Die Simulation von Die Simulation von PlanetenbewegungenPlanetenbewegungen

Sirch LorenzSirch Lorenz

Hotka PhilippHotka Philipp

Gliederung

I. PhysiksimulationenI. Physiksimulationen

II. Numerische IntegrationII. Numerische Integration

III. Euler-VerfahrenIII. Euler-Verfahren

IV. Runge-Kutta-VerfahrenIV. Runge-Kutta-Verfahren

I. Physiksimulationen am PCI. Physiksimulationen am PC

Anforderungen:Anforderungen: EchtzeitEchtzeit

GenerischGenerisch

InteraktivInteraktiv

Lösung:Lösung:

Numerische IntegrationNumerische Integration

II. Numerische IntegrationII. Numerische Integration

Def.:Def.: Numerische Integration ist die Numerische Integration ist die näherungsweisenäherungsweise Berechnung von Integralen. Berechnung von Integralen.

Oft nicht geschlossen lösbar, da keine Oft nicht geschlossen lösbar, da keine Stammfunktion vorhanden ist.Stammfunktion vorhanden ist.

Formel:Formel:

Integral der Funktion f(x) im Intervall [a,b], Q(f)+E(f) ist der Wert Integral der Funktion f(x) im Intervall [a,b], Q(f)+E(f) ist der Wert der Quadraturformel Q(f) plus dem Fehler E(f)der Quadraturformel Q(f) plus dem Fehler E(f)

II. Numerische IntegrationII. Numerische Integration

Eine Spezielle Quadraturformel:Eine Spezielle Quadraturformel:

Sehnentrapezformel:Sehnentrapezformel:

Andere Schreibweise:Andere Schreibweise:

II. Numerische IntegrationII. Numerische Integration

numerische Annäherung numerische Annäherung also Fehlerverkleinerung durch Wahl eines:also Fehlerverkleinerung durch Wahl eines:

1.1. RechteckRechteck

2.2. TrapezTrapez

3.3. ParabelParabel

II. Numerische IntegrationII. Numerische Integration

Ist eine eindeutige exakte Lösung des Ist eine eindeutige exakte Lösung des Integrals mit diesem Verfahren möglich?Integrals mit diesem Verfahren möglich?

II. Numerische IntegrationII. Numerische Integration

Welche Maßnahme würde dieses Verfahren Welche Maßnahme würde dieses Verfahren genauer machen, welche ungenauer?genauer machen, welche ungenauer?

Erkläre Extrapolation!Erkläre Extrapolation!

http://de.wikipedia.org/wiki/Bild:Euler.jpg

Leonhard Euler:Leonhard Euler: Geb. 1707 in der Deutschen SchweizGeb. 1707 in der Deutschen Schweiz 1730 erhielt er Professur für Physik & 1730 erhielt er Professur für Physik &

Mathemathik Mathemathik 1787 starb er an einer Hirnblutung1787 starb er an einer Hirnblutung

Leistungen:Leistungen: Viele mathematische Lehrbücher Viele mathematische Lehrbücher Anwendung mathematischer Methoden in Anwendung mathematischer Methoden in

der Sozial- & Wirtschaftswissenschaftder Sozial- & Wirtschaftswissenschaft

http://de.wikipedia.org/wiki/Bild:Stamp_Leonhard_Euler.jpg

III. Euler-VerfahrenIII. Euler-Verfahren

Einfachstes numerisches IntegrationverfahrenEinfachstes numerisches Integrationverfahren

nur bei einfachen Bewegungennur bei einfachen Bewegungen

Polygonzugverfahren:Polygonzugverfahren:

Problem des Verfahrens:Problem des Verfahrens: Geringes StabilitätsgebietGeringes Stabilitätsgebiet

LösungenLösungen FehlerminimierungFehlerminimierung Effizientere VerfahrenEffizientere Verfahren

III. Euler-VerfahrenIII. Euler-Verfahren

1.1. MehrschrittverfahrenMehrschrittverfahren

Verfahren höherer Ordnung, die für den Verfahren höherer Ordnung, die für den nächsten Schritt mehr als einen der nächsten Schritt mehr als einen der vorherigen Werte einbeziehenvorherigen Werte einbeziehen

2.2. Auswertung des Zeitintervalls ∆t an Auswertung des Zeitintervalls ∆t an mehreren Stellenmehreren Stellen

Runge-Kutta-Verfahren Runge-Kutta-Verfahren

Carl Runge: * 30.Aug.1856 in Breslau* 30.Aug.1856 in Breslau Professor in Hannover dann in GöttingenProfessor in Hannover dann in Göttingen Fachgebiet: angewandte MathematikFachgebiet: angewandte Mathematik † † 3.Jan.1927 in Göttingen3.Jan.1927 in Göttingen

Martin Wilhelm Kutta: * 3.Nov.1867 in Pitschen, Oberschlesien Studium in Breslau dann München Arbeitete an der TUM & diversen anderen Unis

(Jena, Aachen, Stuttgart) † † 25.Dez.1944 in Fürstenfeldbruck25.Dez.1944 in Fürstenfeldbruck

IV. Runge-Kutta-VerfahrenIV. Runge-Kutta-Verfahren

Definition:Definition:

spezielle Einschrittverfahren zur spezielle Einschrittverfahren zur

näherungsweisennäherungsweisen Lösung eines Lösung eines

Anfangswertproblems:Anfangswertproblems:

mit exakter Lösung y(x)mit exakter Lösung y(x)

Runge-Kutta-Tableaus:Runge-Kutta-Tableaus:

Das explizite Euler-Verfahren (Ordnung 1.):Das explizite Euler-Verfahren (Ordnung 1.):

IV. Runge-Kutta-Verfahren

IV. Runge-Kutta-Verfahren

Das Heun-Verfahren 3.Ordnung:Das Heun-Verfahren 3.Ordnung:

Das klassische Runge-Kutta-Verfahren Das klassische Runge-Kutta-Verfahren

(Ordnung 4.):(Ordnung 4.):

IV. Runge-Kutta-Verfahren

IV. Runge-Kutta-Verfahren

Konsistenz und Kovergenz:

Zur Analyse der Verfahren, werden approxmierte

und exakte Ergebnisse verglichen.

Lokaler Diskretisierungsfehler Lokaler Diskretisierungsfehler ττ(h)(h)

IV. Runge-Kutta-Verfahren

FürFür τ τ(h)(h)0 für h0 für h0 ist Verfahren 0 ist Verfahren konsistentkonsistent

Verfahren hat Konsistenzordnung p, falls

||ττ(h)(h)|| = O(h = O(hpp))

Konsistenzordnung beschreibt Qualität der beschreibt Qualität der Approximation nach Approximation nach EINEMEINEM Schritt Schritt

IV. Runge-Kutta-Verfahren

Qualität nachQualität nach nn Schritten?Schritten?

Globaler DiskretisierungsfehlerGlobaler Diskretisierungsfehler

Ein Verfahren ist konvergent, wenn der globale Diskretisierungsfehler für n ∞

gegen 0 geht.

IV. Runge-Kutta-Verfahren

Verschiedene Verfahren im Vergleich:Verschiedene Verfahren im Vergleich: EulerEuler HeunHeun Runge-Kutta 2.,3. und 4.OrdnungRunge-Kutta 2.,3. und 4.Ordnung FehlbergFehlberg DoPriDoPri

Einfache Programmierung mit Cinderella2Einfache Programmierung mit Cinderella2

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