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TECHNISCHE MECHANIK13(1992) Hefl 1
Manuskripteingang: 15.01 .1992
Die Berechnung dünnwandiger Ringtrager mitgeschlossenem
Querschnitt auf derGrundlage des halbmomentenfreien
Schalenmodells nach Wlassow, Teil ll
JohannesAltenbach, Wolfgang Kissing, Johannes Schulz
Ausgehend von derhalbmomentenfreien Schalentheorie von Wlassowwurden im Teil [1 1] die allgemeinen Gleichungen für Systeme mit eben
gekrümmter Stabachse abgeleitet. Diese Modellgleichungen wurden mit den in Arbeiten von Rangelow und von Hirashima/Yajima abgeleiteten
Gleichungen verglichen. Dazu wurden alle Gleichungen in eine einheitliche Schreibweise in der Form von DGL.-Systemen überführt.
Der Teil Il führt die Vergleichsuntersuchungen am Beispiel eines Ringträgers mit Kastenquerschnitt sowohl in allgemeiner Form als auch
numerisch fort.
Followingthe semi-moment she/ltheoryof Vlasovin partl ofthepaperthegeneralequations forstructures with planecurvedaxesare given. These
equations are compared with the structural equations given in papers by Range/0v andHirashima/Yajima. All equations are transformed in an
unique form of differential equations of first order.
Part Il contalns the results ofa comparison analysis fora curved boxbeam in a generalform ofbasic equations andin form ofnumerical values.
6 Anwendung auf den Ringträger mit doppelt symmetrischem Kastenquerschnitt
Es wird ein Ringträger mit doppeltsymmetrischem Kastenquerschnitt untersucht. Der Querschnitt einschließlich der Vorzei—
chendefinition der Koordinaten ist in Bild 5 dargestellt.
Bild 5
y Querschnittsdarstellung und Vorzeichendelinitionen
Die verallgemeinerten Koordinaten (Ms), (pus) und xk(s) sind bereits in Bild 2 (Teil l) [1 1] enthalten. Der im Bild 6 dargestellte
Verlauf der verallgemeinerten Koordinate x4 wird im folgenden näherungsweise immer in der angegebenen linearisierten
Form verwendet. Bild 7 zeigt den zu n4 zugehörigen Verlauf der Querbiegemomente m4, der jedoch dem nichtlinearisierten
Verlauf von x4 entspricht.
Das kanonische Differentialgleichungssystem für den Ringträger mit Kastenquerschnitt in allgemeiner Form zeigt Tabelle 2
(im Anhang). Die allgemeine Darstellung verdeutlicht den inneren Aufbau der Gleichungen. Die Berechnung der verallgemei-
1
nerten Querschnittswerte kann dabei auch unter Nutzung der in der Baustatik üblichen Integraltabellen f f1 fgdg erfolgen,
nur dal3 hier u. a. auch Formen f f1 f2 fadE auftreten können. o
0
4E3-6gz- ("f— 1)§+lE(/Ai+1)
‚(L
f 41 = r + 1
e 43- äz-(L-‘>f+%i}7+n42 =
v}: + 1
Ä. e _ „U. J4
2 J2
Bild B
Die verallgemeinerte Koordinatentunktion m Bild 7
————— — - Iinearisierte Form von #4 Die Funktion m4
15
A 4.451; I! Tüllm Zrm
1 4 m,
H)4+2M f®=—————=—=—— awe
1 5 'g 2 4 ‘sz’m (1' 2;) p NS) Beispiele für integrandenfunktionen
Als ein Beispiel ist hier ein integral, bei dem im lntegranden der Kehrwert der Hilfsfunktion ß auftritt, angegeben. Beide Funk-
tionen f1(§) und 12(5) sind in Bild 8 graphisch dargestellt.
d2
1 1 <1—2§)A r? 1+ 2," d
It1f2dg=1 ——.———dg=2A—";—(In__.m__-_2
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d21+
In 2n„ __ d2 2: J_ d3 (1+, 3d§ + 3d; )
1 d2 rm —' 12 r; zorg 112r;
2r„7
1 d 3d4 3d‘
of f1f2d§ E A 2 (1+ 2 + —-3-—-)
6r”, 20r3, 1 12r2,
Das kanonische Differentialgleichungssystem für den Ringträger mit Kastenquerschnitt in allgemeiner Form, jedoch für
ß = r(s)/r‚„ = 1, zeigtTabeile 3. Bei der Berechnung von Fiingträgern kann zurRechenvereinfachung ß : 1 nurfür Träger mit
geringer Breite, geringer Höhe und sehr großem Krümmungsradius gesetzt werden. Das kanonische Differentialgleichunge-
system für den doppeltsymmetrischen Kastenquerschnitt veranschaulichtdas für dieses Beispiel, indem aus einem Vergleich
zwischen den kanonischen DifferentialgIeichungssystemen für ß = ß(s) und ß = 1 ersichtlich ist, daß die Werte für
d2 d2 . d2
AG -—2' bZW. AG 1 2
rä rm
dazu gegen Null gehen müssen (vgl. die Gleichungen jeweils für P’2(t) und P‘4(t)).
