1

08b Schwerpunkt und Impuls

2

Zusammenfassung

Der Massenschwerpunkt eines ausgedehnten Objektes bewegt sich entlang einer geraden Linien, wenn keine Kräfte auf den Gesamtkörper wirken

ausgezeichneter Punkt eines Körpersalle Kräfte greifen an diesem Punkt an

Position des Massenschwerpunktscenter of mass (CM) N

NNcm mmm

xmxmxmx++++++

=......

21

2211

Newtonsche Bewegungsgleichung gilt auch für den Massenschwerpunkt

Bewegung eines ausgedehnten Körpers unter dem Einfluss äußerer Kräfte (hier Gravitation)

NmmmM +++= ...21

cmres MaF =Gesamtmasse

Beschleunigung des Massenschwerpunkts

Kraft auf den Massenschwerpunkt

keine Berücksichtigung interner Kräfte (chemische Bindung, ...)

Gesamtmasse M des Systems ändert sich nicht (geschlossenes System)

keine Aussage über Beschleunigung der Einzelkomponenten

3

Grand Jetéschwebende Balletösen

4

Grand Jetéwarum keine Parabelbahn?

5

Rückgriff 2D Kinematik

time time

take off

landverti

cal v

eloc

ity

horiz

onta

l vel

ocity

going up coming down

time timeverti

cal p

ositi

on

horiz

onta

l pos

ition

going up coming down

Geschwindigkeit

Position

horizontale Geschwindigkeit

horizontale Position Zeitrichtung

vertikal horizontal

Vertikale Bewegung ergibt die bekannte parabelförmige Bahn.

Horizontale Komponente ist linear mit der Zeit (keine Geschwindigkeitsänderung)

Geschwindigkeitskomponenten der Tänzerin als Funktion der Zeit während des Sprungs.

Vertikale Geschwindigkeit linear mit der Zeit.Horizontale Komponente konstant

6

Wenn Newton recht hat ....

2 ft

7.1 ft

... dann ist die Trajektorie des Massenschwerpunkts der Tänzerin ebenfalls eine Parabelbahn.

0.60 m

2.16 m

v=3 m/s

Wo kommt dann der Eindruck her, dass die Tänzerin schwebt???

7

Der Schlüssel zum Erfolg

Durch Heben der Hände, d.h. durch Verlagerung des Schwerpunkts in Richtung Kopf wird der Eindruck des Schwebens erweckt.

2 ft

1.3 ft

Vertikale Bewegung des Kopfes damit geringer als die

vertikale Bewegung des Schwerpunkts

8

Illusion der schwebenden Tänzerin

Half the time in the jump is spentbetween these two points

Top of the dancer’s headspends half the time of the

jump between these two points

Grand Jeté

Während der Hälfte der Zeit für den Sprung ändert sich die Position des Kopfes nur geringfügig, während sich der Schwerpunkt auf der

Parabelbahn bewegt.

KopfhΔ

tΔ

CMhΔ

9

HochsprungWarum springen heutzutage alle Weltklassehochspringer eigentlich den Fosbury Flop?

Schersprung

Rollsprung

1800 Beginn Schottische Highland GamesHocksprung

1874 William Page Schersprung

1912 George Horine erster Mensch springt über 2mWestern-Roller

1936 David AlbrittonStraddle

1968 Dick Fosbury Fosbury Flop

10

Straddle

Christian SchenkStraddle technik 2.27m

10-Kampf Olympiasieger 1988 Seoul

Rosemarie Ackermann1977 Weltrekord. Erste Frau, die die 2m Marke überspringt

Wladimir Jaschtschenko1977 Weltrekord 2,33m 1978 Hallenweltrekord 2,35m,

11

Fosbury Flop

Dick Fosbury Olympische Spiele 1968 Mexico City Goldmedallie 2,24m

12

Hochsprungein Blick auf den Schwerpunkt

Schersprung

Wälzsprung

13

Fosbury Flop

14

Javier Sotomayor

Javier SotomayorKörpergröße 1.93 m

Weltrekord 19932.45m

15

Impuls

Der lineare Impuls eines Teilchens p ist eine Vektorgröße und ist definiert als

vrr mp =

Oft wird in diesem Zusammenhang nur von Impuls stattlinearem Impuls gesprochen. Wir werden später noch eine

weitere Größe kennen lernen- den Drehimpuls, der verbunden ist mit der Beschreibung von Rotationen.

