Empirische Untersuchung Empirische Untersuchung einer Wissensstruktur für das einer Wissensstruktur für das

Lösen mathematischer Lösen mathematischer Textaufgaben durch Kinder Textaufgaben durch Kinder

[Arbeitstitel][Arbeitstitel]

ThemenüberblickThemenüberblick

Wissensraumtheorie Kognitive Entwicklungstheorien Erwerb mathematischer Kompetenzen Fragestellung

WissensraumtheorieWissensraumtheorie(Doignon & Falmagne)(Doignon & Falmagne)

formale Theorie der effizienten Erfassung von Wissen

Konzept: Repräsentation eines Wissenszustands einer Person bezüglich eines speziellen Bereiches durch eine bestimmte Menge an Aufgaben, die eine Person in der Lage ist zu lösen

TheorieTheorie

es gibt eine Aufgabenmenge Q innerhalb dieser Menge äußern sich

Abhängigkeitsbeziehungen (surmise-relations) zwischen den Aufgaben als binäre Relation: q t– aufgrund einer richtigen Lösung von t kann auf eine

richtige Lösung von q geschlossen werden– werden dieser Realtion die Eigenschaften Transitivität

und Reflexivität zugeschrieben, spricht man von einer Quasiordnung

– diese surmise-relations können in Hasse-Diagrammen dargestellt werden

prerequisite-relation: – eine oder mehrere Aufgaben q sind nötige

Voraussetzungen für das Lösen einer Aufgabe t– Hasse-Diagramm einer surmise-relation

r

t s

q

Nachteil: jede Aufgabe hat genau eine Menge vonVorgängeraufgaben

Wissenszustand: – Teilmenge von Aufgaben, die eine Person fähig ist zu lösen– Menge 2n aller möglichen Wissenszustände wird aufgrund

der surmise-relations auf theoretisch erwartbare reduziert

Wissenstruktur:– geordnetes Paar (Q, K):

Q... AufgabenmengeK... Menge der Wissenszustände

(Teilmengen aus A)

Wissensraum: 3 Axiome: quasi-ordinal, wenn:– Menge Q und die leere Menge Zustände sind– jede Vereinigung von Zuständen ein Zustand ist– jede Durchschnittsbildung von Zuständen ein Zustand ist

eine Aufgabe kann mehrere Vorgängeraufgaben haben und/oder –Graphen

r

t v s Surmise- system

q

der Lösung von r kann Lösung von s oder von q und t vorangehen

mehrere Vorgängeraufgaben werden als Klauseln C bezeichnet

in einer surmise-function (x) wird jeder Aufgabe x die Menge ihrer Klauseln C zugewiesen

geordnete Paar (Q, ) wird als surmise-system bezeichnet

die Klauseln und die aus ihrer Vereinigung gewonnenen Zustände werden als Wissenzustände in die Wissensstruktur aufgenommen = Wissensraum

eine Wissensstruktur kann auch in Form einer Basis dargestellt werden, die nur die Klauseln enthält, die in keiner Teilmengenbeziehung untereinander stehen

Erweiterung der Theorie durch Erweiterung der Theorie durch Albert & HeldAlbert & Held

Komponentenbasierende Wissensräume:– stellen kognitive Anforderungen dar, die

notwendig sind zur Lösung eines Problems– ihre Eigenschaften werden als Attribute

bezeichnetSystematische Aufgabenkonstruktion:

erleichtert Vergleich von Aufgaben– Konstruktionsprinzip: „componentwise

ordering rule“

Beispiel zur Konstruktion von Beispiel zur Konstruktion von Aufgaben, die aus Komponenten mit Aufgaben, die aus Komponenten mit verschiedenen Attributen bestehenverschiedenen Attributen bestehen

Komponenten A und B, mit ihren Attributen:

A = {a1,a2 ,a3 } B = {b1, b2}

a1 = reelle Zahlen b1= Berechnung von Potenzen

a2 = ganze Zahlen b2 = Addition

a3 = natürliche Zahlen

Durch Bildung des kartesischen Produkts von A und B erhält man 6 verschiedene Aufgabentypen: A x B

p = {(a1b1), (a1b2), (a2b1), (a2b2),(a3b1),(a3b2)}

Beispiel:

(a2b1) = Berechnung von Potenzen ganzer Zahlen (-5)2

Attribute und ihre Attribute und ihre Problemstruktur nach der Problemstruktur nach der

koordinatenweisen Ordnungkoordinatenweisen Ordnung

A x B

a1

b1

a2 x

b2

a3

(a1b1) o

 

(a2b1) o o (a1b2)

(a3b1 ) o o (a2b2)

o (a3b2)

Lexikographische OrdnungLexikographische Ordnung

A x B

a1

b1

a2 x

b2

a3

o (a1b1)

o (a1b2)

o (a2b1)

o (a2b2)

o (a3b1)

o (a3b2)

Ansatz von HeldAnsatz von Held

den Attributen werden Anforderungen, „skills“, zugeschrieben

skills beziehen sich auf kognitive Anforderungen, die zur Lösung einer Aufgabe von Bedeutung sind

sie werden aus der Analyse der Lösungswege von Aufgaben gewonnen: Welches Wissen ist für die Lösung einer Aufgabe nötig? Welche Eigenschaften der Aufgabe sind es, die einen bestimmten Lösungsweg bedingen?

Ordnung der AttributeOrdnung der Attribute

erfolgt anhand der Annahmen über die erforderlichen skills

basiert auf Inklusion der Menge von skills:– ein Attribut, das aus einer Teilmenge von skills

eines anderen Attributs besteht, ist das leichtere

mögliche Ordnungsprinzipien:– componentwise order oder die lexikographische

Ordnung

Komponenten A und B:

A = {a1,a2,a3} B = {b1, b2}

ρa (a1) = {O1} ρb (b1) = {O4}

ρa (a2) = {O1, O2} ρb (b2) = {O4, O5}

ρa (a3) = {O1, O2, O3}

(a3) {O1, O2, O3} (b2) {O4, O5}

(a2) {O1, O2} (b1) {O4 }

(a1) {O1}

Kognitive Kognitive EntwicklungstheorienEntwicklungstheorien

Theorie von PiagetInformationsverarbeitungstheorieKonzept-AnsatzTransfer-Strategie-AnsatzRolle von TextaufgabenVerbindung zur Wissensraumtheorie

Theorie von PiagetTheorie von Piaget

klassische Stadientheorie 4 Stadien jedes Stadium geht aus dem vorangehenden

Stadium hervor und bereitet das darauffolgende vor

inhaltsunabhängige, abstrakte Denkschemata allgemeine Repräsentationsfähigkeit Veränderung der Denkschemata durch radikale

Umstrukturierung

Kritik an PiagetKritik an Piaget– Unterschätzungen der Kompetenz des Säuglings, – keine stadientypischen Einschränkungen des Denkens– keine stadientypische Homogenität

alle neueren Theorien sind aus der Auseinanderstetzung mit Piagets Theorie entstanden

befassen sich damit, welche kognitiven Strukturen zugegen sein müssen, um eine bestimmte Leistung erbringen zu können, bzw. welche Defizite Kinder daran hindern bestimmte Aufgaben zu lösen.

Informationsverarbeitungstheorien:Informationsverarbeitungstheorien:1. Neo-Piaget-Theorie:1. Neo-Piaget-Theorie:

Pascual-Leone, Halford; CasePascual-Leone, Halford; Case Kind als Computer-Metapher: Grundannahmen:

Denken ist Informationsverarbeitung, diese ist begrenzt, Leistungsfähigkeit beteht darin, Begrenzung zu erweitern

auch als Neo-piaget-Theorie bezeichnet, da sie auch das Konzept bereichsübergreifender Stadien beinhaltet.

Determinante kognitiver Veränderungen ist Veränderung der Informationskapazität.

Informationen aus der Umgebung werden durch Sinnesorgane registriert, in den Kurzzeit-, oder Arbeitsgedächtnisspeicher überführt und können in das Langzeitgedächtnis kommen.

2 Richtungen:2 Richtungen:

mit ansteigendem Alter: Erweiterung des

Arbeitsgedächtnisspeichers oder

Steigerung der Effizienz in der Nutzung kognitiver Ressourcen

ermöglicht Lösung komplexerer Aufgaben

2. Transfer-Strategie-Ansatz:2. Transfer-Strategie-Ansatz: Stern, Siegler, KuhnStern, Siegler, Kuhn

intraindividuelle Variabilität und interindividuelle Unterschiede im Entwicklungsverlauf

Wissen ist oft an Kontext seines Erwerbs gebunden Probleme bei der Übertragung von Wissen an neue

Aufgaben Trennung von Strategieentdeckung und

Strategieanwendung verschiedene Strategien sind parallel vorhanden und

einsetzbar Frage nach Mechanismen der Selektion zwischen

Problemlösungsalternativen

Bereichspezifische Theorie:Bereichspezifische Theorie:Konzept-Ansatz: Konzept-Ansatz:

Gelman, Stern, ResnickGelman, Stern, Resnickradikale Veränderungen inhaltsspezifischer

Konzepte im Laufe der kognitiven Entwicklung

konzeptuelle Umstrukturierung: restrukturierte Konzepte basieren auf abstrakteren Prinzipien, frühere konkrete Merkmale eines Konzepts verschwinden

Erwerb mathematischer Erwerb mathematischer KompetenzenKompetenzen

zur Bewältigung vieler Anforderungen in der Gesellschaft

bedeutendes Ziel in der Schule flexibel einsetzbare Basiskonzepte und

Problemlösekompetenzen so vermitteln, dass sie in realen Situationen angewandt werden können

Suche nach den Ursachen für Hindernisse und Probleme der Kinder mit der Entwicklung mathematischen Verständnisses

Aufgabe der kognitiven Psychologie

TextaufgabenTextaufgaben– zur Untersuchung von Lern- und Denkprozesse – Lösungen sind einfach– Stoffinhalt ist überschaubar ist– genaue Abbildung von Lösungsprozessen – Vergleich mit empirischen Daten

2 Textsysteme:

- Handlungswelt und Sachwelt

- mathematische Strukturwelt sprachlich miteinander verbunden Studium des Wechselspiels von sprachlichen, sachlichen und

mathematischen Verarbeitungsprozessen bzw. Wissen.

Textaufgaben als Textaufgaben als Forschungsgegenstand der Lern- Forschungsgegenstand der Lern-

und Entwicklungspsychologieund Entwicklungspsychologie

ermöglicht Studium von Verstehensprozessen:- die Situation verstehen- in mathematische Gleichung umsetzen

erfordert Repräsentation eines mentalen Modells:

Wissensrepräsentation auf unterschiedlichem

qualitativen und quantitativen Niveau, konstruiertes Modell der externen Umgebung, abstrakt, flexibel, komplex

3 Grundtypen von Textaufgaben 3 Grundtypen von Textaufgaben zur Addition und Subtraktionzur Addition und Subtraktion

1. Kombinationsaufgaben

2. Austauschaufgaben

3. Vergleichsaufgaben

innerhalb eines Aufgabentyps unterscheiden sich die Aufgaben in der Art, nach welcher Menge gesucht wird

KombinationsaufgabenKombinationsaufgaben

1. Teilmenge unbekannt

Maria und Hans haben zusammen 8 Murmeln. Maria hat 6 Murmeln. Wie viele Murmeln hat Hans?

2. Vereinígungsmenge unbekannt

Maria hat 3 Murmeln. Hans hat 4 Murmeln. Wie viele Murmeln haben sie zusammen?

AustauschaufgabenAustauschaufgaben

1. Endmenge unbekannt

Maria hatte 5 Murmeln. Dann gab ihr (sie) Hans 3 (2) Murmeln. Wie viele Murmeln hat Maria jetzt?

2. Austauschmenge unbekannt

Maria hatte 5 Murmeln. Dann gab ihr (sie) Hans einige Murmeln. Jetzt hat Maria 8 (3) Murmeln. Wie viele Murmeln hat ihr Hans gegeben?

3. Anfangsmenge unbekannt

Maria hatte einige Murmeln. Dann gab ihr (sie) Hans 3 Murmeln. Jetzt hat Maria 5 (4) Murmeln. Wie viel Murmeln hatte sie am Anfang?

Vergleichsaufgaben1. Differenzmenge unbekannt

Maria hat 5 Murmeln. Hans hat 8 (2) Murmeln. Wie viele Murmeln hat Hans mehr (weniger) als Maria?