Der Grenzübergang r„7 —> 0° führt zu den entsprechenden Gleichungen des prismatischen Trägers mit gerader Längsachse
(Tabelle 6) (im Anhang).
Das von M. Hirashima und S. Yajima in [7] angegebene Gleichungssystem, das im Punkt 4.1 . wiedergegeben wurde (GI. 13a)
und (13b)), wurde analog zur Tabelle 2 aufbereitet und in Tabelle 4 zum Vergleich dargestellt.
Die dabei in eckige Klammern gesetzten Terme entstehen durch die Nichtberücksichtigung der Wandneigungen gegenüber
der Ringachse, siehe auch 4.1 . Schlußfolgerung 1 . Sie führen zu mechanisch nichtsinnvollen Kopplungen der Unbekannten.
Das von R. P. Rangelow in [9] angegebene Gleichungssystem, das in Punkt4.2. wiedergegeben wurde (GI. (19a) und (19h)),
wurde ebenfalls analog zur Tabelle 2 aufbereitet und in Tabelle 5 zum Vergleich dargestellt. An Hand der Tabelle 5 zeigt sich,
daß bei der Lösung nach R. P. Rangelow die Vernachlässigung der Normalverschiebungszustände beträchtlichen Einfluß auf
die Gleichungen für die verallgemeinerten Längsverschiebungen (Ui') und die verallgemeinerten Querkräfte (Qn’) hat. Die
Vernachlässigung der Normalverschiebungszustände führt zu komplizierteren Kopplungen der Unbekannten.
Die in Tabelle 6 angegebenen Querschnittswerte Ixx, /yy stellen die bekannten axialen Trägheitsmomente des Ouerschnlttes
dar. Sie entstehen hier aus den verallgemeinerten Querschnittswerten a 7,. Für lW gilt:
dädä
48
‚w = A'
7 Zahlenbeispiel
Der Vergleich der Modellgleichungen von Hirashima/Yajima, Rangelow und der vorliegenden Arbeit wird am Beispiel eines
einseitig starr eingespannten Viertelkreisbogens mit symmetrisch eingeleiteter Einzellast am freien Ende durchgeführt. Da-
bei wird jeweils zwischen den Fäilen mit bzw. ohne starres Endschott am freien Ende unterschieden. Beim starren Endschott
16
3 9
l
4
T 1
u -
Querschnitt: 5 2
R l
4 t 2 _
V _°—— —a ’l
_ +.__g /’/’°,_"T_..—_.Z
1'1 Q 1 ‘/%’/'/ 8
/-.s//¢../ __°____‚____..__—.————.4
F . p=1oookN { ’fßCP—«v
uoo ' 30- soc a 96' __%
Blld 9 Bild 10
Viertelkreisfräger mit Einzellasf Verlauf der verallgemeinerten Verschiebung Ua
vorliegende Theorie
———— ——— Theorie nach Hirashima/Yajima
— . — . — . — Theorie nach Rangelow
1 — System ohne Schott
2 — System mit slarrern Schott am freien Ende
U5
T’
10"Cnf
JA
103
-Z-ul
Bild 11
Verlauf der verallgemeinerten Verschiebung U4
vorliegende Theorie
Bild 12
Verlauf der verallgemeinenen Verschiebung V1
vorliegende Theorie
—————— Theorie nach Hirashima/Yajima —- ——— — Theorie nach Hirashima/Yajima
— . — . — . — Theorie nach Rangelow — . — . — . — Theorie nach Rangelow
1 - Sysfem ohne Schott 1 — System ohne Schott
2 - System mit starrem Schott am freien Ende 2 —— System mit sfarrem Schott am freien Ende
17
EL
105KNCm
v.—
Blld 13
Verlauf der verallgemeinerten Verschiebung V3
vorliegende Theorie
—————— Theorie nach Hirashima/Yajima
— . — . — . — Theorie nach Hangelow
1 - System ohne Schott
2 — System mit starrem Schott am freien Ende
Bild 15
Verlauf der verallgemeinerten Schnittkraft P3
vorliegende Theorie
————— -—Theorie nach Hirashima/Yajima
— . —— . — . — Theorie nach Rangelow
1 — System ohne Schott
2 — System mit starrem Schott am freien Ende
18
gt° 4
‚__——v---"‘°“--—a1
Bild 14
Verlauf der verallgemeinerten Verschiebung V4
vorliegende Theorie
—————— Theorie nach Hirashima/Yajima
— . — . — . — Theorie nach Rangelow
1 — System ohne Schott
2 — System mit starrem Schott am freien Ende
Bild 16
Verlauf der verallgemeinerten Schnittkraft P4
vorliegende Theorie
————— - Theorie nach Hirashima/Yajima
— . — . — . — Theorie nach Rangelow
1 — System ohne Schott
2 — System mit starrem Schott am freien Ende
Bild 17
Verlauf der verallgemeinenen Schnittkraft Q1
vorliegende Theorie
———— — — Theorie nach Hirashima/Yajima
— . — . — . — Theorie nach Rangelow
1 — System ohne Schott
2 — System mit slarrem Schott am freien Ende
chm
1__>.
