8 Teilchen als Wellen

1924: De Broglie Wellenlänge eines Teilchens:

= h/p = h/ 2m0Ekin

Beispiel 1:

100 g Ball, 100 km/h

2*10-34 m

vgl: Atom 10-10 m, Kern 10-15m

Beispiel 2:

Elektron 100eV

1.2*10-10 m

Ergänzungen auf Fragen nach der letzten Stunde:

Doppelspalt: Was passiert, wenn man eine Seite zuhält?

Doppelspalt: Was passiert, wenn man eine Seite zuhält?

Schliesse 1 Schlitz NACHDEM das Teilchen emittiert wurde:

Delayed Choice:

Interferenzz.B. Auslöschung

Delayed Choice:

Schalte Spiegel aus NACHDEM der Puls durch

den Teiler istKeine Interferenz!

Was passiert wenn die Teilchen die Grösse der Schlitze haben?

Auch für Wasserwellen ist die Überlagerung 2er Kugelwelleneine Idealisierung.

Details hängen vonder Form

der Schlitze ab.

Reibung,Viskosität, Wirbel etcspielen eine Rolle!

Kirchhoff: Beugung am Gitter hängt von der Schlitzbreite ab

He Teilchenwelle

Gitter Einhüllendehängt von Stegbreiteund Schlitzbreite ab.

Kirchhoff: Beugung am Gitter hängt von der Schlitzbreite ab

He Teilchenwelle

Einhüllendehängt von Stegbreiteund Schlitzbreite ab.

Gitter

Toennies & Grisenti

Kirchhoff: Beugung am Gitter hängt von der Schlitzbreite ab

He Teilchenwelle

Einhüllendehängt von Stegbreiteund Schlitzbreite ab.

Gitter

Toennies & Grisenti

Kirchhoff: Beugung am Gitter hängt von der Schlitzbreite ab

He Teilchenwelle

Gitter

Toennies & Grisenti

Effektive Schlitzbreite hängt von Teilchendurchmesser ab!

Helium Molekül: 50 Angstrom, 10-7 eV

Heisenbergsche Unschärferelation

x px ħ

Ort und Impuls eines Teilchenskönnen nicht genauer bestimmt werden

Es gibt keine Wechselwirkungfreie Beobachtung

P= h / c

Die Messung des Ortes erfordert Streuung von Licht, dadurch ist der Impuls nach der Messung geändert

Gute Ortsauflösung=kurze Wellenlänge=

hoher Impuls

9. Heisenbergsche Unschärfe

Heisenbergsche Unschärferelation

x px ħ

Ort und Impuls eines Teilchenskönnen nicht genauer bestimmt werden

Der Meßprozeß ändert den Zustand des zu messenden Objektes!

Präzise Impulsmessung

Objekt inunbekanntem

Zustand

Ort unbekannt,Impuls bekannt

Präzise Ortsmessung benötigt grossen Impulstransfer!

Objekt wieder in unbekanntem Impulszustand

Ort bekannt

Heisenbergsche Unschärferelation

x px ħ

Ort und Impuls eines Teilchenskönnen nicht genauer bestimmt werden

Theorie die nicht Aussage über die Welt an sich macht,sondern nur über mögliche Meßgrössen

Der Meßprozeß ändert den Zustand des zu messenden Objektes!

Die Wechselwirkung kann nicht beliebig klein sein!(gequantelt!)

Zeit

Ort

xKlassische Bahn eines Teilchen

Px=mdx/dt

Impuls px

Ort

x

Punkt im Phasenraum

zu einem Zeitpunkt

QM

t als Parameter

t1

t2 t3

Impuls px

Ort

x

x px ħ

Impuls ist NICHT dx/dtDa wenn x scharf p unscharf

Vorhersage unscharf

Zeit

Ort

x

Präzise Impulsmessung

Objekt inunbekanntem

Zustand

Ort unbekannt,Impuls unbekannt

Präzise Ortsmessung benötigt grossen Impulstransfer!

