Post on 05-Apr-2015
1
Bildtransformationen
“New worlds, new opportunities, new challenges.”
4
2
Bildtransformation Transformation der Bildinformation in eine neue
Darstellung Ausnutzen bestimmter Eigenschaften der
Darstellung zur Bildverarbeitung oder -analyse Rücktransformation der Darstellung in den
Bildbereich
3
Bildtransformation
Unitäre Bildtransformationen Fourier Transformation Cosinus Transformation Walsh-Hadamard Transformation Haar Transformation ...
Parametrische Bildtransformationen Hough Transformation Radon Transformation ...
4
Wichtige Anwendungsgebiete Allgemein Dimensionsreduktion Dekorrelation
Speziell Bildfilterung
Filterung im Frequenzraum
Bildkompression JPEG, etc
Bildmerkmale für Mustererkennung & Klassifikation z.B. Objekterkennung, Gesichtserkennung
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Fourier-Reihen Erstpublikation 1807, Buch 1822 Übersetzung auf Englisch in 1878 Darstellung von (praktisch) jeder periodischen
Funktion mit Periode T als eine (ggf. unendliche) Summen-Reihe von gewichteten Sinus und Cosinus Wellen
Verlustfreie, invertierbare Transformation
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Fourier-Reihe
7
Fourier-Reihe))sin()cos(()(
10 tnbtnaatf n
nn
T
dttfT
a0
0 )(1
für 0 < t < T
T
n
T
n
dttntfT
b
dttntfT
a
0
0
)sin()(2
)cos()(2
für n ≥ 1
für n ≥ 1
Fourier-Bereich: ALLE Werte der Funktion f(t) werden bei der Berechnung von dem jeweiligen an und bn einbezogen
Ortsbereich: An jeder Stelle ergibt sich der Funktionswert durch die Überlagerung ALLER sin & cos Wellen
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Fourier-Reihe
n
tinn
nnn
nnn
nnn
nnn
ega
tnda
tnca
tnbtna
tnbtnaatf
0
10
10
0
10
)sin(
)cos(
)sin()cos(
)sin()cos()(
xjxe xj 2sin2cos2
9
Beispiel Rechteck-Signal
10
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17
Beispiel Sägezahn-Signal
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Fourier-Reihe
n
tinn
nnn
nnn
nnn
nnn
ega
tnda
tnca
tnbtna
tnbtnaatf
0
10
10
0
10
)sin(
)cos(
)sin()cos(
)sin()cos()(
xjxe xj 2sin2cos2
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Fourier Transformation
F f x e dx
f x F e d
j x
j x
( ) ( )
( ) ( )
2
2
xjxe xj 2sin2cos2
ALLE Werte der Funktion f(x) werden bei der Berechnung von dem jeweiligen F(w) einbezogen
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Fourier Transformation
Fourier Transformierte ist komplex
F F e j( ) ( ) ( )
Aufspaltung in Betrag und Phase
F F F( ) ( ) ( ) 2 2
( ) arctan
( )
( )
F
F
“Spektrum”
“Phase”
F F j F( ) ( ) ( )
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Fourier Transformation
Beispiel
F f x e dx
A e dx
A
je
A
je
A
je e e
AX e
j x
j x
X
j x X
j X
j X j X j X
j X
( ) ( )
sin( )
2
2
0
20
2
2
21
2
FA
X e
AXX
XAX X
j X( ) sin( )
sin( )
( )
sinc
X
A
AX
X 1
f x( )
F( )
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Impuls & sinc
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2D Fourier Transformation
F f x y e dxdy
f x y F e d d
j x y
j x y
( , ) ( , )
( , ) ( , )
( )
( )
1 22
1 22
1 2
1 2
1 2
F F F( , ) ( , ) ( , ) 1 2 1 2
2
1 2
2
( , ) arctan
( , )
( , )
1 2
1 2
1 2
F
F
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Abtastungf n f x n x n N[ ] ( ), { , , } 0 0 1
Abtastungsgröße
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Diskrete Fourier Transformation
uN x
1F u
Nf n e
f nN
F u e
n
Nj
un
N
u
Nj
un
N
[ ] [ ]
[ ] [ ]
1
10
1 2
0
1 2
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Diskrete 2D Fourier Transformation
F v uMN
f m n e
f m nMN
F v u e
n
Nj
un
N
vm
M
m
M
u
Nj
un
N
vm
M
v
M
[ , ] [ , ]
[ , ] [ , ]
1
1
0
12
0
1
0
12
0
1
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Fourier Spektrum Eine diskrete 2D Matrix mit M x N Werte (= digitales Bild)
wird in eine M x N Matrix mit komplexen Fourier-Koeffizienten transformiert
Jeder dieser komplexen Fourier Koeffizienten läßt sich in Polarkoordinaten ausdrücken:
F F e j( ) ( ) ( )
F F F( ) ( ) ( ) 2 2
( ) arctan
( )
( )
F
F
“Amplituden Spektrum”
“Phasen Spektrum”
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Fourier Spektrum
N x M Pixel N x M Frequenzen
real komplex
Bild Spektrum
Jeder Eintrag in dem Spektrum definiert eine Cosinus-Welle
Amplitude = Höhe einer Welle (=„Wichtigkeit“)
Phase = Verschiebung der Welle zum Ursprung
Abstand zum Mittelpunkt = Frequenz der Welle
Ausbreitung = Verbindungsgerade zum Mittelpunkt
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Fourier Wellen Fourier-Bereich: ALLE Werte der Funktion f(t)
werden bei der Berechnung von dem jeweiligen F(w) einbezogen!
ALLE Funktionswerte werden bei der Berechnung JEDER Welle berücksichtigt
Ortsbereich: An jeder Stelle ergibt sich der Funktionswert durch die Überlagerung ALLER Wellen!
