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1Technische Universität Dresden, Lehrstuhl für Massivbau
Bemessung für Biegung mit / ohne Normalkraftmit / ohne Druckbewehrung
Dipl.-Ing. Silke Scheerer
2Technische Universität Dresden, Lehrstuhl für Massivbau
Inhalt Gliederung
• Einordnung des Nachweises
• Ablauf der Bemessung
• Expositionsklassen und Baustoffe
• Festlegung der Geometrie
• Schnittgrößenermittlung
• Berechnung der Bemessungsschnittgrößen
• Bemessung
3Technische Universität Dresden, Lehrstuhl für Massivbau
Einordnung der Biegebemessung
Grenzzustände der Gebrauchstauglichkeit
• Begrenzung der Spannungen:BetondruckspannungBetonstahlspannung
• Begrenzungen der Rißbreite und Nachweis der Dekompression
• Begrenzung der Verformung
Sicherheitskonzept nach DIN 1055-100
Sicherstellung der Zuverlässigkeit
Grenzzustände der Tragfähigkeit
• Biegung mit/ohne Längskraftund Längskraft allein
• Querkraft
• Torsion
• Durchstanzen
• Teilflächenpressung
• Stabwerkmodelle
• Ermüdung
Grenzzustände der GebrauchstauglichkeitDauerhaftigkeit
• Mindestbetondruckfestigkeit und Betondeckung entsprechend der Expositionsklassen
• konstruktive Regeln
• Zusammensetzung und Eigenschaften des Betons nach DIN 1045-2
• Bauausführung nach DIN 1045-2
4Technische Universität Dresden, Lehrstuhl für Massivbau
Ablauf der Biegebemessung
• Einordnung in Expositionsklassen• Festlegen der Baustoffe• Berechnen der Betondeckung
Umweltbedingungenund Baustoffe
Umweltbedingungenund BaustoffeGeometrie
• Ermittlung der Stützweite• Berechnung der mitwirkenden
Plattenbreite
Umweltbedingungenund BaustoffeSchnittgrößen
• Berechnung der charakteristischen Schnittgrößen
• Momentenumlagerung• Ermittlung der Bemessungsmomente
Umweltbedingungenund BaustoffeBemessung
• Ermittlung der statischen Nutzhöhe• Berechnung der erforderlichen Be-
wehrung• Bewehrungswahl
5Technische Universität Dresden, Lehrstuhl für Massivbau
Einordnung Kap. 2, POS. B-UZ15,0 5,0 5,0 5,0
B-F1B-UZ1
B-D1
1 2 3 4 5
7,5
7,5
2,5
30
A
B
C
D
5,0
5,4
75
2,0
35
35
7,1
75
2,1
5
B-S1
B-W1
6
B-UZ2
B-UZ1
B-D1
B-D2
B-F1
B-S1
7,60
4,35
0,00
6Technische Universität Dresden, Lehrstuhl für Massivbau
Expositionsklassen und Baustoffe Kap. 2, POS. B-UZ1
Expositionsklassen:
Expositionsklasse: XC1 (Bewehrungskorrosion)
Mindestbetonfestigkeitsklasse: C 16/20
maßgebende Mindestbetonfestigkeitsklasse: C 16/20
DIN 1045-1, Tabelle 3,Zeile 2
Baustoffe:
Beton C 40/45
mm²N
7,225,1
4085,0 =⋅=⋅=
c
ckcd
ff
γα DIN 1045-1, 9.1.6
