Didaktik der Geometrie (9)

Vorlesung im Sommersemester 2004

Prof. Dr. Kristina ReissLehrstuhl für Didaktik der MathematikUniversität Augsburg

Themenbereich:

Flächeninhalte und Volumina

Lehrplan Realschule Kl. 5

M 5.5 Flächenmessung (ca. 12 Std.)Die Schüler vergleichen, schätzen und messen Flächen mithilfe konkret-anschaulicher Verfahren. Die gewonnenenErkenntnisse wenden sie bei der Lösung von Sachproblemen an.• Vergleich von Flächen mit ungenormten und genormten Einheiten• Messen von Flächen; Umrechnen von Flächeneinheiten• Flächeninhalt von Rechteck und Quadrat• Oberfläche von Quader und Würfel• SachaufgabenM 5.6 Raummessung (ca. 12 Std.)Aufbauend auf den Überlegungen zur Flächenmessung befassen sich die Schüler mit Fragen der Raummessung undbestimmen die Rauminhalte einfacher geometrischer Körper.• Vergleich von Rauminhalten mit ungenormten und genormten Einheiten• Messen von Rauminhalten; Umrechnung von Raumeinheiten (mm3 bis m3, ml, cl, l, hl)• Volumen von Würfel und Quader• Sachaufgaben

Lehrplan Gymnasium Kl. 5

M 5.4.2 Flche und Flchenmessung (ca. 20 Std.)† ber das Zeichnen, Auslegen und Ausschneiden geometrischer Figuren lernen die Schlerinnen und Schler dieBegriffe ćFlcheŅ und ćFlcheninhaltŅ kennen. Sie verstehen, dass zur Flchenmessung Einheiten ntig sind, undlernen, diese sachgerecht zu verwenden. Ausgehend vom Flcheninhalt des Rechtecks ermitteln sie auchFlcheninhalteanderer Figuren und Oberflcheninhalte von Krpern. Hierbei ben die Kinder vor allem den Blick frgeometrischeZusammenhnge, z. B. das Erkennen von geometrischen Grundformen, sowie das flexible Ermitteln vonLsungsmglichkeiten und erst in zweiter Linie das Anwenden von Formeln.Im Sinne einer abrundenden Wiederholung und Vernetzung werden den Kinder dabei bewusst auch Bezge zuanderenInhalten dieses Schuljahrs aufgezeigt. Wichtige Arbeitstechniken werden dabei vertieft.- Flche und Flcheninhalt- Flchenmessung, Flcheneinheiten (auch in Kommaschreibweise)- Flchenformel fr Rechtecke- Flcheninhalt von Figuren, die in Rechtecke zerlegbar oder zu Rechtecken ergnzbar sind- Oberflcheninhalt von Quadern und zusammengesetzten Krpern

Lehrplan Gymnasium Kl. 6

Lehrplan Gymnasium Kl. 6

Flächeninhalte

GrundideeAuslegen mit EinheitsflächenGleichheitZwei Flächen haben den gleichen Flächeninhalt, wenn sie lückenlos und ohne Überschneidungen mit der gleichen Anzahl von Einheitsflächen ausgelegt werden können.

PropädeutikParkettieren der Ebene

Nussknacker 2. S. 22 (Stuttgart: Klett)

PropädeutikAuslegen von Flächen mit verschiedenen Einheitsflächen

Welt der Zahl 4. S. 73 (Hannover: Schroedel)

Flächenvergleich

•Direkter Vergleich

•Indirekter Vergleich

•Messen mit Einheitsquadraten

FlächenvergleichMathematik für Realschulen 5. S. 168 (Frankfurt: Diesterweg)

Flächen-messung

Mathematik für Realschulen 5. S. 169 (Frankfurt: Diesterweg)

FlächenmessungMathematik für Realschulen 5. S. 170 (Frankfurt: Diesterweg)

Wichtig ist es, die Längen in Meter explizit zu schreiben. 1m2 entsteht als Maß der Fläche eines Einheitsquadrats mit der Seitenlänge 1m.

