3η ΕΝΟΤΗΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΝΟΣ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ

Μ. Καρλαύτης – Ν. Λαγαρός

ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗN ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες Χρήσης Creative Commons. για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άδεια χρήσης άλλου τύπου, αυτή πρέπει να αναφέρεται ρητώς.

ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ - ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΝΟΣ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ

Πρόκειται για προβλήματα που έχουν μη γραμμική αντικειμενική συνάρτηση και/ή μη γραμμικούς περιορισμούς. Τα μη γραμμικά προβλήματα διατυπώνονται ουσιαστικά όπως τα γραμμικά. Η διαφορά εντοπίζεται στα μαθηματικά που χρησιμοποιούνται για την επίλυσή τους. Σκοπός είναι η απαρίθμηση των δυνατών λύσεων και η επιλογή της βέλτιστης.

ΓΕΝΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ Τα προβλήματα που απαιτούν μη γραμμικό προγραμματισμό εμφανίζουν τα ακόλουθα χαρακτηριστικά : Είναι μη γραμμικά. Έχουν μη κυρτές περιοχές εφικτότητας. Έχουν ασυνεχείς μεταβλητές. Εμφανίζουν το μειονέκτημα ότι επιδέχονται μικρό αριθμό περιορισμών.

93 Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ

Μεγιστοποίηση (ή ελαχιστοποίηση) : Υπό τους περιορισμούς :

…

94 Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων

Όπου : • Η f(x1, x2,….,xn) όπως και στον γραμμικό προγραμματισμό είναι η

συνάστηση του Μ.Γ.Π. • Οι g1(x1, x2,….,xn )(≤,≠,≥) b1 ,…, gm(x1, x2, ….,xn) (≤,≠,≥) b οι περιορισμοί

του μη γραμμικού προγραμματισμού. • Ένα πρόβλημα που δεν έχει περιορισμούς λέγεται πρόβλημα χωρίς

περιορισμούς. • Το σύνολο όλων των σημείων (x1, x2,….,xn) είναι πραγματικοί αριθμοί και

λαμβάνουν τιμές από το σύνολο Rn.

95 Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων

ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ- ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

Για τον γραμμικό προγραμματισμό :

1. Επιτρεπτή περιοχή – κυρτό σύνολο

2. Αν υπάρχει βέλτιστη λύση αποτελεί ακραίο σημείο της επιτρεπτής περιοχής.

Για τον μη γραμμικό προγραμματισμό :

1. Η επιτρεπτή περιοχή πιθανόν να μην είναι κυρτό σύνολο.

2. Η βέλτιστη λύση δεν είναι απαραίτητα να είναι ακραίο σημείο της επιτρεπτής

περιοχής του Μ.Γ.Π.

96 Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων

ΠΙΘΑΝΕΣ ΒΕΛΤΙΣΤΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Μ.Γ.Π.

97 Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων

Αντικειμενική συνάρτηση

Βέλτιστη λύση

Feasible Region

Γραμμική αντικειμενική συνάρτηση Μη γραμμικοί περιορισμοί

Αντικειμενική συνάρτηση

Βέλτιστη λύση

Feasible Region

Μη γραμμική αντικειμενική συνάρτηση Μη γραμμικοί περιορισμοί

Αντικειμενική συνάρτηση

Βέλτιστη λύση.

