1. Statische elektrische und magnetische Felder

1.1.1. Elektrische Ladung

Beobachtung (Griechenland, Altertum): Bernstein (gr. „elektron“) zieht nach Reibung Stroh und Federn an

Moderne Erklärung: Elementarteilchen haben

• Masse m Gravitationsfeld

• (elektrische) Ladung Q Elektrisches Feld (und bei Bewegung magnetisches

Feld)

• Farbladung (R,G,B) Starkes Feld (Kernkräfte)

• schwache Hyperladung Yschwache Isospinladung I3

Schwaches Feld (Radioaktivität)

1.1. Elektrische Ladungen und elektrische Felder

Empirische Tatsachen:

a) Quantisierung:

Millikan-Versuch (1907): statisch geladene Öltröpfchen im E-Feld

„Elementarladung“

Elektron e Q(e) e

Positron e Q(e) e

Proton p Q(p) e

)Coulomb( C101,602e 19 )Coulomb( C101,602e 19

Teilchen / Antiteilchen m(e) m(e)

105pm

emaber1

pQ

eQ 4-

Ungelöstes Rätsel:

Quarks: stets gebundene Bausteine der Hadronen (Proton, ...)

eQ:b s, d,

eQ: tc, u,

3132

21,0,,1n enQ:Hadronen

Elektrisches Feld

b) Ladungserhaltung:

Abgeschlossenes System

Beispiel: Konversion von Gamma-Quanten

const.QQ i

itot const.QQ i

itot

e

eAtomkernLadung

Z·e

0γQQ tot 0eQeQQ tot

c) Richtung elektrischer Kräfte zwischen Ladungen:

Ungelöstes Rätsel:

Für Elementarteilchen gilt 40

elektrisch

nGravitatio 10F

F O

Mögliche Erklärung (Elementarteilchenphysik, Superstrings):

Der Raum hat (bei kleinen Abständen) mehr als 3 Dimensionen

Messung von |Q|: Elektrometer

Laborinstrument Schulinstrument

geladenes Teilchen

(ionisierend)

1.1.2. Das Coulomb-Gesetz

Q1 Q2

Punktladungen

r F

er

QQkF r2

21 e

r

QQkF r2

21

F

Beliebige Systeme von Punktladungen:

• Gesamtkraft durch Vektoraddition

• Für elektrische (Kraft-)Felder gilt das Superpositionsprinzip

esudyncmFrQ

Q1 Q2

Punktladungen

r F

er

QQkF r2

21 e

r

QQkF r2

21

F

Einheiten im cgs-System:

1k :Def. 1k :Def. 2scmgdynF -

1 esu 1 electrostatic unit

1 esu übt in 1 cm Abstand die Kraft 1 dyn auf 1 esu aus

Elegant: Elektrodynamik-Rechnungen mit k = 1Kompliziert: Umrechnung in mechanische Größen

Mechanische Definition der Stromstärke: 1 A = 1 Ampere = diejenige Stromstärke in zwei unendlich langen parallelen geraden Leitern in 1 m Abstand, die pro m Leiterlänge eine Kraft von 2·107 N verursacht.

Q1 Q2

Punktladungen

r F

er

QQkF r2

21 e

r

QQkF r2

21

F

Einheiten im SI:

durch einen Drahtquerschnitt fließt pro s die Ladung 1 C

CoulombC Q CoulombC Q s1A1C s1A1C

Messung: k = 8,9875·109 N m2 C-2

Definition: 0επ4

1k

0επ4

1k

Dielektrizitätskonstante314212

0 mkgsA108,854ε Umrechnung: (riesige Ladung) esu103ˆ1C 9

1.1.3. Das elektrische Feld

qer

Q

επ4

1F r2

0

qer

Q

επ4

1F r2

0

qProbeladung

Q

Quellladung

E

Coulomb-Gesetz:

Elektrisches Feld(Eigenschaft der Quellladung Q)

E

F

EqF EqF

Superpositionsprinzip: QEQ,,QE n

1iin1

QEQ,,QE

n

1iin1

Kontinuumsübergang: heißt Ladungsdichte dV

dQrρ

rρdVdQQi

i

Rr

R

x

zy

O

RdRρdQ 3

r

rE

Rr

Rr

επ4

RρRdrE 3

0

3

Rr

Rr

επ4

RρRdrE 3

0

3

ε

ρEdiv

0

ε

ρEdiv

0

Ladungen sind die Quellen ( ρ 0 ) bzw.

Senken ( ρ 0 ) des elektrischen Feldes

Gaußscher Satz(vgl. Theorie-VL)

Gaußscher Satz(vgl. Theorie-VL)

Oberfläche AUmschlossene Ladung Q

E

ε

QAdE

0A

ε

QAdE

0A

Gaußsches Gesetz

elektrischer Fluss durch A

Folgerung: Das elektrische Feld einer Ladungsverteilung ist als Superposition von Zentralfeldern wirbelfrei.

ε

ρEdiv

0

ε

ρEdiv

0

ε

ρΔ

0

Poisson-Gleichung

0Erot

0Erot

Es existiert ein elektrisches Potential RdRE r

E r

r0

RdRE r

E r

r0

beliebig; oft r0 0r

Definition: Die Potentialdifferenz zwischen zwei Punkten heißt elektrische Spannung

sdE U2

1

r

r

2112

sdE U

2

1

r

r

2112

UqEUqsdEqE 12kin

r

r

12pot

2

1

UqEUqsdEqE 12kin

r

r

12pot

2

1

1 2

U121r

2r

Bewegung einer Testladung q durch U12:

F

Einheiten:

1mV E

Volt VU

1mV E

Volt VU

sW1J1smkg1sA1V

sAmkg11V 22

312

sW1J1smkg1sA1V

sAmkg11V 22

312

Beispiel 1: Feld des elektrischen Monopols

Beispiel 2: Feld des elektrischen Dipols

• •

QQ

d

r

rQ

επ4

1E

30

r

rQ

επ4

1E

30

r

Q

επ4

1

0

r

Q

επ4

1

0

Radialfeld

•

Äquipotentialflächen

Q

Elektrisches Dipolmoment: dQp e

dQp e

r : Dipol Monopol der Ladung Q Q 0

2r

1 r

2r

1 r

r

1rE

3

r

1rE

3

Beispiel 3: Feld zweier gleicher Ladungen

Q Q

Beispiel 4: Feld eines elektrischen Quadrupols

3

4

r

1 r

r

1rE

3

4

r

1 r

r

1rE

r : Monopol der Ladung 2Q

r

rQ2

επ4

1rE

30

r

rQ2

επ4

1rE

30

r

Q2

επ4

1 r

0

r

Q2

επ4

1 r

0

E

Beispiel 5: Homogenes Feld

z

Plattenkondensator

Flächenladung: dA

dQσ

dA

dQσ

zε

σ

const.eε

σE

0

z0

zε

σ

const.eε

σE

0

z0

1.1.4. Punktladungen und Dipole im elektrischen Felda) Homogenes Feld, Ablenkung:

z

z

ezmeEqEqF

q

vx

xz

Em

tvx,const.v0v

tm

Eq

2

1z,t

m

Eqv

m

Eqv

xxx

2zz

xvm2

Eqxz 2

2x

xvm2

Eqxz 2

2x

Parabel

b) Homogenes Feld, Beschleunigung:

E

Glühkathode

e

me

U

UeE kin UeE kin

e

me

Einheit „Elektronenvolt“:

J101,6021eV

1eV1VeE1V U19

kin

-

J101,6021eV

1eV1VeE1V U19

kin

-

Radius r

c) Zentralfeld, Spitzeneffekt:

Spitze

0rr

1E

2

0rr

1E

2

Ladungsemission an Spitzen in metallischen Oberflächen

d) Dipol im homogenen Feld:

E

Dipolmoment: ep

F

F

0M,0F i

0M,0F i

E

Dipolmoment: ep

F

F

EpM,0F ei

EpM,0F ei

• Drehschwingung des Dipols um Richtung des E-Feldes

• Dämpfung Ausrichtung des Dipolmoments in E-Richtung

• Molekulare Dipole mit Drehimpuls Präzession von umL

E

e) Ausgerichteter Dipol im inhomogenen Feld:

F

F

Q

Quellladung Probedipol E

FF

zeigt auf Q, d.h. in Richtung des größten E-Feldes

Allgemein: EpgradF e

EpgradF e

Experiment: Ablenkung eines Wasserstrahls

O

H H

ep

Wasser-Molekül

ep

1.2. Elektrische Leiter im elektrischen Feld

Definition: Ein Medium heißt elektrischer Leiter, wenn Ladungsträger frei (ohne Kraftaufwand) verschiebbar sind.Beispiele: Supraleiter, Metalle (annähernd), astrophysik. Plasmen (annähernd)

Folgerung: In statischer Situation verschwindet im Innern eines elektrischen Leiters überall das elektrische Feld.Beweis: Wäre irgendwo , würde auf die dort lokalisierten freien Ladungsträger q die Kraft wirken

Ladungsverschiebung Widerspruch zur Annahme einer statischen Situation.

