die Analyse basierte auf einer verallgemeinerten Put–Call–Symmetrie, mit deren

Hilfe leicht replizierbare obere und untere Preisschranken bestimmt wurden. Aus

Sicht der emittierenden Bank sind lediglich obere Preisschranken von Bedeutung,

da bei einem Verkauf des Zertifikates und der gleichzeitigen Benutzung der Absi-

cherungsstrategie ein risikoloser Gewinn erzielt wird. In dem Spezialfall, dass Barrier

und Basispreis ubereinstimmen, ergibt sich die obere Preisschranke des Turbo–Long–

Zertifikates gemaß eines Forward–Vertrages. Entsprechend handelt es sich jedoch um

eine untere Preisschranke des Short–Zertifikates, so dass dessen Auszahlung nur mit

Hilfe von Standard–Optionen dominiert werden kann.

Regulare Barrier–Optionen sind dadurch gekennzeichnet, dass die entstehenden bzw.

vergehenden Optionen bei Beruhren der Schranke keinen inneren Wert besitzen. Dem-

zufolge ist das Verhaltnis von Barrier und Basispreis der Long– und Short–Zertifikate

entgegengesetzt, so dass diese Positionen sich bei einer Portfoliobetrachtung nicht

aufheben. Folglich kann auch hier nicht auf die Benutzung von Standard–Optionen

verzichtet werden. Es wurde gezeigt, dass bei der Absicherung des Portfolios aus

Zertifikaten kein besseres Ergebnis bezuglich einer oberen Preisschranke aus einem

statischen Hedge bestimmt werden kann als aus einer Einzelbetrachtung.

Abschließend wurden die theoretischen oberen Preisschranken sowie die von vielen

Emittenten offen kommunizierte Preisstellung mit Marktpreisen verglichen. In bei-

den Fallen ergaben sich Abweichungen. Ein Finanzierungszinssatz, der bei gleicher

Restlaufzeit nicht konstant fur alle Basispreise ist, kann nicht in Einklang mit der

Preisstellung fur Long–Zertifikate gebracht werden. Fur die im Rahmen dieser Arbeit

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31

hergeleiteten oberen Preisschranken konnte der in Marktpreisen enthaltene Aufschlag

zumindest teilweise durch ein in der Praxis nicht vernachlassigbares Gap–Risiko er-

klart werden. Wahrend die hier betrachteten semi–statischen Absicherungsstrategien

darauf basieren, dass keine Kurssprunge auftreten, dass die entsprechenden Absi-

cherungsinstrumente verfugbar sind und dass ein sofortiges Auflosen der Position

bei Beruhren der Kursschranke moglich ist, ist dies in der Realitat nicht gegeben.

In dieser Arbeit wurde zudem gezeigt, dass eine Absicherung der Zahlungsverpflich-

tungen im Allgemeinen nicht unabhangig von der Volatilitat erfolgen kann. Eine

von der Volatilitat unabhangige Preisstellung, welche die hier bestimmten oberen

Preisschranken fur alle Basispreise dominiert, impliziert einen sehr hohen Aufschlag,

insbesondere fur Kurse nahe der Kursschranke.

Bei den bisher gehandelten Produkten ist das Gap–Risiko sehr gering und wird zudem

teilweise auf den Kunden transferiert. Demzufolge ist zu vermuten, dass der Emit-

tent der Turbo–Zertifikate bei der gangigen Preisstellung und gleichzeitigem Ein-

gang der entsprechenden Absicherungsstrategie in Standard–Optionen einen Gewinn

erzielt. Des Weiteren wurde gezeigt, dass ein Portfolio, das ausschließlich aus Turbo–

Zertifikaten und Terminvertragen besteht, nicht risikolos ist. Wahrend das große An-

gebot an Turbo–Zertifikaten durch Arbitrage zu erklaren ist, basiert die Nachfrage

auf Spekulationsmotiven. Dem Privatanleger ist es nicht moglich, die Auszahlung der

Turbo–Zertifikate anhand von fur ihn zuganglichen Produkten nachzubilden.

Anhang A. Put–Call–Symmetrie

I. Beweis von Gleichung (1) und Gleichung (2).

Unter Annahme des Black/Scholes–Modells gilt fur den Wert einer Europaischen

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32

Put–Option mit Falligkeit T und Basispreis K zum Zeitpunkt t (t ≤ T )

Put(t, St; K) = Ke−r(T−t)N(−d(2)(t, St; K

)− StN

(−d(1)(t, St; K)

)

mit d(1)(t, St; K) :=ln

(St

K

)+

(r + 1

2σ2

)(T − t)

σ√

T − t

und d(2)(t, St; K) := d(1)(t, St; K) − σ√

T − t.

Fur den Wert einer sonst identischen Call–Option gilt:

Call(t, St; K) = StN(d(1)(t, St; K)

)− Ke−r(T−t)N

(d(2)(t, St; K)

).

