Kegelschnitte, andere algebraische Kurven mit besonderem Blick auf die Reflexion Prof. Dr. Dörte...

Kegelschnitte, andere algebraische Kurven

mit besonderem Blick auf die Reflexion

Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, www.mathematik-verstehen.de, www.leuphana.de/matheomnibus

Gliederung

Reflexion

andere algebraische Kurven

Reflexion

Kegelschnitte

Verschiedene gemeinsameinteraktive Konstruktionen

Konchoiden

GeoGebra

Parabel und einfallendes Licht

Bei der Parabel werden achsenparallel einfallende Strahlen zum Brennpunkt hin reflektiert.

Hat man keine Parabel, ist es anders.

Parabel und gespiegelter Brennpunkt

Parabeln haben eine Leitgerade. Jeder Punkt der Parabel ist vom Brennpunkt ebenso weit entfernt wie von der Leitgeraden.

Parabel als Ortskurve

Die Parabel ist der geometrische Ort aller Punkte P, die von einem festen Punkt F ebenso weit entfernt sind wie von einer festen Geraden.

F heißt Brennpunkt,die Gerade heißt Leitgerade.

Ellipse und dasselbe Vorgehen

Ellipse aus der bekannten Gleichung und die Tangente erhält man in GeoGebra direkt.

Alternativ aus der Stauchung eines Kreises und Konstruktion der Tangente aus der Kreistangente.

Wie erhalten wir auf einfache Weise eine Ellipse?

Bei der Ellipse gehen Strahlen von einem Punkt der Achse aus. Wie werden sie reflektiert?

In GeoGebra erhält man die Ellipse aus der bekannten Gleichung und die auch die Tangente direkt.

Bei der Ellipse gehen Strahlen von einem Punkt der Achse aus. Wie werden sie reflektiert?

Mit beliebiger Stellung von F ergibt sich nichts Sinnvolles.

Zieht man F so, dass ein reflektierter Strahl durch den zu F symmetrischen Punkt G verläuft, dann ergibt sich, dass alle reflektierten Strahlen durch G verlaufen.

Wir haben die Brennpunkte der Ellipse gefunden.

Bei der Ellipse werden von einem Brennpunkt ausgehende Strahlen zum anderen Brennpunkt hin reflektiert.

Gehen wir nun so vor wie bei der Parabel, dann spiegeln wirG an der Tangente zu G‘.

Der Ort von G‘ scheint ein Kreis zu sein!

Wer die Fadenkonstruktion der Ellipse kennt, sieht sofort :

FP PG const

FP PG' const R

Sind F und G Brennpunkte,dann gibt es den Leitkreis, sonst aber nicht.

Nun machen wir wieder aus dem gefundenenOrt, dem Leitkreis, eine Konstruktion der

Ellipse

Hyperbel und dasselbe Vorgehen

Nun machen wir wieder aus dem gefundenenOrt, dem Leitkreis, eine Konstruktion:

Und schon haben wirmehr als wir suchten:

Hyperbel

Namensgeheimnis

In der Leitkreiskonstruktion ergibt sich geometrischdas Namensgeheimnis:

Namensgeheimnis

In der Leitkreiskonstruktion ergibt sich geometrischdas Namensgeheimnis:

Namensgeheimnis

Auch in der Leitgeradenkonstruktion der Parabel ergibt sichdas Namensgeheimnis geometrisch :

Eigentlich wirdbei gemeinsamer Betrachtung aller Kegelschnittedie Parabelachse waagerechtgelegt.

Gliederung

Reflexion

andere algebraische Kurven

Reflexion

Kegelschnitte

Verschiedene gemeinsameinteraktive Konstruktionen

Konchoiden

GeoGebra

Konchoiden (Hundekurven)

Mein Vortrag 2006 MNU in Karlruhe

Konchoide des Nikomedes

Ist dieHüllkurveeine Parabel?

Pascalsche Schnecken

Hier machen wir weiter!

Katakaustik

Kardioide konstruiert aus der Reflexion

Nephroide konstruiert aus der Reflexion

Kurven in unserer Welt

Parabeln in unserer Welt

Regelflächen

Kegelschnitte, andere algebraische Kurvenmit besonderem Blick auf die Reflexion

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