Einführung in die Meteorologie

- Teil II: Meteorologische Elemente -

Clemens Simmer

Meteorologisches InstitutRheinische Friedrich-Wilhelms Universität Bonn

Sommersemester 2006Wintersemester 2006/2007

II Meteorologische Elemente

II.1 Luftdruck und Luftdichte

II.2 Windgeschwindigkeit

II.3 Temperatur

II.4 Feuchte

II.5 Strahlung

II.3 Temperatur1. Thermodynamische Systeme

• thermodynamische Systeme

• 0-ter Hauptsatz der Thermodynamik

• Zustandsgrößen, Arbeit

2. 1. und 2. Hauptsatz der Thermodynamik

• Carnot-Kreislauf

3. Potentiale und spezifische Wärme

4. Messskalen

5. Vertikalbewegungen• Potentielle Temperatur

6. Fluss fühlbarer Wärme

7. Temperaturmessung

II.3.1 Thermodynamische Systeme

Thermodynamische Zustandsgrößen beschreiben ein thermodynamisches System z.B. p, T, V, n, innere Energie, …i.a. nicht unabhängig (siehe Gasgleichung)

Gleichgewichtszustand p(t)=const, T(t)=const, …alle Zustandsgrößen sind zeitlich konstant

Teilgleichgewichtszustand z.B. T(t)=const ↔ thermisches Gleichgewicht

Bei einem Luftvolumen interessiert uns meteorologisch nicht das einzelne Molekül und dessen Position und Bewegungszustand. Wir interessieren uns nur für deren relevante statistische Eigenschaften und die gegenseitigen Abhängigkeiten dieser statistischen Eigenschaften.Dies ist der Ansatz der statistischen Physik: Hier betrachten wird das Luftvolumen als ein sogenanntes thermodynamisches System.

Was ist Temperatur?

• Thermodynamik – Makro-Sicht, Masse+Volumen– Temperatur ist eine Zustandsgröße der Luft

• die den Wärmeenergieinhalt (innere Energie) beschreibt,• die wichtig ist für die Richtung des Wärmetransports

• Statistische Physik – Mikro-Sicht, Moleküle– Temperatur ist proportional zur mittleren kinetischen

Energie der Moleküle (~v²)– Zeigt die Grenzen der Thermodynamik auf (Temperatur

verliert ihren Sinn, wenn einzelne Moleküle betrachtet werden

0-ter Hauptsatz der Thermodynamik

Die Temperatur kennzeichnet den Wärmezustand eines thermodynamischen Systems. Sind zwei Systeme miteinander in Kontakt, so ändert sich ihre Temperatur nur dann nicht, wenn diese gleich sind.

Temperatur ist eine Zustandsgröße eines thermodynamischen Systems

Im thermodynamischen Gleichgewicht ändert sich die Temperatur nicht

Zustandsgrößen (a)

Es sei der thermodynamische Zustand durch k Zustandsgrößen eindeutig bestimmt. Eine weitere Größe T ist dann ebenfalls eine Zustandsgröße, wenn gilt:

0

Wegnemgeschlosse

entlang

dTT

d.h. wenn bei einem beliebigen geschlossenen Weg des Systems im durch die k Zustandsgrößen aufgespannten Zustandsraum T wieder den gleichen Wert annimmt, oder wenn T eindeutig über die k Zustandsgrößen definiert ist.

p

V

T(p,V)

Beispiel ideales Gas (k=2): T = T(p,V) = pV/(nR*)

Zustandsgrößen (b)

Alternativ ist die Feststellung, dass T genau dann eine Zustandsgröße ist, wenn sie sich als totales Differenzial von Zustandsgrößen darstellen lässt, die ein thermodynamisches System vollständig beschreiben.

Beispiel: T = f(p,V)

sdT

dV

dp

V

Tp

T

dVV

Tdp

p

TdT

→

d s

p

V

dV

dp

Achtung: Hier bezeichnen wir mit d nicht die Änderung eines mit dem Wind bewegten Volumens – eine Inkonsistenz im Bezeichnungssystem in der Meteorologie, leider. Auch der Nabla-Operator ist hier anders zu verstehen. Die Raumkoordinaten des Partikels sind ausgetauscht durch andere – allgemeinere – Koordinaten, die den Zustand eines Systems beschreiben.

(Ausdehnungs)Arbeit eines Gases

Dehnt sich ein Luftvolumen aus und verschiebt dabei angrenzende Luftvolumina gegen den dort herrschenden Druck,

so leistet die Luft Arbeit an der Umgebung.

V

p ΔV =

→ V + ΔV(Kraft/Fläche) x Volumen = Kraft x Weg = A (Arbeit)

Infinitesimal, d.h. sehr kleine Volumenänderungen (ΔV→0): A→δA=pdV

Achtung: Wir benutzen δA anstatt dA, weil „d“ vollständigen Differentialen, d.h. Zustandsgrößen wie der Temperatur vorbehalten ist

Übung zu II.3.1

?