Stahl BSt 500 S(B) (hochduktil)
2mmN
43515,1
500===
s
ykyd
ff
γ DIN 1045-1, 9.2.4
7Technische Universität Dresden, Lehrstuhl für Massivbau
Betondeckung Kap. 2, POS. B-UZ1
Vorhaltemaß:
Für Expositionsklasse XC1: DIN 1045-1, Tabelle 4,Zeile 1mm 10=c∆
Mindestbetondeckung:
Für Expositionsklasse XC1: DIN 1045-1, Tabelle 4,Zeile 1
≥mm 10
bzw. svsmin
ddc
bedingung)(Umgebungs
dingung)(Verbundbe
Nennmaß der Betondeckung:ccc minnom ∆+=
8Technische Universität Dresden, Lehrstuhl für Massivbau
Betondeckung Kap. 2, POS. B-UZ1Feldbereich:
Bügel Ø 10, Längsbewehrung Ø 20maßgebend wird cmin ≥ ds
cmin,w = 10 mm für Bügel (Betondeckung für Längsbewehrung eingehalten)
cnom,w = cmin,w + ∆c = 10 + 10 = 20 mm
→
→
Stützbereich:
Matten und Zulagen Ø 8, Bügel Ø 10, Längsbewehrung Ø 20 maßgebend wird cmin ≥ ds
cmin,w = 10 mm für Zulagen (Betondeckung für Bügel und Längs-bewehrung eingehalten)
cnom,m = cmin,m + ∆c = 10 + 10 = 20 mm
→
→
9Technische Universität Dresden, Lehrstuhl für Massivbau
Geometrie Kap. 2, POS. B-UZ1
Festlegung der effektiven Stützweiten: DIN 1045-1, 7.3.1,(6) und Bild 7
a
ai ln
leff
a
ai ln
leff
Endauflager Innenstützung
2a
ai =23a
aa
i ≤≤
Effektive Stützweite: 21 aall neff ++=
10Technische Universität Dresden, Lehrstuhl für Massivbau
Geometrie Kap. 2, POS. B-UZ15,0 5,0 5,0 5,0
1 2 3 4 5
5,0
6
4,8 4,8 4,8 4,8 4,820 20 20 20 20 20
Effektive Stützweite Randfeld:
m 52
m 2,02
m 2,0m 80,4, =++=++= 21n1eff aall
(Anmerkung: die Endauflager sind monolithisch angebunden)
Effektive Stützweite Innenfeld:
m 52
m 2,02
m 2,0m 80,4, =++=++= 22n2eff aall
11Technische Universität Dresden, Lehrstuhl für Massivbau
Geometrie Kap. 2, POS. B-UZ1
Wirksame Stützweite: DIN 1045-1, 7.3.1, Bild 3
l l0 eff,1 = 0,85× l l0 eff,2 = 0,70×
l l0 eff,3 = 1,5×
leff,1
l l l0 eff,1 eff,2 = 0,15×( + )
leff,2 leff,3
• Randfeld:
• Stützbereich:
• Innenfeld
m 25,40,585,085,0 , =⋅=⋅= 1eff0 ll
( ) ( ) m 50,10,50,515,015,0 , =+⋅=+⋅= eff,21eff0 lll
m 50,30,570,070,0 , =⋅=⋅= 2eff0 ll
12Technische Universität Dresden, Lehrstuhl für Massivbau
Geometrie Kap. 2, POS. B-UZ1
Mitwirkende Plattenbreite: DIN 1045-1, 7.3.1, Bild 2
beff,1 beff,2bw
beff
bw b2b1
wieffeff bbb +∑= ,
≤⋅≤
⋅+⋅=
20 1,02,0 0
0,i
iieff b
l,lbbDabei gilt: DIN 1045-1, 7.3.1,
Glg. (9)
13Technische Universität Dresden, Lehrstuhl für Massivbau
Geometrie Kap. 2, POS. B-UZ1
Mitwirkende Plattenbreite Randfeld:
m 64,0m 25,41,02
m 15,22,01,02,0 0, =⋅+⋅=⋅+⋅= lbb i1eff
m 85,0m 25,42,02,0
m 14,1m 25,41,02
m 18,72,01,02,0
0
!
