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Kernphysik
Elemententstehung
2. Kernphysik
Cora Fechner
Universitat Potsdam
SS 2014
Kernphysik
Kernphysik
Kernphysik
Kernphysikalische Grundlagen
Kernladungszahl: Z = Anzahl der Protonen
Massenzahl: A = Anzahl der Protonen + Anzahl der Neutronen
Bindungsenergie: B = (Z (mp +me) + (A− Z )mn −M(A,Z )) c2
Massendefekt: ∆M(A,Z ) = Z mp + (A− Z )mn −M(A,Z )
Warmetonung: Q = (MA +MB −MC −MD) c2
(Q-Wert) fur Reaktion A + B → C + D
Kernphysik
Bindungsenergie
Kernphysik
TropfchenmodellBeschreibung des Kerns als Tropfen mit konstanter Massendichte:Coulomb-Abstoßung + anziehende Kernkrafte
M(Z ,A) = (A− Z )mn + Z (mp +me)
− a1 A Volumen
+ a2 A2/3 Oberflache
+ a3
(A
2− Z
)2
A−1 Symmetrie
+ a4 Z2 A−1/3 Coulomb
+ a5 δ A−3/4 Paritat
Kernphysik
Stabilitatstal
Z =A
c + d A2/3mit c =
2
1 + qa3
≃ 1.98 und d = c ·a4a3
≃ 0.015
q = (mn −mp −me) c2 = 0.7825MeV
Z = A
c+d A2/3
Z = A− Z
Z2
A= 37
Kernphysik
Magische Zahlen
Kerne mit einer bestimmten Anzahl von Protonen und/oderNeutronen sind besonders stabil.
Magische Zahlen:
2 8 20 28 50 82 126
besonders stabile Kerne:
Kern Z N
4He 2 216O 8 8
40Ca 20 2048Ca 20 28
208Pb 82 126
Kernphysik
Das Schalenmodell
Kernmodell analog zurElektronenhulle
◮ Nukleonen in einemkugelsymmetrischen,mittleren Potential
◮ Spin-Bahn-Kopplungbewirkt Aufspaltungvon entartetenEnergieniveaus
Kernphysik
Wirkungsquerschnitt
Wirkungsquerschnitt σ: (Reaktion: 1 + 2 → 3 + 4)Wahrscheinlichkeit, mit der eine bestimmte Reaktion stattfindetFlache mit derselben Wahrscheinlichkeit, getroffen zu werden
klassisch: σ1,2 = π (r1 + r2)2
= π (1.2 · 10−13(A1/31 + A
1/32 ) cm)2
∼ 10−24 cm2 ≡ 1 barn
semi-klassisch: σ1,2 = (1 + δ12)π λ2 = (1 + δ12)π
(~
mv
)2
∼ (1 + δ12)65.7
A/amu · E/keV barn
Kernphysik
Compoundkerne
Compoundkernreaktion: 1 + 2 → C → 3 + 4 + Q
Compoundkern C : hochangeregter Zwischenkern ohne Gedachtnis(d.h. der Ausgangskanal ist nur von der Energie abhangig, nicht vom Eingangskanal)
Wirkungsquerschnitt: Wahrscheinlichkeit fur Reaktion 1 + 2 → C
mal Wahrscheinlichkeit fur Reaktion C → 3 + 4
σ =σtot ω |〈3, 4|H II|C 〉 〈C |H I|1, 2〉|2
mit ω =(2I 3 + 1)(2I 4 + 1)
(2I 1 + 1)(2I 2 + 1)(statistisches Gewicht)
Teilchen mussen die Coulombbarriere uberwinden!