JEDE Welle ist ÜBERALL im Bild aktiv
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Fourier Wellen
38
Fourier Wellen
39
Fourier-Wellen
40
Fourier-Wellen
41
Fourier-Wellen
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2D Fourier Transformation
f x y( , ) F( , ) 1 2
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Spektrum-Abtastdichte Relation
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Fourier Spektra
45
Fourier Spektra
46
Fourier Spektra
47
Fourier Spektra
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Eigenschaften
f m m n n
F v u ej
un
N
vm
M
[ , ]
[ , ]
0 0
2 0 0
Translation
0
49
Eigenschaften
f r r
F
[ sin , cos ]
[ sin , cos ]
0 0
0 0
Rotation
50
Eigenschaften
F v u F v u N F v M u F v M u N[ , ] [ , ] [ , ] [ , ]
Periodizität
die DFT eines Bildes ist periodisch
Symmetrie
],[],[ uvFuvF
reel ][ falls ][ ][ m,nf,-v, -uF*v,uF
die DFT eines Bildes ist symmetrisch
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Eigenschaften
Separierbarkeit
f m n[ , ]
n
m
F m u[ , ]
u
m
F v u[ , ]
u
v
Transformation Transformation
der Zeilen der Spalten
F v uMN
e f m n e
f m nMN
e F v u e
jvm
M
n
Nj
un
N
m
M
jvm
M
u
Nj
un
N
v
M
[ , ] [ , ]
[ , ] [ , ]
1
1
2
0
1 2
0
1
2
0
1 2
0
1
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Eigenschaften
F(0,0) beinhaltet den MxN skalierten Mittelwert des Bildes (i.d.R. ziemlich großer Wert)
Linearität:
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Fourier Spektra
54
Fourier Spektra
55
Fourier Spektra
56
Fourier Spektra
57
Fourier Spektra
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Translation & Rotation: Power
59
Translation & Rotation: Phase
60
Manipulation des Fourier Spektrums
Amplitude AmplitudePhase
r eaj a
r eaj b r eb
j a
r ebj b
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Manipulation des Fourier SpektrumsPhase
Amp = 1Phase = Frau
Amp = Frau Phase = 0
Amp = RechteckPhase = Frau
Amp = FrauPhase = Rechteck
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Bildtransformation
Fourier Transformation+ Transformierte repräsentiert Bildfrequenzen
(Manipulation)– Transformierte komplex (Spektrum & Phase)– Fließkomma Koeffizienten – Transformierte redundant (Symmetrie)
Suche nach anderen Transformationen zur geeigneten Informationsdarstellung
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Parametrische Transformation Darstellung der Bildinformation anhand von
veränderten Ortsraumparametern, z.B.
Transformation ist nicht zwingend orthogonal (in der Regel nicht invertierbar)
Bestimmte Informationen sind in der transformierten Darstellung einfacher abzulesen
f m n f r[ , ] [ , ]
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Radon Transformation Orthogonale Projektion des Bildes bezüglich des
Bildmittelpunktes in Abhängigkeit des Winkels
R x f x y x y dy ( ) ( cos sin , sin cos )
x x y
y x y
cos sin
sin cos
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Radon Transformation
x
y
R x0 ( )
R x45 ( )
R x90 ( )
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Radon Transformation
x
x
x
67
Radon Transformation
x
max ( ) ,R x xo 94 101
x
68
Radon Transformation
69
Radon Transformation
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Unitäre Bildtransformation
G A FA
F A GA
M N
M
T
N
T* *
Definition einer separablen & symmetrischen Transformation
A A I A A IN N
T
M M
T* *, Orthonormalität
ZeilentransformationBild
Transformiertes Bild
Spaltentransformation
dim( ) , dim( )
dim( ) , dim( )
F G
A A
M N M N
N N M MN M
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Unitäre Bildtransformation Basisbilder (2D Basisvektoren)
A a ak l k l
T
,* * *
F G A , ,*k l
Ein Bild läßt sich als Linearkombination der mit den Transformationskoeffizienten gewichteten Basisbilder darstellen
F
A a A aM k N l
,
72
Beispiel: Basisbilder des 8x8 Bildraums0 1 3 1 2 0 1 2
2 3 2 0 1 2 2 2
1 1 3 0 2 2 0 1
1 1 1 1 1 2 2 2
0 2 1 1 0 0 0 2
3 0 3 1 0 0 2 2
3 3 0 1 2 1 2 0
2 2 1 1 1 1 1 0
, =
• Lege jede Maske über das Bild• Multipliziere Maske & Pixel paarweise• Addiere alle Teilergebnisse zu einer Zahl• Trage diese an der Masken-Position im transformierten Bild
=> ALLE Pixel des Originals tragen an JEDER Stelle des transformierten Bildes bei!
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Walsh-Hadamard Transformation Reelle Transformation Schnell (Addition/Subtraktion) Implementierung mit ganzzahligen Koeffizienten möglich Befriedigende Datendekorrelation
A
1
8
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
74
Walsh-Hadamard Transformation
75
Haar Transformation
A
1
8
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 0 0 0 0
0 0 0 0 2 2 2 2
2 2 0 0 0 0 0 0
0 0 2 2 0 0 0 0
0 0 0 0 2 2 0 0
0 0 0 0 0 0 2 2
Reelle Transformation Schnell Ortsinformation bleibt teilweise erhalten Mäßige Datendekorrelation
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Haar Transformation
77
Cosinus Transformation
11,2
)12(cos
2
0,1
][Nu
N
un
N
uNua
Reelle Transformation Pseudofrequenzdarstellung
(DCT ist nicht der Realteil der DFT!) Exzellente Datendekorrelation Effiziente SW, beschleunigte HW
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Cosinus Transformation