Lineare Optimierung mit dem Simplexverfahren

OPERATIONS RESEARCH

Marc Schwärzli SS 2013

Konvex - Konkav• Eine Funktion heißt konvex, wenn die

Funktionswerte zwischen 2 Punkten unter einer Verbindungsgeraden liegen. F(x) = x²

Konvex - Konkav• Eine Funktion heißt konkav, wenn die

Funktionswerte zwischen 2 Punkten über einer Verbindungsgeraden liegen.

• F(x) = -x²

Eine Konvexe Punktmenge

Alle Punkte auf einer Verbindungsgeraden zwischen zwei Punkten liegen innerhalb der Zielmenge.

Lineare Optimierung (LO)• Eine lineare Optimierungsaufgabe besteht aus

einer Zielfunktion, die unter bestimmten Nebenbedingungen zu maxi- bzw. minimieren ist.

• Eine LO-Aufgabe kann entweder grafisch durch Schneiden der Nebenbedingungen oder mit dem Simplexverfahren gelöst werden.

Bei der grafischen Lösung werden die Nebenbedingungen als Geraden dargestellt.

Beispiel: Gewinnmaximierung

• Der Fabrikant Hugo V. stellt auf seinen Maschinen 2 verschiedene Stoffe her (Umrüstzeiten sind zu vernachlässigen):– Pro Minute können 8m Baumwolle oder 4m Seide auf

Maschine 1 hergestellt werden.– Auf der 2. Maschine könne höchstens 6m/ Minute Stoff

bedruckt werden.– Arbeiter Manfred verpackt 5m Baumwolle pro Minute

und Arbeiter Herfried 3m Seide pro Minute. – Der Gewinn je Meter Baumwolle beträgt € 9 und je

Meter Seide € 14.

Ableiten der Gleichungen aus dem Text:

• Maschine 1:

• Maschine 2:

• Manfred: • Herfried:

• Nichtnegativbedingung:

• Zielfunktion:

82 )(148 21

21 xxgMeterxx

Meterxx

166

21

Meterx

15

1

Meterx

13

2

0,0 21 xx

max149),( 2121 xxxxZ

6 )( 21 xxg

5 )( 1 xg

3 )( 2 xg

Als Gerade:

Grafische Lösung einer LO-Aufgabe• Die Nebenbedingung wird als

Gerade konstruiert:82 )( 21 xxg

40 : 211 xxP

80 : 122 xxP

1P

2P

Grafische Lösung einer LO-Aufgabe• Nebenbedingung 6 )( 21 xxg

Grafische Lösung einer LO-Aufgabe• Nebenbedingungen und : 5 )( 1 xg 3 )( 2 xg

Grafische Lösung einer LO-Aufgabe• Bestimmung des Maximalen Gesamtgewinns

durch Erstellung der Isogewinngeraden:– Zielfunktion = 9X1 + 14X2 Maximum – Die Ziefunktion wird nach X2 = kX1 + d umgeformt,

damit das k ablesbar ist. – d = 0, da die Gerade durch (0/0) Ursprung geht.– X2 = kX1

– 14X2 = -9X1

– X2 = -9/14 X1 k ist als -9/14 erkennbar.

Grafische Lösung einer LO-Aufgabe• Konstruktion der Isogewinngeraden mit der

Steigung k = -9/14 durch den Ursprung:

X1

X2

k

Steigung1

114

9

Grafische Lösung einer LO-Aufgabe• Durch Parallelverschieben der Isogewinngeraden

zum äußersten Punkt kommt man zum Punkt mit dem maximalen Gewinn:

Grafische Lösung einer LO-Aufgabe• 4m Baumwolle und 2m Seide stellen das

optimale Produktionsprogramm dar.• Durch Einsetzen des Punktes in die

Zielfunktion 9X1 + 14X2 ergibt sich der Gewinn für das optimale Produktionsprogramm mit €64

• Der Bereich der zulässigen Lösungen bildet stets eine konvexe Punktmenge. (Schraffierter Bereich)

Rechnerische Lösung einer LO-Aufgabe nach dem Simplexverfahren

• Transformation der Ungleichungen in Gleichungen mithilfe von Schlupfvariablen:

– X1 + X2 + S1 = 8– X1 + X2 +S2 = 6– X1 +S3 = 5– X2 +S4 = 3

Basisvariablen Nichtbasis=variablen

Allgemeines zum Simplexverfahren

• Ein Gleichungssystem heißt von kanonischer Form, wenn es in jeder Gleichung eine Unbekannte gibt, die nur in dieser vorkommt und dort den Koeffizienten Eins besitzt.

• Diese Unbekannten bezeichnet man als Basisvariablen (BV), die übrigen als Nichtbasisvariablen (NBV)

Das Simplexverfahren

Erstellen der Standardform• Maschine 1: x1 + 2x2 <= 8 Meter• Maschine 2: x1 + x2 <= 6 Meter• Manfred: x1 <= 5 Meter• Herfried x2 <= 3 Meter• Nichtnegativbedingung: x1 >= 0; x2 >= 0• Zielfunktion: Z(x1, x2) = 9 x1 + 14 x2 -> max.

Das Simplexverfahren

Erstellen der Standardform• Die rechte Seite (RHS) einer Restriktion

(Nebenbedingung) darf nicht negativ sein.• Einführung der Schlupfvariablen (Y1-4)• Zielfunktion (F) ist mit (-1) multipliziert (optional).

Das Simplexverfahren

Erstellen der Standardform Basisvariablen

Nichtbasis=variablen

Basisvariablen

Das Simplexverfahren

Bestimmen der Pivotspalte• Der erste kleinste Zielfunktionskoeffizient

weist auf die Pivotspalte:

Das Simplexverfahren

Berechnung der Pivotzeile• Die Quote (Q) wird durch Division der rechten

Seite (RHS) durch die Pivotspalte bestimmt (Zeilenweise). RHS/Pivotspalte

Das Simplexverfahren

Berechnung der Pivotzeile• Die Zeile mit der niedrigsten positive Quote bildet die

Pivotzeile (hier 3).• Bei gleichen Werten wird die erste Schlupvariable

durch die Pivotspalte dividiert(Y1/ Pivotspalte) . Das niedrigere Ergebnis weist auf die Pivotzeile. (S. 29 Studienbrief oben)

Das Simplexverfahren

Bestimmung des Pivotelements• Im Schnittpunkt der Pivotzeile und der

Pivotspalte befindet sich das Pivotelement.

Das Simplexverfahren

Berechnung der 2. Simplextabelle• Da X2 den maximal möglichen Wert 3 annehmen soll,

kommt X2 in die Basis und Y4 wird Nichtbasisvariable.

Basis X1 X2 Y1 Y2 Y3 Y4 RHS

Y1 0Y2 0Y3 0Y4 1F 0

Inhalt der Y4-Spalte

Das Simplexverfahren

Berechnung der 2. Simplextabelle• Bestimmung der restlichen Elemente der

Pivotzeile inkl. RHS.Basis X1 X2 Y1 Y2 Y3 Y4 RHS

Y1 0Y2 0Y3 0X2 1F 0

Das Simplexverfahren

Berechnung der 2. Simplextabelle

Neubrechnung der Pivotzeile: Wert/ Pivotelement 0/1; 0/1; 0/1; 1/1; 3/1

Basis X1 X2 Y1 Y2 Y3 Y4 RHS

Y1 0

Y2 0

Y3 0

X2 0 1 0 0 0 1 3

F 0

Das Simplexverfahren

Berechnung der 2. Simplextabelle

Neuberechnung der restlichen Werte nach Schema: Wert – (Zeilenwert x Spaltenwert / Pivotelement) -9 – (0 x -14 : 1)

Basis X1 X2 Y1 Y2 Y3 Y4 RHS

Y1 0Y2 0Y3 0X2 0 1 0 0 0 1 3F -9 0

Das Simplexverfahren

Berechnung der 2. Simplextabelle

Umrechnung der restlichen Werte nach Schema: Wert – (Zeilenwert x Spaltenwert / Pivotelement) 8 – (3 x 2 : 1)

Basis X1 X2 Y1 Y2 Y3 Y4 RHS

Y1 0 2Y2 0Y3 0X2 0 1 0 0 0 1 3F -9 0

Das Simplexverfahren

Berechnung der 2. SimplextabelleNach Berechnung der restlichen Werte ergibt sich das

2. Simplextableau mit dem Zielwert 42

Basis X1 X2 Y1 Y2 Y3 Y4 RHS

Y1 1 0 1 0 0 -2 2Y2 1 0 0 1 0 -1 3Y3 1 0 0 0 1 0 5X2 0 1 0 0 0 1 3F -9 0 0 0 0 14 42

Das Simplexverfahren

Berechnung der 3. SimplextabelleDie Iterationsschritte werden solange fortgesetzt bis alle

Werte der Zielzeile positiv sind, dann ist keine weitere Verbesserung des Zielwertes mehr möglich.

Bestimmung des Pivotelements

Das Simplexverfahren

Berechnung der 3. Simplextabelle

• Pivotelement zur 4. Simplextabelle:

3. Tabelle

Das Simplexverfahren

Berechnung der 4. Simplextabelle

Erst mit der 4. Tabelle ist die Lösung mit Z = 64 erreicht:

Alle Nichtbasisvariablen in der Z-Zeile (hier F) haben einen positiven Koeffizienten Optimalitätskriterium

Z

BasIs

(Wurde eingangs nicht mit -1 multipliziert müssen alle Koeffizienten negativ sein)

Übungsaufgabe grafisch• Eine Studentin gründet eine Gesellschaft zur Produktion von Computerchips.• Sie hat die Möglichkeit monatlich bis zu 200 kg Silizium, 40 kg Kupfer, 20 kg Aluminium

zuzukaufen.• Die Entwicklungsabteilung entwirft 2 verschiedene Chip-Architekturen, deren Verkauf

vielversprechend erscheint.• Die Herstellungskosten sind für beide Bauarten gleich, so daß lediglich das Material den

Unterschied ausmacht.

• Die Marktanalyse ergibt einen erwarteten Gewinn von 400 € je kg Giga und 250 € je kg Nano.

• Welche Menge sollte sie monatlich herstellen und verkaufen um einen größtmöglichen Gewinn zu erwirtschaften.

• Stellen Sie das mathematische Modell auf und lösen Sie die Aufgabe grafisch.

Silizium Kupfer Aluminium

Chip Giga 75% 25% -

Chip Nano 75% - 25%

Lösung

• €400 x 160kg + €250 x 80kg = € 84.000.-0, )3(

80

160

80033 )2(

max250400)1(

21

2

1

21

21

xx

x

x

xx

xxZ Silizium Kupfer Aluminium

Chip Giga 75% 25% -Chip Nano 75% - 25%

Übungsaufgabe Simplex• Eine Studentin gründet eine Gesellschaft zur Produktion von Computerchips.• Sie hat die Möglichkeit monatlich bis zu 200 kg Silizium, 40 kg Kupfer, 20 kg Aluminium

zuzukaufen.• Die Entwicklungsabteilung entwirft 2 verschiedene Chip-Architekturen deren Verkauf

vielversprechend erscheint.• Die Herstellungskosten sind für beide Bauarten gleich, so daß lediglich die Materialkosten

den Unterschied ausmachen.

• Die Marktanalyse ergibt einen erwarteten Gewinn von 400 € je kg Giga und 250 € je kg Nano.

• Welche Menge sollte sie monatlich herstellen und verkaufen um einen größtmöglichen Gewinn zu erwirtschaften.

• Stellen Sie das mathematische Modell auf und lösen Sie die Aufgabe mit dem Simplexverfahren.

Silizium Kupfer Aluminium

Chip Giga 75% 25% -

Chip Nano 75% - 25%

Lösung

0, )3(

80

160

80033 )2(

max250400)1(

21

2

1

21

21

xx

x

x

xx

xxZSilizium Kupfer Aluminium

Chip Giga 75% 25% -Chip Nano 75% - 25%

Lösung

Das SimplexverfahrenDie Zweiphasenmethode

• Diese bisherige Form der Lösung eines Ungleichungssystems ist nur möglich wenn für alle Ungleichungen gilt.

• Kommen auch Bedingungen vor, so ist die Aufgabe nur mit der Zweiphasenmethode zu lösen.

• Gegeben sei folgende LO-Aufgabe mit einer

Restriktion (negative rechte Seite)

• I Z = 2X1 + X2 +2X3 max• II 2X1 - X2 4

X2 + 2X3 15 X1 + X3 = 8

• III X1, X2, X3 0

Die Zweiphasenmethode

• Umwandeln in Gleichungen durch das Einführen von nichtnegativen Schlupfvariablen.

• Umwandeln in ein Gleichungssystem von kanonischer Form durch Einführung künstlicher Variablen k1 - …. kn.

Leitfaden zur Zweiphasenmethode

Umformen

• Künstliche Variablen K gegen Null minimieren (Zk=-k1 … -kn;). Addition von Zk mit k-Restriktionen. Daraus entsteht eine neu Zielfunktion Zneu.

• Die neue Zielfunktion wird gemeinsam mit den Restriktionen nach der Umformung (Kanonische Form) in eine Simplextabelle übergeführt.

• Lösen des Simplexalgorithmus.• Weglassen der Spalten mit einem k, Z sollte null

sein.

Leitfaden zur ZweiphasenmethodeErste Phase

• Die verbleibenden Gleichungen (Restriktionen) werden jetzt mit der Zielfunktion aus der Angabe, ZOriginal. , harmonisiert.

• Elimination der Basisvariablen aus der Zielfunktion durch Subtraktion des x-fachen Wertes der Restriktionen, die diese Basisvariablen enthalten.

• Dadurch ergibt sich eine neue Zielzeile, Z2. Phase.

• Die verbleibenden Gleichungen (Restriktionen) werden jetzt mit Z2. Phase in einem weiteren Simplextableau verbunden.

• Das Lösen des Simplexalgorithmus bringt das Ergebnis

Leitfaden zur ZweiphasenmethodeZweite Phase

• Durch Multiplikation mit -1 wäre die negative rechte Seite erkennbar:

• Umformen der in Bedingung zur Lösung!

• I Z = 2X1 + X2 +2X3 max• II -2X1 + X2 -4

X2 + 2X3 15 X1 + X3 = 8

• III X1, X2, X3 0

Die Zweiphasenmethode

Negative rechte Seite nach Umformung

• Umwandeln in Gleichungen durch das Einführen von nichtnegativen Schlupfvariablen S (auch in der Zielfunktion).

• I Z = 2X1 + X2 +2X3 + 0S1 + 0S2 max• II 2X1 - X2 -S1 = 4

X2 + 2X3 +S2 = 15 X1 + X3 = 8

• III X1, X2, X3 , S1, S2 0

Die Zweiphasenmethode

• Ein Gleichungssystem heißt von kanonischer Form, wenn es in jeder Gleichung eine Unbekannte gibt, die nur in dieser vorkommt und dort den Koeffizienten plus Eins besitzt (nur S2 erfüllt dies):

• I Z = 2X1 + X2 +2X3 + 0S1 + 0S2 max• II 2X1 - X2 -S1 = 4

X2 + 2X3 +S2 = 15 X1 + X3 = 8

• III X1, X2, X3 , S1, S2 0

Die Zweiphasenmethode

Koeffizient -1

Kein S3

• Umwandeln in ein Gleichungssystem von kanonischer Form durch Einführung künstlicher Variablen k:• II 2X1 - X2 -S1 +k1 = 4

X2 + 2X3 +S2 = 15 X1 + X3 +k2 = 8

• III X1, X2, X3 , S1, S2 0

Die Zweiphasenmethode

Die ZweiphasenmethodeEin Gleichungssystem heißt von kanonischer Form, wenn es in jeder Gleichung eine Unbekannte gibt, die nur in dieser vorkommt und dort den Koeffizienten Eins besitzt.Diese Unbekannten bezeichnet man als Basisvariablen (BV), die übrigen als Nichtbasisvariablen (NBV).• II 2X1 - X2 -S1 +k1 = 4

X2 + 2X3 +S2 = 15 X1 + X3 +k2 = 8

• III X1, X2, X3 , S1, S2 0

• So stellt das Gleichungssystem ein äquivalentes Gleichungssystem kanonischer Form dar, deren künstliche Nichtbasisvariablen k den Wert Null aufweisen.

• Damit dem so ist, sollten die künstlichen Variable möglichst nahe bei Null sein.

• Einführung einer neuen Zielfunktion (minimiere K):

Die Zweiphasenmethode

Z = k1 + k2 min entspricht: `Z = -Z=-k1-k2max

• Die erste Phase der Hilfsaufgabe dient dazu eine kanonische Form und eine erste Basislösung zu gewinnen.

• I `Z = - k1 – k2 max

• II 2X1 - X2 -S1 +k1 = 4 X2 + 2X3 +S2 = 15

X1 + X3 +k2 = 8• III X1, X2, X3 , S1, S2 0

Die Zweiphasenmethode

• Elimination der Basisvariablen (k) aus der Zielfunktion durch Addition der Gleichungen in II zur Zielfunktion, die ein k beinhalten:

• I `Z = - k1 – k2 max • II 2X1 - X2 -S1 +k1 = 4

X2 + 2X3 +S2 = 15

X1 + X3 +k2 = 8• III X1, X2, X3 , S1, S2 0

Die Zweiphasenmethode

Die Zweiphasenmethode

X1 X2 X3 S1 S2 k1 k2 r.S. Quot.

0 0 0 0 0 -1 -1 0

2+1+0=3

0-1+0=-1

1+0+0=1

0-1+0=-1

0+0+0=0

0+1-1=0

1+0-1=0

8+4+0=12

2 -1 0 -1 0 1 0 4 2

0 1 2 0 1 0 0 15

1 0 1 0 0 0 1 8 8

• Nebenrechnung in einer Tabelle: Zeile 1 (Z‘) + Zeile 3 + Zeile 5 ergibt die neue Zielfunktion Z.

`Z +

+

+

Zneu

Die Zweiphasenmethode

X1 X2 X3 S1 S2 k1 k2 r.S. Quot.

0 0 0 0 0 -1 -1 0

3 -1 1 -1 0 0 0 12

2 -1 0 -1 0 1 0 4 2

0 1 2 0 1 0 0 15

1 0 1 0 0 0 1 8 8

• Zur besseren Übersicht sind im ersten Simplextableu zwei Zielfunktionen abgebildet.• Die untere Zielfunktionszeile stellt das Ergebnis der Addition dar.

`Z +

+

+

Zneu

X1 X2 X3 S1 S2 k1 k2 r.S. Quot.

Z 3 -1 1 -1 0 0 0 12

k1 2 -1 0 -1 0 1 0 4 2

S2 0 1 2 0 1 0 0 15k2 1 0 1 0 0 0 1 8 8

Lösen des Simplextableaus in der ersten Phase um eine erste zulässige Basislösung zu gewinnen. Achtung S1 ist keine Basisvariable.

Ordnen der Basisvarialen:X1 X2 X3 S1 k1 S2 k2 r.S. Quot.

Z 3 -1 1 -1 0 0 0 12

k1 2 -1 0 -1 1 0 0 4 2

S2 0 1 2 0 0 1 0 15

k2 1 0 1 0 0 0 1 8 8

Bestimmen einer neuen Basisvariablen:X1 X2 X3 S1 k1 S2 k2 r.S. Quot.

Z 3 -1 1 -1 0 0 0 12

k1 2 -1 0 -1 1 0 0 4 2

S2 0 1 2 0 0 1 0 15

k2 1 0 1 0 0 0 1 8 8

X1 X2 X3 S1 k1 S2 k2 r.S. Quot.

Z 0

X1 1 -0,5 0 -0,5 0,5 0 0 2

S2 0

k2 0

X1 wird neue Basisvariable dann folgt die Umrechnung der Pivotzeile: Wert/ Pivotelement:

Ausfüllen der restlichen Werte:X1 X2 X3 S1 k1 S2 k2 r.S. Quot.

Z 3 -1 1 -1 0 0 0 12

k1 2 -1 0 -1 1 0 0 4 2

S2 0 1 2 0 0 1 0 15

k2 1 0 1 0 0 0 1 8 8

X1 X2 X3 S1 k1 S2 k2 r.S. Quot.

Z 0 0,5 1 0,5 -1,5 0 0 6

X1 1 -0,5 0 -0,5 0,5 0 0 2

S2 0 1 2 0 0 1 0 15

k2 0 0,5 1 0,5 -0,5 0 1 6

Wert – (Zeilenwert x Spaltenwert / Pivotelement):

2. Iteration:X1 X2 X3 S1 k1 S2 k2 r.S. Quot.

Z 0 0,5 1 0,5 -1,5 0 0 6

X1 1 -0,5 0 -0,5 0,5 0 0 2 -

S2 0 1 2 0 0 1 0 15 7,5

k2 0 0,5 1 0,5 -0,5 0 1 6 6

X1 X2 X3 S1 k1 S2 k2 r.S. Quot.