Flächenmaße

Gebräuchliche Maßeinheiten: 1mm2 Seitenlänge des Quadrats: 1 mm1cm2 Seitenlänge des Quadrats : 1 cm1dm2 Seitenlänge des Quadrats : 1 dm1m2 Seitenlänge des Quadrats : 1 m1a Seitenlänge des Quadrats : 10 m1ha Seitenlänge des Quadrats : 100 m1km2 Seitenlänge des Quadrats : 1 km

SachaufgabenMathematik für Realschulen 5. S. 173 (Frankfurt: Diesterweg)

Umfang und FlächeninhaltWelt der Zahl 4. S. 75 (Hannover: Schroedel)

Umfang und Flächeninhalt

Experimente:

Welchen Umfang kann ein Rechteck mit 24m2 Flächeninhalt haben? Welchen Flächeninhalt kann ein Rechteck mit 12m Umfang haben? Welches dieser Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?

Oberfläche von Körpern

Gegeben ist ein Quader mit den Seitenlängen a, b und c. Die Oberfläche des Quaders ist

O = 2ab + 2bc + 2ac .

Spezialfall: Die Oberfläche des Würfels mit der Kantenlänge a ist

O = 6a2 .

Oberfläche von KörpernMathematik für Realschulen 5. S. 209 (Frankfurt: Diesterweg)

Oberfläche von KörpernMathematik für Realschulen 5. S. 210 (Frankfurt: Diesterweg)

Lehrplan Realschule Kl. 9

M 9.6 Flächeninhalt ebener Vielecke (ca. 11 Std.)Die Schüler vergleichen die Flächeninhalte von Figuren durch Zerlegung in paarweise kongruente Teilfiguren undentdecken, dass zerlegungsgleiche Figuren flächengleich sind. Sie erarbeiten grundlegende Flächeninhaltsformeln, mitdenen sie die Flächeninhalte beliebiger Vielecke bestimmen. Sie lernen, die Flächeninhalte von Parallelogrammen undDreiecken in der Koordinatenebene zu berechnen. Sie erweitern damit ihre Fähigkeit, geometrische Problemealgebraisch zu bearbeiten und funktionale Abhängigkeiten zu untersuchen.• Zerlegungsgleichheit von Figuren; Höhen im Dreieck, im Parallelogramm und im Trapez• Formeln für den Flächeninhalt von Parallelogramm, Dreieck, Trapez und Drachenviereck• Flächeninhalte ebener Figuren auch mithilfe zweireihiger Determinanten berechnen; Aufgaben unterBerücksichtigung funktionaler Abhängigkeiten lösen und Extremwerte berechnen

Lehrplan Realschule Kl. 9

M 9.6 Flächeninhalt ebener Vielecke (ca. 11 Std.)Die Schüler vergleichen die Flächeninhalte von Figuren durch Zerlegung in paarweise kongruente Teilfiguren undentdecken, dass zerlegungsgleiche Figuren flächengleich sind. Sie erarbeiten grundlegende Flächeninhaltsformeln, mitdenen sie die Flächeninhalte beliebiger Vielecke bestimmen. Sie lernen, die Flächeninhalte von Parallelogrammen undDreiecken in der Koordinatenebene zu berechnen. Sie erweitern damit ihre Fähigkeit, geometrische Problemealgebraisch zu bearbeiten und funktionale Abhängigkeiten zu untersuchen.• Zerlegungsgleichheit von Figuren; Höhen im Dreieck, im Parallelogramm und im Trapez• Formeln für den Flächeninhalt von Parallelogramm, Dreieck, Trapez und Drachenviereck• Flächeninhalte ebener Figuren auch mithilfe zweireihiger Determinanten berechnen; Aufgaben unterBerücksichtigung funktionaler Abhängigkeiten lösen und Extremwerte berechnen

Lehrplan Realschule Kl. 9M 9.10 Raumgeometrie (ca. 17 Std.)

