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Der Parameter „Migrationsmatrix“ Teil I
Anne-Christine Barthel
Seminar „Portfoliokreditrisiko“Universität Mannheim
22.11.2007
Der Parameter "Migrationsmatrix" 2
Gliederung
1. Bedeutung der Migrationsmatrix2. Schätzung der Migrationsmatrix
i. Statistischer Hintergrund: Markov-Kettenii. Diskrete vs. kontinuierliche Zeitiii. Zeit-Homogenität vs. Zeit-Inhomogenität
3. Vergleich der Schätzer anhand von Beispielen4. Aalen-Johansen Schätzer
i. Definitionii. Eigenschafteniii. Maximum Likelihood Estimator
5. Abhängigkeit von Covariableni. Driftii. Waiting Time
Der Parameter "Migrationsmatrix" 3
Gliederung
4. Aalen-Johansen Schätzeri. Definitionii. Eigenschafteniii. Maximum Likelihood Estimator
5. Abhängigkeit von Covariableni. Driftii. Waiting Time
1. Bedeutung der Migrationsmatrix2. Schätzung der Migrationsmatrix
i. Statistischer Hintergrund: Markov-Kettenii. Diskrete vs. kontinuierliche Zeitiii. Zeit-Homogenität vs. Zeit-Inhomogenität
3. Vergleich der Schätzer anhand von Beispielen
Der Parameter "Migrationsmatrix" 4
1. Bedeutung derMigrationsmatrix
Der Parameter "Migrationsmatrix" 5
Migrationsmatrix
• Wahrscheinlichkeiten, dass Kreditnehmer in einem Jahr in gleicher Rating-Klasse bleibt oder neues Rating (oder Default) erhält
Aktuelles Rating:
AAA AA A BBB BB B C DAAA 87,74 10,93 0,45 0,63 0,12 0,10 0,02 0,02AA 0,84 88,23 7,47 2,16 1,11 0,13 0,05 0,02A 0,27 1,59 89,05 7,40 1,48 0,13 0,06 0,03BBB 1,84 1,89 5,00 84,21 6,51 0,32 0,16 0,07BB 0,08 2,91 3,29 5,53 74,68 8,05 4,14 1,32B 0,21 0,36 9,25 8,29 2,31 63,89 10,13 5,58C 0,06 0,25 1,85 2,06 12,34 24,86 39,97 18,60
Rating in einem Jahr:
Der Parameter "Migrationsmatrix" 6
Bedeutung
• Migrationsmatrix zentraler Aspekt im modernen Kreditrisikomanagement
• Basel II: Rating Systeme zur Risikoquantifizierung
• Rating Agenturen wie Standard & Poor‘s, Moody‘s
• Programme wie Credit Metrics, Credit Portfolio View
2. Schätzung der Migrationsmatrix
Der Parameter "Migrationsmatrix" 8
Statistische Grundlagen:Markov Prozesse
• Charakterisierung durch Ausgangsverteilung und Übergangswahrscheinlichkeiten
• Zusammenfassung in Übergangsmatrizen mit den Elementen
tsijP stijp <=== ),( ηη
Der Parameter "Migrationsmatrix" 9
Statistische Grundlagen:Markov Prozesse
• Markov-Identität:
Kenntnis von begrenzter Vorgeschichte (z. B. aktueller Zustand) ausreichend für Prognose
)(),,...,,( 110 110ijPijP stsnt iii sss n
======== −−ηηηηηηη
Der Parameter "Migrationsmatrix" 10
Statistische Grundlagen:Markov Prozesse
• Beispiele für Markovketten:
– Medizin/Versicherung– Genetik
– Sport (Tennis)– Würfelspiele (z.B. Monopoly)
Der Parameter "Migrationsmatrix" 12
Statistische Grundlagen: Markov-Prozesse
• Zeit-homogene Markov-Kette:Übergangswahrscheinlichkeitsmatrix ist Funktion der Zeitspanne und nicht des Zeitpunktes
• Übergangsintensität:
utstuPstPsuP <<−⋅−=− ),()()(
h
httt
pij
hij
),(:)( lim
0
+=
+→λ
Der Parameter "Migrationsmatrix" 13
Statistische Grundlagen: Markov-Prozesse