Da die Masse m eine positive, skalare Größe ist, zeigen die Vektoren von Impuls und Geschwindigkeit stets in dieselbe Richtung.

Zweites Newtonsches Axiom

pdtdm

dtdamFres

rrr=== v

Wichtige Konsequenz:Ohne äußere Einwirkung (Fres) ändert sich der Impuls p eines Teilchens nicht.

[ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅

=s

mkgImpulses desEinheit

p

vr

pr

16

Bat strikes Baseballoder umgekehrt

Newtonsche Gesetze gelten auch hier!

d.h. Impuls kann auch auf andere Körper übertragen werden.

17

Gesamtimpuls

nppppP rrrrr++++= ...321

n332211 v...vvv rrrrrnmmmmP ++++=

CMvrr

MP = linearer Impuls eines Systems von Massenpunkten

Der Impuls P eines Systems von Massenpunkten ist das Produkt aus der Gesamtmasse M des Systems und der Geschwindigkeit des Schwerpunktes vCM

Betrachte die Impulse der Einzelteilchen

PdtdF

aMMdtdP

dtd

res

CM

rr

rrr

=

== CMv

Zweites Newtonsches Gesetz für ein System von Massenpunkten

Wieder giltOhne Äußere Einwirkung (Fres) ändert sich auch der Gesamtimpuls P eines Systems von Teilchens nicht.

nmmmmM ++++= ...321

CMvr

1vr

nvr

2vr

18

Zeitabhängigkeit im StossprozessKraftstoss

Einfluss auf Impulskomponente - Starke Abbremsung, - Anhalten des Balls- Änderung der Bewegungsrichtungund Deformationelastische Energie

)(tFr

dttFpd )(rr

=Im Zeitintervall dt ändert sich durch Einwirkung einer (zeitabhängigen) Kraft F(t) der Impuls um die Größe dp

∫∫ = f

i

f

i

t

t

t

tdttFpd )(

rr

∫ Δ== f

i

t

tpdttFJ rrr

)(

ppppdf

i

t

t

rrrrΔ=−=∫ 12

Größe der Kraft und Dauer der EinwirkungImpulsänderung

Definition Kraftstoss

19

Kraftstoß

Zeit t

Kraft F

∫= dttFJ )(rr

tΔ

avgFr J

rtFJ avgΔ=

rr Wenn der genaue Verlauf von F(t) unbekannt ist und nur der mittlere Krafteintrag bekannt ist

Annäherung an das Problem

20

Stosskaskadeidealisiertes Modell für die Stöße von Luftmolekülen mit einer Wand

vr

stetiger Strom von Teilchen mit identischem Impuls trifft auf feste Wand

vvΔ

ΔΔ

−=ΔΔ⋅⋅

−=ΔΔ⋅

−=Δ

=tm

tmn

tpn

tJFavg

für ein Zeitintervall Δt

pnJWand Δ−=pnJTeilchen Δ=

m

1. Fall vf =0, d.h. Teilchen bleiben nach dem Stoss am Fuß der Wand liegen

vvvv −=−=Δ if

2. Fall vf =-v, d.h. Teilchen haben nach dem Stoß die gleiche Geschwindigkeit und fliegen in die entgegen gesetzte Richtung

-2vv-vvvv =−=−=Δ if

Betrag der Geschwindigkeit ändert sich um das doppelte der AnfangsgeschwindigkeitDoppelter Impulsübertrag

Betrag der Geschwindigkeit ändert sich um die

AnfangsgeschwindigkeitEinfacher Impulsübertrag

nmm =Δ

Fallunterscheidung

21

Impulserhaltung

im ,11v

fm ,22vfm ,11v

im ,22v

Bei einem Stoß zwischen zwei Teilchen ohne Einwirkung externer Kräfte gilt der

Satz von der Erhaltung des Impulses

ffii mmmm ,22,11,22,11 vvvv +=+

Zeitrichtung

22

Was hat Impulserhaltung mit Kernkraftwerken zu tun?