0,
=⋅=⋅≤
=⋅+⋅=⋅+⋅=
l
lbb i2eff
( ) m 84,135,085,064,0, =++=+= ∑ wieffeff bbb
Mitwirkende Plattenbreite Stützenbereich:( ) m 95,035,030,030,0, =++=+= ∑ wieffeff bbb
Mitwirkende Plattenbreite Innenfeld:( ) m 62,135,070,057,0, =++=+= ∑ wieffeff bbb
14Technische Universität Dresden, Lehrstuhl für Massivbau
Statisches System und Belastung Kap. 2, POS. B-UZ1
5,0 5,0 5,0 5,0 5,0
g
q
Schnittgrößenkombination im Grenzzustand der Tragfähigkeit:
Grundkombination (für ständige und vorübergehende Bemessungssituation):
∑∑>
⋅⋅+⋅+⋅+⋅1
,,0,,,,,i
ikiiQikiQkPikiG QQPG ψγγγγ DIN 1055-100, 9.4, Glg. (13)
Vereinfachte Kombination für Hochbauten:
ikkPikiG QPG ,,, 5,1 ⋅+⋅+⋅ ∑∑ γγ DIN 1055-100, A.4, Glg. (A.5)
supG,γ infG,γ= 1,35 bei ungünstiger, = 1,00 bei günstiger Auswirkung
15Technische Universität Dresden, Lehrstuhl für Massivbau
Belastung Kap. 2, POS. B-UZ1
mkN
1,39
mkN
3,9
mkN
2,2
mkN
3,35
2,
2.,
.,
=
=
=
=
k
k
1k
11k
p
g
g
gEigenlast Zwischendecke:
Eigenlast UZ:
Ausbaulast Zwischendecke:
Verkehrslast Zwischendecke:
Summe aller ständigen Lasten:
( ) ( )mkN 3,633,92,23,3535,1,,,, =++⋅=++⋅= 2k1.2k1.1ksupGd gggg γ
Summe aller veränderlichen Lasten:
mkN 7,581,3950,150,1 =⋅=⋅= kd qq
16Technische Universität Dresden, Lehrstuhl für Massivbau
Schnittgrößen Kap. 2, POS. B-UZ1
Momentenberechnung mit 22 % gewählter Umlagerung der Stützmomente:
DIN 1045-1, 8.378,0=δ
Momentengrenzlinie nach der Umlagerung:
ohne Umlagerungmit Umlagerung -267
168
-225
199
270
M Sd [kNm]
max. Feldmoment: MEd,F = 270 kNm (Lastfall max MEd,F nicht umgelagert)
min. Stützmoment: MEd,S = –267 kNm
17Technische Universität Dresden, Lehrstuhl für Massivbau
Schnittgrößen Kap. 2, POS. B-UZ1
Momentenausrundung über Stützen:
MEd,S
∆MEd
MEd,S*
CEd,S
a
MEd,S
∆MEd,re
MEd,re*
VEd,li
a
∆MEd,li
MEd,li*
VEd,re
ln ln
Endfeld:
ln
MEd,voll
Innenfeld:
ln
MEd,vollMEd,voll
Monolithisch:Drehbar:
8a
CM EdEd ⋅=∆
DIN 1045-1, 7.3.2,(2) und (3)
2/,/,a
VM reliEdreliEd ⋅=∆
65,0* ,/, vollEdreliEd MM ⋅≥
18Technische Universität Dresden, Lehrstuhl für Massivbau
Schnittgrößen Kap. 2, POS. B-UZ1
Berechnung des Bemessungsstützmomentes:
Auflager B (Randfeld, Auflagerbreite a = 0,2 m, ln = 4,80 m):
kNm 236kN 3132m 2,0
kNm 267
2*
,
,*
,
−=⋅+−=
⋅+=
reEd
BrEdEdsreEd
M
Va
MM
kNm 231*, −=liEdM
Kontrolle Minimalmoment für Randfeld:
( ) ( )kNm 351
8
m 80,4mkN 122
8
22
, −=⋅
=⋅+
= ndvollEd
lqgM
( )kNm 236kNm 228
kNm 228kNm 35165,065,0 ,,
−<−
−=−⋅=⋅= vollEdminEd MM
19Technische Universität Dresden, Lehrstuhl für Massivbau
Bemessung, Feld 1 Kap. 2, POS. B-UZ1Statische Nutzhöhe d:
m 46,0m 02,05,0m 01,0m 02,0m 5,0
5,0,
=⋅−−−=
⋅−−−=
d
ddchd lwwnom
Dabei sind:h Bauteilhöhecnom,w Nennmaß der Betondeckung über der Bügelbewehrungdw Durchmesser der Bügelbewehrung (Annahme: Ø10)dl Durchmesser der Längsbewehrung (Annahme: Ø20, einlagig)