Feasible Region

Μη γραμμική αντικειμενική συνάρτηση Γραμμικοί περιορισμοί

Αντικειμενική συνάρτηση

Βέλτιστη λύση

Feasible Region

Μη γραμμική αντικειμενική συνάρτηση Γραμμικοί περιορισμοί

ΔΙΑΦΟΡΑ ΤΟΠΙΚΗΣ-ΚΑΘΟΛΙΚΗΣ ΒΕΛΤΙΣΤΗΣ ΛΥΣΗΣ

98 Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων

A

C

B

Τοπική βέλτιστη λύση

Επιτρεπτή περιοχή

D

E F

G

Τοπική και καθολική

βέλτιστη λύση

X1

X2

ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Με τον όρο βελτιστοποίηση νοείται η αξιολόγηση μιας λύσης, με βάση ορισμένα κριτήρια, ως βέλτιστης ανάμεσα σε διαθέσιμες εναλλακτικές λύσεις. Για την άμεση προσέγγιση της βελτιστοποίησης χρησιμοποιούνται τεχνικές που διακρινόνται σ΄αυτές που αφορούν προβλήματα με ή χωρίς περιορισμούς και σ’αυτές που εξαρτώνται από το πλήθος των μεταβλητών και διακρίνονται σε μονοδιάστατες και πολυδιάστατες. Οι πολυδιάστατες τεχνικές μη-γραμμικού προγραμματισμού χωρίζονται στις εξής κατηγορίες :

1.Κύριες ή Αποδεκτές Μέθοδοι.

2.Μέθοδοι Συντελεστών Ποινής.

3.Δυαδικές Μέθοδοι.

4.Μέθοδοι Lagrange.

99 Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΜΕΘΟΔΟΥ LAGRANGE

Να βρεθούν ακρότατα για τη συνάρτηση :

F(x, y, z)=x2 +y2 +z2

Υπό τον περιορισμό :

G(x, y, z)=x2 +2y2 -z2 -1 =0 Η συνάρτηση Lagrange είναι : u= f(x, y, z)+ λ G(x, y, z) Υπό τους όρους : ∂u/∂x =0 , ∂u/∂y =0 , ∂u/∂z =0 Όπου x, y, z ανεξάρτητες μεταβλητές και λ σταθερά που ονομάζεται

πολλαπλασιαστής Lagrange. Έχουμε : F(x, y, z)=x2 +y2 +z2

G(x, y, z)=x2 +2y2 -z2 -1 =0

100 Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων

(1)

ΕΠΙΛΥΣΗ

Εφόσον u= x2 +y2 +z2 +λ (x2 +2y2 -z2) Τότε : ∂u/∂x = 2x+ λ2x =0 ∂u/∂y = 2y+ λ4y =0 ∂u/∂z = 2z + λ2z =0 Έστω (x0, y0, z0) μία λύση του προβλήματος. Αν z0≠ 0 τότε από (4) λ=1. Για να ισχύει λ=1 πρέπει x=y=0 από (2), (3). Στην περίπτωση αυτή η (1) δίνει z0

2= -1 ΑΤΟΠΟ Ως εκ τούτου απαιτείται z0= 0 για κάθε λύση. Αν x≠0 τότε από (2), λ= -1 που σημαίνει y=z=0 από (3), (4). Στην περίπτωση αυτή η (1) δίνει x0

2=1 =>x0=±1 Έχουμε επομένως δύο λύσεις που ικανοποιούν τις εξισώσεις : (1,0,0) και (-1,0,0) Ομοίως αν y≠0 τότε από (3) λ=-1/2 που σημαίνει x=z=0 από (2),(4) Στην περίπτωση αυτή η (1) δίνει y0

2=±√1/2 Προκύπτουν έτσι δύο ακόμα λύσεις : (0, √1/2,0) και (0,-√1/2,0)

101 Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων

(2)

(3)

(4)

ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΝΟΣ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ

Χωρίς περιορισμούς Οι κλασικές μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων χωρίς περιορισμούς είναι οι μέθοδοι

της μέγιστης καθόδου, των συζυγών κλίσεων και η μέθοδος Newton. Οι μέθοδοι αυτόι ακολουθούν ένα επαναληπτικό σχήμα της μορφής :

x(g) = x(g-1) + a(g) s(g)

Όπου • a είναι το μήκος βήματος • s η διεύθυνση κατά την οποία γίνεται η έρευνα για το βέλτιστο στην

επανάληψη g • x(g), x(g-1) είναι η προσέγγιση του βέλτιστου σχεδιασμού κατά την επανάληψη g-

1 και g αντιστοιχα. Απαιτείται επίσης: ο υπολογισμός του διανύσματος κλίσης της αντικειμενικής συνάρτησης ∇F(x) Το μητρώο Hess ∇2F(x)