Z 0

X1 0

S2 0

X3 1

Bestimmen einer neuen Basisvariablen:

2. Iteration:X1 X2 X3 S1 k1 S2 k2 r.S. Quot.

Z 0 0,5 1 0,5 -1,5 0 0 6

X1 1 -0,5 0 -0,5 0,5 0 0 2 -

S2 0 1 2 0 0 1 0 15 7,5

k2 0 0,5 1 0,5 -0,5 0 1 6 6

X1 X2 X3 S1 k1 S2 k2 r.S. Quot.

Z 0 0 0 0 -1 0 -1 0

X1 1 -0,5 0 -0,5 0,5 0 0 2

S2 0 0 0 -1 1 1 -2 3

X3 0 0,5 1 0,5 -0,5 0 1 6

Bestimmen der restliche Werte:

Durch Weglassen der Spalten mit den künstlichen Variablen k, kommt man zu einem Gleichungssystem von kanonischer Form:

X1 X2 X3 S1 k1 S2 k2 r.S. Quot.

Z 0 0 0 0 -1 0 -1 0

X1 1 -0,5 0 -0,5 0,5 0 0 2

S2 0 0 0 -1 1 1 -2 3

X3 0 0,5 1 0,5 -0,5 0 1 6

6 5,0 0,5X

3S-

2 5,0 0,5X - X II

132

21

121

SX

S

SBasisvariablen:

• Aufbauend auf dieses Gleichungssystem, wird nun die ursprüngliche Aufgabe gelöst:

• Die ursprüngliche ZielfunktionZ = 2X1 + X2 + 2X3

soll nur durch die Nichtbasisvariablen ausgedrückt werden. (in diesem Fall X2)

Die Zweiphasenmethode

• Dies wird durch Elimination der Basisvariablen X1 und X3 aus der Zielfunktion erreicht.

Die Zweiphasenmethode

6 5,0 0,5X

3S-

2 5,0 0,5X - X II

max2 2X I

132

21

121

321

SX

S

S

XX

Subtraktion des 2-fachen der 1. wie des 2-fachen der 3. Zeile von der Zielzeile:

Nebenrechnung:

6 5,0 0,5X

3S-

2 5,0 0,5X - X II

max2 2X I

132

21

121

321

SX

S

S

XX

NebenrechnungX1 X2 X3 S1 S2

Z 2 1 2 0 0 0- 2 -1 -1 0 4- 0 1 2 1 0 12

0 1 0 0 0 -16

|2x

Neue Zielzeile:

|2x

Neues Starttableau:X1 X2 X3 S1 S2 r.S. Quot.

Z 0 1 0 0 0 -16

X1 1 -0,5 0 -0,5 0 2

S2 0 0 0 -1 1 3

X3 0 0,5 1 0,5 0 6

Ordnen nach Basisvarialen:

X2 S1 X1 S2 X3 r.S. Quot.

Z 1 0 0 0 0 -16

X1 -0,5 -0,5 1 0 0 2 -

S2 0 -1 0 1 0 3 -

X3 0,5 0,5 0 0 1 6 12

Neues Starttableau:Bestimmen des Pivotelements:

X2 S1 X1 S2 X3 r.S. Quot.

Z 1 0 0 0 0 -16

X1 -0,5 -0,5 1 0 0 2 -

S2 0 -1 0 1 0 3 -

X3 0,5 0,5 0 0 1 6 12

X2 S1 X1 S2 X3 r.S. Quot.

Z 0 -1 0 0 -2 -28

X1 0 8

S2 0 3

X2 1 1 0 0 2 12

Ergebnistableau mit Z = 28, X1 = 8, X2 = 12, S2 = 3:

Beispiel Übungsklausur zur Zweiphasenmethode:

0,,,X

10 X

4 X-

82X

max2425 Z

4321

431

21

4321

4321

XXXIII

XX

X

XXXII

XXXXI