25
50
25
21
1
20Technische Universität Dresden, Lehrstuhl für Massivbau
Bemessung, Feld 1 Kap. 2, POS. B-UZ1Biegebemessung Feld:
bezogenes Moment:( ) 2
22
mmN
7,22m 46,0m 84,1
MNm 270,0
⋅⋅=
⋅⋅=
cd
EdsEds fdb
Mµ
031,0=Edsµ
Diagrammablesung:
Stahldehnung:
innerer Hebelarm z:
Druckzonenhöhe x:
‰ 25=s1ε
980,0==dzς
m 45,0m 46,0980,0 =⋅=⋅= dz ς
056,0==dxξ
m 03,0m 46,0056,0 =⋅=⋅= dx ξ
21Technische Universität Dresden, Lehrstuhl für Massivbau
Allg. Bemessungsdiagramm, Feld 1 Kap. 2, POS. B-UZ1
=x/d
=z/d
[%]
[%]
gültig für C 12/15bis C 50/60
,[%
]
,,
Umschnürung der Beton-druckzone erforderlich
22Technische Universität Dresden, Lehrstuhl für Massivbau
Bemessung, Feld 1 Kap. 2, POS. B-UZ1Ermittlung der Betonstahlspannung: DIN 1045-1, 9.2.4,
Bild 27
εs [‰]
σs
f f /yd yk s= =
γ434,8
[N/mm²]
f f /td,cal tk,cal s= =
γ456,5
arctan Es
idealisierter VerlaufVerlauf für die Bemessung
εsu = 25 ‰
fyk = 500ftk,cal = 525,0
εyd = 2,175 ‰
2
2,
mmN
45715,1mm
N 525
===s
caltks1
fγ
σ
23Technische Universität Dresden, Lehrstuhl für Massivbau
Bemessung, Feld 1 Kap. 2, POS. B-UZ1
Erforderliche Betonstahlbewehrung:
m 45,0MNm 270,0
mmN
457
1
1
2
⋅=
+⋅=
s1
EdEds
s1s1
A
Nz
MA
σ
2cm 1,13=s1A
gewählt: 7 Ø 16 (14,1 cm²)
24Technische Universität Dresden, Lehrstuhl für Massivbau
Bemessung, Auflager B Kap. 2, POS. B-UZ1 Statische Nutzhöhe d:
m 45,0
m 02,05,0m 01,0m 008,0m 02,0m 5,0
5,0,
=⋅−−−−=
⋅−−−−=
d
d
dddchd lwmmnom
Dabei sind:dm Durchmesser der Mattenbewehrung (Annahme: Ø 8) dw Durchmesser der Bügelbewehrung (Annahme: Ø 10)dl Durchmesser der Längsbewehrung (Annahme: Ø 20, einlagig)
25
50
25
35
21 1
08
25Technische Universität Dresden, Lehrstuhl für Massivbau
Bemessung, Auflager B Kap. 2, POS. B-UZ1 Bemessung:
( )147,0
mmN
7,22m 45,0m 35,0
MNm 236,0
22
2 =⋅⋅
=⋅⋅
=cd
EdsEds fdb
Mµ
m 41,0
918,0
=⋅=
==
dzdz
ς
ς
m 09,0
198,0
=⋅=
==
dxdx
ξ
ξ
Momentenumlagerung und der Begriff Rotationsfähigkeit:
Belastung Plastizierungund Verdrehung
Momenten-umlagerung
26Technische Universität Dresden, Lehrstuhl für Massivbau
Biegebemessung, Auflager B Kap. 2, POS. B-UZ1 Grenzen für Momentenumlagerung bei Durchlaufträgern mit 0,5 < l1/l2 <2,0:Hochduktiler Stahl, Betonfestigkeitsklasse bis C 50/60:
⋅+≥
7,0
8,064,0dxd
δ DIN 1045-1, 8.3, (3),Glg. (12)
Mögliche Momentenumlagerung:
78,080,0198,08,064,08,064,0 =>=⋅+=
⋅+≥ gew
vorh
dlim d
x δδ
Bei Nichteinhaltung der Grenzen:• Nachweis der Rotationsfähigkeit – Plastizitätstheorie• Begrenzung der bezogenen Druckzonenhöhe auf zulässiges Maß durch:
- Veränderung des Querschnitts oder - Zulage einer Druckbewehrung (Ein Viertel der Feldbewehrung muß bis
zum Auflager geführt werden und kann damit als Druckbewehrung ange-rechnet werden.)
