ExtremalproblemeExtremalprobleme

Extremalprobleme sind Anwendungsprobleme. Diese bestehen oft in der Aufgabe, die Parameter eines Prozesses so einzustellen, dass ein optimales Ergebnis entsteht z.B. kürzeste Entfernung, maximaler Gewinn, geringster Verbrauch. Mit unseren Möglichkeiten, globale Extremstellen zu ermitteln, lassen sich Aufgaben dieser Art oftmals rechnerisch lösen.

Beispiel: Ein Goldgräber möchte mit einem 60 m langen Seil einen rechteckigen Claim abstecken. Eine Seite wird vom Fluss begrenzt. Ermitteln Sie die Abmessung x und y so, dass die abgesteckte Fläche maximalen Inhalt besitzt.

Lösung 1. Term aufstellen: A = x * y Inhalt (Fläche

A)

2. Term aufstellen: y + 2x = 60

Umstellen nach y: y + 2x = 60 | - 2x

y = 60 – 2x

Einsetzen in 1. Term: A = x * (60 - 2x) | Ausmultiplizieren

A = -2x² + 60x

p-q-Formel anwenden: A(x) = -2x² + 60x | : (-2)

A(x) = x² - 30x

Rechnerisch nachgewiesen das der Scheitelpunkt zwischen

x = 0 und x = 30 liegt. Nullstellen: 0 & 30

Bestimmung des Maximums

Umformung in Scheitelpunktsform:

| Streckungsfaktor ausklammern

| Quadratische Ergänzung

| Bildung des Quadrats mit Hilfe der 1. Binomischen Formel (x + a/2)²

X =30X= 0

Graph der Funktion A

S(15|450)

Ergebnis: Der maximalste Inhalt des Rechtecks beträgt 450 m².

Die Seite x = 15 m lang und die y = 30 m lang.

450 m²/ 15m = 30m