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VorlesungMathematik fur Ingenieure 2

(Sommersemester 2009)Kapitel 11: Vektoranalysis

Volker Kaibel

Otto-von-Guericke Universitat Magdeburg

(Version vom 23. April 2009)

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FelderDefinition 11.1

Ein Skalarfeld (skalares Feld) ist eine Abbildung

u : Rn ⊇ G → R

(in jedem Punkt x ∈ G ”sitzt” ein Skalar u(x) ∈ R).

Definition 11.2

Ein Vektorfeld ist eine Abbildung

v : Rn ⊇ G → Rn

(in jedem Punkt x ∈ G ist ein Vektor v(x) ∈ Rn

angeheftet).

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Stromung durch Flache

v

f

h

F4

Stromung durch Wurfelseite

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Divergenz

Definition 11.3

Fur ein differenzierbares Vektorfeld

v = (v1, . . . , vn) : Rn ⊇ G → Rn

heißt

divx v =n∑

i=1

∂vi

∂xi(x) ∈ R

die Divergenz (Quelldichte) von v im Punktx ∈ G . Ist divx v = 0 fur alle x ∈ G , so ist vdivergenzfrei (quellfrei).

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Konstantes Vektorfeld v(x , y) = (3, 1)

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Radialfeld v(x , y) = 12(x , y)

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Coulombfeld grad −1r

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Ebenes Analogon (auf [−3, 3]× [−2, 2])

10

Ebenes Analogon (auf [0.5, 3]× [0.5, 2])

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Magnetfeld (Leiter: z-Achse)

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Aufsicht (auf [−3, 3]× [−2, 2])

13

Aufsicht (auf [1, 4]× [1, 3])

14

Drehung um a ∈ R3 \ {O3}

a

x v(x)d

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Die Rotation

Definition 11.4

Fur ein differenzierbares Vektorfeldv : R3 ⊇ G → R3 heißt

rotx v =

∂v3

∂x2(x) − ∂v2

∂x3(x)

∂v1

∂x3(x) − ∂v3

∂x1(x)

∂v2

∂x1(x) − ∂v1

∂x2(x)

∈ R3

die Rotation von v im Punkt x ∈ G . Istrotx v = O3 fur alle x ∈ G , so heißt v rotationsfrei(wirbelfrei).

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Aufsicht auf v(x , y , z) = (y , 0, 0)

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Linearitat der Differenzialoperatoren

Seien u, ψ : Rn ⊇ G → R differenzierbareSkalarfelder und v ,w : Rn ⊇ G → Rn

differenzierbare Vektorfelder, λ ∈ R eine Konstante.

I grad (u + ψ) = grad u + grad ψ

I grad (λu) = λ · grad u

I div (v + w) = div v + div w

I div (λv) = λ · div v

I rot (v + w) = rot v + rot w (n = 3)

I rot (λv) = λ · rot v (n = 3)

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Produktregeln fur Differenzialoperatoren

Seien u, ψ : Rn ⊇ G → R differenzierbareSkalarfelder und v ,w : Rn ⊇ G → Rn

differenzierbare Vektorfelder.

I grad (ψu) = u · grad ψ + ψ · grad u

I div (ψv) = 〈grad ψ, v〉+ ψ · div v

I rot (ψv) = (grad ψ)× v + ψ · rot v (n = 3)

I rot (v × w) = (rot v)×w +v×(rot w)(n = 3)

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Der Laplace-Operator

Definition 11.5

Ist u : Rn ⊇ G → R zweimal differenzierbar, sodefinieren wir

4u := div (grad u) =n∑

i=1

∂2u

∂x2i

.

(4: Laplace-Operator)

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Der Laplace-Operator (fur vektorwertigeAbbildungen)

Definition 11.6

Ist v = (v1, . . . , vm) : Rn ⊇ G → Rm zweimaldifferenzierbar, so definieren wir

4v :=

4v1...4vm

.

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Heat-Kernel (t = 0.1)

-2

0

2

-2

0

2

0.0

0.5

1.0

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Ebene Welle (t = 0.0)

-10-5

05

10 -10

-5

0

5

10

-1.0-0.50.0

0.51.0

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Potenzial

Definition 11.7

Fur ein Vektorfeld v : Rn ⊇ G → Rn heißt dasSkalarfeld u : G → R ein Potenzial fur v , wenngilt:

grad (−u) = v

−u heißt dann eine Stammfunktion von v .

