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1
Vorlesung vom 18. Januar 2007Astronomisch, Physikalische und Mathematische Geodäsie II
Torsten Mayer-Gürr
Vorlesung vom 18. Januar 2007Astronomisch, Physikalische und Mathematische Geodäsie II
Torsten Mayer-Gürr
TransformationenTransformationen
2
SG
Global Geozentrisch
SG
Global Geozentrisch
Koordinatensysteme und Transformationen
SK Konventionell (global),
Geodätisch
SK Konventionell (global),
Geodätisch
SL
Lokal ellipsoidisch
SL
Lokal ellipsoidisch
ST Topozentrisch,
lokal astronomisch
ST Topozentrisch,
lokal astronomisch
T(L,B)(ellipsoidischeLänge, Breite)
T(λ,φ)(astronomischeLänge, Breite)
η, ξ, ψ(Lotabweichungen)
εx, εy, εz
Bursa-Wolf,Molodensky-Badekas
…
3
SG
Global Geozentrisch
SG
Global Geozentrisch
Koordinatensysteme und Transformationen
SK Konventionell (global),
Geodätisch
SK Konventionell (global),
Geodätisch
SL
Lokal ellipsoidisch
SL
Lokal ellipsoidisch
ST Topozentrisch,
lokal astronomisch
ST Topozentrisch,
lokal astronomisch
T(L,B)(ellipsoidischeLänge, Breite)
T(λ,φ)(astronomischeLänge, Breite)
η, ξ, ψ(Lotabweichungen)
εx, εy, εz
Bursa-Wolf,Molodensky-Badekas
…
4
Konventionelles und lokales System
Transformation von SK nach SL:Transformation von SK nach SL:
z
Ky
Kx
K
z
Ly
Lx
L
BL
e
e
e
T
e
e
e
),(
5
Konventionelles und lokales System
1Le
3Le
2Le
1Ke
2Ke
3Ke
LB
z
Ky
Kx
K
e
e
e
6
Konventionelles und lokales System
1Le
3Le
2Le
1Ke
2Ke
3Ke
LB
3Le
1Le
1Ke
2Ke
3Ke
LB
2Le
z
Ky
Kx
K
L
e
e
e
D )(3
7
Konventionelles und lokales System
1Le
3Le
2Le
1Ke
2Ke
3Ke
LB
3Le
1Le
1Ke
2Ke
3Ke
LB
2Le
1Le
1Ke
2Ke
3Ke
LB
3Le
2Le
z
Ky
Kx
K
LB
e
e
e
DD )()90( 32
8
Konventionelles und lokales System
1Le
3Le
2Le
1Ke
2Ke
3Ke
LB
3Le
1Le
1Ke
2Ke
3Ke
LB
2Le
1Le
1Ke
2Ke
3Ke
LB
3Le
2Le
1Le
1Ke
2Ke
3Ke
LB
3Le
2Le
z
Ky
Kx
K
z
Ly
Lx
L
LB
e
e
e
DDP
e
e
e
)()90( 321
9
Konventionelles und lokales System
Transformation von SK nach SL:
mit
Transformation von SK nach SL:
mit
BLBLB
LL
BLBLB
BL
sinsincoscoscos
0cossin
cossinsincossin
),(T
z
Ky
Kx
K
z
Ly
Lx
L
BL
e
e
e
T
e
e
e
),(
)()90(),( 321 LBBL DDPT
10
Transformation von SG nach ST:
mit
Transformation von SG nach ST:
mit
Geozentrisches und topozentrisches System
sinsincoscoscos
0cossin
cossinsincossin
),(T
z
Gy
Gx
G
z
Ty
Tx
T
e
e
e
T
e
e
e
),(
)()90(),( 321 DDPT
11
Transformation von SG nach ST:
mit
Transformation von SG nach ST:
mit
Geozentrisches und topozentrisches System
sinsincoscoscos
0cossin
cossinsincossin
),(T
z
Gy
Gx
G
z
Ty
Tx
T
e
e
e
T
e
e
e
),(
)()90(),( 321 DDPT
x
G
x
T
eTe ),(
y
G
y
T
eTe ),(
z
G
z
T
eTe ),(
12
Transformation von Basisvektoren und Koordinaten
Bisher: Transformation der BasisvektorenBisher: Transformation der Basisvektoren