Objekt wieder unbekanntem Impulszustand

Ort bekannt

Impuls px

Ort

x

x px ħ

Impuls px

Ort

x

x px ħ

Wellenfunktion:

Licht:

E=h

P= h / c

Materie:

E= h = ħ

p= h/ = ħ k k=2/

A(x,t) = A0 cos(kx - t)

Ebene Welle:

Wellenfunktion:

Licht:

E=h

P= h / c

Materie:

E= h = ħ

p= h/ = ħ k k=2/

A(x,t) = A0 cos(kx - t)

Ebene Welle:

x px ħ

Extremfall: scharfer Impuls p = ħ k

Völlig delokalisiert (unendlich ausgedehnt) Impuls pxO

rt x

x px ħ

Wellenfunktion:

A(x,t) = A0 cos(kx - t)

Ebene Welle:

Wellenpaket: Überlagerung aus Ebenen Wellen verschiedenen k

Fourieranalyse: Aufbau aus harmonischen Schwingungen

= h/p = h/ 2m0Ekin

Beispiel: Schiefer Wurf

http://www.kfunigraz.ac.at/imawww/vqm/german/wellen3.html

Quantemechanische Teilchenx px ħ

„Wellenpaket“

Impuls px

Ort

x

x px ħ

Klassiche Bahn

Ortsunschärfe

Impuls: WellenlängeUnschärfe: verschiedene Wellenlängen

= h/p = h/ 2m0Ekin

Beispiel: Schiefer Wurf

http://www.kfunigraz.ac.at/imawww/vqm/german/wellen3.html

•Wellenlänge länger (langsamer am Scheitelpunkt)•Ausgedehnter: auseinandergelaufen

= h/p = h/ 2m0Ekin

Beispiel: Schiefer Wurf

Siehe movie aufhttp://www.kfunigraz.ac.at/imawww/vqm/german/wellen3.html

•Wellenlänge länger (langsamer am Scheitelpunkt)•Ausgedehnter: auseinandergelaufen

Doppelspalt:

Gausssche WellenpaketGaussverteilung im Ort Impuls

Impuls px

Ort

x

x px ħ

Höhe: Wahrscheinlichkeit ein Teilchen dort zu finden

ORT: dargestellt

Impuls: nicht zu sehen

Movie auf http://rugth30.phys.rug.nl/quantummechanics/diffint.htm#Double-slit

Doppelspalt:

Impuls px

Ort

x

x px ħ

ORT: dargestellt

Impuls: in der Wellenlänge

Amplitude:Farbsättigung

Movie aufhttp://www.kfunigraz.ac.at/imawww/vqm/german/wellen3.html

x px ħ

Heisenbergsche Unschärfe Relation

Ort / Impuls

Konsequenz:

x

Pot

entie

lle E

nerg

ie Klassisch:Oszillationzwischen Potentieller undkinetischerEnergie

x px ħ

Heisenbergsche Unschärfe Relation

Ort / Impuls

Konsequenz:

x

Pot

entie

lle E

nerg

ie

Klassisch:ein Teilchen kannin Ruhe am Boden sitzen

x px ħ

Heisenbergsche Unschärfe Relation

Ort / Impuls

Konsequenz:

x

Pot

entie

lle E

nerg

ie

x

px

QM:In einem

Potentialtopfgibts immer eine

„Nullpunkts-schwingung“

Heisenbergsche Unschärfe Relation

x px ħ

x

Pot

entie

lle E

nerg

ie

x

px

ħ = 1 10-34 kg m2/sec

10-26 m/sec

Kugel 10gauf 1m

Heisenbergsche Unschärfe Relation

x px ħ ħ = 1 10-34 kg m2/sec

Elektronen im Atom:

Radius: 10-10m

Elektronenimpuls>10-24 kg m/sec

me=9 10-31kg -> 9 107 m/sec

x px ħ

Heisenbergsche Unschärfe Relation

Ort / Impuls

Energie/Zeit t E ħ

Folgen:

•Monochromatisches Licht kann nicht sehr kurz sein•Ein kurzlebiger Zustand hat keine scharfe Energie•Nur stabile Zustände (Bohrmodel) haben scharfe Energie

Energieerhaltung?kann kurzzeitig verletzt sein!

