Post on 03-Jan-2016
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Algebraische Entscheidungsbäume
Vortrag zum Seminar über Algorithmen
20.04.23 1Behsaad Ramez
•Behsaad Ramez•6.Sem. Informatik(Diplom)
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Übersicht
•Vergleichsbäume•Algebraische Berechnungsbäume•Lineare Entscheidungsbäume•Algebraische Entscheidungsbäume•Beispiele
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Vergleichsbäume
•Allgemeine Sortieralgorithmen•Darstellung durch Vergleichsbaum
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Untere Schranke
• n! Blatter => Höhe
•Beispiel Tennisturnier
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Algebraischer Berechnungsbaum
•Algorithmus:
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Beispiel
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Definitionen
•Problem P ist im Berechnungsbaummodell lösbar, wenn
•Zeitkomplexität von ist die Höhe von T
•Zeitkomplexität von P ist die minimale Höhe von allen Bäumen die P lösen.
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Algebraische Entscheidungsbäume
• ist Entscheidungsproblem, wenn S={YES,NO}
Ein algebraischer Berechnungsbaum , der ein Entscheidungsproblem löst , wird algebraischer Entscheidungsbaum genannt.
•Beispiel element uniqueness:
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• sei ein Entscheidungsproblem
• Ein Punkt wird YES-Instanz genannt , falls
• sei die Menge aller YES-Instanzen.
•Beispiel element uniqueness:
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Untere Schranke
•Untere Schranke kann über Topologie von gefunden werden
• ist die Anzahl der Zusammenhangskomponenten von
•Untere Schranke im linearen Entscheidungsbaummodell:
•Untere Schranke im algebraischen Entscheidungsbaummodell:
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Lineare Entscheidungsbäume
•Jeder Berechnungsknoten u ist mit beschriftet:
•Z(u) ist lineare Funktion auf den Eingabevariablen
•R(w) ist dann die Menge aller Punkte für die gilt:
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R(w)
•R(w) sei die Menge aller Eingaben ,für die im Blatt w terminiert
• seien die Knoten ,auf dem Weg zu w ,die zwei Kinder haben.
1. falls man bei nach links geht2. falls man bei nach rechts geht
Ist lineare Funktion auf der Eingabe
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Konvexität von R(w)
•R(w) ist konvex
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Untere Schranke für Höhe h
•A,B seien zwei verschiedene Zusammenhangskomponenten eines Problems P
• ,Blätter in denen terminiert sind verschieden
Anzahl Blätter von T
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Element Uniqueness
• seien verschiedene Permutationen von 1..n
•Punkte sind in verschiedenen Zusammenhangskomponenten von
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Allgemeine Untere Schranke
Im algebraischen Entscheidungsbaummodell ist R(w) nicht immer konvex
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Satz
• Seien , Polynome auf n Variablen
•Der Grad von sei kleiner oder gleich g
Die Menge W hat höchstens Zusammenhangskomponenten
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Umformung von Ungleichungen
• sind Polynome, Grad 2
•W ist die Menge der Punkte für die gilt:
• ist dann:
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Umformung von Ungleichungen
• sei ein beliebiger Punkt aus der j-ten Zusammenhangskomponente von W.
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Umformung von Ungleichungen
• mit b+c neuen Variablen formen wir E,N,P in polynomielle Gleichungen um.•W‘ sei die Menge aller Punkte :
Die Projektion von W‘ auf die ersten n Koordinaten ergibt
•Man kann R(w) mit k+s polynomiellen Ungleichungen auf n+k Variablen darstellen
• seien die Eingabewerte , repräsentieren
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Entscheidungsbäume reduzieren
• sei ein Pfad p in T von der Wurzel zum Blatt .
• s sei die Anzahl der Anweisungen auf p.
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Ersetzungsregeln
Gehe auf p entlang und füge für Gleichungen und Ungleichungen hinzu
Wird zu
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•Sei r die Anzahl der Berechnungsknoten ,s die Anzahl der Funktionen und t die Anzahl der Entscheidungen für den linken Weg
•Es gibt s+t polynomielle Ungleichungen
•Es gibt k-r-t polynomielle > Ungleichungen
•Da wir n+k Variablen haben folgt aus
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Beispiele
•Element Uniqueness:
•Sorting•Closest Pair•Diskriminante
•Set Disjointness
•Resultante
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Danke
Danke!