23

Langsame Neutronen

Durch Stöße mit Sauerstoffatomen werden schnelle Neutronen abgebremst

Einfahren eines geeigneten Absorbers wie z.B Bor (B) stoppt die Kettenreaktion

Anfahren und Abschalten eines Kernreaktors

Warum bremst man die Neutronen auf geringe Geschwindigkeiten ab?

Bei der Kenspaltung werden schnelle Neutronen erzeugt

Aufheizung des Druckwasserbehälters durch

energetische Neutronen

24

Langsame Neutronen

Einfahren eines geeigneten Absorbers (B) stoppt die Kettenreaktion

Langsame Neutronen verursachen mit höherer Wahrscheinlichkeit eine Kernspaltung

Ein Wirkungsquerschnitt gibt an, mit welcher

Wahrscheinlichkeit (hier bei gewählter kinetischer

Energie) ein Ereignis eintritt.

diese kinetische Energie erhalten die Neutronen beim

Kernzerfall

Umrechnung MeV in J

sm109.1

s kgm kg

101.67106.12v

J106.1v21

EnergieKinetische

142

2

27-

13

132

⋅=⋅⋅⋅

=

⋅=

−

−

n

nnm

Geschwindigkeit des Neutrons beim Stoss

Sauerstoffatome bewegen sich langsam im Vergleich zu den schnellen Atomen

Betrachte deshalb zunächst allgemein den Stoss mit einem ruhenden Objekt

Einheit des Wirkungsquerschnitts [m²]

25

Langsame Neutronen

NO

27

16mmatomsSauerstoff des Massekg101,67

Neutrons des Masse

=

⋅= −Nm

( ) ( )( )AAABB

AAABB

BBAAA

mmI

mmm

mmm

vvvvv

vvv

v21v

21v

21

altungEnergieerh

2

222

222

+−=

−=

+=

( )( )

( )( )( )

( )AB

AA

AAA

BB

BB

mm

mm

III

vv v

vvvvvv

vv

Ausdruck den Bilde

2

+=

−+−

=

( ) ( )AABB

AAABB

BBAAA

mmII

mmm

mmm

vvv

vvv

vvvltungImpulserha

−=

−=

+=

( ) ( )

( ) ( )

vv

vv

vvvv

vvvv

BA

BAA

BAABA

AAAABB

AAAB

mmmm

mmmm

mmmm

mm

+−

=

−=+

−=+

−=+Ergebnis einsetzen in (II)

Ergebnis einsetzen in (III)

v2v

vv

vvv

BA

AB

BA

BA

BA

BAB

BA

BAB

mmm

mmmm

mmmm

mmmm

+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

+++

=

+−

+=

Endgeschwindigkeit des zweiten Körpers

konkreter Fall

%78vv

v17

161v

v172v

v2v

2 ≈⇒≈

−=

=

+=

n

fissionn

fissionO

fissionOn

nO

KE

mmm

Schon nach wenigen Stößen bewegt sich das Neutron deutlich langsamer

(A)

(B)

(A)

(B)Richtung der

Bewegung dreht sich um

26

Energie und ImpulsWelchen der Bälle fängt man leichter?

500 g

4 m/s

100 g

20 m/s

Welcher Ball ist leichter zu fangen?

sm kg2

sm 4kg 0.5v

ABallImpuls

111 =⋅== mp

sm kg2

sm 20kg 0.1v

BBall Impuls

222 =⋅== mp J 20sm 20kg 0.1

21v

21

B Ball Energie Kinetische

2222 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅== mKE

J 4sm 4kg 0.5

21v

21

A Ball Energie Kinetische

2111 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅== mKE

A) Impulsbetrachtung B) Energiebetrachtung

Bei gleichem Impuls höhere kinetische Energie !

