4 Geometrie in der Grundschule

• 4.1 Einführung• 4.2 Entwicklung räumlichen Vorstellungsvermögens• 4.3 Bilden geometrischer Begriffe• 4.4 Zu ausgewählten Inhalten des

Geometrieunterrichts in der Grundschule

Warum Geometrie in der Grundschule?

• Durch geometrische Aktivitäten können

• intellektuelle Kompetenzen (z. B. Raumvorstellung) und grundlegende geistige Fähigkeiten (z. B. Ordnen, Klassifizieren) gefördert werden

• Begriffsbildungsprozesse unterstützt werden• Erfahrungen zur Umwelterschließung und zum praktischen

Nutzen von Geometrie im Alltag gewonnen werden• Freude an der Geometrie und am entdeckenden und

problemorientierten Arbeiten geweckt werden

• Quelle: Franke, M.: Didaktik der Geometrie, 2000

Ziele des Geometrieunterrichts in der Grundschule

• Rahmenplan Hessen, S. 164:

• Der Geometrieunterricht in der Grundschule leistet einen wichtigen Beitrag zur Entfaltung des räumlichen Wahrnehmens und Denkens, zur Entwicklung des Orientierungsvermögens, zur Schulung der zeichnerischen Fähigkeiten und zur Präzisierung der Sprache. Er kann durch kreativen mit Materialien zur Förderung der Phantasie, der Selbständigkeit und des Interesses am Lösen mathematischer Probleme beitragen.

• Anmerkung: Konkretere Ziele folgen zu einzelnen Inhaltsbereichen.

Mathematikunterricht in der Grundschule

Allgemeine mathematische Kompetenzen:

•Problemlösen•Kommunizieren•Argumentieren•Modellieren•Darstellen

Inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen:•orientieren sich an Leitideen:

•Zahlen und Operationen•Raum und Form •Muster und Strukturen•Größen und Messen•Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

⇔

Standards der KMK von 2004

Kompetenzen der Bildungsstandards

• Leitidee: Raum und Form• sich im Raum orientieren• Geometrische Figuren erkennen, benennen und

darstellen• einfache geometrische Abbildungen erkennen,

benennen und darstellen• Flächen- und Rauminhalte vergleichen und

messen

Inhalte des Geometrieunterrichts in der Grundschule

• Grundideen der Elementargeometrie (Wittmann 1999):

• Geometrische Formen und ihre Konstruktion• Operationen mit Formen• Koordinaten• Maße• Muster• Formen in der Umwelt• Geometrisieren

Inhalte des Geometrieunterrichts in der Grundschule

• Kernideen für den Geometrieunterricht in der Grundschule (Franke 2000):

• Geometrische Formen• Operieren mit Formen• Beziehungen zwischen Formen

• Die Inhalte zu den Kernideen sind relativ frei wählbar und austauschbar. Es empfiehlt sich, Objekte einzubeziehen, die aus den ebenen Grundformen hervorgehen, d.h. mit ihnen beschrieben (wie Parkette), aus ihnen hergestellt (wie Quader, Würfel...), als Eigenschaft von ihnen gewonnen ( wie Strecke, Punkt...) werden können

Kernideen des Geometrieunterrichts in der Grundschule

• Geometrische Formen

• Herstellen von Grundformen• Herstellen von Objekten aus Grundformen• Erkennen und Beschreiben von Grundformen• Erschließen der Umwelt mit Hilfe von

Grundformen• Erste Erfahrungen zu Maßen geometrischer

Grundformen

Kernideen des Geometrieunterrichts in der Grundschule

• Operieren mit Formen

• Abbilden in der Ebene• Projizieren vom Raum in die Ebene• Verändern durch Zerlegen und Zusammensetzen

oder auch durch Verzerren, Vergrößern und Verkleinern

Kernideen des Geometrieunterrichts in der Grundschule

• Beziehungen zwischen Formen

• Orientierung im Raum und in der Ebene• Lagebeziehungen zwischen Objekten• Symmetrie• Muster, Bandornamente und Parkette.