Die Schüler verwenden den Satz über die Zerlegungsgleichheit von Körpern, um aus dem bereits bekannten Volumendes Quaders das Volumen eines geraden Prismas herzuleiten. Sie lernen das Prinzip des Cavalieri kennen und erfahren,wie man mit ihm das Volumen weiterer Körper ermitteln kann. Sie erarbeiten Volumenformeln mithilfe von Grenzwertüberlegungenund setzen dabei den Computer ein. Mithilfe geeigneter Modelle erzeugen die Schüler Rotationskörperund gewinnen Formeln zur Berechnung des Volumens bzw. der Oberfläche dieser Körper.• Prisma und Pyramide: Netz, Mantel- und Oberfläche; Prinzip des Cavalieri; Volumen von Prisma und Pyramide• gerader Kreiszylinder und gerader Kreiskegel als Rotationskörper: Axialschnitt, Mantellinie; Abwicklung, Mantelfläche,Oberfläche und Volumen• Kugel: Oberfläche und Volumen• Anwendungsaufgaben unter besonderer Berücksichtigung funktionaler Abhängigkeiten und auch unter Einbeziehungzusammengesetzter Körper

Lehrplanentwurf Gymnasium Kl. 8

M 8.1 Weiterfhrung der Flchen- und RaummessungAnknpfend an die Flchen- und Raummessung vorangegangener Jahrgangsstufen ermitteln die Schler undSchlerinnenFormeln fr den Inhalt geradlinig und erstmals auch krummlinig begrenzter Figuren und Krper. Dabei wirdihnen bewusst, dass sie damit viele geometrische Figuren und Krper des Alltags quantitativ erfassen knnen.BeimAuflsen von Formeln erfahren sie erneut, dass algebraische Fertigkeiten unabdingbare Voraussetzung frmathematischesHandeln sind. Sie lernen, bei aufwndigeren Berechnungen den Taschenrechner zweckdienlich einzusetzenund verwenden dabei die Gleitkommadarstellung, die sie im naturwissenschaftlichen Unterricht bentigen. DieSchlerinnen und Schler sehen in diesem Zusammenhang ein, dass eine Kontrolle des Ergebnisses zumBeispieldurch † berschlagsrechnung erforderlich ist.M 8.1.1 Flcheninhalte geradlinig begrenzter Figuren (ca. 14 Std.)Ausgehend von ihren Vorkenntnissen erarbeiten die Schler und Schlerinnen Formeln zur Bestimmung desFlcheninhaltsvon Dreieck, Parallelogramm und Trapez. Sie stellen Berechnungen an und begrnden die Inhaltsgleichheitvon Figuren. Im Zusammenhang mit Flchenbetrachtungen an Quadraten und Rechtecken lernen sie diebinomischenFormeln kennen, welche die Lernenden an variantenreichen Beispielen einben.- Flcheninhalt von Dreieck, Parallelogramm und Trapez- inhaltsgleiche Figuren- binomische Formeln

Lehrplanentwurf Gymnasium Kl. 9

M 9.7 Pyramide und Kegel (ca. 15 Std.)Die Schlerinnen und Schler erschlie§en weitere Eigenschaften der ihnen aus dem Alltag bekannten KrperPyramideund Kegel. Sie zeichnen Schrgbilder, um Lngen und Winkel an rumlichen Figuren zu veranschaulichen, undentwickeln dabei ihr rumliches Vorstellungsvermgen weiter. Gesttzt auf ihre algebraischen Kenntnisseberechnensie geometrische Gr§en. Beim Bestimmen des Volumens der Pyramide lernen sie das Prinzip von Cavalierikennen,bei dem † berlegungen zu Grenzprozessen propdeutisch einbezogen werden und auf das sie in Jahrgangsstufe10wieder zurckgreifen werden.Im Sinne einer abrundenden Wiederholung und Vernetzung bearbeiten die Jugendlichen Aufgabenstellungen, beidenen auch andere Inhalte des Schuljahrs wie z. B. Trigonometrie oder der Satz des Pythagoras bentigtwerden.- Netz von Pyramide und Kegel; Winkelbetrachtungen- Mantelflche und Oberflche von Pyramide und Kegel- Volumen von Pyramide und Kegel; Prinzip von Cavalieri

Lehrplanentwurf Gymnasium Kl. 10

M 10.2.2 Die Kugel (ca. 8 Std.)An vielfltigen Beispielen wird den Schlerinnen und Schlern deutlich, dass die Kugel im Alltag und beinaturwissenschaftlicherModellbildung eine besondere Rolle spielt. Unter Verwendung von Grundkenntnissen ber Grenzprozessesowie ber Zylinder und Kegel ermitteln sie Formeln fr Volumen und Oberflcheninhalt der Kugel undbeschftigensich mit typischen Fragen aus der Anwendung.- Oberflche und Volumen der Kugel- Berechnungen an zusammengesetzten Krpern, Anwendungen aus Sachzusammenhngen

Flächeninhalt von Vielecken

Grundidee: Flächen wie etwa ein Parallelogramm kann man nicht mit Einheitsquadraten überdecken. Die Methode der Wahl ist dann die Zerlegung.