1

4

4

3

3

2

2

1

A

pdVpdVpdVpdVpdVA

Gases idealen eines

ßeZustandgrö keine

Arbeitdie ist damit , 0

ss"Kreisproze" diesem

inArbeit Gas dasleistet also

0)()( 121122

A

VVpVVpA

2

VV1 V2

p2

p1

p

3

1

4

1. Vollziehe mit unterem Diagramm das geschlossene Linienintegral der Ausdehnungsarbeit eines Gases nach:

2. Schreibe mit Hilfe der Gasgleichung den Druck als vollständiges Differential von T und ρ; also dp=xdT+ydρ (bestimme x und y).

• Ausdehnungsarbeit und Temperatur• 1. Hauptsatz der Thermodynamik• adiabatische Zustandsänderungen• Carnot-Kreisprozess

– Entropie– 2. Hauptsatz der Thermodynamik

II.3.2 Erster und zweiter Hauptsatz der Thermodynamik

Quelle der Ausdehnungsarbeit und Auswirkung auf die Temperatur

Bei fester Wand ändern auftreffende Luftmoleküle nur ihre Richtung; ihre kinetische Energie bleibt konstant und damit auch die Temperatur im Volumen.

Bewegt sich die Wand z.B. durch den Druck der Luftmoleküle nach rechts, so haben die reflektierten Luftmoleküle eine geringere kinetische Energie; da die Temperatur proportional zur mittleren kinetischen Energie eines Luftmoleküls ist nimmt die Temperatur im Volumen ab.

Ausdehnung eines Gases gegen einen äußeren Druck führt zur Abnahme der Temperatur des Gases.

Die Temperatur hängt mit der inneren Energie des Gases zusammen. Es gibt also eine Umwandlung zwischen innerer Energie und Ausdehnungsarbeit (→ Erster Hauptsatz der Wärmelehre)

1. Hauptsatz der Thermodynamik

Aa

pdVQTdUpdqTdu

)(oder )(

1. Führt man einem idealen Gas die Wärmemenge ΔQ zu, so kann das Gas diese in (Ausdehnungs-)Arbeit ΔA und innere Energie ΔU umwandeln: ΔQ = ΔA + ΔU

2. Die Ausdehnungsarbeit eines idealen Gases ist gegeben durch ΔA=p ΔV

3. Die innere Energie eines idealen Gases ist nur von der Temperatur abhängig U=U(T)

4. Wir führen spezifische Größen ein, also Q→q=Q/m, A→a=A/m, U→u=U/m mit m Masse

Bezeichnungen

• Eine Zustandsänderung eines thermodynamischen Systems wird als adiabatisch bezeichnet, wenn keine Wärmezu- oder –abfuhr erfolgt, also δQ=0 oder δq=0 .

• Erfolgt die Zustandsänderung ohne diese Einschränkung, so spricht man von diabatischen Zustandsänderungen.

Beispiel Carnot-Kreislauf (a)

pdVQTdU )(

p

V

1

4

3

2

Isothermen (T=const)

Adiabaten (kein Wärmeübergänge)

1

2*12

*

2

1

*2

1

2

1

*12

*

rWärmezufuh0

0

ln)ln(ln

ln

abhängt) nur von (da 0)(

(warm)Expansion isotherme 21

*

V

VTnRVVTnR

VdTnRV

dVTnRQQ

dVV

TnRpdVQ

pdVQ

TUTdU

ww

ww

w

TnRPV

Q

Beispiel Carnot-Kreislauf (b)

pdVQTdU )(

p

V

1

4

3

2

Isothermen (T=const)

Adiabaten (kein Wärmeübergänge)

U

pdV

pdVTdU

Q

V

dU

Energieinneren der Kosten auf

Systems des stungArbeitslei

)(

System) ssenes(abgeschlo 0

) (großesExpansion headiabatisc 32

abnahmeTemperatur0

0

fw

fk

ngGasgleichu

VTVTVdf

TdV

dV

T

dTf

V

dVTnRpdVdTfnR

dTfnRdUTfnRTU

f

n

2

2

2

3

**21

*21*

21

ln2

ln , 2

, )(

Moleküls eine radeFreiheitsg

Gases des Mole

genauer)(später zeilungssatGleichvert :

Einschub

Beispiel Carnot-Kreislauf (c)

pdVQTdU )(

p

V

1

4

3

2

Isothermen (T=const)

Adiabaten (kein Wärmeübergänge)

