Kapitel 7

Maßwechsel und optionale Zerlegungfür universelle Supermartingale

In diesem Kapitel untersuchen wir die Zerlegung spezieller Supermartingale ineinen Martingalanteil und einen systematischen Anteil, wobei der Martingalanteilh-Transformierte eines vorgegebenen Martingals ist. Dieses Problem wird durchdie optionale Zerlegung gelöst. Diese Zerlegung, die sich wesentlich von der Doob-Zerlegung unterscheidet, ist zentral für einige finanzmathematische Anwendungenin Kap. 8. Maßwechsel und Dichteprozesse spielen eine wichtige Rolle.

Seien .˝;F ; P / ein Wahrscheinlichkeitsraum, T D Œ˛; ˇ�\Z und F D .Fn/n2T

eine Filtration in F . Wie immer sei Fˇ D �.S

n2T Fn/, falls ˇ D 1.

7.1 Maßwechsel und Dichteprozess

Sei Q eine Verteilung auf Fˇ . Falls Q � P jFˇ , so existiert nach dem Satz vonRadon-Nikodym eine Dichte Z D dQ=dP jFˇ mit Z 2 L1.Fˇ ; P /; Z � 0 undQ D ZP jFˇ , wobei P jFˇ die Einschränkung von P auf Fˇ bezeichnet.

Zur Unterscheidung sprechen wir von P -Martingalen und bezeichnen mitH1.P /

und Mgi.P / den Raum der P -Martingale M mit EP supn2T jMnj < 1 bezie-hungsweise der gleichgradig integrierbaren Martingale bezüglich P . Dabei ist EP

der Erwartungswert bezüglich P . Ebenso wird die Bezeichnung EP . � jG/ benutzt.Wir benötigen die folgenden elementaren Eigenschaften.

Lemma 7.1 Sei Q eine Verteilung auf Fˇ

(a) Sei Q � P jFˇ und Z die Dichte. Dann gilt Q � P jFˇ genau dann, wennP.Z > 0/ D 1.

(b) Sei Q � P jFˇ mit Dichte Z und G � Fˇ eine Unter-�-Algebra. Dann giltQjG � P jG und

dQjGdP jG D EP .ZjG/ P-f.s.

H. Luschgy, Martingale in diskreter Zeit, Springer-Lehrbuch Masterclass, 257DOI 10.1007/978-3-642-29961-2_7, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013

258 7 Maßwechsel und optionale Zerlegung für universelle Supermartingale

(c) Sei X W .˝;Fˇ / ! .X ;A/ eine Zufallsvariable mit QX � P X . Dann giltQj�.X/ � P j�.X/ und

dQj�.X/

dP j�.X/D dQX

dP Xı X P-f.s.

Beweis (a) Für F 2 Fˇ gilt

Q.F / DZ

F \fZ>0gZdP D Q.F \ fZ > 0g/

und insbesondere Q.Z > 0/ D Q.˝/ D 1. Falls Q � P jFˇ , folgt P.Z > 0/ D 1.Ist umgekehrt P.Z > 0/ D 1, so folgt für F 2 Fˇ mit Q.F / D 0

P.F / D P.F \ fZ > 0g/ D 0:

(b) Für alle G 2 G gilt

Q.G/ DZ

G

ZdP DZ

G

EP .ZjG/dP:

(c) Sei f WD dQX=dP X . Für F 2 �.X/, also F D X�1.A/ mit A 2 A gilt

Q.F / D QX .A/ DZ

A

fdP X DZ

.1Af / ı XdP DZ

F

f ı XdP: ut

Eine Verteilung Q auf Fˇ heißt lokal absolutstetig bezüglich P , falls QjFn �P jFn für alle n 2 T . Wir schreiben Q

lok� P für diese Beziehung. Dabei wird die

Abhängigkeit von der Filtration nicht explizit angegeben. Falls Qlok� P , heißt der

Prozess

Ln WD dQjFn

dP jFn

; n 2 T

Dichteprozess von Q bezüglich P . Im Fall ˇ < 1 bedeutet Qlok� P einfach

Q � P jFˇ .Der Effekt eines lokal absolutstetigen Maßwechsels auf die Struktur von Martin-

galen lässt sich einfach beschreiben.

Satz 7.2 Sei Q eine Verteilung auf Fˇ mit Qlok� P und Dichteprozess L.

(a) Ein adaptierter reeller Prozess M ist genau dann ein Q-Martingal, wenn MLein P -Martingal ist. Insbesondere ist L ein P -Martingal. Entsprechende Aus-sagen gelten für Submartingale und Supermartingale.

(b) Ist Z 2 L1.Fn; Q/ für ein n 2 T , so gilt

Lj EQ.ZjFj / D EP .ZLnjFj / P-f.s.

für alle j 2 T; j � n.

7.1 Maßwechsel und Dichteprozess 259

Beweis (a) Wegen

Z

jMnjdQ DZ

jMnjdQjFn DZ

jMnjLndP jFn DZ

jMnjLndP

für alle n 2 T ist M genau dann ein L1.Q/-Prozess, wenn ML ein L1.P /-Prozessist. Ebenso gelten für n 2 T; n < ˇ und F 2 Fn, falls M ein L1.Q/-Prozess ist,

Z

F

MndQ DZ

F

MnLndP undZ

F

MnC1dQ DZ

F

MnC1LnC1dP:

Dies impliziert (a).(b) Für das durch Mj WD EQ.ZjFj / definierte Q-Martingal gilt nach (a) für

j � n

Mj Lj D EP .MnLnjFj / D EP .ZLnjFj / P -f.s. ut

Wir untersuchen jetzt den Dichteprozess L an Stoppzeiten � und die Lebesgue-Zerlegung von Q bezüglich P auf F� . Da L nach 7.2(a) ein positives P -Martingalist, gilt nach 4.5 Ln ! L1 P -f.s. für n ! ˇ mit L1 2 L1.Fˇ ; P /; L1 � 0 undL1 D Lˇ , falls ˇ < 1. Im Fall ˛ D �1 sei

L�1 WD dQjF�1dP jF�1

:

Dann gilt für m � n nach 4.26

Lm D EP .LnjFm/ ! EP .LnjF�1/ P -f.s. und in L1.P /

für m ! �1, und wegen 7.1(b) erhält man EP .LnjF�1/ D L�1 P -f.s. Damitist L auf f� D ˙1g spezifiziert.

Satz 7.3 (Stoppzeiten) Seien Q eine Verteilung auf Fˇ mit Qlok� P und Dichtepro-

zess L und � eine Stoppzeit

(a) (Lebesgue-Zerlegung) Es gilt

Q.F / DZ

F

L� dP C Q.F \ G/

für alle F 2 F� , wobei G WD fsupn2T Ln D 1g \ f� D 1g 2 F� undP.G/ D 0. Insbesondere gilt QjF� D L� P jF� , falls ˇ < 1.

(b) Es gilt QjF� � P jF� , also QjF� D L� P jF� genau dann, wenn � P -regulärfür L ist. Gilt ferner P.� < 1/ D 1, so ist � genau dann P -regulär für L,wenn Q.� < 1/ D 1.