Darstellung eines Vektors in KoordinatenDarstellung eines Vektors in Koordinaten
T
T
T
z
y
x
x
z
GG
y
GG
x
GG
G
G
G
zyx
z
y
x
eeex
z
TT
z
G
eTe ),(
Vektoren sind koordinatenunabhängig,dass heißt derselbe Vektor kann in unterschiedlichen Koordinaten ausgedrückt werden
z
TT
y
TT
x
TT
zyx eee
13
Transformation der KoordinatenTransformation der Koordinaten
Transformation von Basisvektoren und Koordinaten
Bisher: Transformation der BasisvektorenBisher: Transformation der Basisvektoren
z
TT
z
G
eTe ),(
Vektoren und Koordinatentransformieren sich entsprechend
T
T
T
T
G
G
G
z
y
x
z
y
x
),( T
T
T
T
z
y
x
x
x
14
Beispiel: ZenitrichtungBeispiel: Zenitrichtung
Transformation von Basisvektoren und Koordinaten
T
z
T
1
0
0
e
T
T
1
0
0
),( T
sinsincoscoscos
0cossin
cossinsincossin
),(T
z
T
e
G
sin
cossin
coscos
G
sin
cossin
coscos
15
SG
Global Geozentrisch
SG
Global Geozentrisch
Koordinatensysteme und Transformationen
SK Konventionell (global),
Geodätisch
SK Konventionell (global),
Geodätisch
SL
Lokal ellipsoidisch
SL
Lokal ellipsoidisch
ST Topozentrisch,
lokal astronomisch
ST Topozentrisch,
lokal astronomisch
T(L,B)(ellipsoidischeLänge, Breite)
T(λ,φ)(astronomischeLänge, Breite)
η, ξ, ψ(Lotabweichungen)
εx, εy, εz
Bursa-Wolf,Molodensky-Badekas
…
16
SG
Global Geozentrisch
SG
Global Geozentrisch
Koordinatensysteme und Transformationen
SK Konventionell (global),
Geodätisch
SK Konventionell (global),
Geodätisch
SL
Lokal ellipsoidisch
SL
Lokal ellipsoidisch
ST Topozentrisch,
lokal astronomisch
ST Topozentrisch,
lokal astronomisch
T(L,B)(ellipsoidischeLänge, Breite)
T(λ,φ)(astronomischeLänge, Breite)
η, ξ, ψ(Lotabweichungen)
εx, εy, εz
Bursa-Wolf,Molodensky-Badekas
…
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SG
Global Geozentrisch
SG
Global Geozentrisch
Koordinatensysteme und Transformationen
SK Konventionell (global),
Geodätisch
SK Konventionell (global),
Geodätisch
SL
Lokal ellipsoidisch
SL
Lokal ellipsoidisch
ST Topozentrisch,
lokal astronomisch
ST Topozentrisch,
lokal astronomisch
T(L,B)(ellipsoidischeLänge, Breite)
T(λ,φ)(astronomischeLänge, Breite)
η, ξ, ψ(Lotabweichungen)
εx, εy, εz
Bursa-Wolf,Molodensky-Badekas
…
18
Mit der Drehmatrix:Mit der Drehmatrix:
Globales geozentrisches und konventionelles System
Transformation von SK nach SG:
mit kleinen Klaffungswinkeln
Transformation von SK nach SG:
mit kleinen Klaffungswinkeln
z
Ky
Kx
K
zyx
z
Gy
Gx
G
e
e
e
D
e
e
e
),,(
)()()(),,( 123 xyzzyx DDDD
1
1
1
xy
xz
yz
x
G
e
y
G
e
z
G
e
x
K
e
y
K
e
z
K
e
19
Globales geozentrisches und konventionelles System
x
G
e
y
G
e
z
G
e
x
K
e
y
K
e
z
K
e
20
Globales geozentrisches und konventionelles System
R
x
X
x
G
e
y
G
e
z
G
e
x
K
ey
K
e
z
K
eKoordinatenunabhängig:Koordinatenunabhängig:
xRX
Transformation der KoordinatenTransformation der Koordinaten
z
Ky
Kx
K
zyx
z
Gy
Gx
G
z
Gy
Gx
G
x
x
x
R
R
R
X
X
X
),,( D
21
Transformation der Koordinaten
Mit dem Maßstab M=1+m
Transformation der Koordinaten
Mit dem Maßstab M=1+m
Globales geozentrisches und konventionelles System
Koordinatenunabhängig:Koordinatenunabhängig:
R
x
X
x
G
e
y
G
e
z
G
e
x
K
ey
K
e
z
K
exRX
z
Ky
Kx
K
zyx
z
Gy
Gx
G
z
Gy
Gx
G
x
x
x
M
R
R
R
X
X
X
),,( D
Ähnlichkeitstransformation (7 Parameter)
- 3 Translationsparameter- 3 Rotationsparameter- 1 Maßstab
Ähnlichkeitstransformation (7 Parameter)
- 3 Translationsparameter- 3 Rotationsparameter- 1 Maßstab
22
Globales geozentrisches und konventionelles System
Bisher: Drehung um den Ursprung von SK
Neu: Drehung um beliebigen Punkt x0
Bisher: Drehung um den Ursprung von SK
Neu: Drehung um beliebigen Punkt x0
R
x
X
x
G
e
y
G
e
z
G
e
x
K
ey
K
e
z
K
e
xRX Koordinatenunabhängig:Koordinatenunabhängig:
)( 00 xxxRX
Transformation der KoordinatenTransformation der Koordinaten
z
K
z
Ky
K
y
Kx
K
x
K
zyx
z
Ky
Kx
K
z
Gy
Gx
G
z
Gy
Gx
G
xx
xx
xx
M
x
x
x
R
R
R
X
X
X
0
0
0
0
0
0
),,( D
0xx 0x
23
z
K
z
Ky
K
y
Kx
K
x
K
zyx
z
Ky
Kx
K
z
Gy
Gx
G
z
Gy
Gx
G
xx
xx
xx
M
x
x
x
R
R
R
X
X
X
0
0
0
0
0
0
),,( D
24
z
K
z
Ky
K
y
Kx
K
x
K
zyx
z
Ky
Kx
K
z
Gy
Gx
G
z
Gy
Gx
G
xx
xx
xx
M
x
x
x
R
R
R
X
X
X
0
0
0
0
0
0
),,( D
25
z
K
z
Ky
K
y
Kx
K
x
K
zyx
z
Ky
Kx
K
z
Gy
Gx
G
z
Gy
Gx
G
xx
xx
xx
M
x
x
x
R
R
R
X
X
X
0
0
0
0
0
0
),,( D
26
Spezielle Transformationen
Modell von Bursa-Wolf
- Drehpunkt ist der Ursprung des Systems SK
- Drehachsen sind Achsen des Systems SK
Modell von Bursa-Wolf
- Drehpunkt ist der Ursprung des Systems SK
- Drehachsen sind Achsen des Systems SK
z
Ky
Kx
K
zyx
z
Gy
Gx
G
z
Gy
Gx
G
x
x
x
M
R
R
R
X
X
X
),,( D
Modell von Molodensky-Badekas
- Drehpunkt ist der Fundamentalpunkt der Landesvermessung- Drehachsen sind Achsen des Systems SK
Modell von Molodensky-Badekas
- Drehpunkt ist der Fundamentalpunkt der Landesvermessung- Drehachsen sind Achsen des Systems SK
z
K
z
Ky
K
y
Kx
K
x
K
zyx
z
Ky
Kx
K
z
Gy
Gx
G
z
Gy
Gx
G
xx
xx
xx
M
x
x
x
R
R
R
X
X
X
0
0
0
0
0
0
),,( D
Modell von Veis
- Drehpunkt ist der Fundamentalpunkt der Landesvermessung- Drehachsen sind Achsen des lokalen ellipsoidischen Systems SL
Modell von Veis
- Drehpunkt ist der Fundamentalpunkt der Landesvermessung- Drehachsen sind Achsen des lokalen ellipsoidischen Systems SL
z
K
z
Ky
K
y
Kx
K
x
K
V
z
Ky
Kx
K
z
Gy
Gx
G
z
Gy
Gx
G
xx
xx
xx
M
x
x
x
R
R
R
X
X
X
0
0
0
0
0
0
),,( D
27
Spezielle Transformationen
Modell von Veis
- Drehpunkt ist der Fundamentalpunkt der Landesvermessung- Drehachsen sind Achsen des lokalen ellipsoidischen Systems SL
Modell von Veis