3

4*

4

3

*4

3

4

3

*34

rWärmeabfuh0

0

ln

ln

abhängt) nur von (da 0)(

(kalt)n Kompressio isotherme 43

V

VTnR

VdTnRV

dVTnRQQ

dVV

nRTpdVQ

pdVQ

TUTdU

k

kk

w

nRTPV

Q

Beispiel Carnot-Kreislauf (d)

pdVQTdU )(

p

V

1

4

3

2

Isothermen (T=const)

Adiabaten (keine Wärmeübergänge)

4

3

1

2

2

2

2

3

2

1

2

4

zunahmeTemperatur0

0

folgt mit zusammen

Energie innereerhöht

System am stungArbeitslei

)(

System) ssenes(abgeschlo 0

) (kleinesn Kompressio headiabatisc 14

V

V

V

V

VTVT

VTVT

U

pdV

pdVTdU

Q

V

fw

fk

fw

fk

dU

Carnot-Kreislauf

pdVQTdU )(

p

V

1

4

3

2

Isothermen (T=const)

Adiabaten (keine Wärmeübergänge)

leistetArbeit eswomit

zugeführt, Wärme

insgesamt wirdSystem dem d.h.

0

ariable Zustandsv da 0)(

Übungalszeigenzu

3412

00

QQQ

AQ

UTdU

:1 Folgerung

Carnot-Kreislauf

pdVQTdU )(

p

V

1

4

3

2

Isothermen (T=const)

Adiabaten (keine Wärmeübergänge) differenzTemperatur diegrößer je

größer umso , 1

1ln

ln1

1

Wärmegestecktehinein

Arbeitgeleistete

neraftmaschider Wärmek adWirkungsgr

4

3

1

2

12

34

12

3412

w

k

w

k

T

T

VVnRT

VVnRT

Q

Q

Q

QQ

:2 Folgerung

Carnot-Kreislauf

pdVQTdU )(

p

V

1

4

3

2

Isothermen (T=const)

Adiabaten (keine Wärmeübergänge)

zu.nimmt oder konstant Entropie diebleibt

)0( Systemsenen abgeschlos einemIn

also

0 :gilt Es

cht).Gleichgewi

sthermische:(Annahme ungIdealisier

eineist Kreislauf-Carnotder :Anmerkung

röße Zustandsgeineist

:Entropie Definition

0

aber , 0Q

Entropieder Definition

Übungelirreversibreversibel

Carnot

3412

3412

δQT

QdS

T

Q

ST

QS

T

Q

T

Q

T

Q

QQ

irrevreal

kw

:3 Folgerung

Carnot-Kreislauf

pdVQTdU )(

p

V

1

4

3

2

Isothermen (T=const)

Adiabaten (keine Wärmeübergänge) pdTdsTdu )(

:1.HS des ngFormulieru Neue

abgeführt. wieder ng)Ausstrahlu

durch (oben,Druck niedrigemunter

eflüsse),durch WärmBoden (am

zugeführt WärmeDruck wird hohem

Unter:tmaschine Wärmekrafeine

rt wiefunktionie Atmosphäre Die

werden.umgesetzt Arbeit

in ständignicht vollkann Wärme

:ikThemodynamder Hauptsatz 2.

:6 Folgerung

:5 Folgerung

:4 Folgerung

Übungen zu II.3.21. Zeige, dass beim beschriebenen Carnot-Kreislauf (Folgerung

1) insgesamt Wärme zugefügt wird.

2. Zeige, dass beim beschriebenen Carnot-Kreislauf das Linienintegral über δQ/T bei irreversiblen Prozessen nicht verschwindet (Folgerung 3)

3. Versuche eine qualitative nur schematische Darstellung einer idealisierten Hadley-Zirkulation im p-V-Diagramm. Dabei fließt Luft am Boden von den Hochdruckgebieten der Subtropen zu der tropischen Tiefdruckrinne und erwärmt sich dabei durch Wärmeaufnahme vom Untergrund leicht. Dort steigt sie adiabatisch auf und fließt dann zurück unter leichter Druckabnahme und Temperaturabnahme (durch Abstrahlung in das Weltall) zu den Subtropen, wo sie wieder adiabatisch zum Boden sinkt.

II.3.3 Thermodynamische Potentiale und spezifische Wärme

Relationen mischethermodyna sogenannte 2.

Ableit.part. Definition bzw. Diff. gesvollständi du da , 1.

: werdenabgeleitet nBeziehunge folgende können also Mit

αs

22

sα

s

p

α

T

sα

u

αs

u

α

u

α

up

s

u

s

uT

α)u(s,updαTdsdu

• Bislang hatten wir den Zustand eines thermodynamischen Systems immer im p-V-Diagramm dargestellt (siehe Carnot-Kreisprozess).

• Im p-V- Diagramm können wir über die ideale Gasgleichung die Temperatur T eines idealen Gases eindeutig darstellen (Isothermen im p-V-Diagramm).