10—4
Bild 19
Verlauf der verallgemeinerten Schnittkraft Q4
vorliegende Theorie
————— — Theorie nach Hirashima/Yajima
— . — . — . — Theorie nach Rangelow
1 — System ohne Schott
2 - System mit starrem Schott am freien Ende
4,2
.L—u-‘fl
Bild 18
Verlauf der verallgemeinerten Schnittkraft Qa
vorliegende Theorie
————— — Theorie nach Hirashima/Yajima
— . — . — . — Theorie nach Rangelow
1 — System ohne Schott
2 — System mit starrem Schott am freien Ende
100,1
sqi
'I
Theorie nach ['i] Theorie nach [9]
Bild 20
Normalspannungsverlauf an der Einspannung
19
sind die Konturverformungen (V4) am freien Ende Null und die zugehörige Querkraft Q. vorhanden. Im anderen Fall ver-
schwindet Q4, und die Konturverformungen V.können sich unbehindert einstellen. Bild 9 zeigt das System und die Belastung.
Die numerische Berechnung erfolgte unter Vewvendung eines Übertragungsmatrizenalgorithmus mit Zwischenablösungen
zur numerischen Stabilisierung [12], [13], [6]. Dieses Lösungsverfahren hat sich bei derartigen Systemen bisher mehrfach be-
währt.
In den Bildern 10—1 4 sind die'VerIäufe der verallgemeinerten Verschiebungen für die unterschiedlichen Modellgleichungen
dargestellt. Die Bilder 15—19 zeigen die Verläufe der entsprechenden verallgemeinerten Schnittkräfte. Die Normalspannun-
gen 0„ an der Einspannstelle (ü = 0) sind jeweils für das System ohne Schott am freien Ende in Bild 20 aufgetragen. Zum
Vergleich, insbesondere mit den aus der vorliegenden Theorie folgenden Spannungen, wurden hier auch die Werte, die man
mit der elementaren Theorie erhält, mit aufgenommen.
Aus den Ergebnissen folgt anschaulich, daß weder eine elementare Theorie noch die vereinfachten Theorien von Hirashima/
Yaiima und Rangelow für die Berechnung derartiger Systeme Verwendung finden sollten. Die maßgebenden Spannungs-
werte betragen hier bei der Theorie von Hirashima/Yajima ca. 82 % und bei derTheorie von Rangelow nur ca. 66 % derWerte
nach der Wlassowtheorie. Ferner widersprechen die Verläufe für die Schnittgrößen P3 und Q. in den Lösungen nach
Hirashima/Yajima und Rangelow sogar den statischen GIeichgewichtsbedingungen.
8 Zusammenfassung
Für dünnwandige Ringträger mit geschlossenem Querschnitt wird die halbmomentenfreie Schalentheorie nach Wlassow all-
gemein abgeleitet. Die Modellgleichungen der Wlassowtheorie werden mit denen vereinfachter Ringträgermodelle theore-
tisch und numerisch verglichen. Die Ergebnisse zeigen, daß die von Hirashima/Yaiima bzw. von Rangelow eingeführten Ver-
einfachungen der Modellgleichungen die Ergebnisse stark verfälschen und ihre Anwendung daher nicht empfohlen werden
kann.
Anhang
Tabelle 2
Das kanonische DGl.-System für den Ringträger mit Kastenquerschnitt in allgemeiner Form;
V'eränderliche: Bogenlänge t = rm ‚13,14 linearisiert; ß = Ms).