- Drehpunkt ist der Fundamentalpunkt der Landesvermessung- Drehachsen sind Achsen des lokalen ellipsoidischen Systems SL
z
K
z
Ky
K
y
Kx
K
x
K
V
z
Ky
Kx
K
z
Gy
Gx
G
z
Gy
Gx
G
xx
xx
xx
M
x
x
x
R
R
R
X
X
X
0
0
0
0
0
0
),,( D
DrehmatrixDrehmatrix
),()()()(),(),,( 0032100 BLBLTV TDDDTD
DrehmatrixDrehmatrix
( , , ) ( , , )x y z V D D
)()90()()()()90()( 321321123 LBBL DDPDDDPDD 3 2 1( ) ( ) ( )z y x D D D
28
SG
Global Geozentrisch
SG
Global Geozentrisch
Koordinatensysteme und Transformationen
SK Konventionell (global),
Geodätisch
SK Konventionell (global),
Geodätisch
SL
Lokal ellipsoidisch
SL
Lokal ellipsoidisch
ST Topozentrisch,
lokal astronomisch
ST Topozentrisch,
lokal astronomisch
T(L,B)(ellipsoidischeLänge, Breite)
T(λ,φ)(astronomischeLänge, Breite)
η, ξ, ψ(Lotabweichungen)
εx, εy, εz
Bursa-Wolf,Molodensky-Badekas
…
29
SG
Global Geozentrisch
SG
Global Geozentrisch
Koordinatensysteme und Transformationen
SK Konventionell (global),
Geodätisch
SK Konventionell (global),
Geodätisch
SL
Lokal ellipsoidisch
SL
Lokal ellipsoidisch
ST Topozentrisch,
lokal astronomisch
ST Topozentrisch,
lokal astronomisch
T(L,B)(ellipsoidischeLänge, Breite)
T(λ,φ)(astronomischeLänge, Breite)
η, ξ, ψ(Lotabweichungen)
εx, εy, εz
Bursa-Wolf,Molodensky-Badekas
…
30
Lotabweichungen
31
Lotabweichungen
Transformation SL nach ST
(vorher Überführung in ein Rechtssystem durch Spiegelung der y-Achse)
Transformation SL nach ST
(vorher Überführung in ein Rechtssystem durch Spiegelung der y-Achse)
2 3 2 1 2
1
( , , ) ( ) ( ) ( ) 1
1
T P D D D P
32
SG
Global Geozentrisch
SG
Global Geozentrisch
Koordinatensysteme und Transformationen
SK Konventionell (global),
Geodätisch
SK Konventionell (global),
Geodätisch
SL
Lokal ellipsoidisch
SL
Lokal ellipsoidisch
ST Topozentrisch,
lokal astronomisch
ST Topozentrisch,
lokal astronomisch
T(L,B)(ellipsoidischeLänge, Breite)
T(λ,φ)(astronomischeLänge, Breite)
η, ξ, ψ(Lotabweichungen)
εx, εy, εz
Bursa-Wolf,Molodensky-Badekas
…
33
SG
Global Geozentrisch
SG
Global Geozentrisch
Koordinatensysteme und Transformationen
SK Konventionell (global),
Geodätisch
SK Konventionell (global),
Geodätisch
SL
Lokal ellipsoidisch
SL
Lokal ellipsoidisch
ST Topozentrisch,
lokal astronomisch
ST Topozentrisch,
lokal astronomisch
T(L,B)(ellipsoidischeLänge, Breite)
T(λ,φ)(astronomischeLänge, Breite)
η, ξ, ψ(Lotabweichungen)
εx, εy, εz
Bursa-Wolf,Molodensky-Badekas
…
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Transformation SL nach ST über SK und SGTransformation SL nach ST über SK und SG
Lotabweichungen
Transformation SL nach ST
(vorher Überführung in ein Rechtssystem durch Spiegelung der y-Achse)
Transformation SL nach ST
(vorher Überführung in ein Rechtssystem durch Spiegelung der y-Achse)