102 Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων

Το διάνυσμα κλίσης για έναν σχεδιασμό x δίνεται από την σχέση: Όπου n το πλήθος των μεταβλητών σχεδιασμού. Το μητρώο Hess της αντικειμενικής συνάρτησης για το σχεδιασμό x δίνεται από τη σχέση:

103 Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων

2 2 2

21 2 11

2 2 2

2 22 1 22

2 2 2

21 2

( )

n

n

n n n

f f fx x x xx

f f ff x x x x xx

f f fx x x x x

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

∇ = ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂∂

∂∂

∂∂

=∇xxx n

fffxf ...)(21

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Το διάνυσμα κλίσης της

f = x1+2(x2)3-3x1(x3)2 είναι

∇f = (15- 3(x3)2, 6(x2)3, -6x1x3)

To μητρώο Hess της ίδιας συνάρτησης είναι :

∇f = (15- 3(x3)2, 6(x2)3, -6x1x3)

104 Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων

32

2

3 1

0 0 60 12 06 0 6

xf x

x x

− ∇ = − −

ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΘΟΔΟΥ (Steepest Descent)

Πρόκειται για μια απλή μέθοδο που χρησιμοποιεί το διάνυσμα κλίσης (θετικό για μεγιστοποίηση, αρνητικό για ελαχιστοποίηση) της αντικειμενικής συνάρτησης. Η διεύθυνση έρευνας δίνεται από τη σχέση :

s(g) =± ∇F (x(g-1)) Έτσι:

x(g) = x(g-1) ± a(g-1) ∇F (x(g-1)) Επειδή η κλίση είναι ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης στο σημείο αυτό, η χρήση της κλίσης βοηθά στη μείωση του αριθμού των επαναλήψεων που απαιτούνται.

105 Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων

F(x) =5

F(x) =20

F(x) =25

-∇ F (xk)

∇ F (xk)

xk

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΜΕΘΟΔΟΥ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΘΟΔΟΥ

Σκοπός είναι η ελαχιστοποίηση της συνάρτησης ꞉ f(x1, x2, x3) = (x1)2 + x1(1 – x2) + (x2)2– x2x3 + (x3)2 + x3

Επιλέγουμε ꞉ ∇f(x)= [2x1+(1-x2) ,-x1+2x2-x3 ,-x2+2x3+1] s0= -∇f(x0)= -[2(0)+1-0, -0+0-0, -0+0+1]=-[1,0,1]= [-1,0,-1] Άρα x1= [0,0,0]+ ao [-1,0,-1] = [- ao,0,- ao]

106 Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων

=

000

0x

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΜΕΘΟΔΟΥ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΘΟΔΟΥ

Στη συνέχεια πρέπει να καθοριστεί το ao

f(x1)=(ao)2 + (-ao)(1)+0-0+(ao)2 +(-ao) =2(ao)2 -2(ao)

df(x1)/dao = 4(ao)-2 Θέτω ίσο με μηδέν και επιλύω: 4(ao)=2 => ao = 2/4 = ½ Έτσι : x1= [0,0,0]+ ao [-1,0,-1]= [0,0,0]+[-1/2,0,-1/2] => x1 =[-1/2,0,-1/2]

107 Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων

ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΣΥΖΥΓΩΝ ΚΛΙΣΕΩΝ (Conjugate gradient)

Η διεύθυνση έρευνας s(g) για g επαναλήψεις δίνεται από τη σχέση ꞉ Η μέθοδος των συζυγών κλίσεων συγκλίνει σε ακριβώς n επαναλήψεις αν η αντικειμενική συνάρτηση είναι τετραγωνικής μορφής σε αντίθετη περίπτωση η μέθοδος συγκλίνει σε περίπου n επαναλήψεις. Όπου n ο αριθμός των μεταβλητών στο διάνυσμα x.

ΜΕΘΟΔΟΣ NEWTON Μια επαναληπτική έκφραση για τη μέθοδο Newton είναι η εξής :

xg+1 = xg - [∇2 f(xg)]-1 ∙ ∇f(xg) Όπου g ο αριθμός των επαναλήψεων. Η μέθοδος χρησιμοποιεί το διάνυσμα κλίσης και το μητρώο Hess γεγονός που μειώνει τις επαναλήψεις αλλά αυξάνει τους υπολογισμούς σε κάθε επανάληψη.