260 7 Maßwechsel und optionale Zerlegung für universelle Supermartingale

Beweis (a) 1. Wir bestimmen zunächst die Lebesgue-Zerlegung von Q bezüglichP jFˇ . Es gilt P.supn�m Ln D 1/ D 0 für alle m 2 T , da der P -fast sichere LimesL1 P -integrierbar ist, und mit der Stetigkeit von P folgt P.supn2T Ln D 1/ D 0.Für n 2 T und k 2 N seien Hn;k WD fsupj �n Lj � kg und Hk WD fsupj 2T Lj �kg D \n2T Hn;k und ferner sei H WD fsupn2T Ln < 1g D S1

kD1 Hk . WegenHn;k 2 Fn gilt

Q.F \ Hn;k/ DZ

F

1Hn;kLndP

für alle F 2 Fn; n 2 T; k 2 N. Wegen 1Hn;kLn ! 1Hk

L1 P-f.s. für n ! ˇ und1Hn;k

Ln � k folgt mit der Stetigkeit von Q und dominierter Konvergenz

Q.F \ Hk/ DZ

F

1HkL1dP

für alle F 2 Sn2T Fn; k 2 N. Monotone Konvergenz liefert für k ! 1

Q.F / D Q.F \ H/ C Q.F \ H c/ DZ

F

1H L1dP C Q.F \ H c/

DZ

F

L1dP C Q.F \ fsupn2T

Ln D 1g/

für alle F 2 Sn2T Fn wegen P.H/ D 1. Nach dem Maßeindeutigkeitssatz gilt

diese Gleichung dann für alle F 2 �.S

n2T Fn/ D Fˇ .

2. Für F 2 F� und n 2 T [ f˛g gilt F \ f� D ng 2 Fn nach 2.2(a) und daher

Q.F \ f� < 1g/ DX

n2T [f˛gQ.F \ f� D ng/ D

X

n2T [f˛g

Z

F \f�DngLndP

DX

n2T [f˛g

Z

F \f�DngL� dP D

Z

F \f�<1gL� dP:

Mit 1. folgt für F 2 F�

Q.F / D Q.F \ f� < 1g/ C Q.F \ f� D 1g/D

Z

F \f�<1gL� dP C

Z

F \f�D1gL1dP C Q.F \ G/

DZ

F

L� dP C Q.F \ G/

und G D fsupn2T Ln D 1g \ f� D 1g 2 F� ; P.G/ D 0.Falls ˇ < 1, gilt Q.G/ D 0 wegen P.G/ D 0 und G 2 Fˇ .

7.1 Maßwechsel und Dichteprozess 261

(b) Ist � P -regulär für L, so liefert 4.29 EP L� D 1. Damit ist L� P jF� einWahrscheinlichkeitsmaß und wegen (a) folgt QjF� D L�P jF� . Ist umgekehrtQjF� D L�P jF� , so gilt EP L� D Q.˝/ D 1 D EP Ln. Dies impliziert wie-der wegen 4.29 die P -Regularität von � für L.

Sei nun P.� < 1/ D 1. Ist � P -regulär für L, so gilt nach der obigenCharakterisierung QjF� � P jF� und damit Q.� D 1/ D 0. Gilt umgekehrtQ.� D 1/ D 0, so folgt mit (a) QjF� D L�P jF� und somit ist � P -regulärfür L. ut

Die Spezialisierung von 7.3 im Fall ˇ D 1 auf die konstante Stoppzeit � D 1liefert die folgenden Charakterisierungen der absoluten Stetigkeit beziehungsweiseder Singularität lokal absolutstetiger Verteilungen.

Satz 7.4 (Absolutstetigkeit und Singularität) Seien ˇ D 1 und Q eine Verteilung

auf F1 mit Qlok� P und Dichteprozess L.

(a) L1=2 ist ein L2.P /-beschränktes P -Supermartingal und limn!1 EP L1=2n D

EP L1=21 . Ferner gilt Q.infn2T Ln > 0/ D 1.

(b) Es sind äquivalent:

(i) Q � P jF1,(ii) EP L1 D 1,

(iii) L 2 Mgi.P /,(iv) Q.supn2T Ln < 1/ D 1.

(c) Es sind äquivalent:

(i) Q ? P jF1,(ii) P.L1 D 0/ D 1,

(iii) limn!1 EP L1=2n D 0,

(iv) Q.supn2T Ln < 1/ D 0.

Beweis (a) Aus der bedingten Jensen-Ungleichung folgt

EP .L1=2nC1jFn/ � .EP .LnC1jFn//1=2 D L1=2

n

für alle n 2 T . Wegen EP .L1=2n /2 D EP Ln D 1 ist das P -Supermartingal

L1=2 L2.P /-beschränkt und damit gleichgradig integrierbar unter P . Es folgtlimn!1 EP L

1=2n D EP L

1=21 .Für die Stoppzeit

�k WD inffn 2 T W Ln < 1=kg;k 2 N gilt f�k < 1g D finfn2T Ln < 1=kg und nach 7.3(a)

Q.�k < 1/ DZ

f�k<1gL�k

dP � 1=k

262 7 Maßwechsel und optionale Zerlegung für universelle Supermartingale

für alle k 2 N. Es folgt

Q. infn2T

Ln D 0/ D Q� 1\

kD1

f�k < 1g�

D 0:

(b) Die Äquivalenzen folgen aus 7.3 für die konstante Stoppzeit � D 1.(c) Aus 7.3(a) folgt die Äquivalenz von (i), (ii) und (iv), und die Äquivalenz von

(ii) und (iii) folgt aus (a). utTeil (c) des obigen Satzes zeigt einen Zusammenhang zwischen der Singularität

von Verteilungen und der Potentialeigenschaft: Es gilt Q ? P jF1 genau dann,wenn L1=2 ein Potential bezüglich P ist.

In Anwendungen ist typischerweise F D FX für einen .X ;A/-wertigen Prozess

X . Zur Illustration beschreiben wir den Fall unabhängiger Folgen. Dazu nehmenwir an, dass X D .Xn/n2T bezüglich P und bezüglich Q eine unabhängige Folge.X ;A/-wertiger Zufallsvariablen ist mit QXn � P Xn für alle n 2 T und ˛ > �1.Wir definieren

fn WD dQXn

dP Xn

und erhalten fn 2 L1.P Xn /; fn � 0,

Q.X˛ ;:::;Xn/ DnO

iD˛

QXi �nO

iD˛

P Xi D P .X˛ ;:::;Xn/

und

dQ.X˛;:::;Xn/

dP .X˛ ;:::;Xn/.x/ D

nY

iD˛

fi .xi /

für alle n 2 T . Wegen F D FX und 7.1(c) folgt Q

lok� P und für den Dichteprozess

Ln DnY

iD˛

fi .Xi /

für alle n 2 T .Sind Pn; Qn Wahrscheinlichkeitsmaße auf A mit Qn � Pn für alle n 2 T; P WDNn2T Pn; Q WD N

n2T Qn, .˝;F/ WD .X T ;AT / und X WD � , der Prozess derProjektionen, so liegt obige Situation vor.

Satz 7.5 (Kakutani) In obiger Situation mit ˛ > �1; ˇ D 1 und QXn � P Xn

für alle n 2 T gilt entweder Q � P jF1 oder Q ? P jF1. Dabei sind äquivalent:

(i) Q � P jF1,(ii)

Q1iD˛ EP fi .Xi /

1=2 WD limn!1Qn

iD˛ EP fi .Xi /1=2 > 0,

(iii) � P1nD˛ log EP fn.Xn/1=2 < 1,

7.1 Maßwechsel und Dichteprozess 263

(iv)P1

nD˛.1 � EP fn.Xn/1=2/ < 1,

(v) L 2 H1.P /.