Inhalte des Geometrieunterrichts in der Grundschule

• Rahmenplan Hessen, S. 156:

• Die Inhalte lassen sich in die folgenden Bereiche aufteilen, dieaber im Unterricht miteinander verbunden sind:

• Lagebeziehungen• Eigenschaften von Gegenständen• Geometrische Figuren und Körper• Muster, Ornamente, Symmetrien• Größe und Umfang von Figuren• Umgang mit Zeichengeräten

Gestaltungsprinzipien des Geometrieunterrichts in der Grundschule

• Der Geometrieunterricht in der Grundschule sollte• an reale Erfahrungen der Schüler aus der Umwelt anknüpfen• anwendungsorientiert sein• Handlungserfahrungen und praktische Tätigkeiten ermöglichen• fächerübergreifend sein (Kunst, Sachunterricht, Sport …)• (inhaltlich- integrativ) mit anderen mathematischen Inhalten

verzahnt werden• spielerisch und sozial organisiert sein• sich in Modellen und mit geeigneten Materialien konkretisieren• durch entsprechende Übungen auf räumliche

Vorstellungsfähigkeit orientiert sein• sich über das das ganze Schuljahr erstrecken• offener Unterricht sein

4.2 Entwicklung räumlichen Vorstellungsvermögens

• Sieben Primärfaktoren als Grundbedingungen für Intelligenzleistung (THURSTONE):

• Faktor V (Sprachverständnis)• Faktor W (Wortflüssigkeit)• Faktor N (Rechenfertigkeiten)• Faktor P (Wahrnehmungstempo)

• Faktor S (räumliches Vorstellungsvermögen)• Faktor M (Merkfähigkeit)• Faktor R (logisches oder schlussfolgerndes Denken)

Teilkomponenten des räumlichen Vorstellungsvermögens

• Räumliche Wahrnehmung (spatial perception) • Räumliche Beziehungen (spatial relations) • Veranschaulichung (visualization) • Räumliche Orientierung (spatial orientation) • Vorstellungsfähigkeit von Rotationen (mental

rotation)

Teilkomponenten des räumlichen Vorstellungsvermögens

• Räumliche Wahrnehmung (spatial perception)beschreibt die Fähigkeit die räumlichen Beziehungen in Bezug auf den eigenen Körper zu erfassen.

Teilkomponenten des räumlichen Vorstellungsvermögens

• Räumliche Wahrnehmung • Beispiel: “Wasseraufgabe”

• Bei welchem der geneigten Gläser wird die Wasseroberflächedurch eine horizontale Linie veranschaulicht?

Teilkomponenten des räumlichen Vorstellungsvermögens

• Räumliche Beziehungen (spatial relations)• Dieser Faktor beinhaltet vorwiegend das richtige

Erfassen räumlicher Gruppierungen von Objekten oder Teilen von ihnen oder deren Beziehungen untereinander.

Teilkomponenten des räumlichen Vorstellungsvermögens

• Räumliche Beziehungen• Die Testperson soll entscheiden, welche der Figuren gleich,

welche verschieden sind, wenn sie durch Drehung auf dem Blatt in die gleiche Lage gebracht werden können.

Teilkomponenten des räumlichen Vorstellungsvermögens

• Veranschaulichung (visualization) umfasst die gedankliche Vorstellung von räumlichen Bewegungen wie Verschiebungen und Faltungen von Objekten oder Teilen von ihnen, ohne Verwendung anschaulicher Hilfen

Teilkomponenten des räumlichen Vorstellungsvermögens

• Veranschaulichung• Es sind die Abbildungen mit „+“ zu kennzeichnen, die dieselbe

Seite der Karte zeigen, und die Abbildungen mit „-“, die die Gegenseite zeigen.

Teilkomponenten des räumlichen Vorstellungsvermögens

• Räumliche Orientierung (spatial orientation)erfordert die Einordnung der eigenen Person in eine räumliche Situation.

Teilkomponenten des räumlichen Vorstellungsvermögens

• Räumliche Orientierung • Die Fotografien sollen in die richtige Reihenfolge gebracht

werden.

Teilkomponenten des räumlichen Vorstellungsvermögens

• Vorstellungsfähigkeit von Rotationen (mental rotation) umfasst die Fähigkeit, sich schnell und exakt Rotationen von zwei- und dreidimensionalen Objekten vorzustellen.

Teilkomponenten des räumlichen Vorstellungsvermögens

• Vorstellungsfähigkeit von Rotationen • Welche der vier unteren Figuren stimmen mit der Standardfigur

überein?

Visuelle Wahrnehmung

• Visuelle Wahrnehmung ist eine Voraussetzung des räumlichen Vorstellungsvermögens.