• Der 1. Hauptsatz als totales Differential du=Tds-pdα gibt uns eine andere Möglichkeit der 2-dimensionalen Zustandsdarstellung eines thermodynamischen Systems, nämlich die innere Energie im s-α-Raum.

• Eine energetische Zustandsdarstellung (u hat die Einheit einer spezifischen Energie, J/kg) wird bevorzugt, weil dann der Satz der Energieerhaltung unmittelbar anwendbar ist (z.B. Änderungen müssen durch Zu-/Abfuhr anderer Energien bewirkt werden.

• Energetische Zustandsvariable werden auch als thermodynamische Potentiale bezeichnet.

Weitere thermodynamische Potentiale

),(

)()(

Ts-uf der Definition durch durch Ersetze

TffsdTpd

sdTTdspdTdsTsdduTsuddf

Ts

Energie freien

dpsdTdgpTsupTg

pdsdTdfTsuTf

dpTdsdhpupsh

pdTdsdusu

g(T,p)pTs

p

),( :

),( :

),( :

),( :

:insgesamt also , Enthalpie freie

Enthalpiefür wirerhalten Analog

Enthalpie Freie

Energie Freie

Enthalpie

Energie Innere

und

p)h(s,

Die innere Energie ist offensichtlich eine adäquate Beschreibung eines thermodynamischen Systems, wenn man seinen Zustand in Abhängigkeit von der Entropie s und seinem spezifisches Volumen α betrachtet.Oft sind andere Darstellungen zweckmäßig, z.B. im T-α-Raum; dies erhält man durch Anwendung der sog. Legendre-Transformation.

Damit haben wir drei weiter thermodynamische Potentiale, die zur Behandlung thermodynamischer Probleme verwendet werden können.Wenn wir z.B. den Sättigungsdampfdruck des Wasserdampfes, der nur von der Temperatur abhängt behandeln (e*=e*(T)), werden wir die freie Enthapie verwenden.

Spezifische Wärmen c≡ Wärmeenergiezufuhr pro Massen- und Temperatureinheit, [c]=J/(kg K)

i.a. vom Weg, z.B. bei Gasen von Annahmen über p und α abhängig

)( und da

Volumen konstantem bei Wärmeespezifisch

TuuTds-pdαdudT

du

dT

du

dT

Tds

dT

qc

c

v

v

)( und da

Druck konstantem bei Wärmeespezifisch

ThhαdpTdsdhdT

dh

dT

dh

dT

Tds

dT

qc

c

pppp

p

Tch

Tcu

Th

Tu

p

v

0)0(

0)0(Joule-Kelvin-Prozess

T bleibt konstant

Vakuum

Beziehung zwischen cv und cp

RccdpdTc

αdpTdsdhdpdh

dpdTRc

dpRdTdTc

dppddTc

pdduTds

vpp

v

v

v

H.S. 1. wegen

)(

ngGasgleichu mittels )(

J/(kgK)

J/(kgK)

J/(kgK)

287

717

1004

L

v

p

R

c

c

:Luft

Seite) eübernächst (Nachweis

radeFreiheitsg der Anzahl

,

f

fc

c

v

p 415

21

21

Freiheitsgrade

= unabhängige Bewegungsmöglichkeiten eines Teilchens, mit denen es innere Energie speichern kann

Jedes Molekül besitzt drei Translationsfreiheitsgrade entsprechendden drei Raumrichtungen, in die es sich bewegen kann.

Zweiatomige Moleküle besitzen zusätzlich zwei Rotationsfreiheitsgrademit Achsen senkrecht zur Verbindungsachse

Dreiatomige nichtlineare Moleküle besitzen drei Rotationsfreiheitsgrade

Hinzu kommen Vibrationsfreiheitsgrade; einer beim zweiatomigen Molekül, drei bei einem dreiatomigen Molekül. Diese sind aber bei den Atmosphärentemperaturen wenig „aktiviert“.

Da Luft i. W. aus 2-atomigen Molekülen besteht hat sie 5 Freiheitsgrade.

Beweis von fc

c

v

p 21

Konstante-Boltzmann 1038061mit 21E

Moleküls eines Energie diebeträgt radFreiheitsg Pro23 J/K,kTk -

BB

:zeilungssatGleichvert

2121

, 2

Molmasse mit / , 2

/ , 2

ZahlcheLoschmidts Lmit / , 22

folgtDann

*

**

*

*

*

fc

cfM

R

MRccM

RfdT

duc

MkgJdTMRfdude

MolJdTRfdE

MolekülJTLRfTkfE

v

p

vpv

mol

B

Übungen zu II.3.3

1. Leite die Formulierungen des 1. Hauptsatzes für Enthalpie und freie Enthalpie ab.

2. Bestimme cp und cv für Luft unter der Annahme, dass diese nur aus Wasserdampf besteht.

II.3.4 Definition der Temperatur und ihrer Maßskalen

• 0-ter Hauptsatz• Gasthermometer (über Gasgleichung)• Gaskinetische Deutung• 2. Hauptsatz der Thermodynamik• Empirische Temperaturskalen (Celsius, Kelvin etc.)

