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Hyperbelfunktionen
Simone KoppRuprecht-Karls-Universität HeidelbergPS Analysis, WS 08/09Dozentin: PD Dr. Gudrun Thäter
InhaltMotivationHyperbelfunktionenZusammenhangUmkehrfunktionenGeometrische Definition
Bedeutung von Hyperbel
Griechisch: ὑπερβολή, hyperbolé –
die Übertreffung, Übertreibung, von altgriechisch hyperbállein -
übertreffen
AnwendungSpinnwebenKettenlinie:
◦Griechische Tempelsäulen◦Hochspannungsleitungen◦Stahlseile
Kettenlinie
Homogenes Seil hängt wegen Eigenlast durch und beschreibt eine Kosinus-Hyperbolicus Funktion
Kettenlinie = Seilkurve
Kettenlinie
y -Achse
x -Achse
a
a = positive Konstante
Hyperbelfunktionen
◦Kosinus Hyperbolicus (cosh)◦Sinus Hyperbolicus (sinh)◦Tangens Hyperbolicus (tanh)◦Cotangens Hyperbolicus (coth)
◦Sekans Hyperbolicus (sech)◦Kosekans Hyperbolicus (csch)
Kosinus Hyperbolicus
Gerade Funktion f(x)=f(-x)
Def.bereich:– ∞ < x < +∞
Wertebereich: 1≤ f(x) < +∞
Sinus Hyperbolicus
Ungerade Funktion f(x)=-f(-x)
Def.bereich:– ∞ < x < +∞
Wertebereich:– ∞ < f(x) < +∞
Tangens Hyperbolicus
Def.bereich:– ∞ < x < +∞
Wertebereich:– 1 < f(x) < +1
Cotangens Hyperbolicus
Def.bereich:– ∞ < x < +∞ ;x ≠ 0
Wertebereich:– ∞ < f(x) < – 1 ;1 < f(x) < + ∞
Zusammenhang
Additionstheoreme:
ZusammenhangDifferentiationsformeln:
◦
◦
◦
◦
Zusammenhang
Viele Übereinstimmungen zu Sinus und Kosinus, usw Name: Sinus Hyperbolicus, Kosinus Hyperbolicus, usw
Umkehrfunktionenwerden Areafunktionen genannt
(lat. area –Fläche)
◦Area Kosinus Hyperbolicus (arcosh)◦Area Sinus Hyperbolicus (arsinh)◦Area Tangens Hyperbolicus (artanh)◦Area Cotangens Hyberbolicus
(arcoth)
Umkehrfunktionen
Umkehrfunktionen
Einheitshyperbel/Einheitskreis
Geometrische Definition
tanh(a)
Einheitshyperbel
Einheitshyperbel
sin, cos, tansinh, cosh, tanh
Einheitshyperbel
sin, cos, tansinh, cosh, tanh
Einheitshyperbel
sin, cos, tansinh, cosh, tanh
Einheitshyperbel
sin, cos, tansinh, cosh, tanh
Einheitshyperbel- sinh & coshsinhcoshArgument
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Vielen Dank für Eure Aufmerksamkeit!