• Wahrnehmen ist ein aktiver Prozess, der sich vom reinen Sehen unterscheidet.

• Der Wahrnehmungsprozess ist eng mit dem Gedächtnis und darin gespeicherten Erfahrungen, mit Vorstellungen, mit dem Denken und auch mit der Sprache verbunden.

• Im Verlauf dieses Prozesses werden Merkmale eines Gegenstandes identifiziert, zueinander in Beziehung gesetzt und miteinander verglichen.

Bereiche der visuellen Wahrnehmung

• Fünf Bereiche nach MARIANNE FROSTIG:• Die visuomotorische Koordination • Die Figur-Grund-Diskriminierung • Die Wahrnehmungskonstanz • Die Wahrnehmung räumlicher Beziehungen • Die Wahrnehmung der Raumlage

• Zwei weitere Komponenten nach HOFFER:• Visuelle Unterscheidung• Visuelles Gedächtnis

Bereiche der visuellen Wahrnehmung

• Die visuomotorische Koordination ist die Fähigkeit des Menschen, das Sehen mit dem eigenen Körper oder Teilen des Körpers zu koordinieren.

• Beispiele:• Fangen eines Balls• Ausschneideübungen• Nachzeichenübungen

Bereiche der visuellen Wahrnehmung

• Die Figur-Grund-Diskriminierung ist die Fähigkeit aus einem komplexen Hintergrund bzw. einer Gesamtfigur eingebettete Teilfiguren zu erkennen und zu isolieren

Färbe das Rechteck!

Bereiche der visuellen Wahrnehmung

• Die Wahrnehmungskonstanz kennzeichnet die Fähigkeit, Figuren in verschiedenen Größen, Anordnungen, räumlichen Lagen oder Färbungen wieder zu erkennen und von anderen Figuren zu unterscheiden.

Bereiche der visuellen Wahrnehmung

• Die Wahrnehmung räumlicher Beziehungen ist die Fähigkeit, Beziehungen zwischen räumlichen Objekten zu erkennen und zu beschreiben.

Bereiche der visuellen Wahrnehmung

• Die Wahrnehmung der Raumlage wird erklärt als das Erkennen der Raum-Lage-Beziehung eines Gegenstandes zu dem Standpunkt der Person, die den Gegenstand wahrnimmt.

Weitere Komponenten

(Hoffer 1977)

• Visuelle UnterscheidungFähigkeit, Ähnlichkeiten und Unterschiede zwischen Objekten zu erkennen

• Visuelles GedächtnisFähigkeit, charakteristische Merkmale eines nicht mehr präsenten Objektes auf andere präsente Objekte zu beziehen

Visuelle Unterscheidung

Beispiel:

Visuelles Gedächtnis

Beispiel:

Betrachte das linke Regal. Nun decke es ab. Welches Objekt steht an welcher Stelle?

Konsequenzen• Defizite in der visuellen Wahrnehmung

können sich bemerkbar machen:– vermeintliche Unaufmerksamkeit– Ziffern- und Buchstabenschreiben– Verwechseln seitenverkehrter Buchstaben

und Zahlen

• Frühzeitige Feststellung von Schwierigkeiten und ausreichende Förderung

Kopfgeometrie

• Kopfgeometrie ist ein Mittel zur Schulung des räumlichen Vorstellungsvermögens.

• Die Kopfgeometrie umfasst alle mündlich (im Kopf) zu lösenden geometrischen Aufgaben, die das visuelle Wahrnehmungs- und das räumliche Vorstellungsvermögen schulen.

Kopfgeometrie

• Beispielaufgabe:

• Stelle Dir vor: Auf dem Tisch liegen ein Rechteck, ein Kreis, ein Quadrat und ein Dreieck. Der Kreis liegt links vom Rechteck. Das Dreieck liegt zwischen dem Rechteck und dem Quadrat. Das Quadrat liegt rechts außen. In welcher Reihenfolge liegen die Figuren?