Eigenschaften des Flächeninhalts:Invarianz unter KongruenzabbildungenAdditivität

Flächeninhalt von Vielecken

Prinzip der Zerlegungsgleichheit Zwei ebene Figuren haben den gleichen Flächeninhalt, wenn sie in gleich viele, paarweise kongruente Teilfiguren zerlegt werden können. (Hefendehl-Hebeker, 2002)

Flächeninhalt von Vielecken

Prinzip der Ergänzungsgleichheit Zwei ebene Figuren haben den gleichen Flächeninhalt, wenn sie durch Hinzufügen gleich vieler, paarweise kongruenter Figuren zu zerlegungsgleichen Figuren ergänzt werden können.

(Hefendehl-Hebeker, 2002)

a a

a

Flächeninhalt des Parallelogramms

Elemente der Mathematik 8. S. 152 (Hannover: Schroedel)

Flächeninhalt des Parallelogramms

Elemente der Mathematik 8. S. 153 (Hannover: Schroedel)

Flächeninhalt des Dreiecks Elemente der Mathematik 8. S. 159 (Hannover: Schroedel)

Elemente der Mathematik 8. S. 163 (Hannover: Schroedel)

Flächen-inhalt des Trapezes

Oberfläche des Prismas Elemente der Mathematik 8. S. 172 (Hannover: Schroedel)

Messung des Volumens

GrundideeAuslegen mit EinheitswürfelnGleichheitZwei Körper haben das gleiche Volumen, wenn sie lückenlos und ohne Überschneidungen mit der gleichen Anzahl von Einheitswürfeln ausgelegt werden können.

PrototypEin Quader mit den Kanten a, b und c hat das Volumen V = a•b•c .

Zerlegungsgleichheit

Zwei Körper haben das gleiche Volumen, wenn sie in gleich viele Teilkörper zerlegt werden können, die paar-weise das gleiche Volumen haben.

Auf dieser Grundidee basiert die Berechnung des Volumens eines beliebigen Prismas. Man zerlegt das Prisma in Dreiecksprismen, die wiederum in zwei Dreiecksprismen mit je einem rechten Winkel zerlegt werden können.

Volumen des Prismas Elemente der Mathematik 8. S. 176 (Hannover: Schroedel)

Volumen eines schiefen Prismas

Es gilt die Formel V = G•h für ein Prisma mit Grundfläche G und Höhe h.

Begründung: Man betrachtet ein Parallelflach (Spat), also ein Prisma, dessen Grundfläche ein Parallelogramm ist. Das Volumen kann auf das Volumen eines Quaders zurückgeführt werden.

Das Prinzip von Cavalieri

Formulierung:Gegeben sind zwei Körper, die zwischen zwei parallelen Ebenen liegen. Falls jede weitere, zu den beiden Ebenen parallele Ebene aus den Körpern inhaltsgleiche Flächen herausschneidet, dann haben die Körper das gleiche Volumen.

Grundidee: Ein Körper wird in infinitesimal dünne „Schichten“ zerlegt.Hinführung: Zerlegung eines Quaders in gleich breite „Scheiben“.

Das Volumen einer Pyramide

Grundidee :Pyramiden mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe haben dasselbe Volumen.Hinführung: Ein Dreiecksprisma kann in drei Pyramiden mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe, also insbesondere in drei Pyramiden mit gleichem Volumen zerlegt werden.Folgerung:Das Volumen V einer Dreieckspyramide mit Grundfläche G und Höhe h ist V = G • h / 3 .

Das Volumen einer Pyramide

Elemente der Mathematik 10. S. 155 (Hannover: Schroedel)

Elemente der Mathematik 10. S. 157 (Hannover: Schroedel)

Das Volumen einer Pyramide

Das Volumen einer Pyramide

Vereinfachung :

Man geht experimentell vor und arbeitet mit Füllversuchen (Wasser, Sand).

Das Volumen einer Pyramide Elemente der Mathematik 10.

S. 155 (Hannover: Schroedel)