Falls QXn � P Xn für alle n 2 T , so gilt entweder Q � P jF1 oder Q ? P jF1.Falls P Xn D P X˛ und QXn D QX˛ für alle n 2 T und QX˛ � P X˛ , so giltentweder Q D P jF1 oder Q ? P jF1.

Beweis Wegen 7.4(a) und der Unabhängigkeit der fn.Xn/ unter P gilt

a WD1Y

nD˛

EP fn.Xn/1=2 D EP L1=21 � 1:

Die Implikation (i) ) (ii) folgt aus 7.4(b). Gilt (ii), also a > 0, so folgt an WDEP fn.Xn/1=2 > 0, an � 1 für alle n 2 T und das durch Mn WD Qn

iD˛ fi .Xi /1=2=ai

definierte P -Martingal ist wegen

EpM 2n D

nY

iD˛

EP fi .Xi /=a2i D

� nY

iD˛

ai

��2 � 1

a2< 1

L2-beschränkt. Dann gilt M 2 H2.P / nach 4.30 und wegen L � M 2 folgt L 2H1.P /, also (v). Die Implikation (v)) (i) folgt aus 7.4(b) und die Äquivalenz von(ii) und (iii) ist klar. Wenn eine der Reihen in (iii) und (iv) konvergiert, so folgtan ! 1, und wegen � log t 1 � t für t ! 1 (das heißt � log t=.1 � t/ ! 1/

konvergiert dann auch die andere Reihe. Dies zeigt die Äquivalenz von (iii) und (iv).Weil nach 7.4(c) Q ? P jF1 genau dann gilt, wenn a D 0, erhält man insbesonderedie Dichotomie Q � P jF1 oder Q ? P jF1.

Falls QXn � P Xn für alle n 2 T und Q nicht singulär zu P jF1 ist, so folgtQ � P jF1 und durch Rollentausch der Maße auch P jF1 � Q.

Seien nun P Xn D P X˛ ; QXn D QX˛ für alle n 2 T , QX˛ � P X˛ undQ 6D P jF1. Dann gilt QX˛ 6D P X˛ und damit VarP f˛.X˛/1=2 D 1 � a2

˛ > 0. Esfolgt a D limn!1 an

˛ D 0, also Q ? P jF1. ut

Im identisch verteilten Fall mit QX˛ =�P X˛ gilt stets Q ? P jF1, denn dannexistiert eine Menge A 2 A mit P X˛ .A/ D 0 und QX˛ .A/ > 0 und für F WDT1

nD˛fXn 2 Acg folgt F 2 F1; P.F / D 1 und Q.F / D 0.

Beispiel 7.6 Seien ˛ > �1; ˇ D 1; X˛; X˛C1; : : : unabhängig unter P und Q,P Xn D N.�n; �2

n / und QXn D N.�n; �2n / mit �2

n ; �2n > 0. Dann gilt

fn.x/ D dQXn

dP Xn.x/ D �n

�n

exp

�

� .x � �n/2

2�2n

C .x � �n/2

2�2n

�

264 7 Maßwechsel und optionale Zerlegung für universelle Supermartingale

und daher

EP fn.Xn/1=2 DZ

fn.x/1=2dP Xn .x/

D 1p2��n�n

Z

exp

�

� .x � �n/2

4�2n

� .x � �n/2

4�2n

�

dx

D bnp�n�n

1p2�bn

Z

exp

�

� .x � an/2

2b2n

�

dx exp.cn/

D bnp�n�n

exp.cn/

mit

b2n WD 2�2

n�2n

�2n C �2

n

;bnp�n�n

D�

2�n=�n

1 C �2n=�2

n

�1=2

; an WD b2n

��n

2�2n

C �n

2�2n

�

und

cn WD � .�n � �n/2

4.�2n C �2

n/D � 1

4.1 C �2n=�2

n /

��n � �n

�n

�2

:

Wegen der Äquivalenz von (i) und (iii) in 7.5 gilt Q � P jF1 genau dann, wenn1X

hD˛

�1

2log

�1 C �2

n =�2n

2�n=�n

�

C 1

4.1 C �2n =�2

n/

��n � �n

�n

�2�

< 1:

Da

log..1 C t2/=2t/ .t2 � 1/2=2 für t ! 1;

ist dies äquivalent zu1X

nD˛

���2

n

�2n

� 1

�2

C�

�n � �n

�n

�2�

< 1:

Anderfalls gilt Q ? P jF1.

Wir untersuchen jetzt noch die Frage, wann ein positives Martingal L mitELn D 1 Dichteprozess einer lokal absolutstetigen Verteilung auf Fˇ bezüglichP ist. Gilt zusätzlich L 2 Mgi, also wegen 4.3(b) die Rechtsabschließbarkeit, sowird durch Q WD L1P jFˇ eine Verteilung auf Fˇ definiert mit QjFn D LnP jFn

für alle n 2 T . Die (leider nicht sehr handliche) Bedingung in der folgenden Cha-rakterisierung ist schwächer als die gleichgradige Integrierbarkeit.

Satz 7.7 (Existenz lokal absolutstetiger Verteilungen) Sei L ein positives Martingalmit ELn D 1. Dann sind äquivalent:

(i) Es gibt eine Verteilung Q auf Fˇ mit Qlok� P und Dichteprozess L,

(ii) EL� D 1 für alle T -wertigen Stoppzeiten � .

Im Fall .˝;F/ D .X T ;B.X /T / und F D F� für einen polnischen Raum X gilt (i),

wobei � D .�n/n2T den Prozess der Projektionen bezeichnet.

7.1 Maßwechsel und Dichteprozess 265

Beweis Falls ˇ < 1, hat Q WD Lˇ P jFˇ wegen 7.1(b) die in (i) gewünschteEigenschaft. Die Bedingung (ii) ist dann nach 7.3 auch erfüllt.

Sei ˇ D 1. Die Implikation (i) ) (ii) folgt aus 7.3(a).(ii) ) (i). Für die Verteilungen Qn WD LnP jFn auf Fn gilt QnC1jFn D Qn für

alle n 2 T und deshalb wird durch

� W[

n2T

Fn ! Œ0; 1�; �.F / WD Qn.F /; falls F 2 Fn

ein Wahrscheinlichkeitsinhalt auf der Algebra G WD Sn2T Fn definiert. Wir zei-

gen jetzt, dass � �-additiv ist. Sind F1; F2; : : : 2 G paarweise disjunkt mit F WDS1kD1 Fk 2 G, also Fk 2 Fnk

und F 2 Fn mit geeigneten nk ; n 2 T , so ist

� WD1X

kD1

.n _ nk/1FkC n1F c

eine T -wertige Stoppzeit und nach (ii) und 4.29 regulär für L. Wegen Optionalsampling 4.28(a) (oder 2.12(a)) und � � n folgt

1X

kD1

�.Fk/ D1X

kD1

Z

Fk

Ln_nkdP D

1X

kD1

Z

Fk

L� dP DZ

F

L�dP

DZ

F

E.L� jFn/dP DZ

F

L�^ndP DZ

F

LndP D �.F /:

Nach dem Maßfortsetzungssatz gibt es dann eine (eindeutige) Fortsetzung von � zueinem Wahrscheinlichkeitsmaß Q auf �.G/ D F1. Für dieses Q und F 2 Fn gilt

Q.F / D �.F / DZ

F

LndP

für alle n 2 T , also ist Q eine lokal absolutstetige Verteilung auf F1 mit Dichte-prozess L.