• Reihenfolge (von links):• Kreis – Rechteck – Dreieck - Quadrat

Kopfgeometrie

• Phasen beim Arbeiten mit kopfgeometrischen Aufgaben:

• Phase 1: Aufgabenstellung

• Phase 2: Mentales Operieren (gedankliches Lösen)

• Phase 3: Ergebnisdarstellung

• (Phase 4: Kontrollphase)

Kopfgeometrie

• Typisierung von Aufgabenstellungen zur Kopfgeometrie (je nach Einsatz von Hilfsmitteln):

• 1. Reine Kopfgeometrie (ohne Hilfsmittel)

• 2. Kopfgeometrie mit Hilfsmitteln in Phase 1 (Aufgabenstellung)

• 3. Kopfgeometrie mit Hilfsmitteln in Phase 3 (bei der Ergebnisdarstellung)

• 4. Kopfgeometrie mit Hilfsmitteln in Phase 1 und 3 (bei der Aufgabenstellung und Ergebnisdarstellung)

Reine Kopfgeometrie

Der gekippte Würfel 1

Ein Spielwürfel liegt so auf dem Tisch, dass die 6 oben ist. Welche Zahl ist nicht sichtbar, auch nicht wenn man um den Tisch herum geht?

Der Würfel wird nun nach rechts gekippt und die 4 liegt oben. Welche Zahl liegt unten, welche links, welche zeigt nach vorn und welche nach hinten?

Kopfgeometrie mit Hilfen in Phase 1

Der gekippte Würfel 2

Der gekippte Würfel 2

Kopfgeometrie mit Hilfen in Phase 3

Der gekippte Würfel 3

Ein Spielwürfel liegt mit der 6 nach oben auf dem Mittelfeld eines 5 mal 5 Gitters.

Finde eine Kippfolge, so dass am Ende die 6 wieder oben, aber auf einem anderen Feld liegt. Zeichne sie an der Tafel an!

Zeichne jeweils die oben liegen-den Zahlen in das 5 mal 5 Feld ein.

Kopfgeometrie mit Hilfen in Phase 1 und 3

Der gekippte Würfel 4

Entwicklung des räumlichen Denkens

• Stadien der Intelligenzentwicklung nach PIAGET:

• Sensomotorische Phase (bis 2 Jahre)

• präoperationale Phase (bis 7 Jahre)

• konkret-operationalen Phase (bis 11 Jahre)

• formal-operationale Phase (ab 11 Jahre)

Entwicklung des räumlichen Denkens

• drei Grundformen räumlicher Beziehungen :

• Topologische Beziehungen

• Projektive Beziehungen

• Euklidische Beziehungen

Entwicklung des räumlichen Denkens

• Die Entwicklung topologischer Beziehungen

• Unterscheidung offen – geschlossen (3,6 – 4 J.)

• Unterscheidung gebogen – geradlinig ... fortschreitende Differenzierung euklidischer Figuren (4 – 7 J.)

• Synthese komplexer Figuren (6,6 – 7 J.)

Entwicklung des räumlichen Denkens

• Die Entwicklung projektiver Beziehungen

• Ab etwa 7 Jahren Konstruktion projektiver Geraden, Erfassen von Perspektiven, Projektionen verstehen

• Konstruktion der projektiven Geraden

• Drei-Berge-Versuch

Entwicklung des räumlichen Denkens

•Drei-Berge-Versuch

Entwicklung des räumlichen Denkens

• Die Entwicklung euklidischer Beziehungen

• Im Alter von 7 bis 12 Jahren beginnt das Kind in Begriffen des euklidischen Raumes zu denken

• 7 Jahre: Erkenntnis, dass sich Gegenstände durch Verschieben nicht verändern

• 8 Jahre: Erfassen des Messens und der Invarianz• 10 Jahre: Umgang mit Lage und Distanz bei maßstäblichen

Verkleinerungen• 12 Jahre: Beherrschen des Volumenbegriffs, Unterscheiden von

der Oberfläche• Versuche zur Wasseroberfläche in einem Gefäß

4.3 Bilden geometrischer Begriffe

• Was ist ein Begriff?

• Wir sprechen dann von einem Begriff, wenn damit nicht nur ein einzelner Gegenstand – oder auch ein Ereignis usw. – bezeichnet wird, sondern eine Kategorie, eine Klasse assoziiert wird, in die der konkrete Gegenstand einzuordnen ist.

• (Franke 2000, S. 72)

Arten geometrischer Begriffe

• Objektbegriffe

• Eigenschaftsbegriffe

• Relationsbegriffe

Objektbegriffe

• Objektbegriffe umfassen die ebenen und räumlichen Objekte, die durch konkrete Gegenstände oder Modelle repräsentiert werden. Jeder Objektbegriff steht für eine Klasse von Elementen, die gemeinsame Eigenschaften besitzen.