27Technische Universität Dresden, Lehrstuhl für Massivbau
Biegebemessung, Auflager B Kap. 2, POS. B-UZ1
Zulässige bezogene Druckzonenhöhe:
175,08,0
64,078,08,0
64,0=
−=
−=
gew
lim
d
dx δ DIN 1045-1, 8.3, (3),
Glg. (12)
175,0=
lim
d
dx
(Allg. Bemessungsdiagramm) mit 131,0, =limEdsµ
ablesen:
927,0=ς
m 42,0m 45,0927,0 =⋅=⋅= dz ς
‰ 5,3−=c2ε
28Technische Universität Dresden, Lehrstuhl für Massivbau
Allg. Bemessungsdiagramm, Auflager B, POS. B-UZ1
=x/d
=z/d
[%]
[%]
gültig für C 12/15bis C 50/60
,[%
]
,,
29Technische Universität Dresden, Lehrstuhl für Massivbau
Biegebemessung, Auflager B Kap. 2, POS. B-UZ1 Kräftegleichgewicht am Querschnitt:
xlim
MEdsh d
d2 As2
As1
zc zs
fcd
Fs1d
Fs2d
Fcd
+
εs2
εc
εs1
EdsEds,limEds
sdscdcdEds
MMM
zZzFM
∆+=
⋅+⋅= 2
MEds,lim Grenzmoment des Betonquerschnitts ohne Druckbewehrung∆MEds durch Druckbewehrung abzudeckender Momentenanteild2 Abstand vom Querschnittsrand zur Achse der Druckbewehrung
30Technische Universität Dresden, Lehrstuhl für Massivbau
Biegebemessung, Auflager B Kap. 2, POS. B-UZ1 Kräftegleichgewicht am Querschnitt:
cd
limEdslimEds fdb
M
⋅⋅= 2
,,µ
( )
MNm 211,0mm
N7,22m 45,0m 35,0131,0
,
222
,,
=
⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=
limEds
cdlimEdslimEds
M
fdbM µ
MNm 025,0
MNm 211,0MNm 236,0,
=
−=−=
Eds
limEdsEdsEds
M
MMM
∆∆
Erforderliche Bewehrung As1 (Zugbewehrung) und As2 (Druckbewehrung):
−
⋅=
−
+⋅=
22
2
,
1
1
1
ddM
A
ddM
zM
A
Eds
ss2
EdslimEds
ss1
∆
∆
σ
σ
31Technische Universität Dresden, Lehrstuhl für Massivbau
Biegebemessung, Auflager B Kap. 2, POS. B-UZ1
Zugbewehrung:
2
2
mmN435
15,1mm
N500===
s
yks1
fγ
σDIN 1045-1, 9.2.4, (3), Bild 27
Erforderliche Betonstahlbewehrung:
2
2
cm 0,13m 04,0m 45,0
MNm 0,025m 42,0
MNm 211,0
mmN435
1=
−+⋅=s1A
gewählt: 9 Ø 14 (13,9 cm²)
32Technische Universität Dresden, Lehrstuhl für Massivbau
Biegebemessung, Auflager B Kap. 2, POS. B-UZ1 Druckbewehrung:
xlim
+
εs2
εc
d2As2
As1
( )lim
2lim
lim2lim
x
dxxdx
cs2
cs2 −⋅=⇒=
−εεεε
Betonstahldehnung in der Druckzone:
( ) ‰ 94,1
m 09,0m 04,0m 09,0‰ 5,3
−=−⋅−
=s2ε
Betonstahlspannung:
223
mmN
388mm
N 2000001094,1 −=⋅⋅−=⋅= −
ss2s2 Eεσ
Erforderliche Betonstahlbewehrung:
2
2
cm 6,1m 04,0m 45,0
MNm 025,0
mmN
388
11=
−⋅=
−
⋅=2
Eds
s2s2 dd
MA
∆σ
gewählt: 3 Ø 16 (6,03 cm²) entsprechen 43 % der Feldbewehrung > 25 % erforderliche Bewehrung
33Technische Universität Dresden, Lehrstuhl für Massivbau
Einspannwirkung am Endauflager Kap. 2, POS. B-UZ1
Berücksichtigung der Einspannwirkung am Endauflager: DIN 1045-1, 13.2.1, (1)
• Die Erfassung der Einspannwirkung im Rechenmodell ist durch den Ansatz der vorhandenen Bauteilsteifigkeiten möglich.