• Zeit-inhomogene Markov-Kette: Übergangswahrscheinlichkeiten /-intensitäten abhängig von der Zeit
• Kumulierte Intensitätsfunktion:
• Übergangsmatrix:( ) ( )dsst
t
ijijA ∫=0λ
( ) ( )[ ]∏ +=
tsdAItsP
,,
Der Parameter "Migrationsmatrix" 14
Diskrete Zeit
• Sprünge zu festen Zeitpunkten
• Schätzung der einjährigen Übergangswahrscheinlichkeiten mit Cohort-Methode:
ijN i
Nijpij ≠= ,ˆ
Der Parameter "Migrationsmatrix" 15
Stetige Zeit
• Bessere Erfassung von seltenen Ereignissen• Effizienz• Schätzung von
Übergangswahrscheinlichkeiten mit MLE
• Zunächst Schätzung der Generatormatrix mit MLE, dann Anwendung der Matrixexponentialfunktion
( ) 0,exp)( ≥Λ= tttP
Der Parameter "Migrationsmatrix" 16
Exkurs: Exponentialverteilung
• Hazard function: durchschnittliche Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit nach Erreichen des Zeitpunktes t
dt
tTdttTtPt
dt
)(lim)(
0
≥+≤≤=
→λ
Der Parameter "Migrationsmatrix" 17
Exkurs: Exponentialverteilung
• Verteilungsfunktion:
• Dichtefunktion:
)()( tFtTP =<
dtdF
tf =)(
Der Parameter "Migrationsmatrix" 18
Exkurs: Exponentialverteilung
( ) ( )( )tTP
tTdttTtPtTdttTtP
≥≥+<≤=≥+<≤ ,
( )tTPdttTtP
≥+<≤= )(
( ) ( )( )tF
tFdttF−
−+=1
Der Parameter "Migrationsmatrix" 19
Exkurs: Exponentialverteilung
( ) ( ) ( )( )tFdt
tFdttFt
dt −⋅−+=
→ 11
lim0
λ
( )( )
( )( )tF
tftF
tF−
=−
′=
11
Der Parameter "Migrationsmatrix" 20
Exkurs: Exponentialverteilung
•
•
( ) ∫−=−t
dsstF0
))(exp(1 λ
∫−=t
dssttf0
))(exp()()( λλ
( )[ ]tFdtd
t −−= 1log)(λ
( )[ ]tFdtd
tf −−= 1)(
Survivor function
Der Parameter "Migrationsmatrix" 21
Exkurs: Exponentialverteilung
• Wenn Hazard function unabhängig von Verweildauer in Zustand
• Hier:
tdsst
λλ =∫0
)(
)exp()(1 ttF λ−=−
)exp()( ttF Λ=
Der Parameter "Migrationsmatrix" 22
Stetige Zeit
• Schätzung von Λ:
λ)(
)(
0∫= T
i dss
TNijij
Y
)ˆexp()(ˆ ttP Λ=
∑≠
−=ij
ijii λλ ˆˆ
Der Parameter "Migrationsmatrix" 23
Beispiel I
• 2 Ratingkategorien A und B, Defaultkategorie D
• 20 Firmen, 10 in A, 10 in B
• 1 Firma von A nach B nach 1 Monat• 1 Firma von B nach A nach 2 Monaten• 1 Firma von B nach D nach 6 Monaten
Der Parameter "Migrationsmatrix" 24
Beispiel I
• Berechnung von
•
Λ
10084.09
1)()1(
1210
1211
0
ˆ =++
==∫ dssY
N
A
ABABλ
−−
=Λ000
10909.021818.010909.0
010084.010084.0ˆ
Der Parameter "Migrationsmatrix" 25
Beispiel I
• Berechnung von
• Bei diskreter Zeit
)1(P
=100
09819.080858.009323.0
00495.008681.090887.0
)1(P
=100
1.08.01.0
01.09.0
)1(P
Der Parameter "Migrationsmatrix" 26
Beispiel II
Der Parameter "Migrationsmatrix" 27
Beispiel II
Der Parameter "Migrationsmatrix" 28
Inhomogene Markov-Ketten
• Übergangswahrscheinlichkeiten sind abhängig von der Zeit
Λ(t)• Aalen – Johansen Schätzer
Product – Limit Estimator
∏=
∆+=m
iiTAItsP
1
))(ˆ(),(ˆ
Der Parameter "Migrationsmatrix" 29
Inhomogene Markov-Ketten
∆∆−
∆∆
∆∆∆−∆
∆∆∆∆−
=∆
−
−
−
−
−
−
−
−
000)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)()(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(ˆ
1
,1
1
1
1
2,1
1
1,1
2
2
2
23
2
2
2
21
1
1
1
13
1
12
1
1
LL
L
MLOMM
L
L
ip
ipp
ip
ip