123123321 )90()()()()()()90(),,( PDDDDDDDPT BL TTxyz
2 3 2 1 2
1
( , , ) ( ) ( ) ( ) 1
1
T P D D D P
35
Lotabweichungen
Gleichsetzen:Gleichsetzen:
21232 )()()(),,( PDDDPT 123123321 )90()()()()()()90(),,( PDDDDDDDPT BL TT
xyz
36
Linearisierung bei kleinen Winkeln
LinearisierungLinearisierung
Taylorentwicklung:Taylorentwicklung:
...)()()( 00
0
xxx
fxfxf
x
...)(sincoscos 000 xxxxx
...)(cossinsin 000 xxxxx
)(cossinsin LLL
)(sincoscos LLL
37
Lotabweichungen
Gleichsetzen:Gleichsetzen:
21232 )()()(),,( PDDDPT 123123321 )90()()()()()()90(),,( PDDDDDDDPT BL TT
xyz
38
Lotabweichungen
Lotabweichungskomponenten
- Ostkomponente
- Nordkomponente
- Azimutkomponente
Lotabweichungskomponenten
- Ostkomponente
- Nordkomponente
- Azimutkomponente BBLLBL zyx sincos)sincos(sin)(
LLB yx cossin)(
BBLLBL zyx cossin)sincos(cos)(
Orientierung des ReferenzellipsoidsOrientierung des Referenzellipsoids
LBLBBx sin))((cos)sincos(
LBLBBy cos))((sin)sincos(
)(cossin LBBz
39
Lotabweichungen
Lotabweichungskomponenten
- Ostkomponente
- Nordkomponente
- Azimutkomponente
Lotabweichungskomponenten
- Ostkomponente
- Nordkomponente
- Azimutkomponente BBLLBL zyx sincos)sincos(sin)(
LLB yx cossin)(
BBLLBL zyx cossin)sincos(cos)(
Bei Parallelität der globalen Systeme:
- Ostkomponente
- Nordkomponente
- Azimutkomponente
Bei Parallelität der globalen Systeme:
- Ostkomponente
- Nordkomponente
- Azimutkomponente BBL tansin)(
)( B
BL cos)(
40
SG
Global Geozentrisch
SG
Global Geozentrisch
Koordinatensysteme und Transformationen
SK Konventionell (global),
Geodätisch
SK Konventionell (global),
Geodätisch
SL
Lokal ellipsoidisch
SL
Lokal ellipsoidisch
ST Topozentrisch,
lokal astronomisch
ST Topozentrisch,
lokal astronomisch
T(L,B)(ellipsoidischeLänge, Breite)
T(λ,φ)(astronomischeLänge, Breite)
η, ξ, ψ(Lotabweichungen)
εx, εy, εz
Bursa-Wolf,Molodensky-Badekas
…
41
SG
Global Geozentrisch
SG
Global Geozentrisch
Koordinatensysteme und Transformationen
SK Konventionell (global),
Geodätisch
SK Konventionell (global),
Geodätisch
SL
Lokal ellipsoidisch
SL
Lokal ellipsoidisch
ST Topozentrisch,
lokal astronomisch
ST Topozentrisch,
lokal astronomisch
T(L,B)(ellipsoidischeLänge, Breite)
T(λ,φ)(astronomischeLänge, Breite)
η, ξ, ψ(Lotabweichungen)
εx, εy, εz
Bursa-Wolf,Molodensky-Badekas
…
42
Lokales ellipsoidisches System
43
Lokales ellipsoidisches System
44
Lokales ellipsoidisches System
z
L
y
L
x
L
L
ddd
d
d
d
eeex
cossinsinsincos
cos
sinsin
sincos
45
Lokales ellipsoidisches System
46
Lokales und Topzentrisches System
47
Lokales und Topzentrisches System
48
Lokales und Topzentrisches System
z
T
y
T
x
T
T
zdzadzad
zd
zad
zad
eeeX
cossinsinsincos
cos
sinsin
sincos
49