0-ter Hauptsatz

Temperatur ist eine Zustandsgröße.+

Im thermischen Gleichgewicht haben alle Körper die gleiche Temperatur.

Damit kann die Temperaturmessung erfolgen, in dem man einen Probekörper, dessen Temperatur man irgendwie messen kann, in den zu messenden Körper, z.B. die Luft, einbringen und so lange wartet, bis sich die Temperatur nicht mehr ändert.

TK

TP

Prinzip des Gasthermometers

p

p

T

T

pTnR

pTnR

V

VTnRpV

T,Vpp,V,T

0

0

0

0*

*

0, und constnmit Zustände2

* :ngGasgleichu

000

00

0 i)

V

VTT

constpp

00

0 ii)

p

pTT

constVV

T=T0T0 → T0+ΔT

→ Rechten Schenkel senken bis beide Flüssigkeitsspiegel auf gleicher Ebene sind. Dann ist Innendruck gleich dem äußerem Luftdruck. Dann kann die Volumenänderung (V) bestimmt werden und damit T.

→ Rechten Schenkel heben bis linker Flüssigkeitsspiegel wieder auf ursprünglicher Höhe ist. Dann ist V=V0. Dann kann die Druckänderung (p) über die Höhe der Säule bestimmt werden und damit T.

Gaskinetische Deutung der Temperatur

00 , Moleküle

der Energie kinetische mittlere 2

3

22

vT

Tkvm

E Bkin

2. Hauptsatz – Carnot-Kreisprozess

e.Wärmeflüss

der Bestimmungdurch Temperaturder Messung eunabhängig-Stoff

ssKreisproze mreversible beim 2

1

2

1

2

2

1

1

T

T

q

q

T

q

T

q

Empirische Temperaturskalen

RCRC

FC

CFC,-F

K,C

80100 , 00 :SkalaReaumur

3295C , 325

9F

Menschen) desperatur (Körpertem 37100 , 78170 :SkalaFahrenheit

152730 :Skala-Celsius

Übungen zu II.3.4

• Um wieviel % seines Volumens dehnt sich ein Luftvolumen aus, wenn es isobar von 0°C auf 27°C erwärmt wird?

• Wie schnell ist im Mittel ein Sauerstoffmolekül, wenn die Lufttemperatur 20°C beträgt?

II.3.5 Temperaturänderung der Luft bei Vertikalbewegungen

• Adiabatische Form des 1. HS der Thermodynamik• Poisson-Gleichung• Potentielle Temperatur• Temperaturprofil in der turbulenten Grenzschicht• Adiabatischer Temperaturgradient• Energiebetrachtung beim Aufsteigen• Potentielle Temperatur und Entropie

ProblemstellungWir betrachten die Temperaturänderung eines Luftvolumens, das wir in

der Atmosphäre (Umgebungu) nach oben oder unten verschieben.Annahmen:1. „trocken“: keine Kondensation von Wasserdampf 2. adiabatisch: keine Wärmeleitung, Strahlungserwärmung oder

Strahlungsabkühlung, oder Diffusion, also δq=03. Instantaner Druckausgleich mit der Umgebung, p=pu

gsarbeit Ausdehnunund

Energie Innerer zwischen ich Ausgle

:Prozesse headiabatisc für HS 1. )( pdTdu

4. Beim Aufsteigen nimmt nach der statischen Grundgleichung dpu=-ρugdz der Druck in der Umgebung (und im Luftvolumen p) ab.

5. Nimmt dabei die Dichte ab (und damit α zu), so leistet das Gas Ausdehnungsarbeit auf Kosten der inneren Energie u: diese (und mit u=cvT auch die Temperatur T) nehmen ab.

Tu(z) aktuellesTemperaturprofil

?dz

dTTT

T

TT

T

z

zunächst: Temperaturänderung mit dem Druck- Poisson-Gleichung -

exp() mit lnln , lnlnlnln

nIntegratio mit lnln ,

trennung Variablenmit

und mit

1

2

1

21212

0

p

p

c

R

T

Tpp

c

RTT

pdRTdcp

dpR

T

dTc

dpp

TRdpdTc

pTRdTcdhdpdhq

p

L

p

L

LpLp

Lp

Lp

hadiabatisc

k

p

L

cR

p

ppTpT

kcR

p

p

T

T p

L

00

1

2

1

2

2860

)()(

,

GleichungPoisson

p

T -pk0

300

1000

TT

-p

1000

500

0 Trocken-Adiabaten

0p

dp

dT

Stüwe-Diagramm

Definition der Potentiellen Temperatur θ

= Temperatur, die ein Luftvolumen annimmt, wenn es adiabatisch auf einen Referenzdruck po (meist 1000 hPa) gebracht wird.

