Post on 05-Apr-2015
Lineare OptimierungLineare Optimierung
Aufgaben der linearen Optimierung für eine 8. KlasseAufgaben der linearen Optimierung für eine 8. KlasseMarcus SchreyerMarcus Schreyer
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Lineare OptimierungLineare OptimierungAgendaAgenda
• Definition• Lineare Gleichungssysteme 8. Klasse• Motivation und Beweggründe• Hinführung zur Optimierung – LUGS• Aufgabe• Erfahrungen• Diskussion
Lineare OptimierungLineare Optimierung
Lineare OptimierungLineare OptimierungDefinitionDefinition
• Was ist das?
„Lineare Optimierung beschäftigt sich mit der Optimierung linearer Zielfunktionen über einer Menge, die durch lineare Nebenbedingungen eingeschränkt sind“
Lineare OptimierungLineare Optimierung
Lineare OptimierungLineare OptimierungBeispiel – Maximierung einer ZielfunktionBeispiel – Maximierung einer Zielfunktion
550
350
0
6
0
x,y
x,y
y
x
x
Nebenbedingungen:
yx)y,x(Z 155
Zielfunktion: Lösung:
L = { (2|4) }
Maximaler Zielwert:
Z(2,4) = 70
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Lineare OptimierungLineare OptimierungLGS 8. Klasse - PlanungLGS 8. Klasse - Planung
Lineare Ungleichungssysteme
Lineare Ungleichung mit zwei Variablen
Grafisches Lösungsverfahren
Lineares Optimieren
EinstiegLineare Gleichung mit zwei Variablen
Graph einer linearen Gleichung mit zwei Variablen
Lineare Gleichungssysteme
Grafisches Lösungsverfahren
Gleichsetzungsverfahren
Einsetzungsverfahren
Lösbarkeit von Gleichungssystemen
Anwendungen
Lineare OptimierungLineare Optimierung
Lineare OptimierungLineare OptimierungLGS 8. Klasse - PlanungsgrundlageLGS 8. Klasse - Planungsgrundlage
• Kernkurrikulum• Schulbücher
– Neue Wege
– Elemente der Mathematik
– Lambacher Schweizer
• Feinplanung Ungleichungssysteme & Optimierung– Neue Wege
– Lambacher Schweizer
– Internet
Lineare OptimierungLineare Optimierung
Lineare OptimierungLineare OptimierungMotivation und BeweggründeMotivation und Beweggründe
• Optimierungsprobleme vielfach in Industrie und Wirtschaft anzutreffen– speziell lineare Optimierung
• Schüler kennen Optimierungsfragestellungen– Gewinnmaximierung, Kostenminimierung
– Maximaler Gewinn bei minimalen Kosten
• Gegenwartsbedeutung, Zukunftsbedeutung
Lineare OptimierungLineare Optimierung
Lineare OptimierungLineare OptimierungHinführung - VoraussetzungenHinführung - Voraussetzungen
• Behandlung von linearen Ungleichungssystemen• Zusammenhang zwischen LGS und LUGS• Grafisches Lösungsverfahren
550
350
0
6
0
x,y
x,y
y
x
x
Ungleichungssystem:
Lineare OptimierungLineare Optimierung
Lineare OptimierungLineare OptimierungHinführung – LUGS AufgabeHinführung – LUGS Aufgabe
Zelte-Aufgabe
Eine Pfadfinder-Gruppe beschließt, für einen großen Ausflug
Zelte einzukaufen. Im Sonderangebot stehen zwei Zelte:
eines für 10 Personen und eines für 15 Personen. Von den
10-er Zelten sind aber nur noch 5 und von den 15-er Zelten
nur noch 4 Stück vorrätig. Die 10-er Zelte kosten 100 Euro
pro Stück und die 15-er Zelte kosten 200 Euro pro Stück. Die
Pfadfinder können insgesamt höchstens 900 Euro für die
Zelte ausgeben. Gib die Nebenbedingungen an und
bestimme das Planungsvieleck!
Lineare OptimierungLineare Optimierung
Lineare OptimierungLineare OptimierungZelte-Aufgabe Zelte-Aufgabe
• Nebenbedingungen – Lineare Ungleichungen
900200100
4
0
5
0
yx
y
y
x
x
5450
4
0
5
0
.x.y
y
y
x
x
Lineare OptimierungLineare Optimierung
Lineare OptimierungLineare OptimierungZelte-Aufgabe - PlanungsvieleckZelte-Aufgabe - Planungsvieleck
Lineare OptimierungLineare Optimierung
Lineare OptimierungLineare OptimierungEingesetzte Medien Eingesetzte Medien – – Teil ITeil I
• Grafisches Lösungsverfahren– konventionell angewendet zeitaufwendig
– GTR unübersichtlich und eingeschränkt
• Anwendung von GeoGebra– Einfache Bedienung
– Allgemeine Verfügbarkeit – Internet
– Open Source – Schüler in Heimarbeit !!