• Beispiele:• Würfel, Kugel – Quadrat, Dreieck, Kreis

Eigenschaftsbegriffe

• Eigenschaftsbegriffe werden zum Definieren von weiteren Begriffen – meist Unterbegriffen - benutzt, indem ein Oberbegriff durch Festlegen von Eigenschaften wieder in Klassen unterteilt wird. Damit können als Eigenschaftsbegriffe auch Bezeichnungen für Objekte auftreten.

• Beispiele: • Ecke, Kante, Seitenfläche – krumm, gerade, rund

Relationsbegriffe

• Relationsbegriffe beschreiben Beziehungen zwischen geometrischen Objekten. Dabei handelt es sich entweder um Relationen in einer bestimmten Figurenmenge oder um Relationen zwischen zwei Figurenmengen.

• Beispiele: • steht neben, liegt hinter, schneiden sich, ist parallel

zu, ist senkrecht zu, ist deckungsgleich zu

Entwicklung geometrischen Denkens

• Modell zur Entwicklung des geometrischen Denkens (VAN HIELE)

• Dina van Hiele-Geldof und Pierre Marie van Hiele

• Fünf Stufen des geometrischen Verstehens und Denkens, die besondere Charakteristika des Denkprozesses beschreiben.

• Nach den VAN HIELES können Schüler im Sekundarstufenalter mehrere der Fähigkeitsstufen im Geometrieunterricht durchlaufen, wenn eine Förderung und Anregung durch geeignete unterrichtliche Maßnahmen erfolgt.

• Das Modell sieht (im Gegensatz zu PIAGET) eine Entwicklung in den sinnvollen Methoden und Materialangeboten des Unterrichts

Entwicklung geometrischen Denkens

• Modell zur Entwicklung des geometrischen Denkens (nach VAN HIELE)

• Niveaustufe 0: Anschauungsgebundenes Denken• Niveaustufe 1: Analysieren geometrischer

Figuren und Beziehungen• Niveaustufe 2: Erstes Ableiten und Schließen• Niveaustufe 3: Geometrisches Schließen /

Deduktion• Niveaustufe 4: Strenge abstrakte Geometrie

Entwicklung geometrischen Denkens

• Niveaustufe 0: Anschauungsgebundenes Denken

• Geometrisches Denken ist weitgehend materialgebunden• Räumliche Beziehungen werden nur in der unmittelbaren

Umgebung von den Schülern erfasst• Geometrische Figuren werden als Ganzheiten gesehen • es werden noch keine Eigenschaften betrachtet

• Beispiele (Grundschule):• Unterscheiden geometrischer Figuren• Legen von Formen, Färben, Falten...• Auslegen, Zusammensetzen und Zerlegen von Figuren

Entwicklung geometrischen Denkens

• Niveaustufe 1: Analysieren geometrischer Figuren und Beziehungen

• Durch Handlungserfahrungen und genaueres Betrachten können Schüler Einzelaspekte geometrischer Figuren unterscheiden und feinere Klasseneinteilungen vornehmen

• Beziehungen zwischen Figuren und Eigenschaften sind noch nicht einsehbar

• Beispiele (Grundschule):• Spiegelachsen herstellen• Geometrische Figuren durch Auflisten unterscheiden• Körperformen nach wichtigsten Eigenschaften unterscheiden

Entwicklung geometrischen Denkens

• Niveaustufe 2: Erstes Ableiten und Schließen

• Beziehungen zwischen den Eigenschaften einer Figur und denen verwandter Figuren können hergestellt werden

• Für die Schüler sind Klasseninklusionen möglich und geometrische Definitionen verständlich

• Dieses Verständnis erwächst aus experimentellen Erfahrungen, nicht über geometrische Axiome

• Beispiele (Grundschule):• Zusammenhang Quadrat – Rechteck• Bewusstes Verändern von Vierecksformen am Geobrett

Entwicklung geometrischen Denkens

• Niveaustufe 3: Geometrisches Schließen / Deduktion

• Schlussfolgerungen als Grundlagen eines geometrischen Denkens werden verstanden und angewandt

• Zwischen geometrischen Axiomen, Definitionen, Sätzen, Beweisen kann unterschieden werden.

• Niveaustufe 4: Strenge abstrakte Geometrie• Arbeiten in einem Axiomensystem• Diese Stufen (in der Grundschule beginnend) bei der

Behandlung geometrischer Begriffe durchlaufen werden.