U: (0-4... Vziti+ hTs’rJQA—e F3 (fit ä-EL Halm EM
J. l ___L__ - 1 1 _1_ t
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20
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Ext) 03 (we GAO—mt) G„(t>=+Ea;f%;E Vu(t>+r‘—‚„ 2 (ML
Tabelle3
Das kanonische DGl.—System1flr den Ringträger mit Kastenquerschnitt in allgemeiner Form;
Veränderliche: Bogenlänge t= r„, - ö; n4 Iinearisiert; ß = 1.
1.0V2 (t)+ 5L g—A5„2AG .1 (t)
T 12
I __J_ -U3(t)-+|—‚r—n 1,0 ‚(Ü—‚4:1 1,0vk(t)+% ZAST%+ZAG%E Pam
Ud(t)= —+ ___._1_ ’
E 2A5: 142::‘+2AG Liga“ 9* (t)
2A5T£+2AG¥
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1
U2 (0+ ä "2175, Q2 (t)
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_ _2As dI=Z-2A 1“"
Q‘ (13 Asrrdzz' AGGd1z a“
G
dz: d z d 2 d Z
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P: (tk-ém 02 (t) “920)
p; (t)=+G ,g—n, 2AG$§ u2(t) +1.0 (Im-6:6)
e, (t)-+ ä %— a, (t) +to as (t) — FL 42— Gut) @(t)m
e; (t)-+ G F171, 2A6 Elf—g? UL, (t) + 1.0 01. (t) - ’; (t)
a: (0-4;, ä (t) 4:51 (U
GHQ-$1 ‘51 (0 4122(1)
mix-353 (t)
mung? VI. (0%, P3 (04% (t)
21
Tabelle 4
Das kanonische DGl.-System lür den Ringträger mit Kastenquerschnitt in allgemeiner Form nach dem Lösungsvorschlag von Hirashima/
Yaiima;
Veränderliche: Bogenlänge t = r„‚ ~ 19; Die mit [ ] gekennzeichneten Terme entfallen, wenn der Neigungswinkel a der Querschnittskontur-
Iinien zur Vertikalen nachträglich berücksichtigt wird.
U; Ct>= + 2;-
u? (Hug _1—_z mt)
u; (t)= +
I 1 _
UL. <t>= *1? am
. d3 4‘ 2A d42-2 113v1 (t)= +L Mai o, t)— 0.,(t)
v; (t)= — 1,0 U2 (t)+ ‚L
G
v; (t>= — 1.0 u3(t)+ ä— ZLAÜ 930)
_L
G
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ä (t)-+ 1,0 at, (t)— Rh)
n = 1__;AJ&‘_ — _1__2AL‘%+‘_— _01 <1) [w 2A5‚%12+2A5% am RZAST%2+ZAG.‚+1F’3(t) am
Qz'(t)=+ ÄG— (Ü-qz(t)l
R ZA5r+2Ae ‘
Q;(t)=[+:; ÄH— ä(t)-q3 (0]Ms + 2A6
A d—i‘ ~ 2A 5‘5 —Q“ (t) ' l’EgT‘gfjä-l V1, (t)[+%'2r€éfffl:-%t 80i+1fim Pa(t)‘m.(t)
l l
Tabelle 5
Das kanonische DGl.—System für den Ringträger mit Kastenquerschnitt in allgemeiner Form nach dem Lösungsvorschlag von Rangelow;
Veränderliche: Bogenlänge t = r‚„ - 0; Normalverschiebungszustände nicht einbezogen; Näherungsweise hier x = R‚/F?(t‚s) durch
1/ß = r„‚/r(s) ersetzt.
I l 1 l ' 1 1— 1 ‘
U1 V2(t>+E—2AST+2AG E 2——‘A5T+2AG Pz
G
1 1 1 l 1 —
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AG ?T22 1+2%%-14+1§1‘—;::)
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Tabelle 6
Das kanonische DGl.-System für den geraden Träger mit Kastenquerschnitt in allgemeiner Form.
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Strojizdat Moskau (im Druck).
Anschrift der Verfasser:
Prof. Dr.-Ing. habil. J. Altenbach
Fakultät Maschinenbau
WB Festkörpermechanik
Technische Universität „Otto von Guericke“
PSF 4120
0-3010 Magdeburg
Prof. Dr.-lng. habil. W. Kissing Dr.-Ing. J. Schulz
Fakultät MaschinenbauBauakademie
Technische Hochschule Wismar Institut für KonStruktiven Ingenieurbau
PSFPlauener Str. 163
0-2400 Wismar 0-1092 Berlin
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