0E

EqF

1.2.1. Influenz

Externes Feld0Eext

Ladungs-Verschiebung

Gegenfeld im Leiter 0E tot

0E tot

Beispiele:

E

E

-------

0E

0E

---

-

-

0E

0E

Folgerungen:

a) im Inneren Ladung nur auf Leiteroberfläche0E

0ερEdiv

.-

E

||EE

q|||| EqF

Leiter

b) statische Situation Oberfläche Oberfläche Äquipotentialfläche

E

c) In zusammenhängenden Leitern gilt

.const .const

d) Faraday-Käfig:

Potential im Innenraum:

Randbedingung (Innenwand):

Lösung:

Folgerung:

0 0

geschlossene Leiterwand

Vakuum 0

const. 0Wand const. 0Wand

const. 0 const. 0

0E Innenraum

0E

Innenraum

e) Netzkäfige, Lochdimension d:Durchgriffslänge des E-Feldes ist O(d)Grund: d ist einzige Längenskala des

Problems

d

Experiment zur Influenz:

-------

Metallplatten mit isolierten Griffen

a) Ungeladene Metallplatten in Berührung ins Feld schieben

b) Metallplatten trennen und herausziehen

c) Platte 1 Elektrometer Ausschlag

d) Platte 2 Elektrometer Ausschlag

Experiment: Feldliniengerät

0E

0E

Metallring

Spiegelladung mit Spiegelfeld

Metallplatte

Experiment: Becher-Elektrometer

0E

---

--

--

--

-

--

-

--

---

--

---

---

- - - -

- - - -a) Ladung außen auflöffeln: max Löffela) Ladung außen auflöffeln: max Löffel

a)

b) Ladung innen auflöffeln: max b) Ladung innen auflöffeln: max

b)

c) Probeladung in den Innenraum halten: Ladungsmessung per Influenz (ohne Umladung)

c) Probeladung in den Innenraum halten: Ladungsmessung per Influenz (ohne Umladung)

c)

Van-de-Graaf Generator:(Kombination von Spitzeneffekt und Faradaykäfig)

Leiterkamm 0E

0E

U 10 kV

Erde U 0 V

Isolatorband

Metallkugel

---

---

-

--------------

UKugel

(im Prinzip unbegrenzt)

UKugel

(im Prinzip unbegrenzt)

1.2.2. Ladung auf metallischen Oberflächen

Influenz

lokale Flächenladung

Gesamtladung

0dA

dQσ 0

dA

dQσ

0dAσ A

0dAσ A

Generell gilt aber: const.OberflächeE

const.OberflächeE

h 0 dA

Leiter 0E

E

.00 ε

dAσdV

ε

ρdVEdiv

dAEAdEdVEdiv

A0

eε

σE

Oberflächenfeld:

Allgemeiner Fall

lokale Flächenladung

Gesamtladung QdAσ A

QdAσ A

0dA

dQσ 0

dA

dQσ

Beispiel: Die geladene Kugelschale

R

0E

σ

rerErE

2

00

2

R

Q

επ4

1

ε

σRE

σRπ4Q

Das Feld außerhalb der geladenen Kugel ist identisch mit dem der entsprechenden Punktladung im Zentrum der Kugel

Das Feld außerhalb der geladenen Kugel ist identisch mit dem der entsprechenden Punktladung im Zentrum der Kugel

Definition: heißt Kapazität bzw.

Ladungsfassungvermögen der Oberfläche.

Q

C

Q

C

Potential: Qσε

σ

rE

0R

R

( Nullpunkt: 0 bei Q 0 )

1.2.3. Kondensatoren

2 1

2 1

Q2Q1

E

U

Zwei Leiterflächen:

21sdEU

1

2

Kondensator:

2 1

2 0 1 = U

Spannungsquelle

- U

Erde

Aufladung

Q

Influenz-----

--Q

Kapazität:U

QQC

1

UCQ UCQ Einheit:

FaradFVCVsAC 11 - FaradFVCVsAC 11 -

( gebräuchlich: pF, nF, F )

Schaltzeichen:

Beispiel: Plattenkondensator

Symmetrie x,e||E x

xx

112

1

2

2

ed

Ue

xE

xd

Ux

dx

0x

Δ

homogend

UE

+Q Q

1 2 x

0 d

E

A in Praxis: A d2

U 1 2

Ud

AεQ

Aε

Q

ε

σE

d

U0

00

d

AεC 0

d

AεC 0

Beispiel: Realer (endlicher) Plattenkondensator

U

komplizierte Randeffekte

homogener Bereich

U + U

Korrektur von Randeffekten:

U Korrekturring Aufsicht

Beispiel: Kugelkondensator

rr

rrεπ4C

ia

ia0

rr

rrεπ4C

ia

ia0

+QQ

i

a

E

U i a

0E

0E

2 ri 2 ra

a0a

i0i r

1

επ4

Q

r

1

επ4

Q

ia

ia

0ai rr

rr

επ4

QU

Parallelschaltung:

321 UUUU

321 QQQQ

3

3

2

2

1

1321

U

Q

U

Q

U

Q

U

Q

U

Q

U

Q

U

QC

CCCC 321 CCCC 321

C1

C2

C3

Q1

Q2

Q3

0V U

Serienschaltung:

321 QQQQ 321 UUUU

3

3

2

2

1

1321

Q

U

Q

U

Q

U

Q

U

Q

U

Q

U

Q

U

C

1

C

1

C

1

C

1

C

1

321

C

1

C

1

C

1

C

1

321

U1

C1 C2 C3U 0VQ Q QQ Q Q

U2 U3

Verallgemeinerung: Kirchhoffsche Regeln

Maschenregel

C1C2

C3CnUn

U3

U2U1

0U n

1ii

0U n

1ii

Knotenregel

U1Un

C3

C1

...C2Cn

U3 U2

U0 Q

QUCQ n

1i

n

1iiii

QUCQ n

1i

n

1iiii

Freier Knoten: 0UC n

1iii

0UC n

1iii

1.2.4. Energie des geladenen KondensatorsE

2 1

2 0 1 = UQQ

dQdUCUdQU

sdEdQsdFdWel

C

Q

2

1UC

2

1U~

dU~

C W2

2U

0

el C

Q

2

1UC

2

1U~

dU~

C W2

2U

0

el

Plattenkondensator:dAEεW

dEUd

AεC 2

021

el0

Energiedichte: dA

Ww el

el Eε w 202

1el Eε w 2

021

el

gilt auch allgemein

Messung: Spannungswaage

δdFδW

dAε

Q

2

1

C

Q

2

1W

el

0

22

el

d

WU

d

Aε

2

1

Aε

Q

2

1 F el2

200

2

d

WU

d

Aε

2

1

Aε

Q

2

1 F el2

200

2

FFA w 1el - FFA w 1el -

const.Fconst.Q const.Fconst.Q

dFconst. U 2 dFconst. U 2

dQ

Q

U

0A

1.3. DielektrikaProblem: Statische elektrische Felder in Materie

a) polare Dielektrika: z.B. Wasserpermanente molekulare Dipole

E

Ausrichtung starkes GegenfeldAusrichtung starkes Gegenfeld

E

b) nicht-polare Dielektrika: induzierte molekulare Dipole: „Polarisation”

⊕ Atomkerne⊝ Elektronenwolke der Atomhüllen

Polarisation Gegenfeld, oft EPolarisation Gegenfeld, oft E

Molekülpolarisation: molekulares Dipolmoment

Polarisationsdichte:

p

ΔV

ipΔV

1P

(vgl. Theorie-VL)

ΔV

ΔQρPdiv pol

pol

ΔV

ΔQρPdiv pol

pol

Pdivε

1

ε

ρ

ε

ρρ

ε

ρEdiv

000

pol

0

tot

Def.: Dielektrische Verschiebung

PEεD 0

PEεD 0

(Materialgleichung)

Folgerung:

ρDdiv

ρDdiv

(Feldgleichung)

Überschussladung: Q

Polarisationsladung: Qpol

V

E

Beispiel: Abstoßung von Gasblasen in Öl

U

Gasblase

Abstoßung

Folgerung: Stetigkeitsbedingungen an Grenzschichten

0Ddiv

0Ddiv

(nur für ungeladene Schichten)

0Erot

0Erot

(nur für Elektrostatik)

Medium 1 Medium 2

V

A 1D

2D

Medium 1 Medium 2

A

L 1||E 2

||E

ΔADD

AdDdVDdiv012

stetigist D stetigist D

ΔLEE

sdEAdErot0

1||

2||

stetigist E ||

stetigist E ||

(gilt auch in der Elektrodynamik)

Lineare Näherung: Eαp Eαp cmV10E typisch bis const.α 5

(molekulare) Polarisierbarkeit

EεχEαdV

dNP 0e

dielektrische Suszeptibiliät

0

00e0 εε

ρEdivEεεEεχ1PEεD

relative Dielektrizitätskonstante: er χ1εε

isotropes Medium Zahl (Skalar)anisotropes Medium Tensor (2. Stufe)

Faustregel: Für homogene isotrope Medien ersetze in allenFormeln für das Vakuum einfach 0 durch 0.

