Mathematik fur Betriebswirte I(Lineare Algebra)

1. Klausur Wintersemester 2013/2014 06.02.2014

BITTE LESERLICH IN DRUCKBUCHSTABEN AUSFULLEN

Nachname: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vorname: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Matrikelnummer:

Studienfach: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Name des Tutors: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vorkurs Mathematik besucht? Ja Nein

Unterschrift der/des Studierenden:

Uberprufen Sie die Klausur auf Vollstandigkeit, sie besteht aus 12 Seiten.

Bemerkungen:

Aufgabe max. Pkt. err. Pkt.

1 10

2 10

3 10

4 15

5 15

6 15

7 15

Summe 90

Note

Aufgabe 1: Surjektivitat und Injektivitat (10 Punkte)

1. Untersuchen Sie die Abbildung

f : R\0 → R

x 7→ f(x) = 1

x

auf Injektivitat, Surjektivitat und Bijektivitat. Begrunden Sie Ihre Ant-worten kurz.

2. Skizzieren Sie eine nicht monotone, aber injektive Funktion.

3. Geben Sie eine Funktion einschließlich Definitions- und Wertebereich an,deren Zuordnungsvorschrift durch die unten stehende Abbildung beschrie-ben wird. Erlautern Sie zudem kurz, ob es sich bei f um eine surjektiveund/oder injektive Abbildung handelt.

f

x y

b

b

b

b

b

b

b

b

b

2

Aufgabe 2: Lineare Unterraume (10 Punkte)

Prufen Sie, ob es sich beiM1,M2 undM3 um lineare Unterraume des R3 handelt.

M1 =

λ

−2

3

−1

, µ

1

8

10

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

λ, µ ∈ R

M2 =

−14

1

2

0

, λ

x

1

2

0

, µ

y

0

0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

x, y ∈ R, λ, µ ∈ R

M3 =

−x1

x2

x3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

x1, x2, x3 ∈ R, x1 ≤ x2, x3 ≥ x2

3

Aufgabe 3: Orthogonale Matrizen (10 Punkte)

Zeigen Sie auf zwei verschiedenen Wegen, dass es sich bei

A =1

3·

1 −2 −2

−2 1 −2

−2 −2 1

um eine orthogonale Matrix handelt.

4

Aufgabe 4: Mengenlehre (15 Punkte)

1. Gegeben seien die Teilmengen A, B und C einer Grundmenge Ω. DesWeiteren gelte:

|P(Ω)| = 8

P(B) = ∅, b

P(B) ⊂ P(A) = P(C)

A ∪B = a, b

c ∈ C

Bestimmen Sie die Grundmenge Ω sowie die Teilmengen A,B,C und skiz-zieren Sie ein geeignetes Venn-Diagramm, aus dem alle betrachteten Men-gen und ihre jeweiligen Elemente klar hervorgehen.

2. Schraffieren Sie die Menge

((A ∩B) \ (D ∪ C)) ∪ ((A ∩ C) ∪ (B ∩ C) ∩ C)

im folgenden Venn-Diagramm.

A B

C

D

3. Es sei MN definiert und MN 6= ∅. Kreuzen Sie fur die folgenden Aussagenan, ob sie als wahr oder falsch zu beurteilen sind. Ein richtig gesetztesKreuz zahlt 1 Punkt, ein falsch oder ein nicht gesetztes Kreuz zahlt 0Punkte.

a) M ∩N = M

b) M ∪N = N

c) M\N = ∅

d) |N | ≤ |M |

e) P(M) ≤ P(N)

a) b) c) d) e)

Wahr

Falsch

5

Aufgabe 4: Mengenlehre (15 Punkte)

6

Aufgabe 5: Matrizenalgebra (15 Punkte)

Gegeben seien die Matrizen

A =

−2 0 1

5 2 −3

3

20 − 1

2

, B =

1 0 2

2 a 1

3 0 4

und C =

0 2 1

0 1

20

1 5 1

mit a ∈ R.

a) Berechnen Sie die Ausdrucke 5B− 2AT und A ·B.

b) Begrunden Sie, fur welche a ∈ R der Zusammenhang B = A−1 gilt.

c) Begrunden Sie, ob die Matrix C eine Inverse besitzt. Andern Sie zudemeine Komponente von C derart ab, dass sich die von Ihnen ermittelteEigenschaft in ihr Gegenteil wendet.

d) Begrunden Sie, ob die Zeilen der Matrix A ein Erzeugendensystem des R3

bilden.

7

Aufgabe 5: Matrizenalgebra (15 Punkte)

8

Aufgabe 6: Determinanten (15 Punkte)

Gegeben seien die Matrizen

A =

4 −3 2 −5

2 0 −2 −1

−1 0 −3 3

3 −2 −4 1

und B =

−5 −4

− 1

4−3

.

a) Berechnen Sie die Determinanten der Matrizen A und B.

b) Berechnen Sie det(

−AT)

, det(

B−1)

, det (A+A) und det (AB).

9

Aufgabe 6: Determinanten (15 Punkte)

10

Aufgabe 7: Quadratische Formen (15 Punkte)

Gegeben sei die Matrix

A =

−11 2 8

2 −2 10

8 10 −5

sowie ihr Spektrum S = −18,−9, 9.

a) Geben Sie die charakteristische Gleichung PA(λ) = 0 explizit an.

b) Bestimmen Sie die zu A gehorige quadratische Form q(x) = xTAx.

c) Bestimmen Sie die Definitheitseigenschaft von A uber ihre Hauptunterde-terminanten und uber ihre Eigenwerte.

d) Begrunden Sie in einem Satz, ob A diagonalisierbar ist.

e) Bestimmen Sie die Spur und die Determinante von A auf Basis ihrerEigenwerte.

Hinweis: Sie konnen alle Unteraufgaben dieser Aufgabe separiert voneinanderbearbeiten.

11

Aufgabe 7: Quadratische Formen (15 Punkte)

12