– Dynamische Arbeitsblätter !!
• Einsatz „nebenbei“ in Computerraum vermittelt (1h)
Lineare OptimierungLineare Optimierung
Lineare OptimierungLineare OptimierungEingesetzte Medien – Teil IIEingesetzte Medien – Teil II
• Klasse verfügt über eigenes Mathe-Wiki - Internet• Wiki ermöglicht schnelles Erstellen und
Bearbeiten von Webseiten– Schüler & Lehrer arbeiten kollaborativ an Inhalten
– Inhalte werden einfach verfügbar gemacht
• Nutzen hier:– Aufgaben im Wiki
– Dynamische Arbeitsblätter im Wiki
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Lineare OptimierungLineare OptimierungEingesetzte Medien – WikiEingesetzte Medien – Wiki
Lineare OptimierungLineare Optimierung
Lineare OptimierungLineare OptimierungDie AufgabeDie Aufgabe
Schülerzeitung - Ausgangssituation
Das Albert-Einstein Gymnasium gibt im Abstand
von zwei Monaten eine Schulzeitung heraus. Die
Schulzeitung soll attraktiver gestaltet werden. Dazu
hat die Redaktion beschlossen, einige Seiten farbig
zu drucken.
Lineare OptimierungLineare Optimierung
Lineare OptimierungLineare OptimierungDie AufgabeDie Aufgabe
Schülerzeitung – Redaktionsbeschluss
• Zahl der schwarz-weißen Seiten x darf höchstens doppelt so hoch sein wie die Zahl der farbigen Seiten y
• Aus Kostengründen darf die Zahl der farbigen Seiten y nicht größer sein als 5
• Schülerzeitung soll mindestens 8 Seiten haben
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Lineare UngleichungssystemeLineare UngleichungssystemeAufgabe – Teil IAufgabe – Teil I
• Nebenbedingungen aufstellen
• Planungsvieleck festlegen– Unterstützung durch vorbereitete Arbeitsblätter
• Mögliche Lösungen herausgreifen
Lineare OptimierungLineare Optimierung
Lineare OptimierungLineare OptimierungAufgabe Teil I – Nebenbedingungen Aufgabe Teil I – Nebenbedingungen
8
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0
2
0
yx
y
y
yx
x
Nebenbedingungen: Randgeraden:
8
5
0
50
0
xy
y
y
x,y
x
Lineare OptimierungLineare Optimierung
Lineare OptimierungLineare OptimierungAufgabe Teil I - PlanungsvieleckAufgabe Teil I - Planungsvieleck
Welche Planung?
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Lineare OptimierungLineare OptimierungAufgabe Teil II – ProduktionskostenAufgabe Teil II – Produktionskosten
Die lokale Druckerei erstellt eine Schülerzeitung für
5 Cent je schwarz-weiße Seite und 10 Cent je
farbiger Seite.
• Term für die Produktionskosten? Kostengleichung?
• Es liegt eine lineare Gleichung vor!
y,x,Kosten 10050
Kostenx,y 1050
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Lineare OptimierungLineare OptimierungAufgabe Teil II – ProduktionskostenAufgabe Teil II – Produktionskosten
• Welche Möglichkeiten von schwarz-weißen Seiten und farbigen Seiten bei Kosten von 50, 70 und 90 Cent ?
Lineare OptimierungLineare Optimierung
Lineare OptimierungLineare OptimierungAufgabe Teil II – Lineare OptimierungAufgabe Teil II – Lineare Optimierung
• Produktionskosten sollen minimal sein. Welche Kombination von schwarz-weißen und farbigen Seiten ermöglicht dies. Wie hoch sind die Produktionskosten.
• Mittels fertigem Arbeitsblatt soll Strategie entwickelt werden– Parallelverschiebung von Zielgeraden
– Verschiebung soweit, dass y-Achsenabschnitt möglichst groß ist und gleichzeitig Schnittpunkt mit Planungsvieleck vorliegt
– Lösung liegt in einer Ecke - Eckenkriterium
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Lineare OptimierungLineare OptimierungErfahrungenErfahrungen
• In 4 Stunden gut durchführbar• Kalkülhaftes Vorgehen von durchschnittlichen und
schlechteren Schülern– Verständnisprobleme mit Gesamtzusammenhang
– Lineare Zielgleichung und Planungsvieleck
– Auch handwerkliche Probleme - Termumformungen
• Anspruchsvoll für sehr gute Schüler– Dennoch üben äußerst wichtig !
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Lineare OptimierungLineare OptimierungGenug der Folien…Genug der Folien…
Fragen & Antworten
Diskussion