2. Vergleichsmenge unbekannt

Maria hat 3 Murmeln. Hans hat 4 (2) Murmeln mehr (weniger) als Maria. Wie viel Murmeln hat Hans?

3. Referenzmenge unbekannt

Maria hat 7 Murmel. Sie hat 4 (2) Murmeln mehr (weniger) als Hans. Wie viel Murmeln hat Hans?

Schwierigkeitsgrad der Aufgaben– konsistente Ergebnisse

– Aufgaben, denen die gleiche mathematische Operation zugrunde liegt, unterscheiden sich deutlich in ihrer Schwierigkeit

– Aufgaben zur Kombination sind allgemein gesehen am leichtesten, solche zum Vergleich am schwierigsten

– innerhalb der Aufgabentypen gibt es in Abhängigkeit der Art der gesuchten Menge Schwierigkeitsunterschiede

– innerhalb der Vergleichsaufgaben sind solche mit unbekannter Referenzmenge am schwierigsten

Was macht das Lösen von Was macht das Lösen von Textaufgaben so schwierig?Textaufgaben so schwierig?

viele Studien dazu 3 Hypothesen, was für die Schwierigkeit

einer Aufgabe verantwortlich ist:1. abstrakt-mathematisches Wissen

2. Sprachverständnis

3. Situationsverständnis

1. Bedeutung des abstrakt-1. Bedeutung des abstrakt-mathematischen Wissens mathematischen Wissens

Modell von Riley, Greeno & Heller (1983):– manche Aufgaben sind deshalb schwieriger, da sie nicht

mit einfachen Zählprozeduren lösbar sind, sondern arithmetische Kenntnisse, z.B. Teil-Ganzes-Schema, erfordern, wie zum Beispiel Vergleichsaufgaben

– setzt Repräsentation eines abstrakten Problemmodells voraus

– warum aber sind Aufgaben mit unbekannter Referenzmenge schwieriger als soche mit unbekannter Vergleichsmenge?

– auch andere Faktoren müssen mitspielen

2. Bedeutung des 2. Bedeutung des Sprachverständnisses Sprachverständnisses

Modell von Cummins, Kintsch, Reusser und Weimer (1988):– Schwierigkeit liegt darin, abstrakte Sprache

(„mehr“ / „weniger“) zuverstehen – Experiment:

Aufgabe vor oder nach ihrer Bearbeitung nacherzählen

Frage zu einer unfertigen Aufgabe finden

Ergebnisse:– Lösungshäufigkeiten waren korreliert mit der

Nacherzählung der Aufgabe und Finden einer angemessenen Frage

– korrekte Lösungen waren korreliert mit korrekter Nacherzählung und angemessenen Fragen

– Textaufgaben mit abstrakter Sprache führten eher dazu, die Aufgabe mißzuverstehen

Bedeutung des Bedeutung des SituationsverständnissesSituationsverständnisses

Situationsmodell: Alltagswissen über die im Text beschriebene Situation erleichtert Aufgaben– Untersuchung von Stern: wirkt sich Aktivierung eines

Alltagskontextes auf Lösen von Vergleichsaufgaben aus?

vor der Aufgabe wird ein kurzer Text präsentiert, in dem es um den Vergleich von Mengen geht

hat positive Wirkung, auch wenn Inhalt des Textes dem der Aufgabe widerspricht

je enger die Beziehung zwischen der Geschichte und der Aufgabe ist (kompatibel), desto höher sind die Erleichterungseffekte

– stützt die Annahme der Textverarbeitung, dass eine episodische Struktur den Aufbau eines mathematischen Problemmodells steuert

Reformulierungseffekte: Hudson (1983)Aufgaben mit unbekannter Differenzmenge

– 5 Vögel haben Hunger. Es gibt 3 Würmer. Wieviel mehr Vögel als Würmer gibt es?

Konnten nur 25 % der untersuchten Kinder lösen

– 5 Vögel haben Hunger. Es gibt 3 Würmer. Wie viele Vögel bekommen keinen Wurm?

konnten 96% lösen– Ergebnis wurde von Stern (1993) bei Vergleichsaufgaben

repliziert– Interpretation: Sprache beeinflußt Lösung– ABER: es kommt neben Sprachveränderung auch zu einer

Veränderung des Situationsverständnisses: ..bekommen keine.. = vertraute Alltagssituation: Angleichung von Objekten

– weiter bezieht sich Umformulierung auf eine konkrete Menge, was wiederum Aufbau des math. Problemmodells erleichtert, da es nicht das Verständnis des Teil-Ganzes-Schem erfordert

Weitere Ergebnisse von SternWeitere Ergebnisse von Stern Einfluss von:

– Intelligenz und spezifischem Wissen Einfluß von Intelligenz verringert sich bei Einbezug des spezifischen

Wissens

– Aufgabenauswahl strukturorientierte Aufgaben , die auf Vermittlung mathematischer

Prinzipien abzielen, verbessern Leistung eher als performanzorientierte, die Einübung von Rechenprozeduren und mathematischen Fakten beinhalten

– Vorstellungen der Lehrer über Erwerb mathem. Kompetenzen positivere Auswirkung von konstruktivistischer Grundhaltung, Freiheit in

der Art wie man Aufgaben löst, als rezeptive Haltung, nur Aufgaben vorgeben, für deren Lösung genaue Anweisungen gegeben wurden

– mathematisch-numerischen Prinzipien

Erklärung der Schwierigkeit von Erklärung der Schwierigkeit von Verleichsaufgaben von SternVerleichsaufgaben von Stern

Vergleichsaufgaben erfordern Konzept des Relationszahlverständnisses– ...4 Murmeln mehr als...– mit der Zahl wird keine konkrete Menge beschrieben,

sondern eine Beziehung zwischen Zahlen

Defizite in der kognitiven Umstrukturierung– Umstrukturierung des Zahlkonzeptes und Konzept von

Addition und Subtraktion wären notwendig– entspricht dem Konzept-Ansatz

Defizite im Sprachverständnis können Schwierigkeitsunterschiede weniger gut erklären

Erklärung der anderen Erklärung der anderen kognitiven kognitiven

EntwicklungstheorienEntwicklungstheorien nach der Informationsverarbeitungstheorie

erfordern Vergleichsaufgaben mehr Speicherkapazität und sind somit schwieriger zu lösen

der Transfer-Strategie-Ansatz besagt, dass die Schwierigkeit in der Übertragung von Wissen auf neue Aufgaben liegt, Textaufgaben kommen seltener vor als numerische Beispiele und sind daher schwieriger zu lösen

Ableitung der FragestellungAbleitung der Fragestellung

je nach Entwicklungstheorie werden eben unterschiedliche Bereiche als zentral für das Vertändnis mathematischer Textaufgaben gesehen

diese Dimensionen müßten aus mindestens zwei Ausprägungen bestehen, komplett variiert und permutiert werden aufwendige Problemkonstruktion und Daten-Analyse

mit Hilfe der Wissensraumtheorie können Hypothesen geprüft werden, welche Voraussetzungen erfüllt sein müssen, damit bestimmte Probleme gelöst werden können auch bei komplexen Aufgabenstrukturen, in denen mehrere

Dimensionen variiert werden

Ansatz von HeldAnsatz von Held nach diesem Ansatz werden Aufgaben

systematisch konstruiert, indem zuerst Komponenten definiert werden, die aus mehreren Eigenschaften bestehen, für die dann bestimmt wird, welche kognitiven Anforderungen sie an eine Person stellen

Aufgaben, für die mehr Anforderungen nötig sind, sind schwieriger

anhand dieser Informationen werden die Wissensstrukturen erstellt

je nach kognitiven Entwicklungstheorien, die jeweils andere Bereiche (Komponenten) als zentral sehen, werden sich unterschiedliche Strukturen ergeben

FragestellungFragestellungIst es möglich, im Rahmen der

Wissensraumtheorie eine auf einer kognitiven Entwicklungstheorie beruhende Wissensstruktur zu erstellen, die die Schwierigkeitsunterschiede im Lösen von Textaufgaben beschreiben kann?

Können Textaufgaben in Anforderungen zerlegt werden, die eine Bildung von Relationen ihrer Voraussetzung ermöglichen?