Didaktik der Geometrie (7)

Vorlesung im Sommersemester 2004

Prof. Dr. Kristina ReissLehrstuhl für Didaktik der MathematikUniversität Augsburg

Themenbereich:

Geometrische Ortslinien

Literatur:Hefendehl-Hebeker, L. (2000). Figuren und Abbildungen im Geometrieunterricht der Sekundarstufe I. Augsburg: Wißner-Verlag.

Mitschka, A. (1982). Didaktik der Geometrie in der Sekundarstufe I. Freiburg: Herder.

Definition:Punktmengen in der Ebene, die eine bestimmte Eigenschaft E besitzen, heißen geometrischer Ort zur Eigenschaft E.

Meyer, K.H. (1988). Brennpunkt Geometrie 8. Hannover: Schroedel. S. 70.

Definition:Ein Kreis ist die Menge aller Punkte in der Ebene, die von einem gegebenen Punkt M den gleichen Abstand r haben.

Meyer, K.H. (1988). Brennpunkt Geometrie 7. Hannover: Schroedel. S. 24.

Beispiel:

Meyer, K.H. (1988). Brennpunkt Geometrie 7. Hannover: Schroedel. S. 25.

Beispiel:

Beispiel: Meyer, K.H. (1988). Brennpunkt Geometrie 7. Hannover: Schroedel. S. 27.

Mittelsenkrechte und Mittelparallele

Meyer, K.H. (1988). Brennpunkt Geometrie 8. Hannover: Schroedel. S. 74.

Winkelhalbierende

Meyer, K.H. (1988). Brennpunkt Geometrie 8. Hannover: Schroedel. S. 75.

Satz:Jedes Dreieck hat einen Umkreis. Sein Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten.

Meyer, K.H. (1988). Brennpunkt Geometrie 8. Hannover: Schroedel. S. 79.

Idee für die Einführung im Unterricht:Es gibt Dreiecke, die einen Umkreis haben. Kennst du Beispiele? Gibt es Ausnahmen? Hat jedes Dreieck einen Umkreis?

Man betrachtet verschiedene Dreiecke:Klappt es, wenn der Schnittpunkt zweier Mittelsenkrechten im Innern des Dreiecks liegt? Klappt es, wenn er auf einer Seite oder außerhalb des Dreiecks liegt?

Satz:In jedem Dreieck schneiden sich die Höhen über den drei Seiten in einem Punkt.

Meyer, K.H. (1988). Brennpunkt Geometrie 8. Hannover: Schroedel. S. 83.

Satz:In jedem Dreieck schneiden sich die Winkelhalbierenden in einem Punkt. Dieser Punkt ist der Mittelpunkt des Inkreises.

Meyer, K.H. (1988). Brennpunkt Geometrie 8. Hannover: Schroedel. S. 80.

Satz vom Umfangswinkel:Alle Umfangswinkel auf derselben Seite einer Kreissehne sind gleich groß.

Zunächst experimenteller Zugang durch Zeichnen und Messen bzw. mithilfe geeigneter Geometriesoftware.

Schwierig ist (auch) hier, dass es keine konkrete Beziehung zwischen dem Messen und dem Beweis des Satzes gibt.

Meyer, K.H. (1988). Brennpunkt Geometrie 8. Hannover: Schroedel. S. 106/107.

Fasskreisbogen

Meyer, K.H. (1988). Brennpunkt Geometrie 8. Hannover: Schroedel. S. 108.

Satz des Thales: Jeder Umfangswinkel über einem Durchmesser eines Kreises ist ein rechter Winkel.

Meyer, K.H. (1988). Brennpunkt Geometrie 7. Hannover: Schroedel. S. 77.

Sehnenvierecke

Ausgangspunkt: Nicht jedes Viereck hat einen Umkreis. Vierecke, die einen Umkreis haben, heißen Sehnenvierecke. Bei einem Sehnenviereck schneiden sich alle Mittelsenkrechten in einem Punkt, dem Mittelpunkt des Umkreises.

Satz: Ein Viereck ist genau dann ein Sehnenviereck, wenn sich zwei Gegenwinkel zu 180° ergänzen.

Tangentenvierecke

Ausgangspunkt: Nicht jedes Viereck hat einen Inkreis. Vierecke, die einen Inkreis haben, heißen Tangentenvierecke.

Satz: Ein konvexes Viereck ist genau dann ein Tangentenviereck, wenn die Summen der Längen je zwweier Gegenseiten gleich sind.

Gymnasium Jahrgangsstufe 7

Entwurf des neuen Lehrplans

M 7.1 Figurengeometrie: vom Zeichnen und Beschreiben zum Konstruieren und Begründen

Bei der Erzeugung symmetrischer Figuren lernen die Schüler das mathematisch wie kulturhistorisch bedeut-same Prinzip der Konstruktion mit Zirkel und Lineal kennen. Sie lernen, geometrische Phänomene all-mählich differenzierter zu analysieren sowie folgerichtig zu argumentieren und zu begründen. Eine abstraktere Denkweise ergänzt nach und nach ihren bisher anschaulich und intuitiv geprägten Wissenserwerb.

Gymnasium Jahrgangsstufe 7

Entwurf des neuen Lehrplans

M 7.1.1 Achsen- und punktsymmetrische Figuren (ca. 12 Std.)

Anhand von Figuren aus ihrer Erfahrungswelt erkennen die Schüler die Achsen- und Punktsymmetrie als natürliches Gestal-tungsprinzip. Sie verwenden aus der Anschauung gewonnene Axiome zur Begründung der ersten Grundkonstruktionen. Anhand der Vielfalt der Vierecke erschließt sich ihnen die Symmetrie als ein Ordnungsprinzip.

Achsensymmetrie: Eigenschaften, Konstruktion von Spiegelpunkt und Achse

Mittelsenkrechte, Lot; Winkelhalbierende Punktsymmetrie: Eigenschaften, Konstruktion von

Spiegelpunkt und ZentrumÜbersicht über symmetrische Vierecke

Gymnasium Jahrgangsstufe 7

Entwurf des neuen Lehrplans

M 7.1.2 Winkelbetrachtungen an Figuren (ca. 8 Std.)

Die Schüler entdecken die wesentlichen Zusammenhänge an Geradenkreuzungen und Doppelkreuzungen mit parallelen Geraden und beschäftigen sich mit Winkelsummensätzen. Dabei werden sie auch an eine Unterscheidung zwischen Axiomen und daraus abgeleiteten Sätzen herangeführt.

Geradenkreuzung: Scheitel- und Nebenwinkel; Doppelkreuzung: Stufen- und Wechselwinkel

Innenwinkelsumme beim Dreieck und beim Viereck

Realschule Jahrgangsstufe 8

Realschule Jahrgangsstufe 7