Seien nun .˝;F/ D .X T ;B.X /T /;F D F� und ˇ D 1. Für n 2 T definieren

wir Verteilungen Qn WD LnP jFn auf Fn und �n WD .Qn/.�j /j 2Tn auf B.X /Tn mitTn D fj 2 T W j � ng. Wegen QnjFm D Qm für m < n ist die Folge .�n/n2T

projektiv, das heißt für m < n gilt

��Tn;Tmn D �m;

wobei �Tn;TmW X Tn ! X Tm die Restriktionsabbildung bezeichnet. Nach dem Satz

von Kolmogorov über die Existenz projektiver Limiten gibt es eine Verteilung Q

auf B.X /T D F1 mit Q�Tn D �n für alle n 2 T , wobei �TnW X T ! X Tn die

Restriktionsabbildung ist. Es folgt QjFn D Qn für alle n 2 T . utDas folgende Beispiel zeigt, dass im Allgemeinen keine lokal absolutstetigen

Verteilungen existieren.

266 7 Maßwechsel und optionale Zerlegung für universelle Supermartingale

Beispiel 7.8 Seien .˝;F/ D .N;P.N//; T D N0;Fn D �.f1g; : : : ; fng/ mitF0 D f;; ˝g und P eine Verteilung auf F mit P.fng/ > 0 für alle n 2 N. (Manwähle beispielsweise P.fng/ D 1=n.n C 1/.) Dann gilt F D F1 und durch

Ln WD 1

P.fn C 1; n C 2; : : :g/1fnC1;nC2;:::g

für n 2 N0 wird ein positives Martingal definiert mit ELn D 1 und F D FL. Es

gibt keine lokal absolutstetige Verteilung Q mit Dichteprozess L, denn sonst wärewegen fng 2 Fn

1 D Q.˝/ DX

n2NQ.fng/ D

X

n2N

Z

fngLndP D 0:

Dies folgt auch aus 7.7, denn für die durch �.n/ WD n definierte Stoppzeit giltL� D P

n2N Ln1fng D 0.

7.2 Optionale Zerlegung

Im Folgenden seien ˛ > �1 und X D .X1; : : : ; Xd / ein fest vorgegebener adap-tierter Rd -wertiger Prozess.

Definition 7.9 Ein Wahrscheinlichkeitsmaß Q auf Fˇ heißt äquivalentes Martin-galmaß für X , falls Q � P jFˇ und X ein Q-Martingal ist. Dabei ist X einQ-Martingal, falls die Komponentenprozesse X i D .X i

n/n2T , 1 � i � d Q-Martingale sind. Die Menge der äquivalenten Martingalmaße wird mit

P D P.X/

bezeichnet.

Man beachte die nicht explizit angegebene Abhängigkeit der Menge P von derFiltration F und von P . Nach dem Satz von Radon-Nikodym hat jedes Q 2 P dieForm Q D ZP jFˇ mit Z 2 L1.Fˇ ; P /; Z � 0 und lässt sich durch QQ WD ZP

zu einem zu P äquivalenten Wahrscheinlichkeitsmaß auf F fortsetzen. Dies wirdallerdings keine Rolle spielen.

Da P konvex ist, gilt jPj � 1 oder jPj � jRj für die Mächtigkeit jPj von P.Für einen vorhersehbaren R

d -wertigen Prozess H D .H 1; : : : ; H d / wird dieh-Transformierte von X wie in 1.8 durch

.H X/n WDnX

j D˛C1

Hj �Xj ; n 2 T

definiert, wobei Hj �Xj das Skalarprodukt

Hj �Xj DdX

iD1

H ij �X i

j

7.2 Optionale Zerlegung 267

bezeichnet. Wir nennen einen adaptierten reellen Prozess Y universelles P-Super-martingal (P-Submartingal) beziehungsweise universelles P-Martingal, falls Y

für jedes Q 2 P ein Q-Supermartingal (Q-Submartingal) beziehungsweise Q-Mar-tingal ist.

Lemma 7.10 Sei Q 2 P. Seien Y˛ 2 L1.F˛; Q/, H ein vorhersehbarer Rd -

wertiger Prozess, D ein adaptierter, wachsender reeller Prozess mit D˛ D 0 undfür

Y WD Y˛ C H X � D

sei Y � ein L1.Q/-Prozess. Dann ist Y˛ C H X ein Q-Martingal und Y ein Q-Supermartingal.

Sind die obigen Integrabilitätsvoraussetzungen an Y˛ und Y � für alle Q 2 P

erfüllt, so ist Y˛ C H X ein universelles P-Martingal und Y ein universelles P-Supermartingal.

Beweis Wegen

H X DdX

iD1

H i X i

ist Y C D D Y˛ C H X nach 2.25 Summe lokaler Q-Martingale und damit nach4.34 selbst ein lokales Q-Martingal. Aus .Y C D/� � Y � folgt mit 2.24, dassY C D ein (echtes) Q-Martingal ist. Wegen Y C � .Y C D/C ist Y und damit auchD ein L1.Q/-Prozess, und da D als wachsender Prozess ein Q-Submartingal ist,folgt die Q-Supermartingaleigenschaft von Y . ut

Der folgende Zerlegungssatz besagt, dass umgekehrt jedes universelle P-Super-martingal eine Zerlegung vom Typ 7.10 besitzt, falls P 6D ;.

Satz 7.11 (Optionale Zerlegung, Kramkov, Föllmer und Kabanov) Seien P 6D ;und Y ein universelles P-Supermartingal. Dann hat Y eine Zerlegung

Y D Y˛ C H X � D;

wobei H ein vorhersehbarer Rd -wertiger Prozess und D ein adaptierter, wachsen-der reeller Prozess mit D˛ D 0 ist.

Der Anteil M WD Y˛ C H X in der optionalen Zerlegung von Y ist nach 7.10ein universelles P-Martingal. Der Martingalanteil M hat eine spezielle Struktur: erist h-Transformierte von X . Die von Q 2 P abhängende Doob-Zerlegung von Y

liefert Y D N .Q/ � A.Q/, wobei N .Q/ ein Q-Martingal ist. Andererseits ist derwachsende Prozess D nur adaptiert, während der wachsende Prozess A.Q/ in derDoob-Zerlegung vorhersehbar ist.

Der Martingalanteil und der Prozess D in der optionalen Zerlegung sind aller-dings nicht fast sicher eindeutig: Sei D ein adaptierter wachsender L1.P /-Prozess

268 7 Maßwechsel und optionale Zerlegung für universelle Supermartingale

mit D˛ D 0; Y WD �D und Y D N .P / � A.P / die Doob-Zerlegung des P -Supermartingals Y . Für X WD N .P / ist Y ein universelles P.X/-Supermartingal,und im Allgemeinen gilt D 6D A.P /.

Der Beweis von 7.11 basiert auf der Abgeschlossenheit gewisser konvexer Kegelin L1-Räumen. Dabei ist es günstig zu Räumen von Äquivalenzklassen überzuge-hen. Für n 2 T; n � ˛ C 1 sei

Kn WD fU�Xn W U 2 L0.Fn�1; P IRd /g;wobei L0.Fn�1; P IRd / den Raum der P -Äquivalenzklassen Fn�1-messbarer Rd -wertiger Zufallsvariablen bezeichnet und U�Xn D Pd

iD1 U i�X in. Dann ist Kn

ein linearer Unterraum von L0.Fn; P /, dem Raum der P -Äquivalenzklassen Fn-messbarer reeller Zufallsvariablen. Seien

L0C.Fn; P / D fV 2 L0.Fn; P / W V � 0gund

Kn � L0C.Fn; P / D fK � V W K 2 Kn; V 2 L0C.Fn; P /g:Die L0-Räume bleiben unverändert, falls man P durch ein WahrscheinlichkeitsmaßQ auf Fˇ mit Q � P jFˇ ersetzt.