T

-p0

pA

pB

TBTA θA θB

B

A

p0p

Lc

R

p

TpTp

T

pp

0pT

beliebig ,,

uckReferenzdr

bei Temperatur

uckReferenzdr

Gleichung-Poisson in Setze

11

2

02

:Berechnung

Die potentielle Temperatur ist eine Konstante (konservative Größe) bei adiabatischen Bewegungen eines Luftvolumens.

Adiabatischer Temperaturgradientaddz

dT

uuuL

uL

uuuu

p

ppgdzT

Tgdz

TR

p

p

TR

gdzzgpdpgdz

dpdTc

mit wieder

Umgebung mit eichDruckausgl rinstantane

mit

Enthalpie) (mit Bewegung headiabatisc für 1.HS

1

K/100m ,

980

p

puad

c

g

c

g

T

T

dz

dT

T

z

z

Tu

addz

dT

T

zTu

pc

g

T

1uT

T

1uT

T

Temperaturprofil bei Durchmischung

a) Atmosphäre sei in Ruhe. Sie werde vom Boden (bei T0) durch Wärmeleitung etc. angeheizt. Strahlungsprozesse in der Atmosphäre seien vernachlässigbar.

TT0

z

T(z)=T0=constim thermischen Gleichgewicht

TT0

z

Adiabatisches Profil stellt sich ein mit T0 als Temperatur in Bodennähe.

b) Einsetzen von Turbulenz und damit vertikale Durchmischung, die innerhalb der Atmosphäre adiabatisch erfolgen soll.

Energiebetrachtungen beim Aufsteigen

eEnergiepotentiellEnthalpieconst

)(

heReferenzhö als wähle)(

)(

nIntegratio

0

000

00 0

zzgTcc

zzzgTcTc

zzgTTc

gdzdpdTc

pp

pp

p

adp

Beim adiabatischen Aufstieg/Abstieg wird Enthalpie in potentielle Energie umgewandelt und umgekehrt.Aus der 1. Form des 1. HS mit der inneren Energie u folgte, dass bei adiabatischen Bewegungen innere Energie in Ausdehnungsarbeit umgewandelt wird bzw. umgekehrt.cpθ - und damit auch die potentielle Temperatur θ - sind Konstanten (konservative Größen) bei adiabatischen Umlagerungen.

Entropie s und potentielle Temperatur θ

pdRTdcds

dpTT

dTcds

T

q

dpdTcq

Lp

p

p

lnln

1

pdRTdcdc

pRpRTcc

p

pc

RT

p

pT

Lpp

const

LLpp

p

L

cR

p

L

lnlnln

lnlnlnln

lnlnln

0

0

0

lndcds p

dcd

TcTdcTdsq ppp

1~

ln

Wärmezu und –abnahmen sind in etwa proportional zur Änderung der potentiellen Temperatur – und nicht der thermodynamischen Temperatur!!!

Übungen zu II.3.51. Zeige dass bei adiabtischen Zustandsänderungen gilt dT/dp|

p=0 =∞.

2. Ein Teilchen habe bei 500 hPa die Temperatur – 20°C. Welche Temperatur hätte es bei adiabatischer Bewegung auf 1000 hPa?

3. Wie ändert sich in einer isotherm geschichteten Atmosphäre die potentielle Temperatur mit der Höhe?

4. In 800 hPa habe ein Luftvolumen von 1 kg Masse die Temperatur 0°C. Es sinke adiabatisch auf 1000 hPa ab. Dort erhöhe sich danach seine Temperatur isobar um 5 K. Welche Temperatur und welche potentielle Temperatur hat dann das Teilchen? Um wie viel haben sich seine vier massenspezifischen thermodynamischen Potentiale geändert?

II.3.6 Fluss fühlbarer Wärme• Die Atmosphäre wird wesentlich durch ihren Kontakt mit der

Erdoberfläche erwärmt.• Direkt an der Erdoberfläche (wenige mm) geschieht das durch

Wärmediffusion. Diese lässt sich wegen der Inhomogenität des Untergrundes nicht messen.

• Oberhalb dieser sehr dünnen Schicht erfolgt der Wärmetransport i.w. durch Turbulenz; dieser Transport lässt sich, wie im letzten Kapitel diskutiert, durch hochfrequente Messung von Temperatur und Vertikalgeschwindigkeit direkt messen (oder aus dem Temperatur- und Windprofil abschätzen).

• w‘T‘ ist nicht die geeignete Formulierung für den Wärmetransport, da sich T durch adiabatische Druckänderung mit der Höhe verändert, ohne dass Wärme transportiert wird.

• w‘θ‘ ist die geeignete Formulierung, da die potentielle Temperatur eine Konstante bei adiabtischen Abläufen ist.