108 Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων

)()()()()(

1111

ggT

ggTggg

ffffsfs

xxxxx

∇⋅∇∇⋅∇

+−∇=++

++

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΜΕΘΟΔΟΥ NEWTON

Σκοπός είναι η ελαχιστοποίηση της συνάρτησης ꞉ f(x1, x2, x3) = (x1)2 + x1(1 – x2) + (x2)2– x2x3 + (x3)2 + x3

ΕΠΙΛΥΣΗ

∇f(x)= [2x1+(1-x2) ,-x1+2x2-x3 ,-x2+2x3+1] Το μητρώο Hess είναι :

109 Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων

−−−

−=∇

210121

012)(2 xf

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΜΕΘΟΔΟΥ NEWTON

Το αντίστροφο του μητρώου Hess είναι : Επιλέγουμε :

110 Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων

[ ]

=

−−−

−=∇

−

−

43

21

41

2112

14

12

14

3

210121

012)(

1

12 xf

=

000

0x

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΜΕΘΟΔΟΥ NEWTON

11 0 2 0 0( ) ( )

3 1 14 2 40 1

1 1 0 1 02 20 131 1

4 2 4

f f−

= − ∇ ⋅∇

= − ⋅

x x x x

111 Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων

Και υπολογίζουμε το διάνυσμα κλίσης για την 1η επανάληψη : ∇ f(x0)=[0-0+1, -0+0-0, -0+0+1] => ∇ f(x0)=[1,0,1] Το καινούργιο x είναι:

Άρα :

−−−

=∴111

1x

Υπολογίζουμε το νέο διάνυσμα κλίσης ∇f(x1)= [-2+1+1, 1-2+1, 1-2+1]= [0,0,0] Εφόσον το διάνυσμα κλίσης ισούται με 0 η μέθοδος συγκλίνει.

ΜΕΤΑΕΥΡΕΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ

Πιο δημοφιλείς μεταευρεστικοί αλγόριθμοι :

Μέθοδος Στρατηγικών Εξέλιξης

Μέθοδος των Γενετικών Αλγορίθμων

Μέθοδος του Σμήνους Σωματιδίων

Μέθοδος της Αποικίας Μυρμηγκιών Διαχειρίζονται έναν πληθυσμό από λύσεις ταυτόχρονα. Βασικό πλεονέκτημα είναι ότι λόγω του τυχηματικού τους χαρακτήρα δεν

εγκλωβίζονται σε τοπικά ελάχιστα. Εντοπίζουν την περιοχή της καθολικά βέλτιστης λύσης.

Βασικό μειονέκτημα είναι ότι απαιτούν μεγάλο πλήθος υπολογισμών της

αντικειμενικής συνάρτησης.

112 Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων

ΜΕΤΑΕΥΡΕΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ

113 Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων

ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΝΟΣ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ

Με περιορισμούς

Μαθηματική διατύπωση προβλήματος βελτιστοποίησης με περιορισμούς ꞉

Opt(min/max) F(x)

s.t. hj (x)=0, j=1,…,p

gi (x) ≤0, i=1,…,m

Κλασσικές μεθοδολογίες επίλυσης ꞉

Άμεσες μέθοδοι

Έμμεσες μέθοδοι

114 Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων

ΣΥΝΘΗΚΕΣ KUHN-TUCKER

Το πρόβλημα βελτιστοποίησης με περιορισμούς μπορεί να μετατραπεί σε πρόβλημα χωρίς περιορισμούς ως εξής ꞉ Όπου L(x,λ) η συνάρτηση Lagrange της F και λ1, λ2 οι συντελεστές Lagrange. Αναγκαία αλλά όχι ικανή συνθήκη για να αποτελεί ο x* βέλτιστο (τοπικό ή ολικό) Αν ο σχεδιασμος x* είναι τοπικό βέλτιστο τότε ισχύουν οι συνθήκες Kuhn-Tucker Ο σχεδιασμός x* είναι εφικτός. λi∇gi (x*) =0, i=1,…,m και λi≥0 Οι συνθήκες Kuhn-Tucker είναι αναγκαίες συνθήκες για βέλτιστο. Όταν η εφικτή περιοχή είναι κυρτή, οι συνθήκες είναι και ικανές.