• Rechnerisch nicht berücksichtigte Einspannwirkungen müssen bei Balken und Plattenbalken bei der baulichen Durchbildung berücksichtigt werden.
• Sie müssen für ein Moment von mindestens 25 % des angrenzenden Feldmomentes bemessen werden.
• Die Bewehrung muß, vom Auflagerrand gemessen, mindestens über die 0,25-fache Länge des angrenzenden Endfeldes eingelegt werden.
Berechnung des Bemessungsmoments:
kNm 5,67kNm 27025,025,0 ,, =⋅=⋅= FEdEEd MM
34Technische Universität Dresden, Lehrstuhl für Massivbau
Einspannwirkung am Endauflager Kap. 2, POS. B-UZ1
Bemessung mit dem Spannungsblock: DIN 1045-1, 13.2.1, (1)
0,95 fcdfcd
σc
εc
εc2u
0,8 x x
Vorteile:• einfache Handhabung durch direkte Berechnung• besonders geeignet zur Bemessung von Bauteilen mit nicht rechteck-
förmigem Querschnitt
Nachteile:• beim vereinfachten Ansatz werden die Dehnungen nicht berücksichtigt
35Technische Universität Dresden, Lehrstuhl für Massivbau
Einspannwirkung am Endauflager Kap. 2, POS. B-UZ1
Bemessung:0442,0
7,2295,045,035,00675,0
95,0 22, =⋅⋅⋅
=⋅⋅⋅
=cd
EdsrEds fdb
Mµ
Bezogene Betondruckkraft:
0452,00442,0211211 , =⋅−−=⋅−−= rEds1,r µω
( )
( ) 2cm 5,37,2295,045,035,00452,04351
95,01
=⋅⋅⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅⋅⋅= cd1,ryd
s1 fdbf
A ω
Bewehrungsmenge:
gewählt: 3 Ø 14 (4,62 cm²)
36Technische Universität Dresden, Lehrstuhl für Massivbau
Vorspannung mit Verbund Biegung mit LängskraftBesonderheiten und Analogien:• Vorgehen analog zum Fall reiner Biegung, jedoch falls erforderlich Zulage
von Schlaffstahl• Statisch unbestimmte Momente infolge Vorspannung erhalten im GZT bei
günstiger UND ungünstiger Wirkung einen Sicherheitsfaktor von:γp = 1,00
• Ermittlung der Spannstahlspannung unter Berücksichtigung der Vordeh-nung (Begrenzung der Spannstahldehnung auf εp
(0) + ∆εp = εp(0) + 25 ‰)
idealisierter VerlaufVerlauf für die Bemessung
vereinfachte Annahme
arctan Ep
0,9 fpk · fpk
p [‰]
0,9 f /pk·f /pk
p(0)+25,0 ‰
37Technische Universität Dresden, Lehrstuhl für Massivbau
Vorspannung ohne Verbund Biegung mit Längskraft
Besonderheiten und Analogien:
• Berücksichtigung der Gesamtheit der Schnittgrößen infolge Vorspannung(Vorspannung ohne Verbund stellt eine äußere Einwirkung dar)
• Sicherheitsfaktor bei günstiger UND ungünstiger Wirkung im GZT von:γp = 1,00
