Lineare Optimierung Winfried Hochstättler · OutlineLineares Programm (LP) in...

Outline Lineares Programm (LP) in Standardform Dualität Der Simplexalgorithmus

Studientag zur Algorithmischen MathematikLineare Optimierung

Winfried Hochstättler

Diskrete Mathematik und OptimierungFernUniversität in Hagen

1. Juli 2012

Outline

Lineares Programm (LP) in Standardform

Dualität

Der Simplexalgorithmus

Lineares Programm (LP) in Standardform

max c>xso dass Ax = b

x ≥ 0

mit b ≥ 0, A ∈ Rm×n, b ∈ Rm, c ∈ Rn.

Umformung in Standardform

x ≥ 0

• min c>x

−max(−c)>x

• bi < 0 multipliziere Zeile i mit (−1)• a>x ≤ bi a>x + si = bi , si ≥ 0 (si Schlupfvariable)• a>x ≥ bi a>x − si = bi , si ≥ 0 (si Schlupfvariable)• beliebiges xi (ohne xi ≥ 0) xi = x+

i − x−i , x+i , x

−i ≥ 0

Aufspalten der Variablen

x ≥ 0

• min c>x −max(−c)>x

• bi < 0

multipliziere Zeile i mit (−1)• a>x ≤ bi a>x + si = bi , si ≥ 0 (si Schlupfvariable)• a>x ≥ bi a>x − si = bi , si ≥ 0 (si Schlupfvariable)• beliebiges xi (ohne xi ≥ 0) xi = x+

i − x−i , x+i , x

−i ≥ 0

x ≥ 0

• min c>x −max(−c)>x• bi < 0

multipliziere Zeile i mit (−1)

• a>x ≤ bi a>x + si = bi , si ≥ 0 (si Schlupfvariable)• a>x ≥ bi a>x − si = bi , si ≥ 0 (si Schlupfvariable)• beliebiges xi (ohne xi ≥ 0) xi = x+

i − x−i , x+i , x

−i ≥ 0

x ≥ 0

• min c>x −max(−c)>x• bi < 0 multipliziere Zeile i mit (−1)

• a>x ≤ bi

a>x + si = bi , si ≥ 0 (si Schlupfvariable)• a>x ≥ bi a>x − si = bi , si ≥ 0 (si Schlupfvariable)• beliebiges xi (ohne xi ≥ 0) xi = x+

i − x−i , x+i , x

−i ≥ 0

x ≥ 0

• min c>x −max(−c)>x• bi < 0 multipliziere Zeile i mit (−1)• a>x ≤ bi

a>x + si = bi , si ≥ 0 (si Schlupfvariable)

• a>x ≥ bi a>x − si = bi , si ≥ 0 (si Schlupfvariable)• beliebiges xi (ohne xi ≥ 0) xi = x+

i − x−i , x+i , x

−i ≥ 0

x ≥ 0

• min c>x −max(−c)>x• bi < 0 multipliziere Zeile i mit (−1)• a>x ≤ bi a>x + si = bi , si ≥ 0 (si Schlupfvariable)

• a>x ≥ bi

a>x − si = bi , si ≥ 0 (si Schlupfvariable)• beliebiges xi (ohne xi ≥ 0) xi = x+

i − x−i , x+i , x

−i ≥ 0

x ≥ 0

• min c>x −max(−c)>x• bi < 0 multipliziere Zeile i mit (−1)• a>x ≤ bi a>x + si = bi , si ≥ 0 (si Schlupfvariable)• a>x ≥ bi

a>x − si = bi , si ≥ 0 (si Schlupfvariable)

• beliebiges xi (ohne xi ≥ 0) xi = x+i − x−i , x+

i , x−i ≥ 0

x ≥ 0

• min c>x −max(−c)>x• bi < 0 multipliziere Zeile i mit (−1)• a>x ≤ bi a>x + si = bi , si ≥ 0 (si Schlupfvariable)• a>x ≥ bi a>x − si = bi , si ≥ 0 (si Schlupfvariable)

