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Mathematik fur Betriebswirte I(Lineare Algebra)
1. Klausur Wintersemester 2013/2014 06.02.2014
BITTE LESERLICH IN DRUCKBUCHSTABEN AUSFULLEN
Nachname: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vorname: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Matrikelnummer:
Studienfach: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Name des Tutors: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vorkurs Mathematik besucht? Ja Nein
Unterschrift der/des Studierenden:
Uberprufen Sie die Klausur auf Vollstandigkeit, sie besteht aus 12 Seiten.
Bemerkungen:
Aufgabe max. Pkt. err. Pkt.
1 10
2 10
3 10
4 15
5 15
6 15
7 15
Summe 90
Note
Aufgabe 1: Surjektivitat und Injektivitat (10 Punkte)
1. Untersuchen Sie die Abbildung
f : R\0 → R
x 7→ f(x) = 1
x
auf Injektivitat, Surjektivitat und Bijektivitat. Begrunden Sie Ihre Ant-worten kurz.
2. Skizzieren Sie eine nicht monotone, aber injektive Funktion.
3. Geben Sie eine Funktion einschließlich Definitions- und Wertebereich an,deren Zuordnungsvorschrift durch die unten stehende Abbildung beschrie-ben wird. Erlautern Sie zudem kurz, ob es sich bei f um eine surjektiveund/oder injektive Abbildung handelt.
f
x y
b
b
b
b
b
b
b
b
b
2
Aufgabe 2: Lineare Unterraume (10 Punkte)
Prufen Sie, ob es sich beiM1,M2 undM3 um lineare Unterraume des R3 handelt.
M1 =
λ
−2
3
−1
, µ
1
8
10
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
λ, µ ∈ R
M2 =
−14
1
2
0
, λ
x
1
2
0
, µ
y
0
0
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
x, y ∈ R, λ, µ ∈ R
M3 =
−x1
x2
x3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
x1, x2, x3 ∈ R, x1 ≤ x2, x3 ≥ x2
3
Aufgabe 3: Orthogonale Matrizen (10 Punkte)
Zeigen Sie auf zwei verschiedenen Wegen, dass es sich bei
A =1
3·
1 −2 −2
−2 1 −2
−2 −2 1
um eine orthogonale Matrix handelt.
4
Aufgabe 4: Mengenlehre (15 Punkte)
1. Gegeben seien die Teilmengen A, B und C einer Grundmenge Ω. DesWeiteren gelte:
|P(Ω)| = 8
P(B) = ∅, b
P(B) ⊂ P(A) = P(C)
A ∪B = a, b
c ∈ C
Bestimmen Sie die Grundmenge Ω sowie die Teilmengen A,B,C und skiz-zieren Sie ein geeignetes Venn-Diagramm, aus dem alle betrachteten Men-gen und ihre jeweiligen Elemente klar hervorgehen.
2. Schraffieren Sie die Menge
((A ∩B) \ (D ∪ C)) ∪ ((A ∩ C) ∪ (B ∩ C) ∩ C)
im folgenden Venn-Diagramm.
A B
C
D
3. Es sei MN definiert und MN 6= ∅. Kreuzen Sie fur die folgenden Aussagenan, ob sie als wahr oder falsch zu beurteilen sind. Ein richtig gesetztesKreuz zahlt 1 Punkt, ein falsch oder ein nicht gesetztes Kreuz zahlt 0Punkte.
a) M ∩N = M
b) M ∪N = N
c) M\N = ∅
d) |N | ≤ |M |
e) P(M) ≤ P(N)
a) b) c) d) e)
Wahr
Falsch
5
Aufgabe 4: Mengenlehre (15 Punkte)
6
Aufgabe 5: Matrizenalgebra (15 Punkte)
Gegeben seien die Matrizen
A =
−2 0 1
5 2 −3
3
20 − 1
2
, B =
1 0 2
2 a 1
3 0 4
und C =
0 2 1
0 1
20
1 5 1
mit a ∈ R.
a) Berechnen Sie die Ausdrucke 5B− 2AT und A ·B.
b) Begrunden Sie, fur welche a ∈ R der Zusammenhang B = A−1 gilt.
c) Begrunden Sie, ob die Matrix C eine Inverse besitzt. Andern Sie zudemeine Komponente von C derart ab, dass sich die von Ihnen ermittelteEigenschaft in ihr Gegenteil wendet.
d) Begrunden Sie, ob die Zeilen der Matrix A ein Erzeugendensystem des R3
bilden.
7
Aufgabe 5: Matrizenalgebra (15 Punkte)
8
Aufgabe 6: Determinanten (15 Punkte)
Gegeben seien die Matrizen
A =
4 −3 2 −5
2 0 −2 −1
−1 0 −3 3
3 −2 −4 1
und B =
−5 −4
− 1
4−3
.
a) Berechnen Sie die Determinanten der Matrizen A und B.
b) Berechnen Sie det(
−AT)
, det(
B−1)
, det (A+A) und det (AB).
9
Aufgabe 6: Determinanten (15 Punkte)
10
Aufgabe 7: Quadratische Formen (15 Punkte)
Gegeben sei die Matrix
A =
−11 2 8
2 −2 10
8 10 −5
sowie ihr Spektrum S = −18,−9, 9.
a) Geben Sie die charakteristische Gleichung PA(λ) = 0 explizit an.
b) Bestimmen Sie die zu A gehorige quadratische Form q(x) = xTAx.
c) Bestimmen Sie die Definitheitseigenschaft von A uber ihre Hauptunterde-terminanten und uber ihre Eigenwerte.
d) Begrunden Sie in einem Satz, ob A diagonalisierbar ist.
e) Bestimmen Sie die Spur und die Determinante von A auf Basis ihrerEigenwerte.
Hinweis: Sie konnen alle Unteraufgaben dieser Aufgabe separiert voneinanderbearbeiten.
11
Aufgabe 7: Quadratische Formen (15 Punkte)
12