Beispiel: Kondensator mit Dielektrikum

ε d

AεεCmitUCQ 0 ε

d

AεεCmitUCQ 0

Dielektrikum(Isolator, große Polarisierbarkeit)

E

z

d

A

εQfest Uε

1Ufest Q

Feldenergie:

DEV2

1dE

d

Aεε

2

1CU

2

1W 2

02

DE w 21

DE w 2

1

(gilt auch allgemein)

Kraft auf ein Dielektrikum:

Steigen der Flüssigkeitssäule

2

21

E UΔCΔW 2

el UΔCUΔQΔW

hghVρΔW 21

flmech

mechEel ΔWΔWΔW

202

12

2

0212

21

fl21 EhV1εε

d

UhV1εεUΔChVhgρ

E

gρ

1εεh 2

fl

0

Egρ

1εεh 2

fl

0

h

fl

dD

const.H

U

V(h)

E

dFeld:

Batterie:

mech. Arbeit:

1.4. Elektrischer Strom1.4.1. Stromstärke

Elektrischer Strom Ladungstransport

Stromstärke (bzgl. dA):dt

dQdI

Stromdichte: IedA

dIj

dA BewegungLadung

dQ

Bewegung während dt

Ie

A

Ad

j

Stromstärke bzgl. A: A

AdjI

A

AdjI

21 mAjsCAI

Kontinuitätsgleichung: 0t

ρjdiv

0t

ρjdiv

Leitungsmechanismen:

• Elektronische Leiter: Metalle, HalbleiterLadungsträger hauptsächlich Elektronen

• Ionen-Leiter: Elektrolyte, Isolatoren mit FehlstellenLadungsträger hauptsächlich positive und negative Ionen

• Gemischte Leiter: PlasmenLadungsträger: Elektronen und Ionenrümpfe; z.B. in

Gasentladungen

Mikroskopische Theorie:

vnevnej

n: Anzahldichte positiver (negativer) Elementarladungen

zugehörige Transportgeschwindigkeiten:v

1.4.2. Ohmsches Gesetz

Betrachte elektronische Leiter (Metalle)

mittlere freie Weglänge ( zwischen zwei Stößen ):

mittlere Zeit zwischen zwei Stößen: v

Λτ S

v

Λτ S

Stöße an Atomen des Festkörpers ungeordnete Bewegung

0E

Bahn eines Leitungselektron

s

0E a)

typische instantane Geschwindigkeit (T-abhängig):

sm76...1010v

0j , 0vaber

Beispiel: Kupferdraht bei Zimmertemperatur

s102,7τm104Λ101,5v 14S

8sm6

0E b)

E

Bahn eines Leitungselektrons

Stöße völlige Randomisierung der Bewegungsrichtung

EqF

Def.: Driftgeschwindigkeit LadungstransportvΔvD

Em

τqnτ

m

Fqnvqnj S

2

SD

m

τqnσ

Eσj

S2

el

el

Ohmsches Gesetz

elektrische Leitfähigkeit

qn

σμ

Eμv

el

D

Beweglichigkeitel , stark T-abhängig,

oft unabhängig von E

Sτm

FvΔ

sm

sm6 0,5vΔ,101,5v

Bsp.: Cu-Draht, E 100 V/m

Spezialfall: homogener Leiter, konstanter Querschnitt

A

E

Lelσ

jE

const.j

über Querschnitt

homogen

AjI

LEU

Eσj el

SchaltzeichenR

L

AR

σ

1ρ

Aσ

LR

IRU

elS

el

Ohmsches Gesetz

elektrischer Widerstand

spezifischer Widerstand(Materialparameter)

mΩρ

OhmΩAVR

S

1

Allgemeine Def.: I

UR

Beispiel: quasistatisches Auf-/Entladen eines Kondensators

Folge statischer Situationen

U0

R

Cschließt bei t 0 IQ

URUC

I

UC

00U,00Q C 00U,00Q C

tQC

1tIRUUU CR0 Bemerkung:

R

U0I 0

IC

1IRQ

C

1IR0 I

CR

1I I

CR

1I

Lösung: CRτ , τ

texp

R

UtI 0

CRτ ,

τ

texp

R

UtI 0

t

I

U0/R

e

1

τ

texp1Ut~dt~I

C

1C

tQt U

0

t

0

C

τ

texp1Ut~dt~I

C

1C

tQt U

0

t

0

C

t

UC

U0

Kondensatorspannung:

U0

R

Cschließt bei t 0 IQ

URUC

I

UC

00U,00Q C 00U,00Q C

CRτ , τ

texp

R

UtI 0

CRτ ,

τ

texp

R

UtI 0

t

I

U0/R

e

1

1.4.3. Stromleistung und Joulsche Wärme

QR

1 2

U 1 2

Arbeit des E-Feldes:

UQQW 21

Elektrische Leistung:

IUdt

dQU

dt

dWP

U = const.

Einheiten:

1Js1W , sWW

WattWAVP

Ohmsches Gesetz

R

UIRIUP

22

R

UIRIUP

22

R1 P const. U, R P const.I

1.4.4. Kirchhoffsche RegelnAnalyse von Netzwerken von Leitern, (allgemeinen) Widerständen, Spannungs- / Stromquellen, …

a) Knotenregel: Knoten punktförmige Leiterverbindung

Ad

V

I1 I2

I3

I4

I5 AdjI

auslaufend: I 0

einlaufend: I 0

auslaufend: I 0

einlaufend: I 0

ii

V V VOb

IAdjdVjdivdVρdt

d

dt

dQ0

0IKnoteni

i

b) Maschenregel: Masche Schleife in der Schaltung

0U0sdEMaschei

i

Masche

R1

R2

C

L

Induktivität (z.B. Spule)

I1 I1 I1 I2

Q2

22 QI

I3

I3

I3I3I4I4

I5

I5

111 IRU 0U2 CQU 23

0U4

325 IRU 46 ILU

0U7

Anwendung (1): Reihenschaltung ohmscher Widerstände

i

itot RR

U0

R1 R2 Rn

I I

I I I I I

IRU 11 IRU 22 IRU nn

0U

Maschenregel:IRU0IRIRIRU

n

1ii0n210

totR

R1 R2 Rn

Anwendung (2): Parallelschaltung ohmscher Widerstände

i itot R

1

R

1

Knotenregel:

n

1i i

0

tot

0n21 R

U

R

U0IIII

U0

0

U0 U0 U0

I

I1 I2 In

Anwendung (3): Spannungsteiler

Ud

xR

d

xIx U 0

U

d

xR

d

xIx U 0

R

U0

0

I

d

I

x

0

U(x)

0I~

I

I

PotentiometerU(x)

xd

U0

Anwendung (4): Wheatstonesche Brückenschaltung

Rx

xd R 1x

R

x

xd R 1x

R

U0

0

dx

U1

U2

R1

Rx

AI

Nullabgleich: 21 UU0I

xd

x

R

R

x

1

1.4.5. Messgeräte „Amperemeter”a) Wärmewirkung: Hitzdraht-Amperemeter

I l

Erhitzung l

lδ

Il l

b) Magnetische Wirkung: Galvanometer

N SPermanentmagnet

Zeiger

B

I I

Drehbare Spule

Drehspulgerät:

(analog: Dreheisengerät)

c) Elektrolytische Wirkung:

I Menge des pro Zeiteinheit elektrolytisch zersetzten Stoffes (s.u.)

d) Spannungsmessung: Voltmeter

VR

I0I

~

elektrostatisches Voltmeter ( Innenwiderstand )

IRU

Innenwiderstand des Amperemeters:

A

real

A

ideal

Ri

Innenwiderstand

verfälscht den Schaltkreis!

verfälscht den Schaltkreis!

Ausweg: Indirekte Strommessung durch Voltmeter mit Messverstärker

V

Re 0

IRU e I

externer Messwiderstand

Messverstärker ( 1016 A messbar )

Indirekte Spannungsmessung mit Amperemetern:

A

R

Rp

I

IpIp

U

R R p R R p

IR U pp0 IR U pp0

Spannung ohne Messgerät: IRU0 gesuchtgesucht

Spannung mit Messgerät: pp

0p

IRU

UIRIIRU

gemessengemessen

1.4.6. Elektrolytische Leitung von StromElektrolyt: Flüssigkeit mit frei beweglichen Ionen (geladene Moleküle)

z.B. Salzlösungen, Säuren, Laugen

Bildung eines Elektrolyts: O

H H

ep

Wasser-Molekül

Molekül mit Ionenbindung

Dissoziation ( Aufspaltung in Wasser da energetisch günstiger )

Anion Kation

U0

Elektrolyt

Kathode (Minuspol)

Anode

(Pluspol)

Neutralisierung der Ionen an Elektroden

• Ablagerungen auf Elektroden

• Aufsteigen von Gasbläschen an Elektroden

• Auflösen von Elektroden

Spezialfall: Dissoziation von Wasser

OHHO H2 OHHO H2

(geringe) Leitfähigkeit von Wasser

Erhöhung der Leitfähigkeit durch Zugabe von Salz etc.

U0

Elektrolyt

Kathode (Minuspol)

Anode

(Pluspol)

Knallgaserzeugung mit Kochsalzlösung:

Dissoziation von Kochsalz: Na Cl Na+ Cl

Kathode: 2 Na 2 H2O 2 e 2 Na OH H2

Anode: 4 Cl 2 H2O 4 H Cl O2 4 e

Dissoziation von Kochsalz: Na Cl Na+ Cl

Kathode: 2 Na 2 H2O 2 e 2 Na OH H2

Anode: 4 Cl 2 H2O 4 H Cl O2 4 e

2 H2-Moleküle 1 O2-Molekül Knallgas

Knallgaserzeugung mit verdünnter Schwefelsäure:

Dissoziation Schwefelsäure: H2 SO4 2 H+ SO42

Kathode: 2 H 2 e H2

Anode: SO42 H2O H2 SO4 ½ O2 2 e

Dissoziation Schwefelsäure: H2 SO4 2 H+ SO42

Kathode: 2 H 2 e H2

Anode: SO42 H2O H2 SO4 ½ O2 2 e

2 H2-Moleküle pro O2-Molekül Knallgas

Kupferbeschichtung ( Rostschutz ):

Dissoziation Kupfersulfat: Cu SO4 Cu2+ SO42

Kathode (z.B. Nickel): Cu2+ 2 e Cu (galvanische Beschichtung)

Anode: SO42 SO4 2 e

a) Kohlestab 2 H2O SO4 H2 SO4 O2

b) Kupfer (Opferelektrode) Cu SO4 Cu SO4 (Auflösung)

Dissoziation Kupfersulfat: Cu SO4 Cu2+ SO42

Kathode (z.B. Nickel): Cu2+ 2 e Cu (galvanische Beschichtung)

Anode: SO42 SO4 2 e

a) Kohlestab 2 H2O SO4 H2 SO4 O2

b) Kupfer (Opferelektrode) Cu SO4 Cu SO4 (Auflösung)

Bleibaum:

Dissoziation Bleiacetat: Pb ( CH3COO )23H2O

Pb2 CH3COO

Bleikathode: Pb – Ablagerung (Bleibaum)