• beliebiges xi (ohne xi ≥ 0)

xi = x+i − x−i , x+

i , x−i ≥ 0

x ≥ 0

• min c>x −max(−c)>x• bi < 0 multipliziere Zeile i mit (−1)• a>x ≤ bi a>x + si = bi , si ≥ 0 (si Schlupfvariable)• a>x ≥ bi a>x − si = bi , si ≥ 0 (si Schlupfvariable)• beliebiges xi (ohne xi ≥ 0)

xi = x+i − x−i , x+

i , x−i ≥ 0

x ≥ 0

• min c>x −max(−c)>x• bi < 0 multipliziere Zeile i mit (−1)• a>x ≤ bi a>x + si = bi , si ≥ 0 (si Schlupfvariable)• a>x ≥ bi a>x − si = bi , si ≥ 0 (si Schlupfvariable)• beliebiges xi (ohne xi ≥ 0) xi = x+

i − x−i , x+i , x

−i ≥ 0

Beispiel

min −x1 − x2s.d. x1 − x2 ≥ 3

2x1 + x2 ≤ 8x2 ≥ 0

Beispiel

min −x1 − x2s.d. x1 − x2 ≥ 3

2x1 + x2 ≤ 8x2 ≥ 0

−max x1 + x2s.d. x1 − x2 ≥ 3

2x1 + x2 ≤ 8x2 ≥ 0

Beispiel

min −x1 − x2s.d. x1 − x2 ≥ 3

2x1 + x2 ≤ 8x2 ≥ 0

−max x1 + x2s.d. x1 − x2 − s1 = 3

2x1 + x2 + s2 = 8x2, s1, s2 ≥ 0

Beispiel

min −x1 − x2s.d. x1 − x2 ≥ 3

2x1 + x2 ≤ 8x2 ≥ 0

−max x+1 − x−1 + x2

s.d. x+1 − x−1 − x2 − s1 = 3

2x+1 − 2x−1 + x2 + s2 = 8

x+1 , x

−1 , x2, s1, s2 ≥ 0

Das duale Programm

(P)max c>xs.d. Ax = b

x ≥ 0

primales Programm

(D) min y>bs.d. y>A ≥ c>

duales Programm

• x heißt zulässig für (P), falls x die Nebenbedingungen erfüllt, d.h.Ax = b, x ≥ 0.

• (P) heißt zulässig, wenn es ein zulässiges x für (P) gibt.• (P) heißt beschränkt, wenn der optimale Zielfunktionswert

endlich ist.

Analog definiert man diese Begriffe für (D).

Das duale Programm

x ≥ 0

primales Programm

duales Programm

endlich ist.

Das duale Programm

x ≥ 0

primales Programm

duales Programm

endlich ist.

Das duale Programm

x ≥ 0

primales Programm

duales Programm

• (P) heißt zulässig, wenn es ein zulässiges x für (P) gibt.

• (P) heißt beschränkt, wenn der optimale Zielfunktionswertendlich ist.

Das duale Programm

x ≥ 0

primales Programm

duales Programm

endlich ist.

Das duale Programm

x ≥ 0

primales Programm

duales Programm

endlich ist.

Schwache Dualität

x ≥ 0

primales Programm

duales Programm

Satz:Ist x ≥ 0 zulässig für (P) und y zulässig für (D), so gilt c>x ≤ y>b.

Beweis:

c> ≤ y>Ax ≥ 0≤ (y>A)x = y>(Ax) Ax=b

= y>b �

Schwache Dualität

x ≥ 0

primales Programm

duales Programm

Beweis:

c> ≤ y>Ax ≥ 0≤

(y>A)x = y>(Ax) Ax=b= y>b �

Schwache Dualität

x ≥ 0

primales Programm

duales Programm

Beweis:

c> ≤ y>Ax ≥ 0≤ (y>A)x =

y>(Ax) Ax=b= y>b �

Schwache Dualität

x ≥ 0

primales Programm

duales Programm

Beweis:

c> ≤ y>Ax ≥ 0≤ (y>A)x = y>(Ax) Ax=b

y>b �

Schwache Dualität

x ≥ 0

primales Programm

duales Programm

Beweis:

c> ≤ y>Ax ≥ 0≤ (y>A)x = y>(Ax) Ax=b

= y>b �

Dualitätssatz

Satz:Ist (P) zulässig und beschränkt, so ist auch (D) zulässig undbeschränkt, und es gibt Optimallösungen x von (P) und y von (D) mitc>x = y>b.

