Post on 08-May-2015
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D. Totaro & C. Spannagel
Funktionen und funktionale Beziehungen
Ausgewählte Kapitel der MathematikWintersemester 2012 / 2013
D. Totaro & C. Spannagel
D. Totaro & C. Spannagel
Welche Graphen sind Funktionsgraphen?
D. Totaro & C. Spannagel
Was ist eine Funktion?Eine Funktion (oder Abbildung) ist eine Beziehung zwischen zwei Mengen, die jedem Element der einen Menge (Definitionsmenge) genau ein Element der anderen Menge (Zielmenge) zuordnet.
A B C D E F
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Verschiedene Darstellungen
• Verbale Formulierung Beispiel: Jeder Zahl wird ihr Quadrat zugeordnet.• Term / Gleichung Beispiele: xx2 oder auch f(x) = x2
• Tabelle Beispiel: • Graph Beispiel:
x 0 1 -1 2
f(x) 0 1 1 4
x 0 1 2 3
f(x) 0 1 4 9
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Wechsel der Darstellungsformen
Vgl. Wittmann (2008): Elementare Funktionen und ihre Abbildungen. Heidelberg: Spektrum Verlag S, 17
VerbaleBeschreibung
Term / Gleichung
GraphWertetabelle
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Verschiedene Funktionstypen
Vervollständigen Sie die Steckbriefe zu den einzelnen
Funktionstypen.
Vervollständigen Sie die Steckbriefe zu den einzelnen
Funktionstypen.
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Eine Saisonkarte für das Skigebiet Hinterberg kostet 380 Euro. Stellen Sie einen Graph dar, der den Zusammenhang zwischen der Anzahl der Besuche in dem Skigebiet und den Kosten zeigt.
Ein Packung mit 100 Pinnadeln kosten 1,79 Euro. Stellen Sie einen Graph dar, der den Zusammenhang zwischen Stückzahl und Geld darstellt.
Fabian hat für die Ferien ein dickes Buch mit 240 Seiten bekommen. Er will jeden Tag zwanzig Seiten lesen, dann hat er das Buch nach zwölf Tagen durch. Wann hat er das Buch gelesen, wenn er jeden Tag vierzig Seiten liest?
Weitere Beispiele
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Funktionale Beziehungen
Funktionale Beziehungen beschreiben die Abhängigkeit, die zwischen zwei Zahlen oder Größen besteht.
z.B.:• Der zurückgelegte Weg eines Radfahrers hängt bei
gleichbleibender Geschwindigkeit von der Fahrzeit ab.
• Der Pulsschlag beim Joggen hängt bei gerader Strecke von der Geschwindigkeit ab.
Weitere Beispiele?
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Es gibt viele inner-und außermathematische Situationen, in denen ein Zusammenhang zwischen zwei Größen besteht oder bewusst hergestellt wird.
Funktionale Beziehungen
Wenn Experimente durchgeführt und
ausgewertet werden
Wenn Daten erhoben und zueinander in Beziehung gesetzt
werden
Naturwissenschaften Technik
Wirtschafts- oder Sozialwissenschaften
Vgl. Wittmann (2008): Elementare Funktionen und ihre Abbildungen. Heidelberg: Spektrum Verlag S. 1
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Funktionale Beziehungen
Die zugeordneten Größen nennt man Variablen. Man unterscheidet abhängige und unabhängige Variablen.Die Temperatur hängt von der Tageszeit ab (zu unterschiedlichen Tageszeiten sind die Temperaturen verschieden). Das ist die abhängige Variable. Die Tageszeit ist unabhängig von der Temperatur.
Auf der x-Achse wird die unabhängige Variable eingetragen.
Auf der y-Achse wird die abhängige Variable eingetragen.
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Man unterscheidet zwei Betrachtungsweisen auf funktionale Zusammenhänge:
Funktionale Beziehungen
Welches f (x) gehört zu x? (und andersrum)
Wie verändert sich f (x) wenn x wächst / sich
verdoppelt / um 1 erhöht wird…
(und andersrum)
• statisch• fokussiert einzelne Werte
• dynamisch• Veränderungen werden
betrachtet• Die Entwicklung des
Graphen ist von Interesse
Zuordnungsaspekt Kovariationsaspekt
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Beispiel 1Welche Sportarten könnten das sein?
Beispiel 1: Beispiel 2:
Beispiel 3:Beispiel 4:
Vgl. Büchtner, A. / Henn, H-W. (2008): Der Mathekoffer: Funktionaler Zusammenhang. Stuttgart: Friedrich Verlag, Karte 2
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Beispiel 2
Abstand vom Stuhl - in m
Zeit - in s
Nehmen Sie einen Radiergummi (oder was Sie auch gerade vor sich liegen haben „als Stuhl“) und entfernen Sie sich mit ihrem Finger, wie es der Graph anzeigt.
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Beispiel 3
Wie könnten die Füllgraphen dieser Gefäße aussehen?
Bilder by: Christian Spannagel (CC-BY-SA)