Bleianode (Opferanode): Pb 2 CH3COO Pb ( CH3COO )2 2 e

Dissoziation Bleiacetat: Pb ( CH3COO )23H2O

Pb2 CH3COO

Bleikathode: Pb – Ablagerung (Bleibaum)

Bleianode (Opferanode): Pb 2 CH3COO Pb ( CH3COO )2 2 e

Leitfähigkeit und Ionenkonzentration:el

n

A B

A: Ladungsträgerdichte steigt

B: Beweglichkeit nimmt ab (Anziehung von Kationen und Anionen)

Def.: Faraday-Konstante C96485,309eN F A C96485,309eN F A

Folgerung: 1 Mol eines Ions mit Ladg. Z·e transportiert die Ladg. Z·F

Messungen:a) Elektrochemisches Äquivalent:

b)Ladungszahl Z und Faraday-Konstante:

c) Elementarladung:

ΔQΔmm erttransportienabgeschiedQ [mol] ΔQΔmm erttransportienabgeschiedQ [mol]

mF Z 1Q- mF Z 1Q-

mNZNFe 1QAA

- mNZNFe 1QAA

-

1.4.7. Strom in GasenGasionisation gemischte e, Ion-Leitung ( Plasma )

Mechanismen:• thermische Ionisation• ionisierende Strahlung ( e, e, , , … )• Stoßionisation

Gas

kosmisches Myon ( Primärionisation)

Ladungsdrift:

Gas

Ion

Kennlinie der Gasentladung: Allmähliche Stromerhöhung

U

I

B

A

US

Sättigung

A: Linearer Bereich Ohmsches Gesetz•Gleichgewicht Erzeugung / Rekomb.•sehr kleine Abflussrate von e, Ionen•n const., vD E

B: Rekombinationsbereich•U Abflussrate Rekomb.•n Ladungsträgermangel

I

Anode KathodePrimär-

Ionisation

RU

U

I

Kennlinie der Gasentladung: Allmähliche Stromerhöhung

UC

kritisch

C

C: Sättigungsbereich

•fast alle Ladungsträger fließen ab

•keine RekombinationI const.

D

UZ

Zünd

CD: Stoßionisation setzt ein, I

D: Zündpunkt für selbständige Entladung

Ekin (zwischen Stößen) EIonisation

• jede Ladung sorgt für eigenen Ersatz

•stark Druckabhängig

B

A

US

Sättigung

I

Anode KathodePrimär-

Ionisation

RU

E

E: Glimmentladung ( bei sehr kleinem Druck )

•Strom I , Widerstand R

F

F: Raumladungseffekte werden wichtig

•Raumladung Abschirmung R

G: Bogenentladung ( bei großem Druck )

•großer Strom glühende Elektroden

•Glühemission von Elektronen

G

Kennlinie der Gasentladung: Allmähliche Stromerhöhung

U

I

UC

kritisch

CD

UZ

Zünd

B

A

US

Sättigung

I

Anode KathodePrimär-

Ionisation

RU

Struktur von Glimmentladungen: (stark druckabhängig)

K AIonen

Kathodenfall

Hittorfscher Dunkelraum

Stoßionisation „negatives

Glimmlicht“

Rekombination, Raumladung

Faradayscher Dunkelraum

„positive Säule“ (manchmal strukturiert)

Anodenfall

anodisches Glimmlicht

1.4.8. Stromquellen

Stromquelle

UV

Ra

Ri

U0 EMKDef.: RR

REMK U

ai

a

RR

REMK U

ai

a

EMK ElektroMotorische Kraft

Messung von U(Ra) Messung von Ri und EMK

Elektrolyt

Metall

Diffusions-

Gleichgewicht

Beispiele für Stromquellen:

a) Elektrodynamische Generatoren: Strom

b) Solarzellen ( Halbleiterphysik )

c) Galvanische Elemente: Lösung von Metall in Elektrolyt

B

abschirmendes E-Feld

PotentialdifferenzElektrolyt

MetallIon

e e

Galvanisches Element (Prinzip):

Metall1 Metall2Elektrolyt1 Elektrolyt2

poröse Wand

1 2

0 U

Δ U 21 Δ U 21

Edle Metalle: U 0 (Cu, Ag, Au,…) geben schwer Elektronen ab

Unedle Metalle: U 0 (Fe,…) geben leicht e ab oxydationsfreudig

Referenzelektrode: H2-umspülte Platinelektrode in 1-normaler Säure

1 Mol H / l

Spannungsreihe: Galvanische Spannung gegenüber Referenzelektrode(Metalle in 1-normalem Elektrolyt mit gleichem Metallion)

1 Mol Metallionen / l

Daniell-Element:

Cu ZnCu SO4 Zn SO4

poröse Wand

1 2

0 U

Bemerkung: Cu SO4 als gemeinsames Elektrolyt möglich, aber Zn- Elektrode würde sich mit Kupfer überziehen!

H2SO4 / H2OH2SO4 / H2O

Cu Zn

Cu

Zn

2e2e

EE( Cu-Abscheidung ) E( Zn-Auflösung )

SO42

d) Akkumulatoren:Wiederaufladbare Stromquellen

Beispiel: Bleiakku

H2SO4 / H2O

Pb SO4 Schicht

Pb SO4 Schicht

Pb Pb

Aufladen:Anode: Pb SO4 2 H2O Pb O2 H2SO4 2 H

2 e

Kathode: Pb SO4 2 H 2 e Pb H2SO4

Anode Pb O2 ; Kathode Pb

Aufladen:Anode: Pb SO4 2 H2O Pb O2 H2SO4 2 H

2 e

Kathode: Pb SO4 2 H 2 e Pb H2SO4

Anode Pb O2 ; Kathode Pb

Entladen:Anode: Pb O2 SO4

2 4 H 2 e Pb SO4 2 H2O

Kathode: Pb SO42 Pb SO4 2 e

Anode Pb SO4 ; Kathode Pb SO4

Entladen:Anode: Pb O2 SO4

2 4 H 2 e Pb SO4 2 H2O

Kathode: Pb SO42 Pb SO4 2 e

Anode Pb SO4 ; Kathode Pb SO4

Analog: Trockenbatterie (Leclanché-Element)

e) Thermoelektrizität

Energie freier Elektornen (ruhend)

E

Metall-Oberfläche

Vakuum

Energieniveaus der Leitungselektronen

WA

Austrittsarbeit

Def.: Kontaktpotential U12 WA zwischen zwei sich berührenden Metallen 1, 2

stark Temperatur-abhängig

Thermoelement: Metall 1 Metall 2 Metall 1

T1 T2V

Uth

Thermospannung

Uth a·T a·( T2T1 )

Peltier-Effekt:

Metall 1 Metall 2 Metall 1

Uext

T1 T2

I I

1.5. Magnetismus1.5.1. PermanentmagneteAltertum: Fund magnetischer Steine bei Magnesia (Kleinasien)

Heute: Magnetfelder elektrische Strömemagnetische Materialien mikroskopische Kreisströme und Spins

Empirische Befunde:

a) Es gibt zwei magnetische Pole: N ( Nord ) S ( Süd )

Anziehung Abstoßungb)Es wurden bisher keine magnetischen Monopole beobachtet

Sägen

Magnetfeldlinien sind stets geschlossen, d.h. sie enden nie

Empirisches magnetisches Kraftgesetz:sehr lange Magnetstäbe quasi isolierte Magnetpole

...... r

p1 p2

F

p1 , p2: „Polstärken“p1 , p2: „Polstärken“

Analogie zum Coulomb-Gesetz: er

ppfF r2

21 e

r

ppfF r2

21

Definition: mA

sV10π4μ ,

μπ4

1f 7

00

mA

sV10π4μ ,

μπ4

1f 7

00

Motivation später:

c

1με

200

Folge: Quantifizierung der Polstärke

analog zur elektrischen Ladung

sV p sV p

sA Q sA Q

Feldkonzept (im Vakuum): p2 0 ist Probepol im Magnetfeld von p1

Definition: Magnetische Erregung

p

rFlimrH

20p2

p

rFlimrH

20p2

mAH 1 mAH 1

Definition: Magnetische Feldstärke rHμrB 0

rHμrB 0

msVB 2 msVB 2

Einheiten der magnetischen Feldstärke:

ms1V1Tesla1T 2 ms1V1Tesla1T 2SI: cgs-System: T101Gauss1G 4 T101Gauss1G 4

Beispiele: • Erdmagnetfeld (Oberfläche) 20 T

• NMR-Tomograph: 1 T

• Supraleitende Magnete (Beschleuniger): 10 T

• Neutronensterne (Oberfläche): 108 T

1.5.2. Magnetfelder stationärer Ströme I

B

Beobachtung:

• Stationäre Ströme erzeugen Wirbelfelder

• Feldrichtung wechselt mit Stromrichtung

• B r 1 , B I Iconst.r2πrB Iconst.r2πrB

j

Fläche ARundweg C

Quantitativ beschreibbar durch:

C

0 IμsdBAmperesches Gesetz

mit A

AdjI

A

AdjI

Stokesscher Satz jμBrot 0

jμBrot 0

nicht

konservativ!

Das Magnetfeld hat kein skalares Potential!