Lemma 7.12 (Schachermayer) Seien Q ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf Fˇ mitQ � P jFˇ und n 2 T; n � ˛ C 1. Falls

Kn \ L0C.Fn; P / D f0g;so ist

.Kn � L0C.Fn; P // \ L1.Fn; Q/

abgeschlossen in L1.Fn; Q/.

Beweis 1. Wir definieren zwei lineare UnterräumeN undN? von L0.Fn�1;P IRd /

durch

N WD f 2 L0.Fn�1; P IRd / W �Xn D 0gund

N? WD f 2 L0.Fn�1; P IRd / W D 0 für alle 2 N g:Wegen 0 D D kk2 für 2 N \ N?, wobei k � k die euklidische Norm auf Rd

bezeichnet, gilt

N \ N? D f0g:Jedes U 2 L0.Fn�1; P IRd / hat eine eindeutige Zerlegung

U D C

7.2 Optionale Zerlegung 269

mit 2 N und 2 N?. Dazu schreiben wir U D .U 1; : : : ; U d / in der Form

U DdX

iD1

U iei ;

wobei ei ; i � i � d die Einheitsvektoren in Rd bezeichnen. Wenn jedes ei eine

Zerlegung

ei D fi C gi

mit fi 2 N und gi 2 N? besitzt, so liefern

WDdX

iD1

U ifi und WDdX

iD1

U igi

wegen 2 N und 2 N? die gewünschte Zerlegung für U . Die Eindeutigkeit derZerlegung folgt aus N \ N? D f0g.

Es bleibt obige Zerlegung für ei zu konstruieren. Der Vektor ei ist Element desHilbert-Raums L2 WD L2.Fn�1; P IRd / der P -ÄquivalenzklässenFn�1-messbarerR

d -wertiger Zufallsvariablen U mit EkU k2 < 1 versehen mit dem SkalarprodukthU1; U2i D EU1U2. Seien

� W L2 ! N \ L2

die Orthogonalprojektion auf den abgeschlossenen linearen Unterraum N \ L2 vonL2; fi WD �.ei / und gi WD ei � fi . Dann gilt

gi 2 .N \ L2/? WD fU 2 L2 W EU D 0 für alle 2 N \ L2g:

Außerdem gilt .N \ L2/? � N? und damit gi 2 N?. Andernfalls existiert ein 2 .N \ L2/? mit … N?. Also gibt es ein 2 N mit P. > 0/ > 0. Fürm WD 1f��>0;k�k�mg; m 2 N gilt dann m 2 N \ L2 und damit Em D 0 füralle m � 1. Andererseits gilt 0 � m " 1f��>0g P -f.s. und daher mit monotonerKonvergenz

0 � Em ! E1f��>0g > 0

für m ! 1, also Em > 0 für alle hinreichend großen m, ein Widerspruch.2. Wir kommen zur Abgeschlossenheit von

Cn WD .Kn � L0C.Fn; P // \ L1.Fn; Q/

in L1.Fn; Q/. Seien .Wk/k�1 eine Folge in Cn und W 2 L1.Fn; Q/ mit Wk ! W

in L1.Fn; Q/ für k ! 1. Durch Übergang zu einer Teilfolge können wir ohneEinschränkung Wk ! W Q-f.s., also auch Wk ! W P -f.s. annehmen. Es gilt

270 7 Maßwechsel und optionale Zerlegung für universelle Supermartingale

Wk D Uk�Xn � Vk mit Uk 2 L0.Fn�1; P IRd / und Vk 2 L0C.Fn; P /, und we-gen 1. können wir Uk 2 N? für alle k � 1 annehmen. Wir werden gleich sehen,dass

lim infk!1

kUkk < 1 P -f.s.

Unter dieser Voraussetzung existieren nach A.8 ein U 2 L0.Fn�1; P IRd / und einestrikt wachsende Folge .�k/k�1 Fn�1-messbarer N-wertiger Zufallsvariablen mit

U�k! U P -f.s.

für k ! 1. Es folgt

V�kD U�k

�Xn � W�k! U�Xn � W DW V P -f.s.;

also

W D U�Xn � V 2 Cn:

Nach 2.7(a) sind dabei V�kund W�k

bezüglich Fn und U�kbezüglich Fn�1 mess-

bar. Damit ist Cn abgeschlossen in L1.Fn; Q/.Wir zeigen nun, dass

P.lim infk!1

kUkk D 1/ D 0:

Für F WD flim infk!1 kUkk D 1g gilt F 2 Fn�1. Sei

Zk WD Uk

kUkk(mit 0=0 WD 0). Wegen lim infk!1 kZkk � 1 P -f.s. existieren nach A.8 einZ 2 L0.Fn�1; P IRd / und eine strikt wachsende Folge .�k/k�1 Fn�1-messbarerN-wertiger Zufallsvariablen mit

Z�k! Z P -f.s.

für k ! 1. Wegen kU�kk ! 1 P -f.s. auf F und der P -fast sicheren Konvergenz

von .W�k/k�1 folgt

0 � V�k

kU�kk1F D

�U�k

�Xn

kU�kk � W�k

kU�kk

�

1F

D�

Z�k�Xn � W�k

kU�kk

�

1F ! Z1F �Xn P -f.s.

für k ! 1 und somit Z1F �Xn 2 Kn \ L0C.Fn; P /. Die Voraussetzung Kn \L0C.Fn; P / D f0g impliziert Z1F �Xn D 0, also Z1F 2 N . Da Uk 2 N? für allek � 1, gilt für 2 N

Z�kD

1X

j D1

Zj 1f�kDj g D1X

j D1

Uj

kUj k1f�kDj g D 0;

7.2 Optionale Zerlegung 271

also Z�k2 N? für alle k � 1. Es folgt Z 2 N? und damit Z1F 2 N? wegen

F 2 Fn�1. Wegen N \ N? D f0g erhält man Z1F D 0, also

Z D 0 auf F:

Andererseits gilt kZ�kk ! 1 P -f.s. auf F und kZ�k

k ! kZk P -f.s. für k ! 1und damit

kZk D 1 auf F:

Es folgt P.F / D 0. utBeweis von Satz 7.11 (Föllmer und Schied). Sei Q 2 P. Wir zeigen, dass für allen 2 T , n � ˛ C 1 Zufallsvariablen Hn 2 L0.Fn�1; QIRd / und Rn 2 L0C.Fn; Q/

existieren mit

�Yn D Hn�Xn � Rn:

Dann liefern H WD .Hn/n2T mit H˛ WD 0 und Dn WD Pnj D˛C1 Rj mit D˛ D 0

wegen

Yn D Y˛ CnX

j D˛C1

�Yj D Y˛ C .H X/n � Dn

die gewünschte Zerlegung. Die obige Bedingung an Y bedeutet �Yn 2 Kn �L0C.Fn; Q/ und wegen �Yn 2 L1.Fn; Q/ auch