• Absicherung der Bruchsicherheit durch Schlaffstahl
38Technische Universität Dresden, Lehrstuhl für Massivbau
Vorspannung ohne Verbund Kap. 8, POS. B-D1
5,0 5,0 5,0 5,0
B-F1B-UZ1
B-D1
1 2 3 4 5
7,5
7,5
2,5
30
A
B
C
D
5,0
5,4
75
2,0
35
35
7,1
75
2,1
5
B-S1
B-W1
6
B-UZ2
B-UZ1
B-D1
B-D2
B-F1
B-S1
7,60
4,35
0,00
39Technische Universität Dresden, Lehrstuhl für Massivbau
Vorspannung ohne Verbund Kap. 8, POS. B-D1
Statisches System und Belastung:
7,50 7,502,50
qg2
g1
Spanngliedführung:17,50 m
7,50 m7,50 m
2,0
2,50 m
2,01,51,53,52,0 2,0 1,51,5
= 28,57 mR1R1 R2 R2
R2R2
R1
R2 = 16,07 m
40Technische Universität Dresden, Lehrstuhl für Massivbau
Vorspannung ohne Verbund Kap. 8, POS. B-D1 Bemessungsschnittgrößen im Feldquerschnitt:
Moment:
Normalkraft:
( )( )
mkNm 7,56
4,235,17,3388,00,19,71,3035,1
=
⋅+⋅⋅++⋅=
⋅+⋅++⋅=
Ed
Ed
qkqpmtpgk2gk1gEd
m
m
mmmmm γγγ
( )mkN 38543788,00,1 −=−⋅⋅=
⋅=
Ed
pmtpEd
n
nn γ
Bemessungsmoment bezogen auf die Betonstahlachse:
( )
mkNm 2,93
125,022,03857,56
=
−⋅+=⋅−= s1EdEdEds znmm
41Technische Universität Dresden, Lehrstuhl für Massivbau
Vorspannung ohne Verbund Kap. 8, POS. B-D1 Bemessung:
085,07,2222,00,1
093,022 =⋅⋅
=⋅⋅
=cd
EdsEds fdb
mµ
Diagrammablesung:
m 209,0
95,0
=⋅=
==
dzdz
ς
ς
m 024,0
11,0
=⋅=
==
dxdx
ξ
ξ
Bewehrungswahl:
/mcm 4,1MN 385,0m 209,0
MNm 093,0
mmN
435
1
1
2
2
=
+⋅=
+⋅=
s1
EdEds
s1s1
a
nz
ma
σ
43Technische Universität Dresden, Lehrstuhl für Massivbau
Herleitung Spannungsblock für Rechteckquerschnitt (I)
cdrcdr ffxx ⋅=⋅= 95,0 8,0 ,
Annahmen:
0,8 = x xr
zr
0,95 fcd = fcd,r
Fs1d
Fcd
MEdsd
As1
−⋅=⋅=
⋅⋅==
2 :(II)
:(I) ,
rcdrcdEds
rcdrs1dcd
xdFzFM
fbxFFGleichgewichtsbedingungen:
Umformen der Gleichgewichtsbedingungen:
rcd
Edsr
rcd
Edsrr
rcd
Edsr
r
rr
rcd
Eds
cd,rr
rcdrrcdEds
fbM
ddx
fbM
dxxfb
Mdx
x
xdx
fbM
fbx
dfbxzFM
,
22/1,
,
2
,
2
,
,
2
222
0
2
2
:(II) in (I)
⋅⋅−±=⇒
⋅⋅−⋅⋅−=
⋅−⋅−=
−⋅=
⋅
÷÷
−⋅⋅⋅=⋅=
44Technische Universität Dresden, Lehrstuhl für Massivbau
Herleitung Spannungsblock für Rechteckquerschnitt (II)
dfbd
Mdd
fbdM
ddfb
Mddx
rcd
Eds
rcd
Eds
rcd
Edsr
÷⋅⋅
⋅−⋅−=
⋅⋅
⋅−⋅−=⋅
⋅−±=
21
212
,2
,2
2
,
22/1,
rcd
Edsr
r
fbdM
dx
,2211
⋅⋅⋅−−== ξ
Edsr1rcd
EdsEds fdb
M µωξµ ⋅−−==⇒′⋅⋅
= 211 mit ,2
yd
cdr1
yd
rcdr1s
rcdrcdyd
ss1d
ff
dbff
dbA
fbxFfA
F
⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=
⋅⋅===
95,0 erf
:(I) aus
,,
,1
,1
ωω
Erforderliche Bewehrung: