Strukturbildung und Selbstorganisation weit weg vom Gleichgewicht Heinz HornerInst. f. Theor. PhysikUni Heidelberghorner@tphys.uni-heidelberg.de

13. Okt. 2007

Literatur:H. Meinhard: Models of biological pattern formation, Academic Press, London (1982)

frei erhältlich unter http://www.eb.tuebingen.mpg.de/meinhardt

H. Meinhard: The Algorithmic Beauty of Sea Shells, Springer, Heidelberg (2003)

H. Haken: Synergetics, an introduction, Springer, Heidelberg (1977/1983)Advanced synergetics, Springer, Heidelberg (1983/1987)

Energie- und Entropiebilanz der Erde

Sonne

240 W/m2

240 W/m2

T = 270 K

T = 5000 K

S = Q/T

Sout ! 20Sin

Direkte Entropieerzeugung (z.B. Wärmeleitung)? langsam!

Energiekaskade –> Strukturbildung –> (belebte Natur) –> .... –> Dissipation Maximale Entropieproduktion?

Beispiele: Konvektion Musterbildung in der belebten Natur

Konvektion, Taylor-Instabilität

Abfolge der Muster:Laminare Strömung –> Gerade Rollen –>Gewellte Rollen –> Gerade turbulente Rollen

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Dissipation Konvektion (nichtlinear)

Navier-Stokes-Gleichung

Turbulente Strömung:

Energiekaskade von großen zu kleinen LängenskalenEnergiedissipation auf kleinster Skala

Flussinstabilität (viscous fingering)

3

Interessant ist noch, daß die Strukturbildung teil-weise reversibel ist. Das heißt, wenn man den Kol-ben der Spritze wieder ein wenig zurückzieht, wirddie Flüssigkeit aus den bereits gebildeten Kanälenin die Spritze zurückgezogen, und die andere Flüs-sigkeit nimmt diesen Bereich ein.

Um die entstehenden Muster in den verschiedenenWachstumsphasen zu dokumentieren, kann die He-le- Shaw- Zelle von unten ausgeleuchtet und vonoben fotografiert werden. Beim Auseinanderziehender Platten werden die Strukturen übrigens nicht so-fort zerstört, sondern durchlaufen andere, teilweiseebenfalls interessante Muster, die eine eigene Be-trachtung wert wären. Sie kommen dadurch zustan-de, daß mit der Trennung der Platten Luft in den mitden Flüssigkeiten ausgefülten Zwischenraum ein-dringt. Dieser Vorgang erfolgt nach einem ganzähnlichen Durchdringungsmechanismus wie bei den

Flüssigkeiten. Der äußere Luftdruck treibt von denSeiten beginnend fein verästelte "Kanäle" in dieFlüssigkeitschicht, wodurch das Flüssigkeitsfraktaldurch ein Gas- Flüssigkeitsfraktal überlagert wird.

Sehr schöne solcher Muster lassen sich übrigens mitHilfe von verschiedenen Fetten, also extrem visko-sen Flüssigkeiten zwischen zwei Platten erzeugen.Sie haben den Vorteil, nach Trennung der Plattenerhalten zu bleiben. Vorformen solcher Fettfraktalekann man zuweilen beim Frühstück kennenlernen,wenn man beispielsweise zwei mit Butter bestriche-ne "zusammengeklappte" Scheiben Brot wiederauseinanderzieht, weil man den Aufschnitt verges-sen hat.

Beispiele

Im folgenden werden einige Beispiele von viskosenVerästelungen dokumentiert. Die Bilder sind ge-scannte Fotografien von Hele- Shaw- Mustern.

In Abb. 2 sind vier verschiedene Wachstumsstadieneines fraktalen Musters dargestellt, wie es sich typi-scherweise ausbildet, wenn man zunächst flüssigeSeife zwischen die Platten preßt und anschließend(z.B. mit Kaliumpermanganat gefärbtes) Wasser in-jiziert. Die Selbstähnlichkeit von Bildausschnittenist auffallend. In Abb. 3 sind zwei Wachstumsstadi-en von gefärbtem Wasser in Rizinusöl dargestellt.

Auch hier ist die Selbstähnlichkeit der beiden Bilderauffallend. Ohne es im einzelnen genau beschreibenzu können, fällt sofort der Unterschied zu den Flüs-sige-Seife-Wasser- Fraktalen in Abb. 2 auf. Ganzallgemein kann man feststellen, daß die Zerklüftungdieses Fraktals weniger ausgeprägt ist als in Abb. 2.

Injiziert man Wasser in Olivenöl, so ergeben sichfraktale Strukturen, die in ihrem Zerklüftungsgradden Rizinus-Wasser- Fraktalen ähneln. Darin drücktsich die Tatsache aus, das sich die Viskositäten vonRizinusöl und Olivenöl nur geringfügig unterschei-den.

Schließlich sei das Verästeln am Beispiel einer sehr

Bild 2: Verschiedene Wachstumsstadien von Hele-Shaw- Fraktalen, die bei der Injektion von gefärbtemWasser in flüssige Seife entstehen. Auffallend ist diestrukturelle Ähnlichkeit zwischen den einzelnen Bildern.Wenn der Versuch mit neuen Flüssigkeiten wiederholtwerden soll, wird die Hele- Shaw- Zelle auseinanderge-schraubt, sorgfältig von den Flüssigkeitsresten gereinigtund anschließend wieder zusammengeschraubt.

Bild 3: Zwei Wachstumsstadien der Entwicklung einesHele- Shaw- Fraktals, das durch Injektion von gefärbtenWasser in Rizinusöl entsteht. Bild 4 Zwei Wachstumsstadien eines Hele- Shaw- Frak-

tals, das durch Injektion von Wasser in Olivenöl entsteht.Die Ähnlichkeit mit den Rizinus- Olivenöl- Fraktalen ausAbb. 3 bringt die Ähnlichkeit der Viskositäten der Ölezum Ausdruck.

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Hele-Shaw Zelle

Eine Flüssigkeit geringer Viskosität (Wasser, Luf)verdrängt eine Flüssigkeit hoher Viskosität (Öl)

Selbstähnliche Strukturen

Strukturbildung, Gierer Meinhard Modell

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A(x, t) ! Ao

"

+A(x, t)2

B(x, t)+ DA!2

xA(x, t)

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xB(x, t)

Aktivator (autokatalytisch)

Inhibitor (aktiviert durch )

Reaktions-Diffusionsgleichungen (nichtlinear)

A

Strukturbildung, Gierer Meinhard Modell

!tA(x, t) = !

!

A(x, t) ! Ao

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B(x, t)+ DA!2

xA(x, t)

!tB(x, t) = !C B(x, t) + A(x, t)2 + DB!2

xB(x, t)

Aktivator (autokatalytisch)

Inhibitor (aktiviert durch )

Reaktions-Diffusionsgleichungen (nichtlinear)

A

Ohne Diffusion (durchmischt):

Zeitlich periodisch, Grenzzyklus

Strukturbildung, Gierer Meinhard Modell

!tA(x, t) = !

!

A(x, t) ! Ao

"

+A(x, t)2

B(x, t)+ DA!2

xA(x, t)

!tB(x, t) = !C B(x, t) + A(x, t)2 + DB!2

xB(x, t)

Aktivator (autokatalytisch)

Inhibitor (aktiviert durch )

Reaktions-Diffusionsgleichungen (nichtlinear)

A

Mit Diffusion:

Räumliche Muster: GradientDB > DA

Strukturbildung, Gierer Meinhard Modell

!tA(x, t) = !

!