Lokales und Topzentrisches System
a
P
a
Lot
astronomischer Zenit
geodätischer Zenit
astronomisch Nord
geodätisch Nord
astronomisch Ost
geodätisch Ost
z
Q
geodätischer Meridian
geodätischer Parallelkreis
d
x X1
T
e
2
T
e
3
T
e1
L
e
3
L
e
2
L
e
50
Gemessen:Azimut a, Zenitdistanz z, Strecke d
Gesucht:Größen im konventionellen / lokal ellipsoidischen System
Gemessen:Azimut a, Zenitdistanz z, Strecke d
Gesucht:Größen im konventionellen / lokal ellipsoidischen System
Lokales und Topzentrisches System
Erste Möglichkeit:1. Umrechnung polar kartesisch
2. Transformation in lokal ellipsoidisch
Erste Möglichkeit:1. Umrechnung polar kartesisch
2. Transformation in lokal ellipsoidisch
cos sin
sin sin cos sin sin sin cos
cos
T
T T T T
x y z
TT
xd a z
y d a z d a z d a z d z
d zz
X e e e
( , , )
L T
L TT
L T
x x
y y
z z
Δx T
1
( , , ) 1
1
Tmit
51
Gemessen:Azimut a, Zenitdistanz z, Strecke d
Gesucht:Größen im konventionellen / lokal ellipsoidischen System
Gemessen:Azimut a, Zenitdistanz z, Strecke d
Gesucht:Größen im konventionellen / lokal ellipsoidischen System
Lokales und Topzentrisches System
Zweite Möglichkeit:Anbringen von Korrektionen direkt an die gemessenen Größen
Zweite Möglichkeit:Anbringen von Korrektionen direkt an die gemessenen Größen
cot ( sin cos )a
( cos sin )z
Größen im lokal astronomischen System (gemessen)Größen im lokal ellipsoidischen System
Azimutdifferenz:
Zenitdistanzdifferenz:
52
Einsetzen der Polarkoordinaten liefert:Einsetzen der Polarkoordinaten liefert:
Lokales und Topzentrisches System
cos sin
sin sin cos sin sin sin cos
cos
T T T
x y z
T
d a z
d a z d a z d a z d z
d z
X e e e
( , , )
T L
x x
T L
y y
T L
z z
X x
X x
X x
T
cos sin
sin sin cos sin sin sin cos
cos
L L L
x y z
L
d
d d d d
d
x e e e
sin cos sin cos sin sin cosz a
sin sin sin sin sin cos cosz a cos cos sin cos sin sinz
1
( , , ) 1
1
Tmit
53
Lokales und Topzentrisches System
Nach Taylorentwicklung und Abbruch nach dem linearen Term:Nach Taylorentwicklung und Abbruch nach dem linearen Term:
cot ( sin cos )a
( cos sin )z
sin cos sin cos sin sin cosz a
sin sin sin sin sin cos cosz a cos cos sin cos sin sinz
54
Gemessen:Azimut a, Zenitdistanz z, Strecke d
Gesucht:Größen im konventionellen / lokal ellipsoidischen System
Gemessen:Azimut a, Zenitdistanz z, Strecke d
Gesucht:Größen im konventionellen / lokal ellipsoidischen System
Lokales und Topzentrisches System
Zweite Möglichkeit:Anbringen von Korrektionen direkt an die gemessenen Größen
Zweite Möglichkeit:Anbringen von Korrektionen direkt an die gemessenen Größen
cot ( sin cos )a
( cos sin )z
Größen im lokal astronomischen System (gemessen)Größen im lokal ellipsoidischen System
Azimutdifferenz:
Zenitdistanzdifferenz: