Hyperbelfunktionen

Simone KoppRuprecht-Karls-Universität HeidelbergPS Analysis, WS 08/09Dozentin: PD Dr. Gudrun Thäter

InhaltMotivationHyperbelfunktionenZusammenhangUmkehrfunktionenGeometrische Definition

Bedeutung von Hyperbel

Griechisch: ὑπερβολή, hyperbolé –

die Übertreffung, Übertreibung, von altgriechisch hyperbállein -

übertreffen

AnwendungSpinnwebenKettenlinie:

◦Griechische Tempelsäulen◦Hochspannungsleitungen◦Stahlseile

Kettenlinie

Homogenes Seil hängt wegen Eigenlast durch und beschreibt eine Kosinus-Hyperbolicus Funktion

Kettenlinie = Seilkurve

Kettenlinie

y -Achse

x -Achse

a

a = positive Konstante

Hyperbelfunktionen

◦Kosinus Hyperbolicus (cosh)◦Sinus Hyperbolicus (sinh)◦Tangens Hyperbolicus (tanh)◦Cotangens Hyperbolicus (coth)

◦Sekans Hyperbolicus (sech)◦Kosekans Hyperbolicus (csch)

Kosinus Hyperbolicus 

Gerade Funktion f(x)=f(-x)

Def.bereich:– ∞ < x < +∞

Wertebereich: 1≤ f(x) < +∞

Sinus Hyperbolicus

Ungerade Funktion f(x)=-f(-x)

Def.bereich:– ∞ < x < +∞

Wertebereich:– ∞ < f(x) < +∞

Tangens Hyperbolicus

Def.bereich:– ∞ < x < +∞

Wertebereich:– 1 < f(x) < +1

Cotangens Hyperbolicus

Def.bereich:– ∞ < x < +∞ ;x ≠ 0

Wertebereich:– ∞ < f(x) < – 1 ;1 < f(x) < + ∞

Zusammenhang

Additionstheoreme:

ZusammenhangDifferentiationsformeln:

◦

◦

◦

◦

Zusammenhang

Viele Übereinstimmungen zu Sinus und Kosinus, usw Name: Sinus Hyperbolicus, Kosinus Hyperbolicus, usw

Umkehrfunktionenwerden Areafunktionen genannt

(lat. area –Fläche)

◦Area Kosinus Hyperbolicus (arcosh)◦Area Sinus Hyperbolicus (arsinh)◦Area Tangens Hyperbolicus (artanh)◦Area Cotangens Hyberbolicus

(arcoth)

Umkehrfunktionen

Umkehrfunktionen

Einheitshyperbel/Einheitskreis

Geometrische Definition

tanh(a)

Einheitshyperbel

Einheitshyperbel

sin, cos, tansinh, cosh, tanh

Einheitshyperbel

sin, cos, tansinh, cosh, tanh

Einheitshyperbel

sin, cos, tansinh, cosh, tanh

Einheitshyperbel

sin, cos, tansinh, cosh, tanh

Einheitshyperbel- sinh & coshsinhcoshArgument

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