Gleicher Impuls ist notwendig um Ball zu stoppen

Zu leistende Arbeit ist fünfmal höher, wenn man den kleinen Ball fängt, da da 5xKE (Arbeit-Energie Theorem).

Verwendet man die gleiche Kraft um die Bälle in derselben Zeitspannezu stoppen, wird die Armmuskulatur fünfmal so stark belastet.

27

Elastischer Stoß

28

Impulserhaltung bei Raketenstarts

Vor dem Start:Gesamtimpuls ist NullStart:Brennstoff wird gezündet und nach hinten ausgestoßenLift off:Gesamtimpuls (Rakete+Treibstoff) bleibt erhalten. Rückwärtsimpuls des ausgestoßenen Gases gleich sich mit dem Vorwärtsimpuls der Rakete aus.Konsequenz:Raketen können im leeren Raum beschleunigen.

29

Zweistufige Rakete

Schwerpunkt

d

höchster Punkt der Bahn

d d

3d

30

Energie- und Impulserhaltung

Kräfte variieren während eines Stoßes (F(t)), Analyse (Newtonsche Bewegungsgleichung) aufwendig

in der Regel bekannt Anfangs- und Endbedingungen von Energie und Impuls wenn keine Energieumwandlung inz.B. Wärme, dann ist kinetische Energie erhalten

Bemerkungvernachlässigt wird Umwandlung der kinetischen Energie kurzzeitig in elastische Energie

vollständige Rückführung in kinetische Energie (Energieerhaltung)

Elastische Stöße

22

21

22

21 f2,f1,i2,i1,

v21v

21v

21v

21 mmmm +=+

Erhaltung der Energie in elastischen Stößen

Atomare Stöße sind oft elastisch

menEnergiefor andere,2,1,2,1 ++=+ ffii KEKEKEKEInelastische Stöße

Energieverlust in dissipative KanäleWärme, Schall,...

31

Elastische Kernstöße Proton stößt mit Heliumatom

Proton

Helium

smiproton / 10v 5=

fprotonv

fheliumv

smfhelium / 0v =

heliumproton mm41

ältnisMassenverh

=

Übungsaufgabe

32

Eishockeytorwart stoppt Puck

Puck170 g

Torwart80 kg

Geschwindigkeit des Pucks190 km/h ~ 50 m/s

( )

AnnahmeBewegung des Pumcks ist

reibungsfreifür eine Eisfläche eine gute Näherung

iP

TP

PfTP

fTPTP

iPP

fT

fP

iT

fTT

fPP

iTT

iPP

mmm

mmm

mmmm

vv

vv

v v0,v

vvvv

+=

+=

==

+=+

+

+

sm

kgkgf

TP 11.0sm50

17.8017.0v ==+

Impulserhaltung

Energieerhaltung

( )

( ) J 0.49sm0.1180.17kg

21v

21

J 212.5sm500.17kg

21v

21

2

2

=⋅=

=⋅=

+f

TPP

iPP

m

m

438=f

i

KEKE

Stoß stark inelastischEnergietransfer in Wärme und Schall

Wenn Energie- und Impulserhaltung erfüllt sich, dann sollten beide Werte dasselbe Ergebnis

liefern! An welcher Stelle haben

wir Fehler in der

Betrachtung gemacht?

33

Golf Swing

Elastizität des BallsA) weicher Ball

zuviel Energie wird aufgewendet um den Ball plastisch zu verformen

B) harter Ball Kaum Verformung des Materials, d.h. kaum Speicherung kinetischer Energie in Formenergie.

Maximales Gewicht 45.93 gMinimaler Durchmesser 42,67 mm

USGA - United States Golf Association

Ballhärte wird an die Geschwindigkeit des Schlägers angepasst

34

Schlagweite

Aus der Betrachtung der Dynamik von Würfen wissen wirgrößte Weite für einen Abschlagwinkel von 45°.