115 Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων

0*)(*)()()*,(11

=∇+∇+∇=∇ ∑∑==

xxxFxL gh i

m

iij

p

jj λλλ

0*)(*)(*)(11

=∇+∇+∇ ∑∑==

xxxF gh i

m

iij

p

jj λλ

0*)(*)()()*,(11

=∇+∇+∇=∇ ∑∑==

xxxFxL gh i

m

iij

p

jj λλλ

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ KUHN-TUCKER

min(x1-1)2+(x2-2)2

s.t. -x1+x2= 1 x1+x2≤ 2

116 Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων

F(x)=(x1-1)2+(x2-2)2

g(x)= x1+x2-2 h(x)= -x1+x2-1

Σχηματίζουμε την εξίσωση Lagrange : L(x,λ,μ,s)= (x1-1)2+(x2-2)2+λ(x1+x2-2+s2)+μ(-x1+x2-1)

Τότε : 1

1

22

21 2

1 2

2( 1) 0 1

2( 2) 0 2

2 0 3

1 0 4

2 0 5

L xxL xxL x x sL x x

L ss

λ µ

λ µ

λ

µλ

∂ ⇒ − + − = →∂∂ ⇒ − + + = →∂∂ ⇒ + − + = →∂∂ ⇒ − + − = →∂∂ ⇒ = →∂

0λ ≥2 0s ≥

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ KUHN-TUCKER

1η υπόθεση Αν s>0 τότε από 5 προκύπτει ότι λ=0 Από 1,2 => 2x1-μ-2=0 2x2+μ-4=0

117 Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων

x1+x2-3=0 --> 6

Από 4,6 => x1=1, x2=2 Από 3 => s2 <0 Επομένως οι συνθήκες K-T δεν ικανοποιούνται. 2η υπόθεση Αν s=0 τότε από 5 προκύπτει ότι λ>0 Από 3,4 => x1=1/2, x2=3/2 Από 1,2 προκύπτει λ=1, μ=0 Ικανοποιούνται οι συνθήκες Κ-Τ και εφόσον η εφικτή περιοχή είναι κυρτή πρόκειται για ολικό βέλτιστο.

ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

Η μέθοδος αυτή χρησιμοποιεί γραμμικοποιημένες συναρτήσεις περιορισμού τετραγωνική προσέγγιση της αντικειμενικής συνάρτησης για την μόρφωση και επίλυση ενός τετραγωνικού υποπροβλήματος. Κάθε υποπρόβλημα είναι της μορφής ꞉

Min 1/2pT∙H∙p+ cT ∙p s.t. A∙p+h(x)=0

A∙p+g(x)≤0 Όπου: • p: το διάνυσμα κατεύθυνσης το οποίο πρέπει κάθε φορά να βρίσκεται μεταξύ κάποιων ορίων ꞉

• c: το διάνυσμα των παραγώγων της αντικειμενικής συνάρτησης ως προς τις μεταβλητές σχεδιασμού • Α: το Ιακωβιανό μητρώο των συναρτήσεων περιορισμού • Η: το μητρώο Ηessian της συνάρτησης lagrangian.

118 Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων

ssxxxx uu −=−= ,11

ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

Μέθοδοι επίλυσης του QP υποπροβλήματος ꞉

Κύρια

Δυϊκή

Επιλέγεται η χρήση μιας κύριας μεθόδου τύπου Newton-Lagrange η οποία

χωρίζεται σε τρείς φάσεις ꞉

i.Επίλυση του QP υποπροβλήματος για την εύρεση του διανύσματος

κατεύθυνσης.

ii.Έρευνα γραμμής κατά μήκος του διανύσματος κατεύθυνσης p.

iii.Προσαρμογή του μητρώου Hessian H.

119 Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση Συστημάτων

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα Πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Ε.Μ.Π.» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση.