1. Statische elektrische und magnetische Felder 1.1.1. Elektrische Ladung Beobachtung (Griechenland,...

1. Statische elektrische und magnetische Felder

1.1.1. Elektrische Ladung

Beobachtung (Griechenland, Altertum): Bernstein (gr. „elektron“) zieht nach Reibung Stroh und Federn an

Moderne Erklärung: Elementarteilchen haben

• Masse m Gravitationsfeld

• (elektrische) Ladung Q Elektrisches Feld (und bei Bewegung magnetisches

• Farbladung (R,G,B) Starkes Feld (Kernkräfte)

• schwache Hyperladung Yschwache Isospinladung I3

Schwaches Feld (Radioaktivität)

1.1. Elektrische Ladungen und elektrische Felder

Empirische Tatsachen:

a) Quantisierung:

Millikan-Versuch (1907): statisch geladene Öltröpfchen im E-Feld

„Elementarladung“

Elektron e Q(e) e

Positron e Q(e) e

Proton p Q(p) e

)Coulomb( C101,602e 19 )Coulomb( C101,602e 19

Teilchen / Antiteilchen m(e) m(e)

emaber1

Ungelöstes Rätsel:

Quarks: stets gebundene Bausteine der Hadronen (Proton, ...)

eQ:b s, d,

eQ: tc, u,

21,0,,1n enQ:Hadronen

Elektrisches Feld

b) Ladungserhaltung:

Abgeschlossenes System

Beispiel: Konversion von Gamma-Quanten

const.QQ i

itot const.QQ i

eAtomkernLadung

0γQQ tot 0eQeQQ tot

c) Richtung elektrischer Kräfte zwischen Ladungen:

Ungelöstes Rätsel:

Für Elementarteilchen gilt 40

elektrisch

nGravitatio 10F

Mögliche Erklärung (Elementarteilchenphysik, Superstrings):

Der Raum hat (bei kleinen Abständen) mehr als 3 Dimensionen

Messung von |Q|: Elektrometer

Laborinstrument Schulinstrument

geladenes Teilchen

(ionisierend)

1.1.2. Das Coulomb-Gesetz

Punktladungen

QQkF r2

Beliebige Systeme von Punktladungen:

• Gesamtkraft durch Vektoraddition

• Für elektrische (Kraft-)Felder gilt das Superpositionsprinzip

esudyncmFrQ

Punktladungen

QQkF r2

Einheiten im cgs-System:

1k :Def. 1k :Def. 2scmgdynF -

1 esu 1 electrostatic unit

1 esu übt in 1 cm Abstand die Kraft 1 dyn auf 1 esu aus

Elegant: Elektrodynamik-Rechnungen mit k = 1Kompliziert: Umrechnung in mechanische Größen

Mechanische Definition der Stromstärke: 1 A = 1 Ampere = diejenige Stromstärke in zwei unendlich langen parallelen geraden Leitern in 1 m Abstand, die pro m Leiterlänge eine Kraft von 2·107 N verursacht.

Punktladungen

QQkF r2

Einheiten im SI:

durch einen Drahtquerschnitt fließt pro s die Ladung 1 C

CoulombC Q CoulombC Q s1A1C s1A1C

Messung: k = 8,9875·109 N m2 C-2

Definition: 0επ4

0επ4

Dielektrizitätskonstante314212

0 mkgsA108,854ε Umrechnung: (riesige Ladung) esu103ˆ1C 9

1.1.3. Das elektrische Feld

qProbeladung

Quellladung

Coulomb-Gesetz:

Elektrisches Feld(Eigenschaft der Quellladung Q)

EqF EqF

Superpositionsprinzip: QEQ,,QE n

QEQ,,QE

Kontinuumsübergang: heißt Ladungsdichte dV

rρdVdQQi

RdRρdQ 3

RρRdrE 3

ρEdiv

Ladungen sind die Quellen ( ρ 0 ) bzw.

Senken ( ρ 0 ) des elektrischen Feldes

Gaußscher Satz(vgl. Theorie-VL)

Oberfläche AUmschlossene Ladung Q

Gaußsches Gesetz

elektrischer Fluss durch A

Folgerung: Das elektrische Feld einer Ladungsverteilung ist als Superposition von Zentralfeldern wirbelfrei.

ρEdiv

Poisson-Gleichung

Es existiert ein elektrisches Potential RdRE r

RdRE r

beliebig; oft r0 0r

Definition: Die Potentialdifferenz zwischen zwei Punkten heißt elektrische Spannung

sdE U2

UqEUqsdEqE 12kin

Bewegung einer Testladung q durch U12:

Einheiten:

Volt VU

sW1J1smkg1sA1V

sAmkg11V 22

sW1J1smkg1sA1V

sAmkg11V 22

Beispiel 1: Feld des elektrischen Monopols

Beispiel 2: Feld des elektrischen Dipols

• •

Radialfeld

Äquipotentialflächen

Elektrisches Dipolmoment: dQp e

r : Dipol Monopol der Ladung Q Q 0

Beispiel 3: Feld zweier gleicher Ladungen

Beispiel 4: Feld eines elektrischen Quadrupols

r : Monopol der Ladung 2Q

Beispiel 5: Homogenes Feld

Plattenkondensator

Flächenladung: dA

const.eε

1.1.4. Punktladungen und Dipole im elektrischen Felda) Homogenes Feld, Ablenkung:

ezmeEqEqF

tvx,const.v0v

Eqxz 2

Parabel

b) Homogenes Feld, Beschleunigung:

Glühkathode

UeE kin UeE kin

Einheit „Elektronenvolt“:

J101,6021eV

1eV1VeE1V U19

J101,6021eV

1eV1VeE1V U19

Radius r

c) Zentralfeld, Spitzeneffekt:

Spitze

Ladungsemission an Spitzen in metallischen Oberflächen

d) Dipol im homogenen Feld:

Dipolmoment: ep

0M,0F i

Dipolmoment: ep

EpM,0F ei

• Drehschwingung des Dipols um Richtung des E-Feldes

• Dämpfung Ausrichtung des Dipolmoments in E-Richtung

• Molekulare Dipole mit Drehimpuls Präzession von umL

e) Ausgerichteter Dipol im inhomogenen Feld:

Quellladung Probedipol E

zeigt auf Q, d.h. in Richtung des größten E-Feldes

Allgemein: EpgradF e

EpgradF e

Experiment: Ablenkung eines Wasserstrahls

Wasser-Molekül

1.2. Elektrische Leiter im elektrischen Feld

Definition: Ein Medium heißt elektrischer Leiter, wenn Ladungsträger frei (ohne Kraftaufwand) verschiebbar sind.Beispiele: Supraleiter, Metalle (annähernd), astrophysik. Plasmen (annähernd)

Folgerung: In statischer Situation verschwindet im Innern eines elektrischen Leiters überall das elektrische Feld.Beweis: Wäre irgendwo , würde auf die dort lokalisierten freien Ladungsträger q die Kraft wirken

Ladungsverschiebung Widerspruch zur Annahme einer statischen Situation.

1.2.1. Influenz

Externes Feld0Eext

Ladungs-Verschiebung

Gegenfeld im Leiter 0E tot

0E tot

Beispiele:

-------

Folgerungen:

a) im Inneren Ladung nur auf Leiteroberfläche0E

0ερEdiv

q|||| EqF

Leiter

b) statische Situation Oberfläche Oberfläche Äquipotentialfläche

c) In zusammenhängenden Leitern gilt

.const .const

d) Faraday-Käfig:

Potential im Innenraum:

Randbedingung (Innenwand):

Lösung:

Folgerung:

geschlossene Leiterwand

Vakuum 0

const. 0Wand const. 0Wand

const. 0 const. 0

0E Innenraum

Innenraum

e) Netzkäfige, Lochdimension d:Durchgriffslänge des E-Feldes ist O(d)Grund: d ist einzige Längenskala des

Problems

Experiment zur Influenz:

-------

Metallplatten mit isolierten Griffen

a) Ungeladene Metallplatten in Berührung ins Feld schieben

b) Metallplatten trennen und herausziehen

c) Platte 1 Elektrometer Ausschlag

d) Platte 2 Elektrometer Ausschlag

Experiment: Feldliniengerät

Metallring

Spiegelladung mit Spiegelfeld

Metallplatte

Experiment: Becher-Elektrometer

- - - -

- - - -a) Ladung außen auflöffeln: max Löffela) Ladung außen auflöffeln: max Löffel

b) Ladung innen auflöffeln: max b) Ladung innen auflöffeln: max

c) Probeladung in den Innenraum halten: Ladungsmessung per Influenz (ohne Umladung)

Van-de-Graaf Generator:(Kombination von Spitzeneffekt und Faradaykäfig)

Leiterkamm 0E

U 10 kV

Erde U 0 V

Isolatorband

Metallkugel

--------------

UKugel

(im Prinzip unbegrenzt)

UKugel

(im Prinzip unbegrenzt)

1.2.2. Ladung auf metallischen Oberflächen

Influenz

lokale Flächenladung

Gesamtladung

dQσ 0

0dAσ A

Generell gilt aber: const.OberflächeE

const.OberflächeE

h 0 dA

Leiter 0E

.00 ε

dAσdV

ρdVEdiv

dAEAdEdVEdiv

Oberflächenfeld:

Allgemeiner Fall

lokale Flächenladung

Gesamtladung QdAσ A

QdAσ A

dQσ 0

Beispiel: Die geladene Kugelschale

rerErE

σRπ4Q

Das Feld außerhalb der geladenen Kugel ist identisch mit dem der entsprechenden Punktladung im Zentrum der Kugel

Definition: heißt Kapazität bzw.

Ladungsfassungvermögen der Oberfläche.

Potential: Qσε

( Nullpunkt: 0 bei Q 0 )

1.2.3. Kondensatoren

Zwei Leiterflächen:

21sdEU

Kondensator:

2 0 1 = U

Spannungsquelle

Aufladung

Influenz-----

Kapazität:U

UCQ UCQ Einheit:

FaradFVCVsAC 11 - FaradFVCVsAC 11 -

( gebräuchlich: pF, nF, F )

Schaltzeichen:

Beispiel: Plattenkondensator

Symmetrie x,e||E x

homogend

A in Praxis: A d2

AεC 0

Beispiel: Realer (endlicher) Plattenkondensator

komplizierte Randeffekte

homogener Bereich

Korrektur von Randeffekten:

U Korrekturring Aufsicht

Beispiel: Kugelkondensator

rrεπ4C

2 ri 2 ra

0ai rr

Parallelschaltung:

321 UUUU

321 QQQQ

CCCC 321 CCCC 321

Serienschaltung:

321 QQQQ 321 UUUU

C1 C2 C3U 0VQ Q QQ Q Q

Verallgemeinerung: Kirchhoffsche Regeln

Maschenregel

C3CnUn

Knotenregel

...C2Cn

QUCQ n

Freier Knoten: 0UC n

1.2.4. Energie des geladenen KondensatorsE

2 0 1 = UQQ

dQdUCUdQU

sdEdQsdFdWel

Plattenkondensator:dAEεW

AεC 2

Energiedichte: dA

el Eε w 202

1el Eε w 2

gilt auch allgemein

Messung: Spannungswaage

δdFδW

1 F el2

FFA w 1el - FFA w 1el -

const.Fconst.Q const.Fconst.Q

dFconst. U 2 dFconst. U 2

1.3. DielektrikaProblem: Statische elektrische Felder in Materie

a) polare Dielektrika: z.B. Wasserpermanente molekulare Dipole

Ausrichtung starkes GegenfeldAusrichtung starkes Gegenfeld

b) nicht-polare Dielektrika: induzierte molekulare Dipole: „Polarisation”

⊕ Atomkerne⊝ Elektronenwolke der Atomhüllen

Polarisation Gegenfeld, oft EPolarisation Gegenfeld, oft E

Molekülpolarisation: molekulares Dipolmoment

Polarisationsdichte:

(vgl. Theorie-VL)

ΔQρPdiv pol

Pdivε

ρEdiv

Def.: Dielektrische Verschiebung

PEεD 0

(Materialgleichung)

Folgerung:

ρDdiv

(Feldgleichung)

Überschussladung: Q

Polarisationsladung: Qpol

Beispiel: Abstoßung von Gasblasen in Öl

Gasblase

Abstoßung

Folgerung: Stetigkeitsbedingungen an Grenzschichten

(nur für ungeladene Schichten)

(nur für Elektrostatik)

Medium 1 Medium 2

L 1||E 2

AdDdVDdiv012

stetigist D stetigist D

sdEAdErot0

stetigist E ||

(gilt auch in der Elektrodynamik)

Lineare Näherung: Eαp Eαp cmV10E typisch bis const.α 5

(molekulare) Polarisierbarkeit

EεχEαdV

dNP 0e

dielektrische Suszeptibiliät

00e0 εε

ρEdivEεεEεχ1PEεD

relative Dielektrizitätskonstante: er χ1εε

isotropes Medium Zahl (Skalar)anisotropes Medium Tensor (2. Stufe)

Faustregel: Für homogene isotrope Medien ersetze in allenFormeln für das Vakuum einfach 0 durch 0.

Beispiel: Kondensator mit Dielektrikum

AεεCmitUCQ 0 ε

AεεCmitUCQ 0

Dielektrikum(Isolator, große Polarisierbarkeit)

εQfest Uε

1Ufest Q

Feldenergie:

DE w 21

DE w 2

(gilt auch allgemein)

Kraft auf ein Dielektrikum:

Steigen der Flüssigkeitssäule

E UΔCΔW 2

el UΔCUΔQΔW

hghVρΔW 21

flmech

mechEel ΔWΔWΔW

fl21 EhV1εε

UhV1εεUΔChVhgρ

1εεh 2

const.H

dFeld:

Batterie:

mech. Arbeit:

1.4. Elektrischer Strom1.4.1. Stromstärke

Elektrischer Strom Ladungstransport

Stromstärke (bzgl. dA):dt

Stromdichte: IedA

dA BewegungLadung

Bewegung während dt

Stromstärke bzgl. A: A

21 mAjsCAI

Kontinuitätsgleichung: 0t

ρjdiv

Leitungsmechanismen:

• Elektronische Leiter: Metalle, HalbleiterLadungsträger hauptsächlich Elektronen

• Ionen-Leiter: Elektrolyte, Isolatoren mit FehlstellenLadungsträger hauptsächlich positive und negative Ionen

• Gemischte Leiter: PlasmenLadungsträger: Elektronen und Ionenrümpfe; z.B. in

Gasentladungen

Mikroskopische Theorie:

vnevnej

n: Anzahldichte positiver (negativer) Elementarladungen

zugehörige Transportgeschwindigkeiten:v

1.4.2. Ohmsches Gesetz

Betrachte elektronische Leiter (Metalle)

mittlere freie Weglänge ( zwischen zwei Stößen ):

mittlere Zeit zwischen zwei Stößen: v

Λτ S

Stöße an Atomen des Festkörpers ungeordnete Bewegung

Bahn eines Leitungselektron

typische instantane Geschwindigkeit (T-abhängig):

sm76...1010v

0j , 0vaber

Beispiel: Kupferdraht bei Zimmertemperatur

s102,7τm104Λ101,5v 14S

Bahn eines Leitungselektrons

Stöße völlige Randomisierung der Bewegungsrichtung

Def.: Driftgeschwindigkeit LadungstransportvΔvD

τqnτ

Fqnvqnj S

τqnσ

Ohmsches Gesetz

elektrische Leitfähigkeit

Beweglichigkeitel , stark T-abhängig,

oft unabhängig von E

sm6 0,5vΔ,101,5v

Bsp.: Cu-Draht, E 100 V/m

Spezialfall: homogener Leiter, konstanter Querschnitt

const.j

über Querschnitt

homogen

Eσj el

SchaltzeichenR

Ohmsches Gesetz

elektrischer Widerstand

spezifischer Widerstand(Materialparameter)

OhmΩAVR

Allgemeine Def.: I

Beispiel: quasistatisches Auf-/Entladen eines Kondensators

Folge statischer Situationen

Cschließt bei t 0 IQ

00U,00Q C 00U,00Q C

1tIRUUU CR0 Bemerkung:

1IR0 I

Lösung: CRτ , τ

CRτ ,

texp1Ut~dt~I

Kondensatorspannung:

Cschließt bei t 0 IQ

00U,00Q C 00U,00Q C

CRτ , τ

CRτ ,

1.4.3. Stromleistung und Joulsche Wärme

Arbeit des E-Feldes:

UQQW 21

Elektrische Leistung:

U = const.

Einheiten:

1Js1W , sWW

WattWAVP

Ohmsches Gesetz

UIRIUP

R1 P const. U, R P const.I

1.4.4. Kirchhoffsche RegelnAnalyse von Netzwerken von Leitern, (allgemeinen) Widerständen, Spannungs- / Stromquellen, …

a) Knotenregel: Knoten punktförmige Leiterverbindung

I5 AdjI

auslaufend: I 0

einlaufend: I 0

auslaufend: I 0

einlaufend: I 0

V V VOb

IAdjdVjdivdVρdt

0IKnoteni

b) Maschenregel: Masche Schleife in der Schaltung

0U0sdEMaschei

Masche

Induktivität (z.B. Spule)

I1 I1 I1 I2

I3I3I4I4

111 IRU 0U2 CQU 23

325 IRU 46 ILU

Anwendung (1): Reihenschaltung ohmscher Widerstände

itot RR

R1 R2 Rn

I I I I I

IRU 11 IRU 22 IRU nn

Maschenregel:IRU0IRIRIRU

1ii0n210

R1 R2 Rn

Anwendung (2): Parallelschaltung ohmscher Widerstände

i itot R

Knotenregel:

0n21 R

U0IIII

U0 U0 U0

I1 I2 In

Anwendung (3): Spannungsteiler

xIx U 0

PotentiometerU(x)

Anwendung (4): Wheatstonesche Brückenschaltung

xd R 1x

Nullabgleich: 21 UU0I

1.4.5. Messgeräte „Amperemeter”a) Wärmewirkung: Hitzdraht-Amperemeter

Erhitzung l

b) Magnetische Wirkung: Galvanometer

N SPermanentmagnet

Zeiger

Drehbare Spule

Drehspulgerät:

(analog: Dreheisengerät)

c) Elektrolytische Wirkung:

I Menge des pro Zeiteinheit elektrolytisch zersetzten Stoffes (s.u.)

d) Spannungsmessung: Voltmeter

elektrostatisches Voltmeter ( Innenwiderstand )

Innenwiderstand des Amperemeters:

Innenwiderstand

verfälscht den Schaltkreis!

Ausweg: Indirekte Strommessung durch Voltmeter mit Messverstärker

IRU e I

externer Messwiderstand

Messverstärker ( 1016 A messbar )

Indirekte Spannungsmessung mit Amperemetern:

R R p R R p

IR U pp0 IR U pp0

Spannung ohne Messgerät: IRU0 gesuchtgesucht

Spannung mit Messgerät: pp

UIRIIRU

gemessengemessen

1.4.6. Elektrolytische Leitung von StromElektrolyt: Flüssigkeit mit frei beweglichen Ionen (geladene Moleküle)

z.B. Salzlösungen, Säuren, Laugen

Bildung eines Elektrolyts: O

Wasser-Molekül

Molekül mit Ionenbindung

Dissoziation ( Aufspaltung in Wasser da energetisch günstiger )

Anion Kation

Elektrolyt

Kathode (Minuspol)

(Pluspol)

Neutralisierung der Ionen an Elektroden

• Ablagerungen auf Elektroden

• Aufsteigen von Gasbläschen an Elektroden

• Auflösen von Elektroden

Spezialfall: Dissoziation von Wasser

OHHO H2 OHHO H2

(geringe) Leitfähigkeit von Wasser

Erhöhung der Leitfähigkeit durch Zugabe von Salz etc.

Elektrolyt

Kathode (Minuspol)

(Pluspol)

Knallgaserzeugung mit Kochsalzlösung:

Dissoziation von Kochsalz: Na Cl Na+ Cl

Kathode: 2 Na 2 H2O 2 e 2 Na OH H2

Anode: 4 Cl 2 H2O 4 H Cl O2 4 e

Dissoziation von Kochsalz: Na Cl Na+ Cl

Kathode: 2 Na 2 H2O 2 e 2 Na OH H2

Anode: 4 Cl 2 H2O 4 H Cl O2 4 e

2 H2-Moleküle 1 O2-Molekül Knallgas

Knallgaserzeugung mit verdünnter Schwefelsäure:

Dissoziation Schwefelsäure: H2 SO4 2 H+ SO42

Kathode: 2 H 2 e H2

Anode: SO42 H2O H2 SO4 ½ O2 2 e

Dissoziation Schwefelsäure: H2 SO4 2 H+ SO42

Kathode: 2 H 2 e H2

Anode: SO42 H2O H2 SO4 ½ O2 2 e

2 H2-Moleküle pro O2-Molekül Knallgas

Kupferbeschichtung ( Rostschutz ):

Dissoziation Kupfersulfat: Cu SO4 Cu2+ SO42

Kathode (z.B. Nickel): Cu2+ 2 e Cu (galvanische Beschichtung)

Anode: SO42 SO4 2 e

a) Kohlestab 2 H2O SO4 H2 SO4 O2

b) Kupfer (Opferelektrode) Cu SO4 Cu SO4 (Auflösung)

Dissoziation Kupfersulfat: Cu SO4 Cu2+ SO42

Kathode (z.B. Nickel): Cu2+ 2 e Cu (galvanische Beschichtung)

Anode: SO42 SO4 2 e

a) Kohlestab 2 H2O SO4 H2 SO4 O2

b) Kupfer (Opferelektrode) Cu SO4 Cu SO4 (Auflösung)

Bleibaum:

Dissoziation Bleiacetat: Pb ( CH3COO )23H2O

Pb2 CH3COO

Bleikathode: Pb – Ablagerung (Bleibaum)

Bleianode (Opferanode): Pb 2 CH3COO Pb ( CH3COO )2 2 e

Dissoziation Bleiacetat: Pb ( CH3COO )23H2O

Pb2 CH3COO

Bleikathode: Pb – Ablagerung (Bleibaum)

Bleianode (Opferanode): Pb 2 CH3COO Pb ( CH3COO )2 2 e

Leitfähigkeit und Ionenkonzentration:el

A: Ladungsträgerdichte steigt

B: Beweglichkeit nimmt ab (Anziehung von Kationen und Anionen)

Def.: Faraday-Konstante C96485,309eN F A C96485,309eN F A

Folgerung: 1 Mol eines Ions mit Ladg. Z·e transportiert die Ladg. Z·F

Messungen:a) Elektrochemisches Äquivalent:

b)Ladungszahl Z und Faraday-Konstante:

c) Elementarladung:

ΔQΔmm erttransportienabgeschiedQ [mol] ΔQΔmm erttransportienabgeschiedQ [mol]

mF Z 1Q- mF Z 1Q-

mNZNFe 1QAA

- mNZNFe 1QAA

1.4.7. Strom in GasenGasionisation gemischte e, Ion-Leitung ( Plasma )

Mechanismen:• thermische Ionisation• ionisierende Strahlung ( e, e, , , … )• Stoßionisation

kosmisches Myon ( Primärionisation)

Ladungsdrift:

Kennlinie der Gasentladung: Allmähliche Stromerhöhung

Sättigung

A: Linearer Bereich Ohmsches Gesetz•Gleichgewicht Erzeugung / Rekomb.•sehr kleine Abflussrate von e, Ionen•n const., vD E

B: Rekombinationsbereich•U Abflussrate Rekomb.•n Ladungsträgermangel

Anode KathodePrimär-

Ionisation

kritisch

C: Sättigungsbereich

•fast alle Ladungsträger fließen ab

•keine RekombinationI const.

CD: Stoßionisation setzt ein, I

D: Zündpunkt für selbständige Entladung

Ekin (zwischen Stößen) EIonisation

• jede Ladung sorgt für eigenen Ersatz

•stark Druckabhängig

Sättigung

Ionisation

E: Glimmentladung ( bei sehr kleinem Druck )

•Strom I , Widerstand R

F: Raumladungseffekte werden wichtig

•Raumladung Abschirmung R

G: Bogenentladung ( bei großem Druck )

•großer Strom glühende Elektroden

•Glühemission von Elektronen

kritisch

Sättigung

Ionisation

Struktur von Glimmentladungen: (stark druckabhängig)

K AIonen

Kathodenfall

Hittorfscher Dunkelraum

Stoßionisation „negatives

Glimmlicht“

Rekombination, Raumladung

Faradayscher Dunkelraum

„positive Säule“ (manchmal strukturiert)

Anodenfall

anodisches Glimmlicht

1.4.8. Stromquellen

Stromquelle

U0 EMKDef.: RR

REMK U

EMK ElektroMotorische Kraft

Messung von U(Ra) Messung von Ri und EMK

Elektrolyt

Metall

Diffusions-

Gleichgewicht

Beispiele für Stromquellen:

a) Elektrodynamische Generatoren: Strom

b) Solarzellen ( Halbleiterphysik )

c) Galvanische Elemente: Lösung von Metall in Elektrolyt

abschirmendes E-Feld

PotentialdifferenzElektrolyt

MetallIon

Galvanisches Element (Prinzip):

Metall1 Metall2Elektrolyt1 Elektrolyt2

poröse Wand

Δ U 21 Δ U 21

Edle Metalle: U 0 (Cu, Ag, Au,…) geben schwer Elektronen ab

Unedle Metalle: U 0 (Fe,…) geben leicht e ab oxydationsfreudig

Referenzelektrode: H2-umspülte Platinelektrode in 1-normaler Säure

1 Mol H / l

Spannungsreihe: Galvanische Spannung gegenüber Referenzelektrode(Metalle in 1-normalem Elektrolyt mit gleichem Metallion)

1 Mol Metallionen / l

Daniell-Element:

Cu ZnCu SO4 Zn SO4

poröse Wand

Bemerkung: Cu SO4 als gemeinsames Elektrolyt möglich, aber Zn- Elektrode würde sich mit Kupfer überziehen!

H2SO4 / H2OH2SO4 / H2O

EE( Cu-Abscheidung ) E( Zn-Auflösung )

d) Akkumulatoren:Wiederaufladbare Stromquellen

Beispiel: Bleiakku

H2SO4 / H2O

Pb SO4 Schicht

Aufladen:Anode: Pb SO4 2 H2O Pb O2 H2SO4 2 H

Kathode: Pb SO4 2 H 2 e Pb H2SO4

Anode Pb O2 ; Kathode Pb

Aufladen:Anode: Pb SO4 2 H2O Pb O2 H2SO4 2 H

Kathode: Pb SO4 2 H 2 e Pb H2SO4

Anode Pb O2 ; Kathode Pb

Entladen:Anode: Pb O2 SO4

2 4 H 2 e Pb SO4 2 H2O

Kathode: Pb SO42 Pb SO4 2 e

Anode Pb SO4 ; Kathode Pb SO4

Entladen:Anode: Pb O2 SO4

2 4 H 2 e Pb SO4 2 H2O

Kathode: Pb SO42 Pb SO4 2 e

Anode Pb SO4 ; Kathode Pb SO4

Analog: Trockenbatterie (Leclanché-Element)

e) Thermoelektrizität

Energie freier Elektornen (ruhend)

Metall-Oberfläche

Vakuum

Energieniveaus der Leitungselektronen

Austrittsarbeit

Def.: Kontaktpotential U12 WA zwischen zwei sich berührenden Metallen 1, 2

stark Temperatur-abhängig

Thermoelement: Metall 1 Metall 2 Metall 1

T1 T2V

Thermospannung

Uth a·T a·( T2T1 )

Peltier-Effekt:

Metall 1 Metall 2 Metall 1

1.5. Magnetismus1.5.1. PermanentmagneteAltertum: Fund magnetischer Steine bei Magnesia (Kleinasien)

Heute: Magnetfelder elektrische Strömemagnetische Materialien mikroskopische Kreisströme und Spins

Empirische Befunde:

a) Es gibt zwei magnetische Pole: N ( Nord ) S ( Süd )

Anziehung Abstoßungb)Es wurden bisher keine magnetischen Monopole beobachtet

Sägen

Magnetfeldlinien sind stets geschlossen, d.h. sie enden nie

Empirisches magnetisches Kraftgesetz:sehr lange Magnetstäbe quasi isolierte Magnetpole

...... r

p1 , p2: „Polstärken“p1 , p2: „Polstärken“

Analogie zum Coulomb-Gesetz: er

ppfF r2

Definition: mA

sV10π4μ ,

Motivation später:

Folge: Quantifizierung der Polstärke

analog zur elektrischen Ladung

sV p sV p

sA Q sA Q

Feldkonzept (im Vakuum): p2 0 ist Probepol im Magnetfeld von p1

Definition: Magnetische Erregung

rFlimrH

mAH 1 mAH 1

Definition: Magnetische Feldstärke rHμrB 0

rHμrB 0

msVB 2 msVB 2

Einheiten der magnetischen Feldstärke:

ms1V1Tesla1T 2 ms1V1Tesla1T 2SI: cgs-System: T101Gauss1G 4 T101Gauss1G 4

Beispiele: • Erdmagnetfeld (Oberfläche) 20 T

• NMR-Tomograph: 1 T

• Supraleitende Magnete (Beschleuniger): 10 T

• Neutronensterne (Oberfläche): 108 T

1.5.2. Magnetfelder stationärer Ströme I

Beobachtung:

• Stationäre Ströme erzeugen Wirbelfelder

• Feldrichtung wechselt mit Stromrichtung

• B r 1 , B I Iconst.r2πrB Iconst.r2πrB

Fläche ARundweg C

Quantitativ beschreibbar durch:

0 IμsdBAmperesches Gesetz

Stokesscher Satz jμBrot 0

jμBrot 0

konservativ!

Das Magnetfeld hat kein skalares Potential!

Beobachtung: es gibt keine magnetischen Monopole

das Magnetfeld ist quellenfrei

magnetische Feldlinien sind geschlossen

Theorie-VL

• wegen existiert ein Vektorpotential mit

• ist nicht eindeutig Eichbedingung

Zusammenfassung:0Bdiv

jμBrot 0

Beispiele und experimentelle Tests:

a) Stromdurchflossener Leiter

Symmetrie erBrB

0000 rr , rr

rr , 1 IμIμ

rBr2πsdrB

rr , 1

Iμr B

rr , 1

Iμr B

b) Zylinderspule:

real: endlich lang, endliche Wicklungsdichte

Streufeld:

ideal: unendlich lang und dicht gewickelt

…const.B

Streufelder entweichen im Unendlichen

L, N Windungen

außen

const.BB 0

INμIμ

LBsdrB

Inμ B 000 Inμ B 000 L

Nn mit

Wicklungsdichte

Praktische Realisierung des (fast) homogenen B-Feldes:

Helmholtz-Spule

B(z) (auf Achse)

Optimale Homogenität im Spulenzentrum

c) Ringspule:

Symmetrie erBrB

Windungszahl N

000 INμIμ

rBr2πsdrB

Nμr B 00

d) Beliebige Leiterformen:

Biot-Savart-Gesetz

rArotrB

Leiter

e) Stromschleife: Paradebeispiel für Biot-Savart-Gesetz

z2 eRπa

mitaIpm

Magnetisches Dipolmoment

Bemerkung: Resultat gilt für beliebige Form der Fläche.

Das magnetische Dipolmoment ist eine charakteristische Größe!

θr3m0

eθsineθcos2rπ4

θr3m0

eθsineθcos2rπ4

Dipolfeld

1.5.3. Die Lorentz-Kraft

Coulomb-Kraft

Lorentz-Kraft

Beweis:

• Empirische experimentelle Beobachtung

• Invarianz der Elektrodynamik unter Lorentztransformationen ( spezielle Relativitätstheorie )

Lorentz-

Transf.

System ohne Magnetfeld

0B ,E ,v

Laborsystem

0B ,E ,v

Experimentelle Tests:

a) Kraft auf stromdurchflossenen Leiter:– vD Driftgeschwindigkeit der Ladungen q

– n Ladungen q pro Volumen– a Leiterquerschnitt

DDD vqnjqvna

IjqavnI

q pro s durch a

BLdIFddVBjBvqdLanFd D

Ladungen in dLLdIdVj

Spezialfall: Zwei parallele Drähte

I1 durch Draht 1 eIrπ2

Kraft auf Draht 2:

BLdIFd

eLd Anziehung, falls I1 und I2 gleichsinnig

Abstoßung, falls I1 und I2 gegensinnig

I2I1I210

μ 70 Definition der Stromstärke 1 A

b) Fadenstrahlrohr:

Ue2vUemv2

Glas-Kolbendünnes Gas

(Argon)

Glühkathode

vmRBve

Messung von em

Alternative Methoden zur e m-Messung:

Kathodenstrahlröhre mit überlagerten E- und B-Feldern ( Grundlagenpraktikum )

c) Barlowsches Rad:

Achslager

Lorentzkraft auf Elektronen überträgt sich durch Reibung der Elektronen im Metall auf das Rad

d) Hall-Effekt:

|j|dbI

Hall-Spannung

venvenj DD

FehlstellenleitungLöcher in p-dotierten Halbleitern

ElektronenleitungMetalle oder Halbleiter

Quantitativ für einen Ladungsträgertyp:

Magnetische Kraft pro Volumen: Bvqn D

Elektrische Kraft pro Volumen: (durch Ladungsträgertrennung) HEqn

Hall-Feldstärke

jBvE DH

bBjEbsdEU HHH

1 RKonstante-llmit Ha

BIRU HHH

|j|dbI

Hall-Spannung

1 RKonstante-llmit Ha

BIRU HHH

Metalle, n-Halbleiter: q e UH 0

p-Halbleiter: q e UH 0

n(Halbleiter) << n(Metalle) Halbleiter-Hallsonden sehr sensitiv (B-Feld-Messung bis 106 T)B groß, T klein, b klein quantisierte RH (Quanten-Hall-Effekt) (Nobelpreis v. Klitzing, 1985)

|j|dbI

Hall-Spannung

1.5.4. Magnetisierunga) Grundlagen

Problem: Statische magnetische Felder in Materie

atomarer magnetischer Dipol:

ωRqeRπνqaIp 221

ωRmvRmL 2

ω2 eRπa

Atomkern

Bohrsches Atommodell: q e ; m me ; L l ħ , l 0,1,2,…

m μm2

mA109,2742

eμ 24

Bohrsches Magneton

Def.: Magnetische Erregung MBH 0μ

MBH 0μ

(Materialgleichung)

Folgerung: jHrot

(Feldgleichung 1)

impΔV

Magnetisierung: Ausrichtung atomarer mp

i. von außen induzierte Strömeii.permanent vorhanden: l 0,

Spins ungepaarter Elektronen

(vgl. Theorie-VL) Mrotj m

Mrotj m

Magnetisierungsstromdichte:

Freie Stromdichte: MrotμjμjjμBrot 00m0

Quellenfreiheit: 0Bdiv

(Feldgleichung 2)

Folgerung: Stetigkeitsbedingungen an Grenzschichten

(gilt immer)

(nur für Magnetostatik und

nur für stromfreie Schichten)

Medium 1 Medium 2

1||H 2

AdBdVBdiv012

stetigist B stetigist B

sdHAdHrot0

stetigist H ||

(gilt auch in der Elektrodynamik)

Lineare Näherung: HχM m

HχM m

const.χ m

magnetische Suszeptibiliät

jμμBrotHμμHχ1μMHμB 00m00

relative Permeabilität: mr χ1μμ

isotropes Medium Zahl (Skalar)anisotropes Medium Tensor (2. Stufe)

Faustregel: Für homogene isotrope Medien ersetze in allenFormeln für das Vakuum einfach 0 durch 0.

Beispiel: Spule mit Eisenkern

Inμμ B 000 Inμμ B 000

Streufelder entweichen im Unendlichen

Wicklungsdichte n

…const.B

Eisenkern,

Stoffklassen: 1.Diamagnete: m 02.Paramagnete: m 03.Ferromagnete: m 0

Kraftwirkung:

diamagnetisch

para-/ferromagnetisch

0χ falls0

mpotr 0

Messung von m:

•Faraday-Methode:

•Gouy-Methode:

Probe Skala

const.r

mmpot B

χVBMVBpE

homogen

V a L BMzzaE 0pot

eingetauchtes Volumen

mpotz Ba

b) Diamagnetismus• abgeschlossene Elektronenschalen l 0, kein Spin

keine permanenten atomaren magnetischen Dipolmomente• Induzierte Dipole wirken abschwächend ( Lenzsche Regel )

Bemerkung: Supraleiter sind perfekte Diamagneten m 1 B 0 ( Meißner-Ochsenfeld-Effekt )

Magn. Moment: ΔvR2

qΔpvR

ωRqp 221

Atomkern

Bextern

Abschätzung der Größenordnung:

BvqΔvR

vm2ΔF

BZentripetalkraft:

R const.

R 1Å B 1T q e

m mA10μmA10Bm4

•l 0: Diamagnetismus, sehr kleiner Effekt

•l 0: patomar >> pm Para/Ferromagnetismus

•l 0: Diamagnetismus, sehr kleiner Effekt

•l 0: patomar >> pm Para/Ferromagnetismus

c) ParamagnetismusPermanenete atomare magn. Momente : statistisch orientiertmp

B 0: ΔV

m 0pΔV

B 0: cosθBpBpE mmpot

(extern)

Boltzmann-Statistik

θcosTk

Bp1θcos

Eexpθcosρ

θcosd

1 mmpot

TkBp m

θcosdθcosρ

θcosdθcosθcosρ

θcos m1

pNθcospNM

der pm pro V

Mμχ:Gesetz-Curie

0m MTk3

pNμχ:Gesetz-Curie S

0m MTk3

pNμχ:Gesetz-Curie

MSSättigung

MS N pm

Beispiel: pm 1 B B 1 T T 20 °C M 810 MS

winzig!

d) Ferromagnetismus

• Atome / Moleküle mit ungepaarten äußeren Elektronen Spin • Quantenmechanische Austauschwechselwirkung der Elektronen

permanente atomare magn. Momente : spontan kollektiv orientiert• Bsp.: Eisen ( Fe ), Cobalt ( Co ), Nickel ( Ni ): 3 ungepaarte f-Elektronen

Kein äußeres Feld Zustände

minimaler Energie haben Mtot 0

Kein äußeres Feld Zustände

minimaler Energie haben Mtot 0

Magn. Domänen ( Weißsche Bezirke ) spontan magnetisiert

Kritische Temperatur ( Curie-Temperatur TC )

Ferromagnetismus falls T TC

Phasenübergang

Paramagnetismus falls T TC

Äußeres B-Feld Wandern der Domänenwände, Ausweitung der Domänen

hörbares Barkhausen Rauschen ( Umklappen der pm )

Energieverbrauch (gewonnen aus potentieller Energie der pm im B-Feld)

Magnetisierungsweg: Folge benachbarter lokaler Energieminima abhängig von Vorgeschichte Hysterese-Kurve

Neukurve

dBM Fläche

Koerzitivfeld

Remanenz

dBHdHHμμdw

mag HμμHBw Elektrodynamik

dBMdwmχ1

mag Wärme

Hysterese-Fläche

Beispiel: Erwärmung von Trafo-Blechen

2. Elektrodynamik – Quasistatik2.1. Erinnerung: Grundgleichungen

Maxwellsche Feldgleichungen:

ρEdiv

Elektrostatik, falls 0

Faradaysches Induktionsgesetz

Magnetostatik, falls 0t

1jμBrot

Verschiebungsstrom ( Maxwellsche Ergänzung )

• Kontinuitätsgleichung:

• elektromagnetische Wellen

• Lorentz-Kovarianz für

ρjdiv

200 cμε

Kraftgleichung (Lorentz-Kraft):

2.2. Quasistatische Phänomene

1jμBrot

Quasistationäre Näherung:

Interpretation: c , d.h. in der Zeit, die Licht benötigt, um die Strom- und Ladungskonfiguration ( den elektrischen Schaltkreis ) zu durchqueren, ändern sich Ströme und Ladungsdichten nicht wesentlich.

Frequenzen nicht zu groß ( Kupferleitung: ) Schaltkreiselemente bewegen sich in externen E/B-Feldern nichtrelativistisch,

119 s10ω cv

Gesetze der Magnetostatik gelten

unverändert

Die Gesetze der Statik gelten modifiziert weiter:

Kirchhoffsche Knotenregel:

Kirchhoffsche Maschenregel:

Die Summe der Spannungen in einer Masche verschwindet, falls der magnetische Fluss durch die Masche konstant ist.

0Brotdivμ

Knotenk

.1.2.2

Maschek

2.2.1. Faradaysches Induktionsgesetz t,rB

• fiktiver geschlossener Weg• reale Leiterschleife

Schleife

Stokes

ΦadBtd

adErotsdEU

Theorie gilt auch für bewegliche Schleifen variabler Form

Uind: induzierte Spannung gemessen in der Schleife

M: magnetischer Fluss gemessen im Labor Mind ΦU Induktionsgesetz

Bemerkung: Uind ist wegabhängig keine Potentialdifferenz.

Daher oft Bezeichnung: Uind EMK ( Elektro-Motorische Kraft )

Test 1: B-Feld: variabel Leiterschleife: fest adB Uind adB Uind

• Uind Zahl der Spulenwicklungen

• Vorzeichen von Uind wechselt mit Bewegungsrichtung des Magneten

• Vorzeichen von Uind wechselt mit Magnetorientierung

• Effekt durch Eisenkern verstärkbar

• Magnet ersetzbar durch Spule mit variierendem Stromfluss

taBUtaBtaBΦ indM

Test 2: B-Feld: konstant Leiterschleife: variable Form

Spezialfall: B homogen , Schleife eben, Orientierung fest

Fläche a(t)

Beispiel:

dvBUBB

dvdtxtadtxta

Test 3: B-Feld: konstant Leiterschleife: variable Orientierung

tsintωaBUtcosaBtaBΦ indM

Spezialfall: B homogen , Schleife eben

tωsinωaBUtωt,const.ω ind

Fläche a const

ttω ttω

Beispiel:

Wechselspannungsgenerator ( Dynamo )

Lenzsche Regel: Die Induktion wirkt ihrer Ursache stets entgegen ( Gegenspannungen, Gegenkräfte etc. )

Mind ΦU Induktionsgesetz

Herleitung:

• im Einzelfall: Uind Iind Gegenfeld Bind

• generell: Uind Iind Energieverbrauch

Ursache muss Arbeit verrichten Gegen-„Kraft“

Anwendungsbeispiel: Wirbelstrombremse

• L ist ein reiner Parameter der ( festen ) Schleifengeometrie

• Maßeinheit: L V s A H Henry

• Schaltsymbol

2.2.2. Die Induktivität

N Wicklungen Wicklungsdichte nN

Spule: Länge l, Querschnitt a

Betrachte beliebige Leiterschleife

Beispiel: Spule

Biot-Savart-Gesetz

IUIadBIB MindM

Definition: I

UL ind

Selbstinduktionskoeffizient bzw. Induktivität

Beispiel: Zylinderspule

Magnetostatik InμB 0

BVnBaNM Gesamt-Fläche

Spulen-Volumen

IVnμBVnU 20Mind

IL U ind

nVnμL 220 nVnμL 220

• Das Magnetfeld steigt proportional zur Wicklungsdichte

• Die Induktivität steigt mit dem Quadrat der Wicklungsdichte

N Wicklungen Wicklungsdichte nN

Spule: Länge l, Querschnitt a

Beispiel: quasistatischer Einschaltvorgang einer Induktivität

tILtIRUUUUU indRLR0

Lösung:

eUILtU

L τ, e1

eUILtU

L τ, e1

ULUind

schließt bei t 0

U0U,00I 0L U0U,00I 0L U0

LIUR ILU ind

U0RMaschen sind B-Feld-frei (B-Feld ist eingesperrt in Induktivität)

Vergleich: Kapazität Induktivität

LIUR UC

erst Spannung, Stromfluss verzögert

CR τ CR τ UCU0

erst Stromfluss, Spannungsaufbau verzögert

Energie des Magnetfeldes einer Induktivität:

LM IL0ItI2

Lt~dt~I

Lt~dt~It~UW

t~IL 0

Vergleich: Kapazität Induktivität

M ILW Magnetische Energie in Induktivität L

el UCW Elektrische Energie in Kapazität C

HBInμμIV

InμμHμμBV2nμμL 000

Energiedichte des Magnetfeldes in einer Spule (mit Kern):

gilt auch allgemeingilt auch allgemein

Vergleich: magnetische Energiedichte elektrische Energiedichte

HBw 21

2.2.3. Gegenseitige Induktion

Biot-Savart-Gesetz

1 Schleife 12

1102 r

2r 2sd

Schleife 1Schleife 2

Fluss durch Schleife 2:

1 Schleife 2 Schleife

2 Schleife

2 Schleife2 Schleife

μsdrAadArotadB

2 Schleife

2ind,2

ILsdEU

2 Schleife

2ind,2

ILsdEU

Bemerkung: LLL0 21212 LLL0 21212

1 Schleife 2 Schleife 12

2102112 r

Gegeninduktivität

nur abhängig von Schleifengeometrie

2.2.4. Wechselstrom

Periode T 1/ν

Harmonische Wechselspannung

tωcosUtU 0

U0: Scheitelwert U( t ): Momentanwert

T: Periode Frequenz

Kreisfrequenz

Schaltsymbol:

Hz60νV1102U

U.S.A.

Hz50νV2302U

Europa

Beispiel: Leistung im ohmschen Verbraucher

I( t )

RU( t )

tωcosItωcosR

IRU 00

tωcosRItωcosR

UtItUtP 22

Mittlere Leistung für beliebige periodische Wechselspannung:

1P Effektivspannung: 2

eff UU

2 IRIRtdtIRT

1P Effektivstrom: 2

eff II

IUP effeff IUP effeff

Spezialfall: harmonische Wechselspannung

2 Utdtω2costdT2

UtdtωcosU

tω2cos121 T 0

2 ItdtωcosIT

2eff U

2eff I

IUIUP 0021

effeff IUIUP 0021

effeff

Allgemeine Wechselspannung:

Periode T:

Fundamentalkreisfrequenz:

Periode T

Fourierzerlegung:

ebiaReatωnsinbtωncosaatU 1n

tωninn02

1nnn02

tωninn02

1nnn02

t dtωncostUT

n t dtωncostUT

n t dtωnsintUT

Ueff ist gleich der

quadratischen Summe der Effektivspannungen der

Fourierkomponenten

Folgerung: Für lineare Netzwerke ( Superpositionsprinzip anwendbar) reicht es aus, das Verhalten für harmonische Wechselströme/Wechselspannungen zu untersuchen.

Allgemeine Wechselspannung:

Periode T:

Fundamentalkreisfrequenz:

Periode T

Fourierzerlegung:

tωninn02

1nnn02

tωninn02

1nnn02

t dtωncostUT

n t dtωncostUT

n t dtωnsintUT

Beispiel: Rechtecksignale

symmetrisch U0

20eff UtdU

einseitig U0

20eff U

Vergl. Ueff aus Fourierzerl.

Allgemeine, nicht-periodische Spannung:

Parsevalsche Formel: ωdωU~

tdtU 2

ωdωU~

tdtU 2

(Einschaltvorgang, Testpulse etc.)

mit den Fourierkoeffizienten

t detUωU~

tωiπ2

Fouriertransformation:

Inverse Fouriertransformation:

ωdeωU~

tU tωi

Harmonische Zerlegung:

Bemerkung: U reell, aber Ũ komplex

ωdtωsinωU~

ωdtωcosωU~

Allgemeine, nicht-periodische Spannung:

(Einschaltvorgang, Testpulse etc.)

mit den Fourierkoeffizienten

t detUωU~

tωiπ2

Fouriertransformation:

Inverse Fouriertransformation:

ωdeωU~

tU tωi

Harmonische Zerlegung:

Bemerkung: U reell, aber Ũ komplex

ωdtωsinωU~

ωdtωcosωU~

Folgerung: Für lineare Netzwerke ( Superpositionsprinzip anwendbar) reicht es aus, das Verhalten für harmonische Wechselströme/Wechselspannungen zu untersuchen.

Beispiel: Rechteckpuls

Tiefpass (s.u.)

Filterschaltung, die kleine Frequenzen

überträgt und große Frequenzen dämpft.

Charakteristische Größe: Abschneidefrequenz

2.2.5. Wechselstromwiderstände

Lineare Netzwerke: Zeitverhalten lineare Differentialgleichungen

Lineare Komponenten: Ohmsche Widerstände, Kondensatoren, ideale Spulen, Linearverstärker, …

Nichtlineare Komponenten: Spulen mit Kernen nahe der Sättigungs-magnetisierung, nichtlineare Verstärker, Multiplizierer, Dioden, Glimmlampen, hochkonzentrierte Elektrolyte, …

Lineares Netzwerk Ist F(t) eine komplexe Lösung der DGL für Ströme oder Spannungen, so auch Re F(t) und Im F(t).

Neues (eleganteres) Konzept: Komplexe Spannung/Strom

physikalischer

Anteil

tωcosItIRetωcosUtURe

Definition: Komplexer Wechselstromwiderstand

tUωZZ i

Nach Konstruktion Gesetze der Quasistatik (Kirchhoffsche Regeln, ) gelten weiter

Beispiel: Ohmscher Widerstand

RZtIRtUtU R

Z reell und unabhängig von

Beispiel: Induktivität

ILtUtUtUeU indLtωi

Z imaginär und proportional zu Strom eilt Spannung um 90 nach

tULωi

UtI tωi0tωi0

ω,0ω,0

eLωLωiZ 2πi

Beispiel: Kapazität

tQtUtUeU C

Z imaginär und umgekehrt proportional zu Spannung eilt Strom um 90 nach

tUCωieUCωieUtd

dCtQtI tωi

0ω,ω,0

Beispiel: RLC-Serienschaltung

1LωiR

1LωiRZ

ZImtan

Konstruktion im Zeigerdiagramm:

Dieses Beispiel: Re Z R 0

Momentane Wechselstromleistung in Z:

eeZZImiZReZ iIUi

0 eeZZImiZReZ iIUi

tωsintωcossinIUtωcoscosIU

tωcostωcosIUIReURetP

tωcostωsinsinIU tωcoscosIUtdtPPP 002

W Mittlere Wechselstromleistung in Z: Wirkleistung

Wirkleistung: cosIUcosIUP effeff0021

W cosIUcosIUP effeff0021

Blindleistung: sinIUsinIUP effeff0021

B sinIUsinIUP effeff0021

Blindleistung

Komplexe Leistung: ZUZIPiP

eIUeIeUIUP 202

1tωi0

tωi02

ZUZIPiP

eIUeIeUIUP 202

1tωi0

tωi02

Wirkleistung

Z Scheinwiderstand, Re Z Wirkwiderstand, Im Z

Blindwiderstand

Scheinleistung:

IUPP effeffS IUPP effeffS

2.2.6. Wichtige lineare Netzwerke

a) ( Passiver ) Hochpass ( erster Ordnung ): R

Spannungsteilerschaltung RCmit τ τωi1

Übertragungsfunktion: 2e

Phasendrehung: 1τωtan

durchlässig für ≳ durchlässig für ≳

UdτωdeωU

dτωdeωU

~τωi

ωdeωU~

etωie

tωieτωi1

τωitωiaa

Hochpass als Differenzierer:

τωi1

Voraussetzung: Ue t enthält nur Frequenzen viel kleiner als

0τωU~

nur wobeiωdeωU~

tωiee

( inverse ) Fouriertransformation:

• Differenziererschaltung für

• Amplitude der differenzierten Spannung

b) ( Passiver ) Tiefpass ( erster Ordnung ):

Ue UaSpannungsteilerschaltung

RCmit τ τωi1

Übertragungsfunktion: 2e

Phasendrehung: τωtan i

durchlässig für ≲ durchlässig für ≲

Tiefpass als Integrierer:

τωi1

Voraussetzung: Ue t enthält nur Frequenzen viel größer als

tdtUeωU

~ωdtdωdeωU

~ωdeωU

eτ1tωi

eτωi1

tωieτωi1

1tωiaa

0τωU~

nur wobeiωdeωU~

tωiee

(inverse) Fouriertransformation:

• Integriererschaltung für 0

• Amplitude der integrierten Spannung

Veranschaulichung der Rechnung

angenäherte Integrator-Wirkung

c) (Passives) Bandfilter (erster Ordnung):

Spannungsteilerschaltung

ωωΔ

Resonanzfrequenz:

Bandbreite:

Gütefaktor:

durchlässig für R durchlässig für R

d) (Passives) Bandsperrfilter (erster Ordnung):

Spannungsteilerschaltung

1)( 1i1

ωωω

Resonanzfrequenz:

Bandbreite:

Gütefaktor:

RCUe Ua

undurchlässig für R undurchlässig für R

2.2.7. Der Transformator

R VerbraucherLeistung P U I

Motivation:

Relativer Leistungsverlust in der Leitung:

• Umwandlung der Eingangsspannung auf Hochspannung

• Übertragung über Hochspannungsleitung

• Umwandlung der Ausgangsspg. auf Verbraucherspannung (z.B. 230 V)

Schaltbild mögliche Realisierung

Gleicher Wicklungssinn von Primär- und Sekundärwicklung bezüglich Richtung des

magnetisches Flusses

Primär-Wicklung

Sekundär-Wicklung

EisenjochM

Entgegengesetzter Wicklungssinn von Primär- und Sekundärwicklung bezüglich Richtung des

magnetisches Flusses

U1 U2 2indU

Z 1indU

L12Definition: Kopplungsstärke

12 0,1

Bemerkung: Idealer Transformator keine Streufeld- etc. Verluste gesamter magnetischer Fluss durchsetzt beide Spulen

k 11222

2ind21211

1ind ILILUILILU Induktionsgesetz

1ind1 IZUUUU Maschenregel

2211 IωiIIωiI Wechselstrom

k1ωi1

Tafelrechnung

U1 U2 2indU

Z 1indU

k1ωi1

Phasendrehung:

ZReiZImarge

Spezialfall: Spulen gleichen VolumensWindungszahlen N1, N2

222,102,1 N

LNVμμL

Idealer Transformator: k

2lSpezialfal

NNlSpezialfal

U1 U2 2indU

Z 1indU

k1ωi1

ZReiZImarg 2

ZReiZImarg

Unbelasteter Transformator: Z

2lSpezialfal

2 π π

k1ωi1

ZReiZImarg 2

ZReiZImarg

U1 U2 2indU

Z 1indU

222,102,1 N

LNVμμL

Kurzgeschlossener Transformator: Z0

1lSpezialfal

k1ωi1

ZReiZImarg 2

ZReiZImarg

U1 U2 2indU

Z 1indU

222,102,1 N

LNVμμL

Transformator mit ohmscher Last: ZR

k1Lωarctanπ

k1ωi1

U1 U2 2indU

Z 1indU

k1ωi1

ZReiZImarg 2

ZReiZImarg

Transformator mit induktiver Last: ZiL

π π k11

U1 U2 2indU

Z 1indU

k1ωi1

ZReiZImarg 2

ZReiZImarg

Transformator mit kapazitiver Last: Z(iC)

1LCωk1falls ,π,0

sonst1LCωk1falls

LCω)(1

U2 U1größer als im unbelasteten Fall falls k2 2 C L2

Resonanzfrequenz:

π0 ngPhasenspru

U1 U2 2indU

Z 1indU

k1ωi1

ZReiZImarg 2

ZReiZImarg

Anwendungen:

• Transformation auf Hochspannung• Hochstromanwendung: N1 1 , N≫ 2

Aluminium-Schmelzen Edelstahl-Gewinnung• Punktschweißen• Aufheizen von Werkstücken durch Wirbelströme• Betatron-Beschleuniger

2212 IRPII groß

e- BeschleunigungeN

Primärspulen (Helmholtz-Typ)

Elektronenstrahl als Sekundärstromschleife

inhomogenes magnetisches Wechselfeld

Strahlfokussierung

z.B. Rinne mit Metallschmelze

2.2.8. Hochfrequenzleitung: Der Skineffekt

Elektrischer Leiter ohmscher Widerstand und Induktivität: Z RiL

induktive Effekte dominieren für R L (typisch ≳ O( MHz ))

Elektrischer Leiter

B jμμBrot 0

jμμBrot 0

BErot ind

Stromschwächung

Folgerung: Bei hohen Frequenzen können Ströme nur nahe der Leiter-Oberfläche fließen ( Skineffekt ).

Quantitative Untersuchung ( Theorie) Eindringtiefe des Stroms

ωσμμ

expj dρr L expj dρr L

Beispiel: KupferleiterHz dmm

106 0,07

ωσμμ

2Lρπ

Volumen

Lρπ2

Oberfläche

Übergangsbereich

ωdρπ2

( effektives ) durchströmtes

Volumen

• HF-Spannungen sind relativ ungefährlich

• Eisendrähte ( großes ) sind schlechte HF-Leiter

• Gute HF-Leitung bei großer Oberfläche ( Hohlrohre, Litzen, ... )

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