Wärmehaushaltsgleichung- Vereinfachung durch potentielle Temperatur -

Enthalpie der leichungHaushaltsg

Zeit der mit g Änderun

ement Volumenelim Enthalpie der derung Än

VolumenimSenkenQuellen Volumendas

in Advektion

1.HS

dt

dp

dt

dsTTvc

t

Tc

t

h

dt

dp

dt

dsT

dt

dTc

dt

dh

dpTdsdTcdh

pp

Tvt

T

p

p

Druckterm ohne Senken und Quellen Advektion

mit , ln

)drin! schon dann (Druckterm Temperatur epotentiell durch ungVereinfach

Qu

pp

ppp

dt

dsvc

tc

vtdt

d

dt

ds

dt

dcdsdcdc

Gemittelte Haushaltsgleichung (a)

Wärmefühlbarender leichungHaushaltsg

Quelltermrgemittelte

von Flusses nturbulentedes Divergenz

Strömung mittleredurch Advektion

Temperatur enpotentiell der Änderunglokale

von Mittelung

Quvcvct

c

Quvct

c

pc

ppp

pp

klein! sehr W/m, / x

T : Annahme

)102( eitleitfähigkTemperatur und

))J/(m 0,026( tfähigkeit Wärmelei mit

ungnWärmeleitmolekulare der Divergenz

flüsseStrahlungs der Divergenz

Reibung innere durch Volumensdes Erwärmung )

2

5-

2

02601

2

mol

p

pmol

mol

HmK

smca

sTacTH

H

Qui

Gemittelte Haushaltsgleichung (b)

Quellterm

rgemittelte

von Flusses nturbulentedes Divergenz

Strömung mittleredurch Advektion

Temperatur enpotentiell der Änderunglokale

Quvcvct

c

pc

ppp

c mit Wärmefühlbarer

Transports nkonvektive des Divergenz zur alproportion

s Windfeldedes reiheitDivergenzf bei (ist Wärmefühlbarer on Advekti )

p θvHH

θvcii

konvkonv

p

e Atmosphärfreien der in

koeffizentDiffusions

rturbulente )(i.a. mit :satzGradientan

Flüssen. igengrößerskal zu analog entwickelt ätzeierungsansParametris

werdendaher messen; zu schwierig i.a. Ist .H

Wärmefühlbarer Flusses nturbulente des Divergenz der )

turb

turbturbmol

pturb

p

p

HHHH

aKKcH

θvc

θvcii

Turbulente Wärmeflüsse und vertikales Temperaturprofil

:

(aufwärts) 0H0

(abwärts) 0 H0

efluss)(kein Wärm 0H0

obennach s Wärmefluszu,nimmt ab,nimmt

untennach s Wärmeflusab,nimmt zu,nimmt

flusskein Wärme rung,Profilände keine

z

z

z

TT

TT

BABA

BABA

BA

zA

B

T,θ

z

T,θ

z

T,θ

z

Übungen zu II.3.6

• Erläutere warum bei der Bestimmung des turbulenten Wärmeflusses (Fluss fühlbarer Wärme) H die potentielle Temperatur und nicht die Lufttemperatur verwendet werden muss.

II.3.7 Temperaturmessung

• Prinzipien:– Temperatur eines Probekörpers im thermischen

Gleichgewicht (direkte Messung)– Strahlungsmessung und Interpretation nach

Planckschem Strahlungsgesetz (Fernerkundung, Satelliten)

– Laufzeitmessung des Schalls (Fernerkundung)• Meteorologisch wichtige Temperaturen:

– Lufttemperatur (→Grundgleichungen)– Bodentemperatur (→Wärmeaustausch mit Untergrund)– Temperatur unter besonderen Bedingungen)

• Feuchtes Thermometer→Luftfeuchte• Thermometer unter Sonnenbestrahlung→Sonnenstrahlung)• Thermometer über kochendem Wasser→Luftdruck)• Temperatur eines beheizten Drahtes→Windstärke)

Direkte Messmethodeni) Flüssigkeitsthermometer:Prinzip: Ausdehnung von Flüssigkeiten bei Temperaturänderungen)

Quecksilber (Hg) 96% Alkohol

Schmelzpkt, °C -38,8 -117

Siedepkt., °C +359,7 +78

ii) Bimetallthermometer:Prinzip: Unterschiedliche Ausdehnung zweier längs verlöteter Metallstäbe

iii) Thermoelement:Prinzip: Verlöten zweier Metalle

mit unterschiedlichen Austrittsarbeiten für Elektronen

1 + - 2kleine großeAustrittsarbeit

-

Tk Tw

- + + + - -

-

iv) Widerstandsthermometer:Prinzip: Widerstand R von

Metallen und Halbleitern hängt von der Temperatur ab.