Beobachtung: es gibt keine magnetischen Monopole

das Magnetfeld ist quellenfrei

magnetische Feldlinien sind geschlossen

0Bdiv

0Bdiv

Theorie-VL

• wegen existiert ein Vektorpotential mit

• ist nicht eindeutig Eichbedingung

0Bdiv

A

ArotB

ArotB

A

0Adiv

0Adiv

Zusammenfassung:0Bdiv

jμBrot 0

0Adiv

BArot

Beispiele und experimentelle Tests:

a) Stromdurchflossener Leiter

r0I0

Br

Symmetrie erBrB

02

0

0000 rr , rr

rr , 1 IμIμ

rBr2πsdrB

rr ,

r

r

rr , 1

r2π

Iμr B

0

2

0

0

00

rr ,

r

r

rr , 1

r2π

Iμr B

0

2

0

0

00

B

rr0

r r1

b) Zylinderspule:

I0I0

B

real: endlich lang, endliche Wicklungsdichte

0B

Streufeld:

ideal: unendlich lang und dicht gewickelt

…const.B

0B

Streufelder entweichen im Unendlichen

…

L, N Windungen

außen

innen

I0

const.BB 0

0B

000

0

INμIμ

LBsdrB

Inμ B 000 Inμ B 000 L

Nn

L

Nn mit

Wicklungsdichte

Praktische Realisierung des (fast) homogenen B-Feldes:

z

R

R

Helmholtz-Spule

z

B(z) (auf Achse)

Optimale Homogenität im Spulenzentrum

c) Ringspule:

Symmetrie erBrB

I0

B

r

Windungszahl N

000 INμIμ

rBr2πsdrB

r

I

2π

Nμr B 00

r

I

2π

Nμr B 00

s

r rB

I

d) Beliebige Leiterformen:

Biot-Savart-Gesetz

rArotrB

sr

sd

4π

IμrA

Leiter

0

e) Stromschleife: Paradebeispiel für Biot-Savart-Gesetz

z

I

R

z2 eRπa

B Rr

mitaIpm

Magnetisches Dipolmoment

Bemerkung: Resultat gilt für beliebige Form der Fläche.

Das magnetische Dipolmoment ist eine charakteristische Größe!

3m

θr3m0

r

p

eθsineθcos2rπ4

pμrB

3m

θr3m0

r

p

eθsineθcos2rπ4

pμrB

Dipolfeld

1.5.3. Die Lorentz-Kraft

qv

E

B

BvEqF

BvEqF

Coulomb-Kraft

Lorentz-Kraft

Beweis:

• Empirische experimentelle Beobachtung

• Invarianz der Elektrodynamik unter Lorentztransformationen ( spezielle Relativitätstheorie )

Lorentz-

Transf.

System ohne Magnetfeld

0B ,E ,v

EqF

Laborsystem

0B ,E ,v

BvEqF

Experimentelle Tests:

a) Kraft auf stromdurchflossenen Leiter:– vD Driftgeschwindigkeit der Ladungen q

– n Ladungen q pro Volumen– a Leiterquerschnitt

DDD vqnjqvna

IjqavnI

q pro s durch a

dL

IB

Fd

BLdIFddVBjBvqdLanFd D

Ladungen in dLLdIdVj

Spezialfall: Zwei parallele Drähte

I1

I2

1

2r

e 1IB

Ld

Fd

I1 durch Draht 1 eIrπ2

μB 1

0

Kraft auf Draht 2:

eLdr

II

π2

μ

BLdIFd

210

2

eLd Anziehung, falls I1 und I2 gleichsinnig

Abstoßung, falls I1 und I2 gegensinnig

r

I

π2

μ

r

II

π2

μ

L

F

20

I2I1I210

r

I

π2

μ

r

II

π2

μ

L

F

20

I2I1I210

mA

sV102

π2

μ 70 Definition der Stromstärke 1 A

b) Fadenstrahlrohr:

m

Ue2vUemv2

21 e

Glas-Kolbendünnes Gas

(Argon)

Glühkathode

Anode

R

B

UBe

vmRBve

R

vm 2

e

m

B

U2R

Messung von em

Alternative Methoden zur e m-Messung:

Kathodenstrahlröhre mit überlagerten E- und B-Feldern ( Grundlagenpraktikum )

c) Barlowsches Rad:

Achse

Hg

Rad

Achslager

N S

e

B

Rad

Achse

Hg

Lorentzkraft auf Elektronen überträgt sich durch Reibung der Elektronen im Metall auf das Rad

d) Hall-Effekt:

e

db

B

Dv

|j|dbI

V

Hall-Spannung

UH

venvenj DD

venvenj DD

FehlstellenleitungLöcher in p-dotierten Halbleitern

ElektronenleitungMetalle oder Halbleiter

Quantitativ für einen Ladungsträgertyp:

Magnetische Kraft pro Volumen: Bvqn D

Elektrische Kraft pro Volumen: (durch Ladungsträgertrennung) HEqn

Hall-Feldstärke

Bqn

jBvE DH

qn

bBj

qn

bBjEbsdEU HHH

qn

1 RKonstante-llmit Ha

d

BIRU HHH

db

Ij

HE

e

db

B

Dv

|j|dbI

V

Hall-Spannung

UH

qn

1 RKonstante-llmit Ha

d

BIRU HHH

Metalle, n-Halbleiter: q e UH 0

p-Halbleiter: q e UH 0

n(Halbleiter) << n(Metalle) Halbleiter-Hallsonden sehr sensitiv (B-Feld-Messung bis 106 T)B groß, T klein, b klein quantisierte RH (Quanten-Hall-Effekt) (Nobelpreis v. Klitzing, 1985)

HE

e

db

B

Dv

|j|dbI

V

Hall-Spannung

UH

1.5.4. Magnetisierunga) Grundlagen

Problem: Statische magnetische Felder in Materie

atomarer magnetischer Dipol:

ωRqeRπνqaIp 221

ω2

m

π2ω

ωRmvRmL 2

q, m

R

ω2 eRπa

ω

L

Atomkern

e

Lm2

qpm

Bohrsches Atommodell: q e ; m me ; L l ħ , l 0,1,2,…

Be

m μm2

ep ll

mA109,2742

m2

eμ 24

eB

Bohrsches Magneton

Def.: Magnetische Erregung MBH 0μ

1

MBH 0μ

1

(Materialgleichung)

Folgerung: jHrot

jHrot

(Feldgleichung 1)

ΔV

impΔV

1M

Magnetisierung: Ausrichtung atomarer mp

i. von außen induzierte Strömeii.permanent vorhanden: l 0,

Spins ungepaarter Elektronen

(vgl. Theorie-VL) Mrotj m

Mrotj m

Magnetisierungsstromdichte:

Freie Stromdichte: MrotμjμjjμBrot 00m0

j

Quellenfreiheit: 0Bdiv

0Bdiv

(Feldgleichung 2)

Folgerung: Stetigkeitsbedingungen an Grenzschichten

0Bdiv

0Bdiv

(gilt immer)

0Hrot

0Hrot

(nur für Magnetostatik und

nur für stromfreie Schichten)

Medium 1 Medium 2

V

A 1B

2B

Medium 1 Medium 2

A

L

1||H 2

||H

ΔABB

AdBdVBdiv012

stetigist B stetigist B

ΔLHH

sdHAdHrot0

1||

2||

stetigist H ||

stetigist H ||

(gilt auch in der Elektrodynamik)

Lineare Näherung: HχM m

HχM m

const.χ m

magnetische Suszeptibiliät

jμμBrotHμμHχ1μMHμB 00m00

relative Permeabilität: mr χ1μμ

isotropes Medium Zahl (Skalar)anisotropes Medium Tensor (2. Stufe)

Faustregel: Für homogene isotrope Medien ersetze in allenFormeln für das Vakuum einfach 0 durch 0.

Beispiel: Spule mit Eisenkern

Inμμ B 000 Inμμ B 000

Streufelder entweichen im Unendlichen

Wicklungsdichte n

…const.B

0B

…

Eisenkern,

Stoffklassen: 1.Diamagnete: m 02.Paramagnete: m 03.Ferromagnete: m 0

1χ m

1χ m

Kraftwirkung:

N

B

diamagnetisch

para-/ferromagnetisch

M

M

0χ falls0

0χ falls0

r

BB

μ

χV2

r

EF

m

m

0

mpotr 0

Messung von m:

•Faraday-Methode:

•Gouy-Methode:

SB

N

Probe Skala

r

const.r

B

2

0

mmpot B

μ

χVBMVBpE

1μ

SBN

homogen

m

z

z0

V a L BMzzaE 0pot

eingetauchtes Volumen

2

0

mpotz Ba

μ

χBMa

z

EF

1μ

b) Diamagnetismus• abgeschlossene Elektronenschalen l 0, kein Spin

keine permanenten atomaren magnetischen Dipolmomente• Induzierte Dipole wirken abschwächend ( Lenzsche Regel )

Bemerkung: Supraleiter sind perfekte Diamagneten m 1 B 0 ( Meißner-Ochsenfeld-Effekt )

Magn. Moment: ΔvR2

qΔpvR

2

qωR

2

qp m

2m

q, me

R

ωRqp 221

m

ω

Atomkern

e

Bextern

Abschätzung der Größenordnung:

BvqΔvR

vm2ΔF

R

vmF e

2e

BZentripetalkraft:

R const.

