5.3 Eigenschaften stetiger Funktionen Unter Intervall verstehen wir im Folgenden stets ein Intervall, das aus mehr als einem Punkt besteht. Ein Hauptergebnis dieses Abschnittes wird der Beweis der Tatsache sein, dass eine auf

einem Intervall stetige Funktion, die in einem Punkt 1x einen Wert u und in einem Punkt

2x

einen Wert v annimmt, in den Punkten zwischen 1x und

2x alle Werte annimmt, die

zwischen u und v liegen.

Zunächst legen wir fest, dass für zwei reelle Zahlen a und ,b wobei ,a b die Aussage

„die reelle Zahl c liegt zwischen a und b “ gleichwertig ist mit , .c a b

Definition Es sei I ein Intervall. Man sagt, eine Funktion :f I hat die Eigenschaft

von Darboux (oder Zwischenwerteigenschaft), wenn es für alle ,a b I und für jede Zahl

zwischen ( )f a und ( )f b eine Zahl c zwischen a und b gibt, so dass ( ) .f c

Eine Funktion mit der Eigenschaft von Darboux kann also keine Werte „überspringen“.

Bemerkung Hat eine Funktion f die Eigenschaft von Darboux und wird zwischen ( )f a

und ( )f b so gewählt, dass mit keiner dieser Zahlen übereinstimmt, dann fällt auch die

Zahl c mit keiner der Zahlen a und b zusammen.

Satz 5.9 Eine auf einem Intervall I definierte Funktion hat genau dann die Eigenschaft von

Darboux, wenn das Bild durch f eines jeden Teilintervalls von I ein Intervall ist (anders

gesagt: wenn sie jedes Intervall in ein Intervall umwandelt). Der Beweis kann z.B. in Ţena auf S. 137 gefunden werden.

Lemma 1 Ist die Funktion :f D in einem Punkt 0x stetig und 0( ) 0,f x dann gibt es

eine Umgebung U von 0 ,x so dass ( ) 0f x für alle x U D . Eine analoge Aussage

gilt für 0( ) 0.f x

Beweis Es sei 0, so dass 0( ).f x Dann ist 0 0( ( ) , ( ) )V f x f x eine

Umgebung von 0( ),f x die nur positive Zahlen enthält. Wegen der Stetigkeit von f in 0x

gibt es eine Umgebung U von 0x derart, dass ( )f x V für alle .x U D Also gilt

( ) 0f x für alle x U D . Die analoge Aussage für 0( ) 0f x erhält man, indem man

das Bewiesene auf die Funktion f anwendet.

Lemma 2 Es sei I ein Intervall und : .f I Wenn f stetig ist und es in I zwei Punkte

a und b gibt, so dass f in a und b verschiedene Vorzeichen hat, dann gibt es einen

Punkt c zwischen a und ,b so dass ( ) 0.f c

Beweis Wir nehmen an ,a b ( ) 0, ( ) 0f a f b (andernfalls wäre der Beweis ähnlich).

Es sei , ( ) 0 .A x I x b f x Die Menge A ist nichtleer, da ,a A und offenbar ist

A nach oben beschränkt (von b ). Somit gibt es die Zahl supc A und es gilt .a c b

Wir zeigen, dass ( ) 0.f c

Wir nehmen an, ( ) 0.f c Dann gibt es laut Lemma 1 eine Umgebung U von ,c die wir

als offenes Intervall wählen können, so dass ( ) 0f x für alle .x U Wegen ( ) 0f b ist

b U und hiermit .c b In U wählen wir eine Zahl ,d so dass .c d b Dann gilt

( ) 0,f d also .d A Nun steht aber d c im Widerspruch zur Tatsache, dass

sup .c A Es folgt ( ) 0.f c

Wir nehmen nun an, ( ) 0.f c Dann gibt es gemäß Lemma 1 eine Umgebung U von ,c

die wir wieder als offenes Intervall wählen können, so dass ( ) 0f x für alle .x U Wegen

( ) 0f a gilt ,a U also ist .a c Es sei ,d U so dass .a d c Da sup ,c A gibt es

,x A so dass , .x d c Für ein solches x folgt aus der Definition von ,A dass

( ) 0.f x Wegen x U ist jedoch ( ) 0.f x Der Widerspruch zeigt, dass ( ) 0.f c

Somit wurde bewiesen, dass ( ) 0.f c

Satz 5.10 (Bolzano) Ist I ein Intervall und :f I eine stetige Funktion, dann hat f

die Eigenschaft von Darboux.

Beweis Es seien , ,a b I a b , und ein Wert zwischen ( )f a und ( ).f b Wir nehmen

an ( ) ( )f a f b (andernfalls ist der Beweis ähnlich). Wenn ( )f a oder ( ),f b ist

die Aussage offensichtlich. Also genügt es, den Fall ( ) ( )f a f b zu behandeln. Wir

definieren : ,g I .g f Dann ist g stetig, ( ) 0,g a ( ) 0,g b weswegen nach

Lemma 2 die Existenz eines c zwischen a und b mit ( ) 0g c folgt. Somit gilt ( )f c

und der Satz ist bewiesen. Bemerkung Die Umkehrung von Satz 5.10 ist nicht wahr, denn es gibt Funktionen, die auf einem Intervall definiert sind und die Eigenschaft von Darboux haben, jedoch nicht stetig sind.

Übung Zeige anhand der Funktion : ,f 1

( ) sinf xx

für 0x und (0) 0,f

dass die Umkehrung von Satz 5.10 nicht wahr ist. Lemma 1 hat eine Anwendung bei der Bestimmung des Vorzeichens einer auf einem

Intervall stetigen Funktion. Das Lemma sagt, dass eine solche Funktion f zwischen zwei

Punkten a und ,b in denen sie verschiedene Vorzeichen hat, eine Nullstelle haben muss.