Kernphysik
Gamov-Faktor
b =Z1Z2e
2
E(klassischer Umkehrpunkt)
B =
√2m πZ1Z2e
2
~
Wahrscheinlichkeit, die Coulombbarrierezu uberwinden: P ∝ e−G
G =2
~
∫ b
a
√
2m (V (x)− E ) dx
=2√2mE
~
∫ b
a
√
b
x− 1 dx
≈ 2π Z1Z2e2
~v
= 2π η (ℓ = 0)
= B E−1/2
S-Faktor:
σ(E ) =1
Eexp (−2π η) · S(E )
E
b ba b
Kernphysik
Statistische MechanikFermi-Dirac-Verteilung: E 2 = m2c4 + p2c2
ni =gi
h34πp2dp
exp(E−µkT
)
+ 1=
4πgi(hc)3
E (E 2 −m2c4)1/2dE
exp(E−µkT
)
+ 1
Gesamtanzahldichte: (nicht-entartetes, nicht-relativistisches Gas)
n =
(mkT
2π~
) 32
u·exp(µ−mc2
kT
)
mit u =∑
i
gi exp
(
− Ei − E1
kT
)
(innere Zustandssumme)
Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung:
n(v) dv
n=( m
2πkT
)3/24πv2 exp
(
−12mv2
kT
)
dv
Saha-Gleichung: chemisches Gleichgewicht AB ⇌ A+ B
nAnB
nAB=
uAuB
uAB
(mAmB
mAB
kT
2π~2
)3/2
· exp((mAB −mA −mB) c
2
kT
)
Kernphysik
Reaktionsraten
Reaktionsrate : Γij = ninj(1 + δij)−1〈σv〉ij
mittlere Lebensdauer : τi =1
∑
j nj〈σv〉ij
Ratenkoeffizient: 〈σv〉 (Mittelung uber die Geschwindigkeit)
〈σv〉 =√
8
πm(kT )−3/2
∫∞
0E σ(E ) exp
(
− E
kT
)
dE
=
√
8
πm(kT )−3/2 〈S(E )〉
∫∞
0exp
(
− E
kT− 2πη
)
︸ ︷︷ ︸
f (E)
dE
Kernphysik
Gamov-Peak
Maximum des Integranden B = 1~
√2m πZ1Z2e
2
f (E ) = exp
(
− E
kT− 2πη
)
= exp
(
−(
E
kT+
B√E
))
bei E0 =(12BkT
)2/3mit:
f (E0) = e−τ
τ = 3
(B
2kT
)2/3
Gamov-Peak
Kernphysik
ResonanzenErhohnung des Wirkungsquerschnitts bei der Energie einesangeregten Zustands des Compoundkerns
Resonanzenergie: ER = EP + Q Schwellenenergie Q
Wahrscheinlichkeitsverteilung (naturliche Linienbreite Γ, Lebensdauer τ):
P(E ) dE =Γ2π
(E − ER)2 +(Γ2
)2dE
Γ =~
τ=
∑
moglicheZerfallskanale i
Γi
Breit-Wigner-Formel (Wirkungsquerschnitt fur eine Resonanz):
σ(E ) = π λ2(EP) (1 + δ12)ωΓaΓb
(E − EP)2 +(Γ2
)2
ω = 2I+1(2I 1+1)(2I 2+1)
Kernphysik
Inverse Reaktionen
Reaktion 1 + 2 ⇌ 3 + 4
Zeitinvarianz → Matrixelemente sind fur beide Richtungen gleich
σ12σ34
=m3m4
m1m2
E34
E12
(2I 3 + 1)(2I 4 + 1)(1 + δ12)
(2I 1 + 1)(2I 2 + 1)(1 + δ34)
Mittelung uber Maxwell-Verteilung:
〈σv〉34〈σv〉12
=(2I 1 + 1)(2I 2 + 1)(1 + δ34)
(2I 3 + 1)(2I 4 + 1)(1 + δ12)
(m12
m34
)3/2
exp
(
− Q
kT
)
Kernphysik
Kernspaltungeinfachster Zerfallsmodus:α-Zerfall
Bindungsenergie:B ≈ a1A− a2A
2/3 − a4Z2A−1/3
(Symmetrie und Paritat vernachlassigt)
Aufspaltung in zwei gleiche Kerne:
∆Q ≃ a4Z2A−1/3 (1− 2−2/3)
︸ ︷︷ ︸
verringerte Coulombabstoßung
− a2A2/3 (21/3 − 1)
︸ ︷︷ ︸
vergroßerte Oberflache
Coulombbarriere:
Ecoul ≃(Z2 e)2
2r0(A2
)1/3≃ 0.28 a4Z
2A−1/3
Bedingung fur spontanen Zerfall: ∆Q & Ecoul
⇒ Z 2
A& 3
a2
a4∼ 67 (Spaltungsparameter)
Kernphysik
Schwache Wechselwirkungenisobarer (A = const) Zerfall in das β-Stabilitatstal durch
β−-Emission : n → p + e− + νe
β+-Emission : p → n + e+ + νe
Elektroneneinfang : p + e− → n + νe
Goldene Regel:λ(Ef )︸ ︷︷ ︸
Zerfallskonstante=1/τ
=2π
~| Vfi︸︷︷︸
Matrixelement
|2 ρ(Ef )︸ ︷︷ ︸
Phasenraumfaktor
Energiespektrum des Elektrons:
N(Te) dTe = N(p) dp ∝ p2dp (Q−Te)2
Inverser β-Zerfall:
p + e− → n + νe
νe + p → n + e+
νe +37Cl → 37Ar + e−