Die Put–Call–Symmetrie ergibt sich unmittelbar aus der Frage, wieviele Call–Optionen

α mit welchem Basispreis KC benotigt werden, um den Preis einer bis auf den Ba-

sispreis KP identischen Put–Option zu duplizieren. Formal folgt:

Put (t, St; KP ) = αCall (t, St; KC)

⇔ α[StN

(d(1)(t, St; KC)

)− KCe−r(T−t)N

(d(2)(t, St; KC)

)]

= KP e−r(T−t)N(−d(2)(t, St; KP )

)− StN

(−d(1)(t, St; KP )

).

Offensichtlich ergibt sich als notwendige Bedingung, dass

αSt = e−r(T−t)KP ,

αe−r(T−t)KC = St.

Es ist leicht zu zeigen, dass die Wahl

KC =(Ste

r(T−t))2

KP

und α =KP

St

e−r(T−t)

die geforderte Gleichheit erfullt. Insbesondere gilt demzufolge

Put (t, St; KP ) =KP

St

e−r(T−t)Call

(

t, St;(Ste

r(T−t))2

KP

)

.

II. Beweis von Ungleichung (3).

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33

Analog zu Abschnitt I gilt

Call(t, St; KC) =KC

St

e−r(T−t)Put

(

t, St;

(Ste

r(T−t))2

KC

)

.

Eine Ausnutzung der Homogenitat des Put–Preises im Preis des Underlyings und im

Strike sowie die Preismonotonie ergibt fur r ≥ 0:

KC

St

e−r(T−t)Put

(

t, St;

(Ste

r(T−t))2

KC

)

=KC

St

Put

(

t, e−r(T−t)St;S2

t er(T−t)

KC

)

≤ KC

St

Put

(

t, e−rT St;S2

t erT

KC

)

=KC

St

e−rT Put

(

t, St;

(Ste

rT)2

KC

)

.

Andererseits gilt:

KC

St

e−r(T−t)Put

(

t, St;

(Ste

r(T−t))2

KC

)

≥ KC

St

Put

(

t, St;S2

t er(T−t)

KC

)

≥ KC

St

Put

(

t, St;S2

t

KC

)

.

Anmerkungen

1In dieser Arbeit wird weitestgehend der Begriff Turbo–Zertifikat verwendet. Die-

selben Zertifikate, die zur Klasse der Hebelprodukte gehoren, werden in der Praxis je

nach Emittent auch unter den Namen Wave, Sprinter, Turbo–Optionsschein, Bull–

bzw. Bear–Zertifikat, Mini Future oder einfach Knock–Out gelistet.

2Diese Zahlen stammen aus den Monatsberichten der EUWAX fur das Jahr 2004,

erhaltlich unter http://www.euwax.de.

3Bei den entsprechenden Absicherungsstrategien handelt es sich um Strategien,

die bei Erreichen einer Kursschranke eine Umschichtung verlangen. Hierbei wird un-

terstellt, dass die Preispfade stetig sind und ein zeitstetiges Handeln moglich ist.

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4Eine ausfuhrliche Diskussion der Put–Call–Symmetrie befindet sich bereits in

Bates (1997).

5Bei den Barrier–Optionen mit einer Schranke gibt es acht verschiedene Typen, die

sich durch Lage der Schranke im Verhaltnis zum ursprunglichen Kurs des Underlyings

(,,down“ oder ,,up“), die Art der Schranke (,,knock–in“ oder ,,knock–out“) und die an

die Schrankenbedingung geknupfte Standard–Option unterscheiden (Call oder Put).

Des Weiteren unterscheidet man reverse und regulare Barrier–Versionen, die dadurch

gekennzeichnet sind, dass sich die Option zu dem Zeitpunkt, zu dem die Barrier

getroffen wird, im Geld (fur reverse) bzw. aus dem Geld (fur regulare) befindet. Vgl.

auch Rubinstein und Reiner (1991), Rich (1994), Haug (1998) und Tompkins (1999).

6In dieser Arbeit wird auf eine explizite Modellierung einer stetigen Dividende ver-

zichtet, auch deswegen, weil es sich beim DAX um einen Performance-Index handelt.

Eine Anpassung des Modells und der Aussagen, wenn eine Dividende berucksichtigt

werden soll, ist jedoch leicht moglich.

7Die Verwendung des Begriffes Stop–Loss–Level anstelle von Barrier symbolisiert

die zur Absicherung geeignete Strategie im Forward. Die Strategie wird beendet,

bevor dieser Forward einen negativen Wert erlangen kann.

8Es ist intuitiv, dass die untere Preisschranke des Short–Produktes zu einer oberen

Preisschranke des nun betrachteten Long–Produktes wird. Somit kann ein Forward–

Geschaft nicht gleichzeitig eine obere Preisschranke beider Vertragstypen sein.

9Vgl. Tompkins (1999) S. 1003.

10Vgl. Baule, Scholz und Wilkens (2004), S. 332.

11Vgl. Anhang A, Abschnitt I.

12Fur die Bedingungen an die Volatilitatsstruktur siehe Carr, Ellis und Gupta

(1998). In der Arbeit von Bates (1997) werden Bedingungen hergeleitet, unter denen

die Put–Call–Symmetrie auch in einem Modell mit stochastischer Volatilitat oder in

einem Modell mit Sprungen gilt.