Gilt streng im Einzelprozess, aber nicht in beliebig kurzenZeitintervallen.

Beispiel 1: t E ħ

Beispiel 1: t E ħ

Klassische Mechanik

Energieerhaltung giltfür jeden Zwischenschritt

Quantenmechanik

Energieerhaltung gilt fürZwischenschritte nur innerhalb

t E ħ

Beispiel 2: t E ħ

Kurze Lichtpulse sind breitbandig: t E ħ = 6.58*10-16 eVs

Kurzer Laserpuls

Überlagerung von ebenen Wellen

Bsp: 5*10-15 sec (femto) 0.1 eV (von z.B. 1,5 eV)

Ephoton= h langer sinus: scharfe Energie

•Teilchen durch Wellen beschrieben (de Broglie)•Die Wellen interferieren •Amplitudenquadrat ist Wahrscheinlichkeit•Unschärfe von Ort & Impuls, Energie & Zeit •Ebene Wellen: Impuls aber kein Ort•Teilchenanschauung: Wellenpaket

9. Heisenbergsche Unschärferelation10. Das Bohrsche Atommodell10.1. Diskrete Spektren

Schwarzer Strahler

9. Heisenbergsche Unschärferelation10. Das Bohrsche Atommodell10.1. Diskrete Spektren

a) Absorbtionsspektren

WasserstoffAbsorbtionsspektrum

WasserstoffGas

9. Heisenbergsche Unschärferelation10. Das Bohrsche Atommodell10.1. Diskrete Spektren

b) Emissionsspektren

a) Absorbtionsspektren

Helium

Wasserstoff Emissionsspektrum

Wellenlänge nm

H

SpektralanalyseKirchhoff und Bunsen:

Jedes Element hat charakteristische Emissionsbanden

H

1853 von Anders Jonas Angström entdeckt

H

1 Å = 10-10 m

sichtbar

infrarot

ultaviolett

Rydbergkonstante109678 cm-1

ganze Zahlen

Lyman n1=1Balmer n1=2Paschen n1=3

9. Heisenbergsche Unschärferelation10. Das Bohrsche Atommodell10.1. Diskrete Spektren10.2. Die Bohrschen Postulate

Wie RutherfordElektronen auf Kreisbahnen

Coulomb Anziehung Z=1, e-

Zentrifugalkraft:mer2

Gesamtenergie des Elektrons auf der Bahn:

0

Ene

rgy r

Epot

E = Ekin + Epot

negativEnergie die frei wirdwenn Elektron von unendlichzum Radius r gebracht wird.

Widerspruch zur klassichen Mechanik & Maxwellgleichungen:

•Bewegte Ladung strahlt Energie ab, Elektron stürzt in Kern!

•Strahlung ist nicht quantisiert keine diskreten Linien!

Bohrsche Postulate (Niels Bohr 1913)

•Elektronen bewegen sich auf Kreisbahnen

•Die Bewegung ist strahlungsfrei

•Der Drehimpuls der Bahnen ist quantisiert l=n ħ

(Historisch nicht korrekt)

nrn

Ry = Rydbergkonstante (Ionisierungsenergie n=1)109678 cm-1

Radius des Wasserstoffatomsrn=1= 0.59 10-10m

Ionisierungsenergie des Wasserstoffatoms

En=1= 13.59 eV

Z2 !! dh. Uran 115 keV

Einige Zahlenwerte:

Heisenbergsche Unschärfe x px ħ

10.3 Rydberg Atome

n=10 000

Radius = 0.6 mm En=10 000= 1.3 10-7 eV

0.01 mm wurde wirkliche erreicht!

10.3 Rydberg Atome :

Rydberg Atome

•rn n2

•vn 1/n

Heisenbergsche Unschärfe x px ħ

n ! 1

Übergang zu klassischer Bahn(Bohrsches Korrespondezprinzip)

Lebensdauer steigt E3