�Yn 2 Cn WD .Kn � L0C.Fn; Q// \ L1.Fn; Q/

für alle n � ˛ C 1.Wir nehmen an, dass

�Yn … Cn

für ein n 2 T , n � ˛ C1. Wegen 7.10 ( mit Y˛ D 0; Hj D 0 für j 6D n und D D 0)gilt Kn \ L0C.Fn; Q/ D f0g, und nach 7.12 ist der konvexe Kegel Cn abgeschlossenin L1.Fn; Q/. Daher existiert nach dem Trennungssatz A.7 ein Z 2 L1.Fn; Q/

mit

a WD supW 2Cn

EQZW < EQZ�Yn < 1;

und wegen 0 2 Cn und der Kegeleigenschaft von Cn folgt a D 0, also

EQZW � 0 < EQZ�Yn DW ı

für alle W 2 Cn. Wegen W WD �1fZ<0g 2 Cn gilt EQZ� D EQZW � 0, alsoZ� D 0 und damit Z � 0, und wegen ˙1F �X i

n 2 Kn \ L1.Fn; Q/ � Cn fürF 2 Fn�1 und 1 � i � d gilt EQZ1F �X i

n D 0. Dies impliziert

EQ.Z�X injFn�1/ D 0

272 7 Maßwechsel und optionale Zerlegung für universelle Supermartingale

für alle 1 � i � d . Ferner gilt nach 7.10 (mit Y˛ D 0; Hj D 0 und �Dj D 0

für j 6D n) EQW � 0 für alle W 2 Cn. Deshalb gilt für Z" WD Z C " mit " > 0

auch EQZ"W � 0 für alle W 2 Cn, EQ.Z"�X injFn�1/ D 0 und EQZ"�Yn D

EQZ�Yn C "EQ�Yn > 0, falls " < EQZ�Yn=EQ.��Yn/. Daher können wirohne Einschränkung annehmen, dass Z � " für ein " 2 .0; 1/.

Sei

Q1 WD Z

Zn�1

Q mit Zn�1 WD EQ.ZjFn�1/:

Wegen EQ.Z=Zn�1/ D EQEQ.Z=Zn�1jFn�1/ D 1 ist Q1 ein Wahrscheinlich-keitsmaß auf Fˇ , und da Q.Z=Zn�1 > 0/ D 1, gilt Q1 � Q nach 7.1(a). Für denDichteprozess

Lj WD dQ1jFj

dQjFj

; j 2 T

gilt nach 7.1(b) Lj D EQ.Z=Zn�1jFj /, also

Lj D Ln D Z=Zn�1; falls j � n;

und wegen der Turmeigenschaft

Lj D EQ

�EQ.ZjFn�1/

Zn�1

ˇˇˇˇFj

�

D 1; falls j < n:

Der Prozess X i L ist ein L1.Q/-Prozess, weil L ein L1.Q/-Prozess ist. Für 1 �i � d und j > n gilt

EQ.X ij Lj jFj �1/ D EQ.X i

j jFj �1/Lj D X ij �1Lj �1

und für j D n

EQ.X inLnjFn�1/ D EQ.X i

nZjFn�1/1

Zn�1

D fEQ.Z�X injFn�1/ C EQ.ZX i

n�1jFn�1/g 1

Zn�1

D X in�1 D X i

n�1Ln�1:

Damit ist XL ein Q-Martingal und wegen 7.2(a) X ein Q1-Martingal, also Q1 2 P.Nun kommt die universelle Supermartingaleigenschaft von Y ins Spiel. Wegen

Q1 2 P gilt EQ1.�YnjFn�1/ � 0 und damit erhält man

0 � EQ1EQ1

.�YnjFn�1/Zn�1 D EQ1Zn�1�Yn D EQZ�Yn D ı;

im Widerspruch zu ı > 0. utEine naheliegende Modifikation von 1.7(c) liefert ein wichtiges Beispiel für ein

universelles P-Supermartingal.

7.2 Optionale Zerlegung 273

Satz 7.13 Seien P 6D ;; X i � 0 für alle 1 � i � d und Z eine Fˇ -messbare,positive reelle Zufallsvariable mit

supQ2P

EQZ < 1:

Dann wird durch

Yn WD ess supQ2P

EQ.ZjFn/

ein positives universelles P-Supermartingal definiert.

Informationen zum essentiellen Supremum von Zufallsvariablen findet manin A.9.

Beweis (Föllmer und Schied) 1. (Pasting) Seien Q1; Q2 2 P und � eine Stoppzeit.Dann wird durch

QQ.F / D QQ.Q1; Q2; �/.F / WD EQ1EQ2

.1F jF� /

für F 2 Fˇ ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf Fˇ definiert mit QQjF� D Q1jF� undQQ � P jFˇ . Dabei folgt aus dem Satz von der monotonen Konvergenz für bedingte

Erwartungswerte, dass QQ tatsächlich ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist und dass

E QQU D EQ1EQ2

.U jF�/

für jede Fˇ -messbare positive Zufallsvariable U gilt. Für solche Zufallsvariablen U

und alle n 2 T gilt ferner

E QQ.U jFn/ D EQ1.EQ2

.U jF�_n/jFn/:

Dazu ist für V WD EQ1.EQ2

.U jF�_n/jFn/ und F 2 Fn die Radon-Nikodym-Gleichung

E QQU1F D E QQV 1F

zu bestätigen. Nach 2.4(a) gilt F \ fn � �g 2 Fn^� D Fn \ F� und nach 2.4(c)

V 1F \fn��g D EQ1.EQ2

.U jF�_n/jF�^n/1F \fn��g:

Daher ist V 1F \fn��g F� -messbar und mit Taking out what is known und 2.4(c)folgt wegen QQjF� D Q1jF�

E QQU1F \fn��g D EQ1EQ2

.U1F \fn��gjF�/

D EQ1EQ2

.U jF�_n/1F \fn��gD EQ1

EQ1.EQ2

.U jF�_n/1F \fn��gjFn/

D EQ1V 1F \fn��g D E QQV 1F \fn��g:

274 7 Maßwechsel und optionale Zerlegung für universelle Supermartingale

Weiter gilt fn > �g 2 Fn \ F� und wieder mit 2.4(c) folgt

V 1F \fn>�g D EQ1.EQ2

.U jF�_n/1F \fn>�gjFn/

D EQ1.EQ2

.U jFn/1F \fn>�gjFn/

D EQ2.U1F \fn>�gjFn/;

also

E QQU1F \fn>�g D EQ1EQ2

.U1F \fn>�gjF� /

D EQ1EQ2

.U1F \fn>�gjFn^�/

D EQ1EQ2

.EQ2.U1F \fn>�gjFn/jF�/

D EQ1EQ2

.V 1F \fn>�gjF� /

D E QQV 1F \fn>�g:

Diese Formel für den Fn-bedingten QQ-Erwartungswert impliziert

QQ 2 P;

denn für n � ˛ C 1 und 1 � i � d gilt mit Optional sampling 2.12(a)

E QQ.X injFn�1/ D EQ1

.EQ2.X i

njF�_.n�1//jFn�1/

D EQ1.X i

n^.�_.n�1//jFn�1/

D X in^.n�1/^.�_.n�1// D X i

n�1;

und Induktion liefert

E QQX in D E QQX i

˛ D EQ1X i

˛ < 1:

Also ist X ein QQ-Martingal. (P ist „Pasting-stabil“.)2. Wir kommen nun zur universellen P-Supermartingaleigenschaft von Y . Offen-

bar ist Y ein adaptierter RC [ f1g-wertiger Prozess. Ferner ist die Menge

fEQ.ZjFn/ W Q 2 Pgfür alle n 2 T nach rechts gerichtet, denn definiert man zu Q1; Q2 2 P

� WD n1F C ˇ1F c mit F WD fEQ1.ZjFn/ > EQ2

.ZjFn/g;so ist � nach 2.3 wegen F 2 Fn eine Stoppzeit, und für QQ WD QQ.Q1; Q2; �/ 2 P

gemäß 1. folgt mit 2.4(c) und Taking out what is known

E QQ.ZjFn/ D EQ1.EQ2

.ZjF�_n/jFn/

D EQ1.EQ2

.ZjFn/1F C EQ2.ZjFˇ /1F c jFn/

D EQ1.EQ2

.ZjFn/1F C Z1F c jFn/

D EQ2.ZjFn/1F C EQ1

.ZjFn/1F c

D EQ1.ZjFn/ _ EQ2

.ZjFn/:

7.3 Die Martingaldarstellungseigenschaft 275

Also existiert nach A.9 für alle n 2 T eine Folge .Qk/k�1 in P mit EQk.ZjFn/ "

Yn f.s. für k ! 1. Für Q 2 P und QQk WD QQ.Q; Qk; n/ 2 P gemäß 1. fürn 2 T; n � ˛ C 1 folgt mit monotoner Konvergenz für bedingte Erwartungswerte

EQ.YnjFn�1/ D EQ. limk!1

EQk.ZjFn/jFn�1/

D limk!1

EQ.EQk.ZjFn/jFn�1/

D limk!1

E QQk.ZjFn�1/

� ess supQ2P

EQ.ZjFn�1/ D Yn�1:

Induktion liefert EQYn � EQY˛ und mit QQk WD QQ.Q; Qk; ˛/ gilt

EQY˛ D EQ. limk!1

EQk.ZjF˛// D lim

k!1EQEQk

.ZjF˛/

D limk!1

E QQkZ � sup

Q2PEQZ < 1:

Also ist Y ein L1.Q/-Prozess und damit ein Q-Supermartingal. ut

7.3 Die Martingaldarstellungseigenschaft

Sei weiterhin ˛ > �1. Im Fall P 6D ; hat jedes universelle P-Martingal M eineDarstellung der Form

M D M˛ C H X;

wobei H ein vorhersehbarer Rd -wertiger Prozess ist. Dies ist eine Konsequenz

von 7.11. Wir untersuchen diese Darstellung jetzt noch für (gewöhnliche) Q-Mar-tingale.

Definition 7.14 Für Q 2 P hat X die Q-Darstellungseigenschaft, falls jedes Q-Martingal M eine Darstellung M D M˛ C H X der obigen Form besitzt.

Satz 7.15 Sei F˛ D f;; ˝g. Für Q 2 P hat X genau dann die Q-Darstellungs-eigenschaft, wenn

P D fQg:

Beweis Hat X die Q-Darstellungseigenschaft, so hat für F 2 Sn2T Fn das posi-

tive Q-Martingal

Mn WD EQ.1F jFn/; n 2 T

276 7 Maßwechsel und optionale Zerlegung für universelle Supermartingale

die Darstellung

M D M˛ C H X

mit einem vorhersehbaren Rd -wertigen Prozess H und es gilt

M˛ D EQ.1F jF˛/ D Q.F /

wegen F˛ D f;; ˝g. Für Q1 2 P ist M nach 7.10 auch ein Q1-Martingal. WegenF 2 Fn für ein n 2 T gilt Mn D 1F und daher

Q1.F / D EQ1Mn D EQ1

M˛ D Q.F /:

Damit stimmen Q1 und Q auf der AlgebraS

n2T Fn überein, also wegen demMaßeindeutigkeitssatz auch auf Fˇ D �.

Sn2T Fn/. Es folgt P D fQg.

Sei nun umgekehrt P D fQg. Ist M ein reelles Q-Martingal, so ist M ein uni-verselles P-Martingal und 7.11 liefert die Zerlegung

M D M˛ C H X � D:

Nach 7.10 ist N WD M˛ C H X ein Q-Martingal und daher ist D D N � M einQ-Martingal mit Anfangswert D˛ D 0. Wegen �Dn � 0 und EQ�Dn D 0 füralle n � ˛ C 1 folgt D D 0. ut

Die Darstellungseigenschaft ist in der zeitdiskreten Theorie eine sehr restriktiveEigenschaft von Martingalen. In der Situation von 7.15 folgt nämlich aus der Q-Darstellungseigenschaft von X mit Induktion, dass

dim L1.Fn; Q/ � .d C 1/n�˛

für alle n 2 T . Wegen A.6 ist deshalb QjFn rein atomar mit höchstens .d C 1/n�˛

Atomen, und es gilt L0.Fn; Q/ D Lp.Fn; Q/ für alle n 2 T; 0 � p � 1. TypischeBeispiele im Fall d D 1 sind die folgenden „binären“ Modelle.

Satz 7.16 Sei .Zn/n2T;n�˛C1 eine unabhängige Folge identisch verteilter reellerZufallsvariablen mit P.Z˛C1 D b/ DW p 2 .0; 1/ und P.Z˛C1 D a/ D 1 �p; a; b 2 R; a < b. Ferner sei F WD F

Z mit F˛ WD f;; ˝g.

(a) Der F-Random walk

Xn WD X˛ CnX

j D˛C1

.Zj � EZ˛C1/

mit konstantem Anfangswert X˛ 2 R hat die Darstellungseigenschaft.(b) Sei a > 0. Der geometrische F-Random walk

Yn WD Y˛

nY

j D˛C1

Zj

EZ˛C1

mit konstantem Anfangswert Y˛ 2 .0; 1/ hat die Darstellungseigenschaft.

Das Referenzmaß in 7.16 ist P . Wegen 7.15 folgt für die obigen MartingaleP.X/ D P.Y / D fP g.

7.3 Die Martingaldarstellungseigenschaft 277

Beweis (a) Nach 1.7(a) ist X ein Martingal. Ist M ein Martingal, so gilt M˛ DEM˛ DW f˛ und für n � ˛ C 1 nach dem Faktorisierungslemma A.10 Mn Dfn.Z˛C1; : : : ; Zn/ mit einer Borel-messbaren Funktion fn W Rn�˛ ! R. Die Mar-tingaleigenschaft und die Substitutionsregel A.19 liefern für n � ˛ C 1

fn�1.Z˛C1; : : : ; Zn�1/ D Mn�1 D E.MnjFn�1/

D E.fn.Z˛C1; : : : ; Zn/jZ˛C1; : : : ; Zn�1/

DZ

fn.Z˛C1; : : : ; Zn�1; x/dP Zn .x/

D .1 � p/fn.Z˛C1; : : : ; Zn�1; a/ C pfn.Z˛C1; : : : ; Zn�1; b/

und damit wegen EZ˛C1 D pb C .1 � p/a, b � EZ˛C1 D .1 � p/.b � a/ unda � EZ˛C1 D p.a � b/

fn.Z˛C1; : : : ; Zn�1; a/ � Mn�1 D Mn�1 � pfn.Z˛C1; : : : ; Zn�1; b/

1 � p� Mn�1

D p

1 � p.Mn�1 � fn.Z˛C1; : : : ; Zn�1; b//

D a�EZ˛C1

b �EZ˛C1

.fn.Z˛C1; : : : ; Zn�1; b/ � Mn�1/:

Definiert man einen vorhersehbaren Prozess H D .Hn/n2T durch

Hn WD fn.Z˛C1; : : : ; Zn�1; b/ � Mn�1

b � EZ˛C1

für n � ˛ C 1 und H˛ WD 0, so folgt für n � ˛ C 1

�Mn D Hn�Xn D Hn.Zn � EZ˛C1/;

denn auf fZn D bg gilt

�Mn D fn.Z˛C1; : : : ; Zn�1; b/ � Mn�1 D Hn.b � EZ˛C1/

und auf fZn D ag gilt

�Mn D fn.Z˛C1; : : : ; Zn�1; a/ � Mn�1 D Hn.a � EZ˛C1/:

Man erhält

Mn D M˛ CnX

j D˛C1

�Mj D M˛ CnX

j D˛C1

Hj �Xj D M˛ C .H X/n:

(b) Nach 1.7(b) ist Y ein Martingal. Wegen 0 < a < b gelten Zn > 0 für n �˛ C 1, EZ˛C1 > 0 und Yn > 0 für alle n 2 T . Ferner gilt mit H WD Y�=EZ˛C1

die Darstellung

X D X˛ C 1

H Y:

278 7 Maßwechsel und optionale Zerlegung für universelle Supermartingale

Ist nun M ein Martingal, so existiert nach (a) ein vorhersehbarer reeller Prozess K

mit

M D M˛ C K X D M˛ C K �

1

H Y

�

D M˛ C K

H Y: ut

Der darstellende Prozess H in 7.16 ist auf fn 2 T W n � ˛ C 1g jeweils fastsicher eindeutig bestimmt: Wegen �Xn 6D 0 und �Yn 6D 0 gilt Hn D �Mn=�Xn

beziehungsweise Hn D �Mn=�Yn für n � ˛ C 1.

Aufgaben

7.1 Sei Q eine lokal absolutstetige Verteilung auf Fˇ bezüglich P jFˇ mit Dichte-prozess L, also Ln D dQjFn=dP jFn. Zeigen Sie, dass 1.0;1/.Ln/ ein P -Super-martingal und 1=Ln1.0;1/.Ln/; n 2 T ein Q-Supermartingal ist. Folgern Sie imFall ˇ D 1

Q. limn!1 Ln existiert in RC/ D 1:

7.2 Seien ˛ > �1, Q eine lokal absolutstetige Verteilung auf Fˇ bezüglich P jFˇ

mit Dichteprozess L, Un WD 1=Ln1.0;1/.Ln/ und Y WD U� L. Zeigen Sie

L D L˛ C L� Y P -f.s.

7.3 Seien ˇ D 1; Q eine Verteilung auf F1 und LnP jFn für n 2 T der absolut-stetige Anteil von QjFn in der Lebesgue-Zerlegung bezüglich P jFn. Zeigen Sie,dass L D .Ln/n2T ein positives P -Supermaringal ist. Zeigen Sie ferner für denP -fast sicheren Limes L1 von Ln für n ! 1, dass L1P jF1 der absolutstetigeAnteil von Q in der Lebesgue-Zerlegung bezüglich P jF1 ist.

7.4 Seien F D .Fn/n2T eine Filtration mit Fn D �.�n/ für endliche Partitionen�n von ˝ , Q eine Verteilung auf Fˇ und

Ln WDX

C 2�nP.C />0

Q.C /

P.C /1C

für n 2 T . Zeigen Sie, dass L ein P -Supermartingal und LnP jFn für jedes n 2 T

der absolutstetige Anteil von QjFn in der Lebesgue-Zerlegung bezüglich P jFn ist.

7.5 In der Situation von Beispiel 1.7(f) mit .˝;F ; P / D .Œ0; 1/;B.Œ0; 1/; �Œ0;1//

und Fn D �.Œk=2n; .k C 1/=2n/; 0 � k � 2n � 1/; n 2 N0 seien Q eine Verteilung

Aufgaben 279

auf B.Œ0; 1// mit Verteilungsfunktion F und

Ln WD2n�1X

kD0

2n.F..k C 1/=2n/ � F.k=2n//1Œk=2n;.kC1/=2n/

für n 2 N0.

(a) Zeigen Sie Qlok� P . Nach Aufgabe 7.4 ist L dann der Dichteprozess von Q

bezüglich P und damit wegen Satz 7.2 ein P -Martingal.(b) Sei F Lipschitz-stetig. Zeigen Sie, dass L L1-beschränkt und damit gleichgra-

dig integrierbar ist. Für den P -fast sicheren Limes L1 von Ln für n ! 1 giltdann Q D L1P nach Satz 7.4.

7.6 Bestimmen sie in der Situation von Beispiel 1.7(f) eine Verteilung Q aufF1 DF mit Q

lok� P , deren Dichteprozess nicht gleichgradig integrierbar ist.

7.7 Seien ˛ > �1 und Y ein F-adaptierter L1-Prozess. Zeigen Sie die Existenzeines F-vorhersehbaren reellen Prozesses H und eines F-Submartingals X mit

Y D Y˛ C H X:

Hinweis: Hn D sign.E.�YnjFn�1// für n � ˛ C 1 und X D H Y , wobei hierausnahmsweise sign D 1Œ0;1/ � 1.�1;0/ (statt 1.0;1/ � 1.�1;0/).

7.8 Seien T D N0 und X ein einfacher F-Random walk auf Z; Xn D PniD1 Zi mit

X0 D Z0 D 0 und P.Z1 D 1/ D p D 1 � P.Z1 D �1/; p 2 .0; 1/. Zeigen Sieim Fall p 6D 1=2

P.X/ D ;:

7.9 Seien T D N0 und Y ein einfacher symmetrischer F-Random walk aufZ; Yn DPniD1 Zi mit Y0 D Z0 D 0, P.Z1 D 1/ D P.Z1 D �1/ D 1=2 und F D F

Z .Ferner sei .an/n�1 eine Folge in Œ0; 1/ und Xn WD Pn

iD1.Zi C ai / mit X0 D 0.Zeigen Sie, dass

P.X/ 6D ;genau dann gilt, wenn

1X

nD1

a2n < 1:

Wegen Satz 7.15 und Satz 7.16 gilt dann jP.X/j D 1.Hinweis: Satz von Kakutani 7.5.

7.10 Sei ˛ > �1. Zeigen Sie für das positive universelle P-Supermartingal Y

aus Satz 7.13 im Fall ˇ < 1: Y ist das kleinste universelle P-Supermartingal mitYˇ � Z und ferner

Y� D ess supQ2P

EQ.ZjF� /

für jede Stoppzeit � mit � � ˇ.

280 7 Maßwechsel und optionale Zerlegung für universelle Supermartingale

7.11 Seien ˛ > �1 und F˛ D f;; ˝g. Zeigen Sie: Hat X für Q 2 P.X/ dieQ-Darstellungseigenschaft, so gilt für die Filtration

Fn D FXn Q-f.s.

für alle n 2 T .Hinweis: Für F 2 Fn untersuche man das Wahrscheinlichkeitsmaß Q1 WD ZQ

auf Fˇ mit Z WD 1 C 12.1F � EQ.1F jFX

n //.

7.12 Seien ˛ D 0; .Zn/n2T;n�1 eine unabhängige Folge identisch B.1; 1=2/-ver-teilter Zufallsvariablen unter P , F WD F

Z mit F0 WD f;; ˝g, Xn WD � Pnj D1.Zj �

1=2/ und Yn WD � Pnj D1 Zj . Zeigen Sie, dass P D P.X/ 6D ;, Y ein universel-

les P-Supermartingal ist und Yn D Xn � n=2 und Yn D 0 � Pnj D1 Zj optionale

Zerlegungen von Y sind (im Sinne von Satz 7.11).