Daraus folgt, dass die Funktion f in allen Punkten eines Intervalls, in dem sie keine

Nullstellen hat, dasselbe Vorzeichen bewahrt. Diese Schlussfolgerung kann wie folgt ausgedrückt werden: Satz 5.11 Eine auf einem Intervall definierte und stetige Funktion bewahrt zwischen zwei aufeinanderfolgenden Nullstellen dasselbe Vorzeichen. (Das gilt auch für das Intervall links der kleinsten Nullstelle sowie für das Intervall rechts der größten Nullstelle.) Übungen Ţena, S. 140-141. Satz 5.12 Eine auf einem Intervall definierte stetige und injektive Funktion ist streng monoton.

Beweis Wir nehmen an, f sei nicht monoton. Dann gibt es 1 2 3, ,x x x im Definitionsintervall,

so dass 1 2 3x x x und

1 2 3( ) ( ) ( )f x f x f x oder 1 2 3( ) ( ) ( ).f x f x f x Es genügt,

den ersten Fall zu behandeln, weil im zweiten Fall der Beweis analog ist. Es sei

1 3max ( ), ( )m f x f x und 2, ( ) .m f x Da f Eigenschaft von Darboux hat, gibt es

die Zahlen 1 1 2( , )c x x und 2 2 3( , ),c x x so dass 1 2( ) ( ) ,f c f c was jedoch der

Injektivität von f widerspricht. Hiermit folgt, dass f monoton ist. Wegen der Injektivität von

f folgt nun, dass f streng monoton ist.

Satz 5.13 Eine auf einem Intervall definierte stetige und bijektive Funktion hat eine stetige Umkehrfunktion.

Beweis Die Funktion :f I J sei bijektiv, stetig und streng steigend. Für streng fallende

Funktionen ist der Beweis analog. Es sei 0y J und 1

0 0( ).x f y Wir beweisen die

Stetigkeit von f in 0.y Dazu sei eine Umgebung V von 1

0( ),f y also von 0x gewählt. Die

Umgebung V enthält ein Intervall ( , ),a b in dem 0x liegt. Weil f streng steigend ist, liegt

0 0( )f x y im Intervall ( ( ), ( )).U f a f b Da auch die Umkehrfunktion von f streng

steigend ist, folgt, dass für alle y U die Ungleichungen 1( )a f y b gelten, also

1( ) .f y V Damit ist die Stetigkeit von 1f in 0y bewiesen. Es folgt, dass

1f auf J

stetig ist. Übung Finde ein Beispiel einer bijektiven und stetigen Funktion, deren Umkehrfunktion nicht stetig ist. Als weiteres wichtiges Ergebnis beweisen wir nun einen Zusammenhang zwischen der Stetigkeit und der Beschränktheit von Funktionen. Dass eine stetige Funktion nicht

beschränkt sein muss, zeigt das Beispiel : (0, ) ,f ( ) ln .f x x Auch wenn der

Definitionsbereich eine beschränkte Menge ist, muss die Funktion nicht beschränkt sein, wie

das Beispiel : 0,1 ,g 1

( )g xx

zeigt. Anders jedoch, wenn der Definitionsbereich

ein kompaktes Intervall ist.

Definition Es sei :f D eine beschränkte Funktion. Man sagt, f erreicht ihre

Grenzen, wenn es Punkte 1 2,x x D gibt, so dass 1( ) sup ( )f x f x x D und

2( ) inf ( ) .f x f x x D

Satz 5.14 (Weierstraß) Eine auf einem kompakten Intervall definierte und stetige Funktion ist beschränkt und erreicht ihre Grenzen.

Beweis Es sei : ,f a b eine stetige Funktion. Wir nehmen zuerst an, f sei nach

oben unbeschränkt. Dann gibt es zu jedem n N ein , ,nx a b so dass ( ) .nf x n Die

Folge nx ist beschränkt, sie hat also eine konvergente Teilfolge, die wir immer mit nx

bezeichnen. Es sei 0 lim .nn

x x

Dann müsste wegen der Stetigkeit von f in 0x der

Grenzwert 0 lim nn

x x

gleich 0( )f x sein. Aus der Art, wie die Folge nx gewählt wurde,

folgt jedoch lim .nn

f x

Der Widerspruch zeigt, dass f nach oben beschränkt ist.

Wendet man dieses Ergebnis auf die stetige Funktion f an, folgt, dass f auch nach

unten beschränkt ist. Somit ist f eine beschränkte Funktion.

Nun zeigen wir, dass die Funktion f ihre Grenzen erreicht. Es sei sup ,s A wo

( ) , .A f x x a b Aus der Definition des Supremums folgt, dass es zu jedem n

ein ny A derart gibt, dass 1

.ns y sn

Somit gibt es zu jedem n ein ,nx a b

mit 1

( ) .ns f x sn

Daraus folgt lim ( ) .nn

f x s

Die beschränkte Folge nx hat jedoch

eine konvergente Teilfolge. Diese sei immer mit nx bezeichnet und ihr Grenzwert mit 0.x

Dann gilt wegen der Stetigkeit von f in 0x die Gleichung 0lim ( ) ( ).nn

f x f x

Es folgt

0( ) ,f x s und somit wurde bewiesen, dass f ihr Supremum erreicht. Analog wird gezeigt,

dass die Funktion f ihr Infimum erreicht.

Bemerkung Aus Satz 5.12 folgt, dass eine auf einem kompakten Intervall definierte und stetige Funktion ein Maximum und ein Minimum hat. Übungen Ţena, S. 143-144.