R 1Å B 1T q e

223B

228

e

22

m mA10μmA10Bm4

RqΔp

•l 0: Diamagnetismus, sehr kleiner Effekt

•l 0: patomar >> pm Para/Ferromagnetismus

•l 0: Diamagnetismus, sehr kleiner Effekt

•l 0: patomar >> pm Para/Ferromagnetismus

c) ParamagnetismusPermanenete atomare magn. Momente : statistisch orientiertmp

B 0: ΔV

m 0pΔV

1M

B 0: cosθBpBpE mmpot

B

(extern)

mp

Boltzmann-Statistik

θcosTk

Bp1θcos

Tk

Bpexp

Tk

Eexpθcosρ

θcosd

Nd

N

1 mmpot

TkBp m

Tk3

Bp

θcosdθcosρ

θcosdθcosθcosρ

θcos m1

1

1

1

BTk3

pNθcospNM

2m

m

der pm pro V

T

1

Tk3

pNμ

B

Mμχ:Gesetz-Curie

2m

00m T

1

Tk3

pNμ

B

Mμχ:Gesetz-Curie

2m

00m

Sm

0

2m

0m MTk3

pμ

Tk3

pNμχ:Gesetz-Curie S

m0

2m

0m MTk3

pμ

Tk3

pNμχ:Gesetz-Curie

B

M

MSSättigung

MS N pm

Sm M

Tk3

Bp

Beispiel: pm 1 B B 1 T T 20 °C M 810 MS

winzig!

d) Ferromagnetismus

• Atome / Moleküle mit ungepaarten äußeren Elektronen Spin • Quantenmechanische Austauschwechselwirkung der Elektronen

permanente atomare magn. Momente : spontan kollektiv orientiert• Bsp.: Eisen ( Fe ), Cobalt ( Co ), Nickel ( Ni ): 3 ungepaarte f-Elektronen

mp

mp

Kein äußeres Feld Zustände

minimaler Energie haben Mtot 0

Kein äußeres Feld Zustände

minimaler Energie haben Mtot 0

Magn. Domänen ( Weißsche Bezirke ) spontan magnetisiert

Kritische Temperatur ( Curie-Temperatur TC )

Ferromagnetismus falls T TC

Phasenübergang

Paramagnetismus falls T TC

Äußeres B-Feld Wandern der Domänenwände, Ausweitung der Domänen

hörbares Barkhausen Rauschen ( Umklappen der pm )

Energieverbrauch (gewonnen aus potentieller Energie der pm im B-Feld)

Magnetisierungsweg: Folge benachbarter lokaler Energieminima abhängig von Vorgeschichte Hysterese-Kurve

Neukurve

B

M

dBM Fläche

Koerzitivfeld

Remanenz

dBM

dBHdHHμμdw

mχ1

0mag

221

021

mag HμμHBw Elektrodynamik

dBMdwmχ1

mag Wärme

Hysterese-Fläche

Beispiel: Erwärmung von Trafo-Blechen

2. Elektrodynamik – Quasistatik2.1. Erinnerung: Grundgleichungen

Maxwellsche Feldgleichungen:

t

BErot

ε

ρEdiv

0

Elektrostatik, falls 0

t

B

Faradaysches Induktionsgesetz

Magnetostatik, falls 0t

E

t

E

c

1jμBrot

0Bdiv

20

Verschiebungsstrom ( Maxwellsche Ergänzung )

• Kontinuitätsgleichung:

• elektromagnetische Wellen

• Lorentz-Kovarianz für

0t

ρjdiv

200 cμε

Kraftgleichung (Lorentz-Kraft):

BvEqF

2.2. Quasistatische Phänomene

t

E

c

1jμBrot

20

Quasistationäre Näherung:

Interpretation: c , d.h. in der Zeit, die Licht benötigt, um die Strom- und Ladungskonfiguration ( den elektrischen Schaltkreis ) zu durchqueren, ändern sich Ströme und Ladungsdichten nicht wesentlich.

Frequenzen nicht zu groß ( Kupferleitung: ) Schaltkreiselemente bewegen sich in externen E/B-Feldern nichtrelativistisch,

119 s10ω cv

Gesetze der Magnetostatik gelten

unverändert

Die Gesetze der Statik gelten modifiziert weiter:

Kirchhoffsche Knotenregel:

Kirchhoffsche Maschenregel:

Die Summe der Spannungen in einer Masche verschwindet, falls der magnetische Fluss durch die Masche konstant ist.

0Brotdivμ

1jdiv

0

Knotenk

k 0I

.1.2.2

t

BErot

Maschek

MkU

2.2.1. Faradaysches Induktionsgesetz t,rB

• fiktiver geschlossener Weg• reale Leiterschleife

E

M

feste

Schleife

Stokes

ind

ΦadBtd

dad

t

B

adErotsdEU

Theorie gilt auch für bewegliche Schleifen variabler Form

Uind: induzierte Spannung gemessen in der Schleife

M: magnetischer Fluss gemessen im Labor Mind ΦU Induktionsgesetz

Bemerkung: Uind ist wegabhängig keine Potentialdifferenz.

Daher oft Bezeichnung: Uind EMK ( Elektro-Motorische Kraft )

Test 1: B-Feld: variabel Leiterschleife: fest adB Uind adB Uind

NS

• Uind Zahl der Spulenwicklungen

• Vorzeichen von Uind wechselt mit Bewegungsrichtung des Magneten

• Vorzeichen von Uind wechselt mit Magnetorientierung

• Effekt durch Eisenkern verstärkbar

• Magnet ersetzbar durch Spule mit variierendem Stromfluss

taBUtaBtaBΦ indM

Test 2: B-Feld: konstant Leiterschleife: variable Form

Spezialfall: B homogen , Schleife eben, Orientierung fest

ta

B

B

Fläche a(t)

Beispiel:

Uind

B

v

x(t)

d

dvBUBB

dvdtxtadtxta

ind

Test 3: B-Feld: konstant Leiterschleife: variable Orientierung

tsintωaBUtcosaBtaBΦ indM

Spezialfall: B homogen , Schleife eben

tωsinωaBUtωt,const.ω ind

ta

B

Fläche a const

t

ttω ttω

Beispiel:

Uind

B

0ta

Wechselspannungsgenerator ( Dynamo )

Lenzsche Regel: Die Induktion wirkt ihrer Ursache stets entgegen ( Gegenspannungen, Gegenkräfte etc. )

Mind ΦU Induktionsgesetz

Herleitung:

• im Einzelfall: Uind Iind Gegenfeld Bind

• generell: Uind Iind Energieverbrauch

Ursache muss Arbeit verrichten Gegen-„Kraft“

Anwendungsbeispiel: Wirbelstrombremse

L

• L ist ein reiner Parameter der ( festen ) Schleifengeometrie

• Maßeinheit: L V s A H Henry

• Schaltsymbol

2.2.2. Die Induktivität

I I

B

N Wicklungen Wicklungsdichte nN

l

Spule: Länge l, Querschnitt a

Betrachte beliebige Leiterschleife

Beispiel: Spule

Biot-Savart-Gesetz

IUIadBIB MindM

Definition: I

UL ind

I

UL ind

Selbstinduktionskoeffizient bzw. Induktivität

Beispiel: Zylinderspule

Magnetostatik InμB 0

BVnBaNM Gesamt-Fläche

Spulen-Volumen

IVnμBVnU 20Mind

IL U ind

nVnμL 220 nVnμL 220

• Das Magnetfeld steigt proportional zur Wicklungsdichte

• Die Induktivität steigt mit dem Quadrat der Wicklungsdichte

I I

B

N Wicklungen Wicklungsdichte nN

l

Spule: Länge l, Querschnitt a

Beispiel: quasistatischer Einschaltvorgang einer Induktivität

tILtIRUUUUU indRLR0

Lösung:

τt0L

τt0

eUILtU

R

L τ, e1

R

UtI

τt0L

τt0

eUILtU

R

L τ, e1

R

UtI

U0

UL

t

e

1

ULUind

schließt bei t 0

U0U,00I 0L U0U,00I 0L U0

R

LIUR ILU ind

I

t

I

U0RMaschen sind B-Feld-frei (B-Feld ist eingesperrt in Induktivität)

Vergleich: Kapazität Induktivität

U0

R

LIUR UC

U0

UL

t

e

1

t

I

U0R

R

L τ

R

L τ

erst Spannung, Stromfluss verzögert

t

I

U0/R

e

1

t

UC

U0

CR τ CR τ UCU0

R

CIQ

UR

erst Stromfluss, Spannungsaufbau verzögert

Energie des Magnetfeldes einer Induktivität:

22122

t

0

2t

0

LM IL0ItI2

Lt~dt~I

t~d

d

2

Lt~dt~It~UW

t~IL 0

Vergleich: Kapazität Induktivität

221

M ILW Magnetische Energie in Induktivität L

221

el UCW Elektrische Energie in Kapazität C

HBInμμIV

L

V

Ww 2

12202

1221M

M

InμμHμμBV2nμμL 000

Energiedichte des Magnetfeldes in einer Spule (mit Kern):

gilt auch allgemeingilt auch allgemein

Vergleich: magnetische Energiedichte elektrische Energiedichte

HBw 21

M

HBw 2

1M

DEw 2

1el

DEw 2

1el

2.2.3. Gegenseitige Induktion

Biot-Savart-Gesetz

1 Schleife 12

1102 r

sd

π4

IμrA

1I

1r1sd

2r 2sd

12r

Schleife 1Schleife 2

Fluss durch Schleife 2:

1 Schleife 2 Schleife

112

21

2 Schleife

022

2 Schleife2 Schleife

M Ir

sdsd

π4

μsdrAadArotadB

112M

2 Schleife

2ind,2

112M

ILsdEU

IL

112M

2 Schleife

2ind,2

112M

ILsdEU

IL

Bemerkung: LLL0 21212 LLL0 21212

1 Schleife 2 Schleife 12

2102112 r

sdsd

π4

μLL

Gegeninduktivität

nur abhängig von Schleifengeometrie

2.2.4. Wechselstrom

t

U(t)

U0

Periode T 1/ν

Harmonische Wechselspannung

tωcosUtU 0

U0: Scheitelwert U( t ): Momentanwert

T: Periode Frequenz

Kreisfrequenz

:T

1ν

:T

π2ω

Schaltsymbol:

Hz60νV1102U

U.S.A.