BeweisideeSei x Optimallösung von (P), d.h. von

(P)−min −c>x

s.d. Ax = bx ≥ 0

Nach Kuhn-Tucker existieren dann notwendigerweise λ ∈ Rm undµ ∈ Rn, µ ≤ 0 mit

Dualitätssatz

(P)−min −c>x

s.d. Ax = bx ≥ 0

Dualitätssatz

(P)−min −c>x

s.d. Ax = bx ≥ 0

∇f = −c>

∇h = A∇g = −In

Dualitätssatz

(P)−min −c>x

s.d. Ax = bx ≥ 0

∇f = −c>

∇h = A∇g = −In

1. −c> = λ>A− µ>In2. µ>x = 0

Dualitätssatz

(P)−min −c>x

s.d. Ax = bx ≥ 0

1. c> ≤ (−λ>)A2. ((−λ>)A− c>)x = 0

Dualitätssatz

(P)−min −c>x

s.d. Ax = bx ≥ 0

1. c> ≤ (−λ>)A2. ((−λ>)A− c>)x = 0 (−λ>)b = (−λ>)Ax = c>x .

Dualitätssatz (ausführliche Version)

• Entweder (P) und (D) sind beide zulässig und beschränkt.

Dannhaben Sie den gleichen Zielfunktionswert

• oder (P) ist zulässig und unbeschränkt und (D) ist unzulässig• oder (P) ist unzulässig und (D) ist zulässig und unbeschränkt• oder (P) und (D) sind beide unzulässig.

• Entweder (P) und (D) sind beide zulässig und beschränkt. Dannhaben Sie den gleichen Zielfunktionswert

• oder (P) ist zulässig und unbeschränkt und (D) ist unzulässig

• oder (P) ist unzulässig und (D) ist zulässig und unbeschränkt• oder (P) und (D) sind beide unzulässig.

• oder (P) ist zulässig und unbeschränkt und (D) ist unzulässig• oder (P) ist unzulässig und (D) ist zulässig und unbeschränkt

• oder (P) und (D) sind beide unzulässig.

Dualisieren

Manchmal ist es hilfreich, duale Programme von Problemenaufzustellen, die nicht in Standardform gegeben sind.

Dualisieren

(P) max c>xs.d. Ax ≤ b

Dualisieren

(P)max c>x+ − c>x−

s.d. Ax+ − Ax− + s = bx+, x−, s ≥ 0

Dualisieren

s.d. Ax+ − Ax− + s = bx+, x−, s ≥ 0

min y>bs.d. y>A ≥ c>

−y>A ≥ −c>

y>A ≥ 0

Dualisieren

s.d. Ax+ − Ax− + s = bx+, x−, s ≥ 0

min y>bs.d. y>A ≥ c>

−y>A ≥ −c>

y>A ≥ 0

(P) max c>xs.d. Ax ≤ b (D)

min y>bs.d. y>A = c>

y>A ≥ 0

Geometrische Interpretation der Schritte desSimplexalgorithmus

gestrichelt: Zulässigkeitsbereich.

BlauePfeile: Pivotschritte in Phase I.Rote Pfeile: Pivotschritte in Phase II.

gestrichelt: Zulässigkeitsbereich.BlauePfeile: Pivotschritte in Phase I.

Rote Pfeile: Pivotschritte in Phase II.

gestrichelt: Zulässigkeitsbereich.BlauePfeile: Pivotschritte in Phase I.Rote Pfeile: Pivotschritte in Phase II.

Lösung linearer Programme mit demSimplexalgorithmus

max c>xAx = b (≥ 0)

x ≥ 0

Begriffe:

Basis: Indexmenge von m linear unabhängigen Spalten von A.

Ecke: Zu Basis B gehört eine Ecke xB = A−1.B b, xN = 0.

zulässige Basis: B heißt zulässig, wenn x ≥ 0.

Starte von zulässiger Basis (Ecke) und gehe in Aufstiegsrichtung, solange es möglich ist.

x ≥ 0

Begriffe:

Basis: Indexmenge von m linear unabhängigen Spalten von A.Ecke: Zu Basis B gehört eine Ecke xB = A−1

.B b, xN = 0.

zulässige Basis: B heißt zulässig, wenn x ≥ 0.

x ≥ 0

Begriffe:

.B b, xN = 0.zulässige Basis: B heißt zulässig, wenn x ≥ 0.

x ≥ 0

Begriffe:

.B b, xN = 0.zulässige Basis: B heißt zulässig, wenn x ≥ 0.

Ggb. zulässige Basis B.0 . . . 0 cN − c>B A−1

.B A.N c>B A−1.B b

A−1.B A.B A−1

.B A.N A−1.B b

• Finde Aufstiegsrichtung: cj − c>B A−1.B A.j > 0

• Finde begrenzende Nichtnegativitätsrelation:

i = argmin{ A−1.B b

(A−1.B A)ij

| (A−1.B A)ij > 0}.

• Pivotiere auf (A−1.B A)ij .

Ggb. zulässige Basis B.0 . . . 0 cN − c>B A−1

IB A−1.B A.N A−1

(A−1.B A)ij

| (A−1.B A)ij > 0}.

Finde Aufstiegsrichtung.0 . . . 0 cN − c>B A−1

(A−1.B A)ij

| (A−1.B A)ij > 0}.

Finde begrenzende Nichtne-gativitätsrelation.

0 . . . 0 cN − c>B A−1.B A.N c>B A−1

(A−1.B A)ij

| (A−1.B A)ij > 0}.

Pivotiere auf (A−1.B A)ij .

0 . . . 0 cN − c>B A−1.B A.N c>B A−1

(A−1.B A)ij

| (A−1.B A)ij > 0}.

Falls keine Aufstiegsrichtungexistiert, ist (c>B A−1

.B )A ≥ c.

0 . . . 0 cN − c>B A−1.B A.N c>B A−1

(A−1.B A)ij

| (A−1.B A)ij > 0}.

Falls keine Aufstiegsrichtungexistiert, ist (c>B A−1

.B )A ≥ c. Al-so ist c>B A−1

.B zulässig für (D)und c>B A−1

.B b = c>B xB = c>x .

0 . . . 0 cN − c>B A−1.B A.N c>B A−1

(A−1.B A)ij

| (A−1.B A)ij > 0}.

Falls es keine begrenzendeNichtnegativitätsrelation gibt,so ist das Problem unbe-schränkt.

0 . . . 0 cN − c>B A−1.B A.N c>B A−1

(A−1.B A)ij

| (A−1.B A)ij > 0}.

Phase I

Falls keine zulässige Startbasis bekannt ist, lösen wir mit demSimplexalgorithmus das Hilfsproblem

max −∑

yiAx + y = b

x , y ≥ 0

• Wenn Lösung Zielfunktionswert 0 hat, d.h. alle y = 0, dann kannman künstliche Zeilen streichen und hat zulässige Basis

• ansonsten hat ursprüngliches Problem keine zulässige Lösung

Phase I

max −∑

yiAx + y = b

x , y ≥ 0

Phase I

max −∑

yiAx + y = b

x , y ≥ 0

0 . . . 0 −1 . . .− 1 0

A In b

Phase I

max −∑

yiAx + y = b

x , y ≥ 0

e>A 0 . . . 0 e>b

A In b

Phase I

max −∑

yiAx + y = b

x , y ≥ 0

e>A 0 . . . 0 e>b

A In b

Phase I

max −∑

yiAx + y = b

x , y ≥ 0

e>A 0 . . . 0 e>b

A In b

Beispiel

max x+1 − x−1 + x2

s.d. x+1 − x−1 − x2 − s1 = 3

2x+1 − 2x−1 + x2 + s2 = 8

x+1 , x

−1 , x2, s1, s2 ≥ 0

Wir haben mit s2 schon einen Einheitsvektor, deswegen benötigenwir nur noch eine künstliche Schlupfvariable und erhalten folgendesHilfstableau.

Beispiel

max x+1 − x−1 + x2

s.d. x+1 − x−1 − x2 − s1 = 3

2x+1 − 2x−1 + x2 + s2 = 8

x+1 , x

−1 , x2, s1, s2 ≥ 0

Beispiel

max x+1 − x−1 + x2

s.d. x+1 − x−1 − x2 − s1 = 3

2x+1 − 2x−1 + x2 + s2 = 8

x+1 , x

−1 , x2, s1, s2 ≥ 0

0 0 0 0 0 −1 01 −1 1 0 0 0 01 −1 −1 −1 0 1 32 −2 1 0 1 0 8

Beispiel

max x+1 − x−1 + x2

s.d. x+1 − x−1 − x2 − s1 = 3

2x+1 − 2x−1 + x2 + s2 = 8

x+1 , x

−1 , x2, s1, s2 ≥ 0

1 −1 −1 −1 0 0 31 −1 1 0 0 0 01 −1 −1 −1 0 1 32 −2 1 0 1 0 8

Beispiel

1 −1 −1 −1 0 0 31 −1 1 0 0 0 0

1 −1 −1 −1 0 1 32 −2 1 0 1 0 8

0 0 0 0 0 −1 00 0 2 1 0 −1 −31 −1 −1 −1 0 1 30 0 3 2 1 −2 2

künstlicher Zielfunktionswert ist 0 =⇒ zulässige Basis gefunden

0 0 2 1 0 −31 −1 −1 −1 0 30 0 3 2 1 2

Beispiel

1 −1 −1 −1 0 0 31 −1 1 0 0 0 0

1 −1 −1 −1 0 1 32 −2 1 0 1 0 8

0 0 0 0 0 −1 00 0 2 1 0 −1 −31 −1 −1 −1 0 1 30 0 3 2 1 −2 2

0 0 2 1 0 −31 −1 −1 −1 0 30 0 3 2 1 2

Beispiel

1 −1 −1 −1 0 0 31 −1 1 0 0 0 0

1 −1 −1 −1 0 1 32 −2 1 0 1 0 8

0 0 0 0 0 −1 00 0 2 1 0 −1 −31 −1 −1 −1 0 1 30 0 3 2 1 −2 2

0 0 2 1 0 −31 −1 −1 −1 0 30 0 3 2 1 2

Beispiel

1 −1 −1 −1 0 0 31 −1 1 0 0 0 0

1 −1 −1 −1 0 1 32 −2 1 0 1 0 8

0 0 0 0 0 −1 00 0 2 1 0 −1 −31 −1 −1 −1 0 1 30 0 3 2 1 −2 2

0 0 2 1 0 −31 −1 −1 −1 0 30 0 3 2 1 2

Beispiel

0 0 0 − 13 − 2

3 − 133

1 −1 0 − 13

0 0 1 23

Tableau ist final, Optimallösung (x+1 , x

−1 , x2, s1, s2) = ( 11

3 ,0,23 ,0,0),

optimaler Zielfunktionswert = 133

Also ist 13 (11,2) Optimallösung des Ausgangsproblems.

Beispiel

0 0 0 − 13 − 2

3 − 133

1 −1 0 − 13

0 0 1 23

−1 , x2, s1, s2) = ( 11

3 ,0,23 ,0,0),

Beispiel

0 0 0 − 13 − 2

3 − 133

1 −1 0 − 13

0 0 1 23

−1 , x2, s1, s2) = ( 11

3 ,0,23 ,0,0),

Veranschaulichung der Schritte

1 2 3 4 5 6

Lineare Optimierung Winfried Hochstättler · OutlineLineares Programm (LP) in...

Documents

Transcript of Lineare Optimierung Winfried Hochstättler · OutlineLineares Programm (LP) in...

Einführungsveranstaltung „Bildung an Grundschulen“ · 7 LP 2. FS 30 LP Fach 7 LP Fach 7 LP Fach 7 LP 1. FS 29 LP Fach 7 LP Fach 7 LP GSP 8 LP Fach 8 LP 5. FS 29 LP Fach 8 LP

Einlösestellen Lebensmittel Pass & Restaurant Pass...RP LP Restaurant Palato RP LP Drahtgasse 3 Cafe Restaurant Ebendorferstraße 10 Vielfalt RP LP ÖBB - Bahnbistro RP LP Elisabethstraße

Anwendungsfächer und Softskill-Module€¦ · 7 LP 7 LP 7 LP 7 LP 7 LP . Ergänzung zum Modulhandbuch im B.Sc. Informatik – Anwendungsfach- u. Softskill-Module - 4 - Biologie .

Objektive | test - PC · PDF fileäquivalente KB-Brennweite, AF-Bereich 15 mm, 0,30-∞ m 24 mm, ... Mitte 1553 LP/BH 1249 LP/BH 1434 LP/BH 1462 LP/BH 1138 LP/BH 1046 LP/BH

MODULHANDBUCH · Studium Integrale 12 LP Bachelorarbeit 12 LP Gesamt 180 LP . MODULHANDBUCH – ROMANISTIK – ZWEI-FACH-BACHELOR OF ARTS 3 1.4 Semesterbezogene LP-Übersicht 1.5

Praxisintegrierendes Studium Verbinden Sie akademisches ......Physik (6 LP) Numerische Mathematik (3 LP) Automatisierung (6 LP) Energiemanagement-system (3 LP) Elektrotechnik (3 LP)

.RPPXQDOH 6WHXHUQ LP :HWWHUDXNUHLV LP -DKU....RPPXQDOH 6WHXHUQ LP :HWWHUDXNUHLV LP -DKU 9HUDEVFKLH GXQJ 'HIL]LWlUHU +DXVKDOW 9HUJQ JXQJ VWHXHU.XOWXUI|UGHU DEJDEH:HWWDXI ZDQGVWHXHU

Modulhandbuch für das Studium Lehramt an öffentlichen ... · 15 LP Arbeit + 10 LP Beruf + 10 LP Wirtschaft + 10 LP Technik + 21 LP Fachdidaktik = 66 LP (LP = ECTS-Punkte) Sem Arbeit

Kommandantentagung Feuerwehrabschnitt Gänserndorf · 2019. 2. 26. · Technische LP Löschgr. LP ATS LP LP Feuerwehrboot Aktive pro Feuerwehr Bronze Silber Gold Bronze Silber Gold

Bachelor of Science · (PL 60 Min., 6 LP) Seminar in einer betriebswirtschaftlichen Vertiefung (LBP, 6 LP) Projektstudie (USL, 6 LP) Bachelorarbeit (12 LP) * Die Orientierungsprüfung

Lineare Optimierung - HTW Berlin · 2017. 2. 23. · Lineare Optimierung Teil 1 • Simplexalgorithmus 1 • Grundlagen • Beispiel Produktionsprogrammplanung • Graphische Lösung

WIRTSCHAFTSINGENIEURWESEN - fk3-documents.tu-bs.de · WAHL: Bautechnikgeschichte (2 LP), Darstellende Geometrie (2 LP), CAD (2 LP), Programmierung (3 LP), Matlab in der Mechanik (4

Module im NwT-Lehramt Bachelor (72 LP) - ife.uni-stuttgart.de · Sem.) 3 LP Zoologie II 6 LP Physiologie 6 LP Biochemie für Biologen 6 LP Mikrobiologie (wahlweise 2. Sem.) 3 LP Mathematik

Gerechtigkeit am Fließband Sequenzierung von Bitvektoren unter Nebenbedingungen Robert Nickel, Winfried Hochstättler Lehrstuhl für Mathematische Grundlagen.

Fakultät für Naturwissenschaften · 10 LP Biochemie I Pflanzenphysiologie 10 LP 6 LP Physiologie Übungen 2 x 4,5 LP Mikrobiologie, Genetik und Zellbiologie 2 LP Tierphysiologie

Version vom 30.06.2015 Max-Flow in Orientierten Matroiden Winfried Hochstättler & Robert Nickel Fernuniversität in Hagen Lehrstuhl für Diskrete Mathematik.

Modulkatalog Master of Science Mathematik (120 LP) · FMI-MA1262 Stabilität Dynamischer Systeme 2 – 9 LP 9 LP FMI-MA1207 Struktur hochdimensionaler normierter Räume 6 LP FMI-MA0288

Herzlich willkommen zur - chemie.tu-berlin.de fileOC 3 LP AnC 4 LP = 15 LP Organische Chemie I (6 LP) Geschichte der Chemie (3 LP) Anorganische Chemie I (6 LP) (Physik-Praktikum) (5

A MTLICHE B EKANNTMACHUNGEN · Anlage 1: Aufbau des Bachelor-Studienganges Biomedizinische Technik Biomaterialien PM Med. Grundl. 1 (Anatomie) PM 3 LP 27 LP 30 LP 33 LP 30 LP 30 LP

Informationsveranstaltung der Humanwissenschaftlichen ......• die Module haben in der Regel einen Umfang von 6 LP, 9 LP, 12 LP, 15 LP oder 18 LP; • die Prüfungsformen sind definiert