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13Im Fall einer reversen Barrier–Call–Option, d.h. fur L > K, konnen die Put–

Optionen zum Zeitpunkt T auch eine positive Auszahlung ergeben, falls die Kurs-

schranke nicht wahrend der Laufzeit beruhrt wird. Dementsprechend ergibt sich eine

Uberabsicherung der Down–and–In–Call–Option und somit lediglich eine fur den

Emittenten uninteressante Wertuntergrenze fur die Down–and–Out–Call–Option.

14Fur die allgemeine Bewertungsformel im Fall r > 0 siehe Rubinstein und Reiner

(1991).

15Die Risikokennziffern der Preisschranken sind einfach und intuitiv bestimmbar,

da sie sich aus denen von Standard–Optionen zusammensetzen.

16Eine Ubersicht hierzu wird in Tompkins und Glibitsky (2000) gegeben.

17Zu der hier angegebenen Preisstellung vgl. Scholz, Baule und Wilkens (2005), S.

91 und S. 104.

Literatur

Bates, D. S. (1997): The Skewness Premium: Option Pricing Under Asym-

metric Processes, Advances in Futures and Options Research, 9, 51–82.

Baule, R., Scholz, H. und Wilkens, M. (2004): Short–Zertifikate auf In-

dizes – Bewertung und Analyse eines innovativen Retail–Produktes fur Bais-

sephasen, Zeitschrift fur Betriebswirtschaft, 74(4), 315–338.

Black, F. und Scholes, M. (1973): The Pricing of Options and Corporate

Liabilities, Journal of Political Economy, 81, 637–654.

Bowie, J. und Carr, P. (1994): Static Simplicity, Risk, 7(8), 45–49.

Carr, P., Ellis, K. und Gupta, V. (1998): Static Hedging of Exotic Opti-

ons, Journal of Finance, 53(3), 1165–1190.

Fischer, E. O., Greistorfer, P. und Sommersguter–Reichmann, M. (2002):

Turbo–Zertifikate – Darstellung, Bewertung und Analyse, Osterreichisches Ban-

karchiv, 50(12), 995–1005.

Page 37: Produktdesign und Semi–Statische Absicherung von Turbo ... · Produktdesign und Semi–Statische Absicherung von Turbo–Zertifikaten Dr. Antje Mahayni Michael Suchanecki 29. August

36

Fischer, E. O., Greistorfer, P. und Sommersguter–Reichmann, M. (2003):

Short–Zertifikate – Darstellung, Bewertung und Analyse, Osterreichisches Ban-

karchiv, 51(2), 119–128.

Haug, E. G. (1997): The Complete Guide to Option Pricing Formulas, McGraw–

Hill.

Rich, D. R. (1994): The Mathematical Foundations of Barrier Option–Pricing

Theory, Advances in Futures and Options Research, 7, 267–311.

Rubinstein, M. und Reiner, E. (1991): Breaking Down the Barriers, Risk,

4 (9), 28–35.

Scholz, H., Baule, R. und Wilkens, M. (2005): Innovative Turbo–Zertifikate

am deutschen Kapitalmarkt – Preisstellung, Bewertung, Hedging und Gewinn-

potenzial, Kredit und Kapital, 38(1), 87-116.

Tompkins, R. G. (1999): Exotic Options (Part 3) – Simple Barrier Options,

Osterreichisches Bankarchiv, 47(12), 996–1005.

Tompkins, R. G. und Glibitsky, M. (2000): Exotic Options (Part 4) – Com-

plex Barrier Options, Osterreichisches Bankarchiv, 48(10), 902–913.

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Zusammenfassung

Turbo–Zertifikate gehoren derzeit zu den beliebtesten strukturierten Produkten fur

Privatanleger. Sie lassen sich als Spezialformen von Barrier–Optionen auffassen. In

Bezug auf das Produktdesign ist das Verhaltnis von Kursschranke und Basispreis

von Bedeutung. Unter Ausnutzung der Put–Call–Symmetrie wird gezeigt, dass ei-

ne geeignete Wahl der Ausstattungsmerkmale dem Emittenten eine semi–statische

Uberabsicherung in Standard–Optionen ermoglicht, die bezuglich einer ganzen Mo-

dellklasse gultig ist. Im Gegensatz zu der in der Praxis gangigen Preisstellung kann

eine Absicherung der Zahlungsverpflichtungen im Allgemeinen nicht unabhangig von

der Volatilitat erfolgen.

Summary

Turbo–Certificates are one of the most popular structured equity products for priva-

te investors in Germany. They can be regarded as special forms of barrier options.

For the design of these products, the relation between the barrier level and the strike

price is especially important. By using the put–call–symmetry, we show that by a cer-

tain choice of these parameters, the issuer is able to obtain an almost static (super–)

hedge in standard option contracts which is valid for a general class of models. It

turns out that in contrast to the pricing rule which is often used in practice, the

issuer can neither hedge a single certificate nor a portfolio of certificates independent

of the volatility.

JEL: G10, G13, G21