35

Abschlagwinkel 45°?

Umwelteinflüsse wie

- Windkräfte (Luftwiderstand)- Temperatur (Auftrieb) - Atmosphäre (Luftdichte) und - Luftfeuchte (Stöße)

können aber bei einer realistischen Beschreibung der Dynamik nicht vernachlässigt werden.

36

Eigenschaften des Balls

Ebenfalls vernachlässigt wurde die Oberflächenstruktur (dimples) und die Eigendrehung (spin) des Balls.

In der Realität spielen diese Effekte aber eine wichtige RolleZum Teil hängen die einzelnen Beiträge von einander ab.

(mehr davon zu einem späteren Zeitpunkt)

Eigendrehung des Balls verändert die Flugbahn

Beschaffung der Oberfläche hat

erheblichen Einfluss auf die Flugbahn

Nebenbemerkung aus der Atomphysik:auch Elektronen haben einen Spin

37

Big Bertha Fusion FT-i Inertia Monster

Die Golf Driver FT-i und FT-i Tour stellen einen Quantensprung in Sachen Driver Bauweise und damit verbundene Leistung dar. Wir haben auf Grundlage unserer patentierten Fusion-Technologie das effektive Gewicht in revolutionär geometrischer Anordnung in die äußersten Ecken des Schlägerkopfes positioniert. Damit haben wir einen Driver geschaffen, der das höchste Trägheitsmoment von ALLEN bis heute auf dem Markt erhältlichen Drivern hat. Diese phänomenale Eigenschaft beugt vernichtenden Resultaten durch schlechte Schlägevor und bietet Golfern zusammen mit dem OptiFitSystem- der Voreinstellung für Draw, Neutral oder Fade -hohe Ballgeschwindigkeiten und mächtige Flugkurven.

Die Dicke Berta war eine Kanone zum Beschuss

von Festungsanlagen (z.BFestung Verdun) im

Ersten Weltkrieg

DriverGewicht des

Schlägerkopfes 200 g

Zitat aus der Werbebrochüre des Herstellers

38

Impulsübertrag beim Golf Swing

1.0 mph=0,447 m/s1 yard = 914,4 mm

iD

fD

fB

vvvCoR −

=

Coefficient of RestitutionStoßzahl

fD

iDf

B

definiere

vvv

2.1CoR

183.0CoR

+=⇒

==

=

→

α

α

Tiger WoodsGeschwindigkeit des Schlägers

180 mph (~80 m/s)Weite des Abschlags300 yards (~274 m)

23.020045

===

=

gg

mm

mm

D

B

DB

β

β

Stoss demnach Schläger

Stoss demvor Schläger

Stoss demnach Ball

v v-v

CoR =

Diese Zahl ist durch Regeln festgelegt

CoR=0.83

Massenverhältnis

A

39

Abschlagsgeschwindigkeit

ββ

βfD

iDf

B

fB

fD

iD

fBB

fDD

iDD mmm

vvv

vvv

vvv

−=

+=

+=

( ) ( ) ( )

J 596J 277J 319KEJ 640KEsm 52.6 kg 0.2

21

sm 119 kg 504.0

21

sm 80 kg 0.2

21

v21v

21v

21

fi

222

222

=+=⇔=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+= fDD

fBB

iDD mmm

Impulserhaltung

( )km/h 428 sm119

sm52.6

sm80

1.21vf

B =+=Kinetische Energie

( )km/h 189 sm52.6

sm80

2.11

23.01

23.011v

1fD =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

−

fD

iDf

B vvv +=α

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−=+

αββ

αββ

ββα

1111

vv

11v11v

vvvv

iDf

D

iD

fD

fD

iDf

D

iD

Geschwindigkeit des Balls nach dem Stoß

A

B

BA

Stoß nahezu elastisch

ordnen nach Geschwindigkeiten

Geschwindigkeit des Schlägers nach dem Stoß