A(x, t) ! Ao

"

+A(x, t)2

B(x, t)+ DA!2

xA(x, t)

!tB(x, t) = !C B(x, t) + A(x, t)2 + DB!2

xB(x, t)

Aktivator (autokatalytisch)

Inhibitor (aktiviert durch )

Reaktions-Diffusionsgleichungen (nichtlinear)

A

Mit Diffusion:

Räumliche Muster: PeriodischDB > DA

Strukturbildung, Gierer Meinhard Modell

Genetische Grundlage: Drosophila - Mensch

Strukturbildung, Gierer Meinhard Modell(modifiziert)

Eigentlich schauen diese schönen Muster auf den Schalen der Schnecken und Muscheln so aus, als wären sie zufällig entstanden. Aber es ist ganz anders. Prof. Hans Meinhardt vom Max-Planck-Institut in Tübingen hat entdeckt, dass Muscheln und Schnecken Muster haben die nach mathematischen Gesetzmäßigkeiten entstehen. Es ist Prof. Meinhardt gelungen, die Muster am Computer zu simulieren ( nachzubilden ).

Die Schneckenschalen bestehen aus Kalk. Am Schalenrand wird jeweils neues Material angelagert, so dass die Schnecke langsam wachsen kann. Dabei wird sozusagen Reihe um Reihe “angestrickt”. Nach einer vorgegebenen Ordnung werden dabei nach und nach Farbteilchen ( Pigmente ) eingelagert. Diese Einlagerung erfolgt nach einem System von partiellen Differenzialgleichungen, also vorgegebenen mathematischen Formeln.

Überraschend ist, dass selbst chaotisch aussehende Muster nicht Zufall sind, sondern einer verdeckten Ordnung gehorchen. Dabei verbirgt sich im Organismus des Schalenbaus einer kleinen Schnecke mehr Mathematik, als mancher Professor beherrscht. Erst mit Hilfe umfangreicher Computersoftware konnte den kleinen Schnecken das Geheimnis ihres Outfits entlockt werden.

Wir haben diese Informationen der Zeitschrift PC-Magazin 10/97 entnommen. Hier wurde auch das entsprechende Buch dazu vorgestellt: Hans Meinhardt - Wie Schnecken sich in Schale werfen Springer-Verlag Berlin/Heidelberg 1997.

Wie

Schnecken

sich in

Schale

werfen

SCHÖPFUNGwww.abba-projekt.de

B

A

Eigentlich schauen diese schönen Muster auf den Schalen der Schnecken und Muscheln so aus, als wären sie zufällig entstanden. Aber es ist ganz anders. Prof. Hans Meinhardt vom Max-Planck-Institut in Tübingen hat entdeckt, dass Muscheln und Schnecken Muster haben die nach mathematischen Gesetzmäßigkeiten entstehen. Es ist Prof. Meinhardt gelungen, die Muster am Computer zu simulieren ( nachzubilden ).

Die Schneckenschalen bestehen aus Kalk. Am Schalenrand wird jeweils neues Material angelagert, so dass die Schnecke langsam wachsen kann. Dabei wird sozusagen Reihe um Reihe “angestrickt”. Nach einer vorgegebenen Ordnung werden dabei nach und nach Farbteilchen ( Pigmente ) eingelagert. Diese Einlagerung erfolgt nach einem System von partiellen Differenzialgleichungen, also vorgegebenen mathematischen Formeln.

Überraschend ist, dass selbst chaotisch aussehende Muster nicht Zufall sind, sondern einer verdeckten Ordnung gehorchen. Dabei verbirgt sich im Organismus des Schalenbaus einer kleinen Schnecke mehr Mathematik, als mancher Professor beherrscht. Erst mit Hilfe umfangreicher Computersoftware konnte den kleinen Schnecken das Geheimnis ihres Outfits entlockt werden.

Wir haben diese Informationen der Zeitschrift PC-Magazin 10/97 entnommen. Hier wurde auch das entsprechende Buch dazu vorgestellt: Hans Meinhardt - Wie Schnecken sich in Schale werfen Springer-Verlag Berlin/Heidelberg 1997.

Wie

Schnecken

sich in

Schale

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SCHÖPFUNGwww.abba-projekt.de

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