T

b

eRR

RR

0

0 1

:Halbleiter

)(:Metalle R

TR

T

Flüssigkeitsthermometer

• …sind (noch) meist verwendet in der Meteorologie

• … benötigen wir jetzt um tieferen Verständnis der Temperaturmessung die Wärmehaushalts- und Oberflächenernergiebilanzgleichung

• …daraus folgt die Notwendigkeit der Belüftung eines Thermometers.

• …und die Bauart des Thermometers bestimmt die Trägheit (Ansprechzeit).

• Alles gilt auch für die meisten anderen thermometerarten.

Flüssigkeitsthermometer (1)

Aufbau:

Schaft emausgezogen dünn sehr mit

tsbehälterFlüssigkei großer

bei Volumensdesnur

)(

in Temperatur mit

))(()( :Volumen

KT

KHg

C

CVV

w

w

501001

1018

10

15

tFlüssigkei der zität Wärmekapaespezifischc

tFlüssigkei der Masse m

tFlüssigkei der Energie innere U

/, sdichte Wärmeflusdurch

Oberfläche über rteWärmeab/zugefüh

WJ/s , dt

dU

ungaltsgleichWärmehaush

2mWSS

FFSdt

dTcm K

TK

abLuft zu

rThermomete-DifferenzT

von nuri.w. hängt

aturLufttemper an gAngleichun schnelle damit

groß, möglichst

rnThermometehenempfindlic bei

groß klein

alsoklein

möglichst

F

mc

:rsThermomete des Trägheit

Sdt

dT

LT

K

Fm, c

Flüssigkeitsthermometer (2)

TK

eraturSchafttemp T und

izientgangskoeff Wärmeüber mit

Schaft dem aus eleitung Wärm

Wand)(z.B. emperaturUmgebungst T und

ahlübergangszStrahlungs mit

bilanzStrahlungs elangwellig )

eflussdichtStrahlungs ekurzwellig eeinfallendK und

nsvermögen Absorptioeskurzwellig mit

bilanzStrahlungs ekurzwellig

izientgangskoeff Wärmeüber mit

Umgebung die an Wärmefühlbarer Fluss rturbulente

S

W

S

K

L

KS

KWS

K

KLL

ii

K

TTβ

T(Tα

K

TT

SSdt

dT

F

mc

4

1 TL

TK

K

(1-εK)K

TK

TW

TS

TK

01

0

KSKWSKL

LK

K

TTβT(TαKTT

dt

dT

)

d.h tät,Stationari

:AnnahmeD.h. ist Tk konstant, so ist Tk nicht unbedingt die Lufttemperatur Tl , die ich messen will.

Flüssigkeitsthermometer (3)

: werdengetroffen Maßnahmen folgende können

erreichen, zu 0 )

also an), aturLufttemper zeigt er(Thermomet Um

KSKWSKL

LK

LK

TTβT(TαKTT

TT

1

sein. dünn möglichst und n)einbeziehe Belüftung in (mit

werdengehalten aturLufttemper auf möglichst ebenfalls sollte Schaft Der 3)

werdengehalten aturLufttemper auf sollte (Hütte) Umgebung die und

schutzStrahlungs durch werdenreduziert können termeStrahlungs Die 2)

werdengehalten klein möglichst und/oder

werdenbelüftet rThermomete das sollte

rsThermomete des rDurchmesse d

eitschwindigk Anströmgev , Mit

sein groß möglichst muss )

L

L

d

v3

1

Flüssigkeitsthermometer (4)- Zeitverhalten des idealen Thermometers -

eitTrägheitsz mit

ausSchafts Wärmefluskein

Strahlung, keine LKLKLL

K

F

mcTTTT

mc

FS

mc

F

dt

dT

1

1

abgesunken Drittel ein auf differenzTemperatur

cheursprüngli die ist von Zeitdauer einer nach also

/, Bei

exp ln

ln

:const)T (Annahme nIntegratio

Zeit zurDifferenz

,

Zeit zurDifferenz

,

t

t

L

0

313680

1

1

10

0

00

0

0

0

eett

eTTTT

ttTT

TT

dtTTdTT

dT

tt

tt

tT

LK

tT

LK

LK

LK

LKLK

K

t

TK

TL

t0

LK TT 0,368,0

Übung: Bestimme die Reduktion in % von TK,0-TL nach einer Zeitperiode von 2, 4 und 6τ

Übungen zu II.3.7

Bestimme die Reduktion in % der Anfangsdifferenz zwischen Thermometeranzeige und Lufttemperatur Tk,0-TL nach einer Zeitperiode des zwei-, vier- und sechsfachen der Trägkeitszeit des Thermometers. Wie lange dauert es , bis man bei einem Thermometer mit Trägheitszeit 3 s bei einer Anfangsdifferenz von 10 K die Lufttemperatur mit einer Genauigkeit von 0,1 K bestimmen kann?