Hz50νV2302U

Europa

0

0

Beispiel: Leistung im ohmschen Verbraucher

I( t )

RU( t )

tωcosItωcosR

UtU

R

1tI 0

0

IRU 00

tωcosRItωcosR

UtItUtP 22

02

20

Mittlere Leistung für beliebige periodische Wechselspannung:

2eff

2T

0

2

UR

1U

R

1td

R

tU

T

1P Effektivspannung: 2

eff UU

2eff

2T

0

2 IRIRtdtIRT

1P Effektivstrom: 2

eff II

IUP effeff IUP effeff

Spezialfall: harmonische Wechselspannung

202

1T

0

T

0

202

T

0

20

2 Utdtω2costdT2

UtdtωcosU

T

1U

tω2cos121 T 0

202

12T

0

20

2 ItdtωcosIT

1I

U2

1UU 0

2eff U

2

1UU 0

2eff

I2

1II 0

2eff I

2

1II 0

2eff

IUIUP 0021

effeff IUIUP 0021

effeff

Allgemeine Wechselspannung:

Periode T:

Fundamentalkreisfrequenz:

TtUtU

T

π2ω

U(t)

t

Periode T

Fourierzerlegung:

ebiaReatωnsinbtωncosaatU 1n

tωninn02

1

1nnn02

1

ebiaReatωnsinbtωncosaatU 1n

tωninn02

1

1nnn02

1

t dtωncostUT

2a

T

0

n t dtωncostUT

2a

T

0

n t dtωnsintUT

2b

T

0

n t dtωnsintUT

2b

T

0

n

baa2

1UU

1n

2n

2n

202

12eff

baa2

1UU

1n

2n

2n

202

12eff

Ueff ist gleich der

quadratischen Summe der Effektivspannungen der

Fourierkomponenten

Folgerung: Für lineare Netzwerke ( Superpositionsprinzip anwendbar) reicht es aus, das Verhalten für harmonische Wechselströme/Wechselspannungen zu untersuchen.

Allgemeine Wechselspannung:

Periode T:

Fundamentalkreisfrequenz:

TtUtU

T

π2ω

U(t)

t

Periode T

Fourierzerlegung:

ebiaReatωnsinbtωncosaatU 1n

tωninn02

1

1nnn02

1

ebiaReatωnsinbtωncosaatU 1n

tωninn02

1

1nnn02

1

t dtωncostUT

2a

T

0

n t dtωncostUT

2a

T

0

n t dtωnsintUT

2b

T

0

n t dtωnsintUT

2b

T

0

n

Beispiel: Rechtecksignale

symmetrisch U0

0

T

0

20eff UtdU

T

1U

einseitig U0

0

2T

0

20eff U

2

1tdU

T

1U

Vergl. Ueff aus Fourierzerl.

8π

0k1k2

1 2

2

Allgemeine, nicht-periodische Spannung:

Parsevalsche Formel: ωdωU~

tdtU 2

π212

ωdωU~

tdtU 2

π212

U(t)

t

(Einschaltvorgang, Testpulse etc.)

mit den Fourierkoeffizienten

t detUωU~

tωiπ2

1

Fouriertransformation:

Inverse Fouriertransformation:

ωdeωU~

tU tωi

Harmonische Zerlegung:

Bemerkung: U reell, aber Ũ komplex

ωdtωsinωU~

Im2

ωdtωcosωU~

Re2tU

0

0

Allgemeine, nicht-periodische Spannung:

U(t)

t

(Einschaltvorgang, Testpulse etc.)

mit den Fourierkoeffizienten

t detUωU~

tωiπ2

1

Fouriertransformation:

Inverse Fouriertransformation:

ωdeωU~

tU tωi

Harmonische Zerlegung:

Bemerkung: U reell, aber Ũ komplex

ωdtωsinωU~

Im2

ωdtωcosωU~

Re2tU

0

0

Folgerung: Für lineare Netzwerke ( Superpositionsprinzip anwendbar) reicht es aus, das Verhalten für harmonische Wechselströme/Wechselspannungen zu untersuchen.

Beispiel: Rechteckpuls

Tiefpass (s.u.)

Filterschaltung, die kleine Frequenzen

überträgt und große Frequenzen dämpft.

Charakteristische Größe: Abschneidefrequenz

c

2.2.5. Wechselstromwiderstände

Lineare Netzwerke: Zeitverhalten lineare Differentialgleichungen

Lineare Komponenten: Ohmsche Widerstände, Kondensatoren, ideale Spulen, Linearverstärker, …

Nichtlineare Komponenten: Spulen mit Kernen nahe der Sättigungs-magnetisierung, nichtlineare Verstärker, Multiplizierer, Dioden, Glimmlampen, hochkonzentrierte Elektrolyte, …

Lineares Netzwerk Ist F(t) eine komplexe Lösung der DGL für Ströme oder Spannungen, so auch Re F(t) und Im F(t).

DGL

Neues (eleganteres) Konzept: Komplexe Spannung/Strom

Re

Im

U0 t

I0

tωi

0

tωi0

eItI

eUtU

physikalischer

Anteil

tωcosItIRetωcosUtURe

0

0

Definition: Komplexer Wechselstromwiderstand

e

I

U

tI

tUωZZ i

0

0 e

I

U

tI

tUωZZ i

0

0

Nach Konstruktion Gesetze der Quasistatik (Kirchhoffsche Regeln, ) gelten weiter

Beispiel: Ohmscher Widerstand

URU R

I

RZtIRtUtU R

Z reell und unabhängig von

Beispiel: Induktivität

ULU L

I

ILtUtUtUeU indLtωi

0

Z imaginär und proportional zu Strom eilt Spannung um 90 nach

tULωi

1e

Lωi

Utde

L

UtI tωi0tωi0

ω,0ω,0

eLωLωiZ 2πi

U

I

Beispiel: Kapazität

C

tQtUtUeU C

tωi0

Z imaginär und umgekehrt proportional zu Spannung eilt Strom um 90 nach

tUCωieUCωieUtd

dCtQtI tωi

0tωi

0

0ω,ω,0

eCω

1

Cωi

1Z 2

πi

I

U

UCU C

I

Beispiel: RLC-Serienschaltung

Cω

1LωiR

Cωi

1LωiRZ

R L C

Cω

1Lω

R

1

ZRe

ZImtan

Konstruktion im Zeigerdiagramm:

Re Z

Im Z

R

L

Cω

1

Cω

1Lω

Z

Dieses Beispiel: Re Z R 0

2π

2π ,

Momentane Wechselstromleistung in Z:

eeZZImiZReZ iIUi

0

0 eeZZImiZReZ iIUi

0

0

tωsintωcossinIUtωcoscosIU

tωcostωcosIUIReURetP

002

00

00

tωcostωsinsinIU tωcoscosIUtdtPPP 002

00

T

0T1

W Mittlere Wechselstromleistung in Z: Wirkleistung

½ 0

Wirkleistung: cosIUcosIUP effeff0021

W cosIUcosIUP effeff0021

W

Blindleistung: sinIUsinIUP effeff0021

B sinIUsinIUP effeff0021

B

Blindleistung

Komplexe Leistung: ZUZIPiP

eIUeIeUIUP 202

1202

1BW

i002

1tωi0

tωi02

121

ZUZIPiP

eIUeIeUIUP 202

1202

1BW

i002

1tωi0

tωi02

121

Wirkleistung

Z Scheinwiderstand, Re Z Wirkwiderstand, Im Z

Blindwiderstand

Scheinleistung:

IUPP effeffS IUPP effeffS

2.2.6. Wichtige lineare Netzwerke

a) ( Passiver ) Hochpass ( erster Ordnung ): R

C

Ue Ua

Spannungsteilerschaltung RCmit τ τωi1

τωi

R

R

U

U

Cωi1

e

a

Übertragungsfunktion: 2e

a

τω1

τω

U

U

Phasendrehung: 1τωtan

i

e

a

e

a eU

U

U

U

τω

90

1

45

e

a

U

U

τω

1

1

21

durchlässig für ≳ durchlässig für ≳

td

UdτωdeωU

~

td

dτωdeωU

~τωi

ωdeωU~

ωdeωU~

tU

etωie

tωie

tωieτωi1

τωitωiaa

Hochpass als Differenzierer:

R

C

Ue Ua

τωi1

τωi

U

U

e

a

Voraussetzung: Ue t enthält nur Frequenzen viel kleiner als

0τωU~

nur wobeiωdeωU~

tU 1e

tωiee

( inverse ) Fouriertransformation:

• Differenziererschaltung für

• Amplitude der differenzierten Spannung

b) ( Passiver ) Tiefpass ( erster Ordnung ):

C

R

Ue UaSpannungsteilerschaltung

RCmit τ τωi1

1

RU

U

Cωi1

Cωi1

e

a

Übertragungsfunktion: 2e

a

τω1

1

U

U

Phasendrehung: τωtan i

e

a

e

a eU

U

U

U

e

a

U

U

τω

1

12

1

durchlässig für ≲ durchlässig für ≲

90

τω1

45

Tiefpass als Integrierer:

τωi1

1

U

U

e

a

Voraussetzung: Ue t enthält nur Frequenzen viel größer als

tdtUeωU

~ωdtdωdeωU

~ωdeωU

~ωdeωU

~tU

eτ1tωi

eτ1tωi

eτωi1

tωieτωi1

1tωiaa

0τωU~

nur wobeiωdeωU~

tU 1e

tωiee

(inverse) Fouriertransformation:

• Integriererschaltung für 0

• Amplitude der integrierten Spannung

C

R

Ue Ua

Veranschaulichung der Rechnung

angenäherte Integrator-Wirkung

c) (Passives) Bandfilter (erster Ordnung):

Spannungsteilerschaltung

)( 2

2R

ω

ωωΔ

ωCω

1e

a

1i1

1

LωiR

R

U

U

)(

R

C

Ue Ua

L

Resonanzfrequenz:

CL

1ωR

Bandbreite:

L

Rω

Gütefaktor:

C

L

R

1

ωΔ

ωQ R

e

a

U

U

ω

1

21

durchlässig für R durchlässig für R

ω

Rω

i

e

a

e

a eU

U

U

U

ω90

90

Rω

d) (Passives) Bandsperrfilter (erster Ordnung):

Spannungsteilerschaltung

1)( 1i1

1

R

R

U

U

2

2R

Lωi1

ω

ωωω

Cωi1

e

a

Resonanzfrequenz:

CL

1ωR

Bandbreite:

CR

1ω

Gütefaktor:

L

CR

ωΔ

ωQ R

RCUe Ua

L

e

a

U

U

ω

1

21

undurchlässig für R undurchlässig für R

ω

Rωi

e

a

e

a eU

U

U

U

ω90

90

Rω

2.2.7. Der Transformator

R VerbraucherLeistung P U I

I

U U

U

Motivation:

Relativer Leistungsverlust in der Leitung:

22

2

U

1

U

RP

U

RI

UI

RI

P

P

• Umwandlung der Eingangsspannung auf Hochspannung

• Übertragung über Hochspannungsleitung

• Umwandlung der Ausgangsspg. auf Verbraucherspannung (z.B. 230 V)

Schaltbild mögliche Realisierung

Gleicher Wicklungssinn von Primär- und Sekundärwicklung bezüglich Richtung des

magnetisches Flusses

Primär-Wicklung

Sekundär-Wicklung

EisenjochM

U1 U2

Entgegengesetzter Wicklungssinn von Primär- und Sekundärwicklung bezüglich Richtung des

magnetisches Flusses

U1 U2

U1 U2 2indU

I1 I2

Z 1indU

L1 L2

L12Definition: Kopplungsstärke

LL

Lk

21

12 LL

Lk

21

12 0,1

Bemerkung: Idealer Transformator keine Streufeld- etc. Verluste gesamter magnetischer Fluss durchsetzt beide Spulen

k 11222

2ind21211

1ind ILILUILILU Induktionsgesetz

2

2ind2

1ind1 IZUUUU Maschenregel

2211 IωiIIωiI Wechselstrom

k1ωi1

k

U

U

ZL2

LL

1

2

2

1

2

k1ωi1

k

U

U

ZL2

LL

1

2

2

1

2

Tafelrechnung

1

k

I

I

2

2

1

LωiZ

LL

1

2

1

k

I

I

2

2

1

LωiZ

LL

1

2

U1 U2 2indU

I1 I2

Z 1indU

L1 L2

L12

k1ωi1

k

U

U

ZL2

LL

1

2

2

1

2

k1ωi1

k

U

U

ZL2

LL

1

2

2

1

2

1

k

I

I

2

2

1

LωiZ

LL

1

2

1

k

I

I

2

2

1

LωiZ

LL

1

2

Phasendrehung:

ZReiZImarge

U

U

U

U2

2

2

Lk1ω

Zi

1

2

1

2)(

Spezialfall: Spulen gleichen VolumensWindungszahlen N1, N2

1

2

1

222,102,1 N

N

L

LNVμμL

Idealer Transformator: k

1

2lSpezialfal

1

2

1

2

N

N

L

L

U

U

1

2lSpezialfal

1

2

1

2

N

N

L

L

U

U

11I

I

2

2

1

2

2

1

LωiZ

NNlSpezialfal

LωiZ

LL

1

2

11I

I

2

2

1

2

2

1

LωiZ

NNlSpezialfal

LωiZ

LL

1

2

π π

U1 U2 2indU

I1 I2

Z 1indU

L1 L2

L12

k1ωi1

k

U

U

ZL2

LL

1

2

2

1

2

k1ωi1

k

U

U

ZL2

LL

1

2

2

1

2

1

k

I

I

2

2

1

LωiZ

LL

1

2

1

k

I

I

2

2

1

LωiZ

LL

1

2

ZReiZImarg 2

2

2

Lk1ω

Z

)(

ZReiZImarg

22

2

Lk1ω

Z

)(

Unbelasteter Transformator: Z

1

2lSpezialfal

1

2

1

2

N

Nk

L

Lk

U

U

1

2lSpezialfal

1

2

1

2

N

Nk

L

Lk

U

U 0

I

I

1

2 0I

I

1

2 π π

k1ωi1

k

U

U

ZL2

LL

1

2

2

1

2

k1ωi1

k

U

U

ZL2

LL

1

2

2

1

2

1

k

I

I

2

2

1

LωiZ

LL

1

2

1

k

I

I

2

2

1

LωiZ

LL

1

2

ZReiZImarg 2

2

2

Lk1ω

Z

)(

ZReiZImarg

22

2

Lk1ω

Z

)(

U1 U2 2indU

I1 I2

Z 1indU

L1 L2

L12

Spezialfall: Spulen gleichen VolumensWindungszahlen N1, N2

1

2

1

222,102,1 N

N

L

LNVμμL

Kurzgeschlossener Transformator: Z0

0U

U

1

2 0U

U

1

2 N

Nk

L

Lk

I

I

2

1lSpezialfal

2

1

1

2 N

Nk

L

Lk

I

I

2

1lSpezialfal

2

1

1

2

k1ωi1

k

U

U

ZL2

LL

1

2

2

1

2

k1ωi1

k

U

U

ZL2

LL

1

2

2

1

2

1

k

I

I

2

2

1

LωiZ

LL

1

2

1

k

I

I

2

2

1

LωiZ

LL

1

2

ZReiZImarg 2

2

2

Lk1ω

Z

)(

ZReiZImarg

22

2

Lk1ω

Z

)(

U1 U2 2indU

I1 I2

Z 1indU

L1 L2

L12

Spezialfall: Spulen gleichen VolumensWindungszahlen N1, N2

1

2

1

222,102,1 N

N

L

LNVμμL

Transformator mit ohmscher Last: ZR

R

k1Lωarctanπ

22

R

k1Lωarctanπ

22

k1ωi1

k

U

U

RL2

LL

1

2

2

1

2

k1ωi1

k

U

U

RL2

LL

1

2

2

1

2

U1 U2 2indU

I1 I2

Z 1indU

L1 L2

L12

k1ωi1

k

U

U

ZL2

LL

1

2

2

1

2

k1ωi1

k

U

U

ZL2

LL

1

2

2

1

2

1

k

I

I

2

2

1

LωiZ

LL

1

2

1

k

I

I

2

2

1

LωiZ

LL

1

2

ZReiZImarg 2

2

2

Lk1ω

Z

)(

ZReiZImarg

22

2

Lk1ω

Z

)(

Transformator mit induktiver Last: ZiL

π π k11

k

U

U

LL2

LL

1

2

2

1

2

)(

k11

k

U

U

LL2

LL

1

2

2

1

2

)(

1

k

I

I

2

2

1

LL

LL

1

2

1

k

I

I

2

2

1

LL

LL

1

2

U1 U2 2indU

I1 I2

Z 1indU

L1 L2

L12

k1ωi1

k

U

U

ZL2

LL

1

2

2

1

2

k1ωi1

k

U

U

ZL2

LL

1

2

2

1

2

1

k

I

I

2

2

1

LωiZ

LL

1

2

1

k

I

I

2

2

1

LωiZ

LL

1

2

ZReiZImarg 2

2

2

Lk1ω

Z

)(

ZReiZImarg

22

2

Lk1ω

Z

)(

Transformator mit kapazitiver Last: Z(iC)

sonst

1LCωk1falls ,π,0

222

sonst1LCωk1falls

,π,0

222

k11

k

U

U

222

LL

1

2

LCω)(1

2

k11

k

U

U

222

LL

1

2

LCω)(1

2

1

k

I

I

22

2

1

LCω1

LL

1

2

1

k

I

I

22

2

1

LCω1

LL

1

2

U2 U1größer als im unbelasteten Fall falls k2 2 C L2

Resonanzfrequenz:

1

2

UU

22R

π0 ngPhasenspru

LCk1

1ω

U1 U2 2indU

I1 I2

Z 1indU

L1 L2

L12

k1ωi1

k

U

U

ZL2

LL

1

2

2

1

2

k1ωi1

k

U

U

ZL2

LL

1

2

2

1

2

1

k

I

I

2

2

1

LωiZ

LL

1

2

1

k

I

I

2

2

1

LωiZ

LL

1

2

ZReiZImarg 2

2

2

Lk1ω

Z

)(

ZReiZImarg

22

2

Lk1ω

Z

)(

Anwendungen:

• Transformation auf Hochspannung• Hochstromanwendung: N1 1 , N≫ 2

Aluminium-Schmelzen Edelstahl-Gewinnung• Punktschweißen• Aufheizen von Werkstücken durch Wirbelströme• Betatron-Beschleuniger

2212 IRPII groß

e- BeschleunigungeN

S

Primärspulen (Helmholtz-Typ)

Elektronenstrahl als Sekundärstromschleife

inhomogenes magnetisches Wechselfeld

Strahlfokussierung

z.B. Rinne mit Metallschmelze

2.2.8. Hochfrequenzleitung: Der Skineffekt

Elektrischer Leiter ohmscher Widerstand und Induktivität: Z RiL

induktive Effekte dominieren für R L (typisch ≳ O( MHz ))

Elektrischer Leiter

L

E

j

B jμμBrot 0

jμμBrot 0

t

BErot ind

t

BErot ind

indE

Stromschwächung

Lenz

Folgerung: Bei hohen Frequenzen können Ströme nur nahe der Leiter-Oberfläche fließen ( Skineffekt ).

Quantitative Untersuchung ( Theorie) Eindringtiefe des Stroms

ωσμμ

2d

el0

ωσμμ

2d

el0

L

el

j

r

r

j

L

Ld

e1

expj dρr L expj dρr L

Beispiel: KupferleiterHz dmm

50 94

103 2

106 0,07

ωσμμ

2d

el0

ωσμμ

2d

el0

0ω

2Lρπ

1R

Volumen

ω

Lρπ2

1R

Oberfläche

Übergangsbereich

ωdρπ2

1R

L

( effektives ) durchströmtes

Volumen

• HF-Spannungen sind relativ ungefährlich

• Eisendrähte ( großes ) sind schlechte HF-Leiter

• Gute HF-Leitung bei großer Oberfläche ( Hohlrohre, Litzen, ... )