ip
ip
ip
ip
i
ip
i
i
i
i
i
i
i
ip
i
i
i
i
i
i
i
TY
TN
TY
TN
TY
TN
TY
TN
TY
TN
TY
TN
TY
TN
TY
TNTY
TN
TY
TN
TY
TN
TY
TN
TA
Schätzung der Änderung der kumulierten
Übergangsintensitäten:
Der Parameter "Migrationsmatrix" 30
Beispiel III
( )
−=∆
000
000
01.01.0
12/1TA ( )
−=∆000
0
000
111
111
12/2TA
( )
−=∆000
1.01.00
000
2/1TA
Der Parameter "Migrationsmatrix" 31
Beispiel III
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )2/112/212/11,0ˆ TAITAITAIP ∆+∆+∆+=
=100
1.09.00
001
100
0
001
100
010
01.09.0
1110
111
=100
09091.081818.009091.0
00909.008181.090909.0
3. Vergleich der Schätzer
Der Parameter "Migrationsmatrix" 33
Vergleich der Schätzer
( )
=100
09091.081818.009091.0
00909.008181.090909.0
1,0P
=100
09819.080858.009323.0
00495.008681.090887.0
)1(P
=100
1.08.01.0
01.09.0
)1(P
Aalen - Johansen
Matrixexponential Cohort Methode
Der Parameter "Migrationsmatrix" 34
Beispiel IV
Der Parameter "Migrationsmatrix" 35
Fazit
• In großen Datensätzen keine großen Unterschiede zwischen Aalen – Johansen Schätzer und Matrixexponential
• Unterschied geringer als zwischen Cohort Methode und Matrixexponential
• Matrixexponential glättet, daher geeignet für kurze Zeiträume
• Auf längere Sicht Aalen – Johansen besser geeignet, da sich Zeitinhomogenitäten auswirken
Der Parameter "Migrationsmatrix" 36
∏=
∆+=m
iiTAItsP
1
))(ˆ(),(ˆ
Exkurs: Überführbarkeit
( ) ( )∫=t
ijij dsstA0λ
tA ijij ⋅= λ
( ) ( )tAItP ˆˆ ∆+= Λ=∆ ˆA
( ) ( )tItP Λ+= ˆˆ
( ) ( )tx
ItPxt
xΛ=
Λ+=∞→
ˆexpˆ
limˆ
homogene Markovkette
Aalen-Johansen Schätzer
Matrixexponential
Der Parameter "Migrationsmatrix" 37
Zusammenfassung
4. Aalen-Johansen Schätzeri. Definitionii. Eigenschafteniii. Maximum Likelihood Estimator
5. Abhängigkeit von Covariableni. Driftii. Waiting Time
1. Bedeutung der Migrationsmatrix2. Schätzung der Migrationsmatrix
i. Statistischer Hintergrund: Markov-Kettenii. Diskrete vs. kontinuierliche Zeitiii. Zeit-Homogenität vs. Zeit-Inhomogenität
3. Vergleich der Schätzer anhand von Beispielen
Der Parameter "Migrationsmatrix" 38
Ausblick
1. Bedeutung der Migrationsmatrix2. Schätzung der Migrationsmatrix
i. Statistischer Hintergrund: Markov-Ketten
ii. Diskrete vs. kontinuierliche Zeitiii. Zeit-Homogenität vs. Zeit-Inhomogenität
3. Vergleich der Schätzer anhand von Beispielen
4. Aalen-Johansen Schätzeri. Definitionii. Eigenschafteniii. Maximum Likelihood Estimator
5. Abhängigkeit von Covariableni. Driftii. Waiting Time
Der Parameter "Migrationsmatrix" 39
Literatur
• Aalen, O.O. (1978): Nonparametric estimation of partialtransition probabilities in multiple decrement models, Annals ofStatistics, 6, 534-545.
• Lancaster, T.(1990): The Econometric analysis of transition data, Cambridge: Cambridge University Press
• Lando, D., Skodeberg, T. (2002): Analyzing rating transitionsand rating drift with continuous Observations, Journal ofBanking and Finance, 26, 423-444, 2002.
• Johansen, S. (1978): The Product Limit Estimator as a Maximum Likelihood Estimator, Scandinavian Journal of Statistics, 5, 195-199, 1978.