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Notwendige Bedingung fur Potenziale

Satz 11.8

Falls v : R3 ⊇ G → R3 ein Potenzial hat, so istrotx v = (0, 0, 0) fur alle x ∈ G . (Nur wirbelfreieFelder konnen Potenziale haben.)

Bemerkung 11.9

Je nach Form des Gebiets G ⊆ R3 gibt es aber auchVektorfelder v : G → R3 mit rot v = (0, 0, 0), dietrotzdem kein Potenzial haben.

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Konvexe Mengen

Definition 11.10

Eine Menge M ⊆ Rn heißt konvex, wenn fur je zweiPunkte p, q ∈ Rn die gesamte Verbindungsstrecke

{tp + (1− t)q | 0 ≤ 1 ≤ t} ⊆ M

zwischen p und q in M enthalten ist.

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Nicht konvexe Menge

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Hinreichende Bedingung fur Potenziale

Satz 11.11

Ist v : R3 ⊇ G → R3 stetig differenzierbar undwirbelfrei (rot v = O3) auf der offenen konvexenMenge G , so besitzt v ein Potenzial.

Bemerkung 11.12

Wirbelfreie (stetig differenzierbare) Felder (aufoffenen Mengen) haben immer lokale Potenziale,weil man um jeden Punkt eine kleine (konvexe)Kugel findet, die ganz im Definitionsbereich liegt.

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Vektorpotenzial

Definition 11.13

Fur ein Vektorfeld v : R3 ⊇ G → R3 heißt dasVektorfeld w : G → R3 ein Vektorpotenzial von v ,wenn gilt:

rot w = v

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Notwendige Bedingung furVektorpotenziale

Satz 11.14

Falls ein stetig differenzierbares Vektorfeldv : R3 ⊇ G → R3 ein Vektorpotenzial hat, ist

div v = 0.

(Nur quellenfreie Felder konnen Vektorpotenzialehaben.)

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Hinreichende Bedingung furVektorpotenziale

Satz 11.15

Ist v : R3 ⊇ G → R3 stetig differenzierbar undquellenfrei (div v = 0) auf der offenen konvexenMenge G , so besitzt v ein Vektorpotenzial.

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Approximation von Kurven durchPolygonzuge

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Konstantes Feld, gleichformige geradlinigeBewegung

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Kurvenintegral (eines Vektorfelds)

Definition 11.16

Das Kurvenintegral eines (stetigen) VektorfeldesF : Rn ⊇ G → Rn uber einer (stetigdifferenzierbaren) Kurve c : [a, b]→ G ist

∫c

Fds :=

b∫a

F (c(t)) · c ′(t)dt

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Kurvenintegrale sind i.A. wegabhangig

Bemerkung 11.17

In allgemeinen Vektorfeldern hangt dasKurvenintegral nicht nur vom Anfangs- undEndpunkt der Kurve ab, sondern auch vomWegverlauf.

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Umparametrisierung

Satz 11.18

(i) Durch Umparametrisieren (ohne Vertauschungvon Anfangs- und Endpunkt) des Weges (z. B.Geschwindigkeitsanderung) andert sich dasKurvenintegral nicht.

(ii) Bei Vertauschung von Anfangs- und Endpunktmultipliziert sich das Kurvenintegral mit (−1).

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Kurvenintegrale von Potenzialfeldern

Satz 11.19

Ist F : Rn ⊇ G → Rn ein Potenzialfeld mitPotential u : G → R (d.h. F = grad −u), so gilt furjede (stetig differenzierbare) Kurve c : [a, b]→ G :∫

c

F ds = u(c(a))− u(c(b)) .

Insbesondere ist das Kurvenintegral inPotenzialfeldern wegunabhangig (d.h. nur abhangigvon Anfangs- und Endpunkt des Wegs).

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Konservative Felder

Definition 11.20

Ein Vektorfeld, in dem alle Kurvenintegrale nur vomAnfangs- und Endpunkt der Kurve abhangen, heißtkonservativ; insbesondere (und aquivalent dazu)sind in konservativen Vektorfeldern Kurvenintegraleuber geschlossenen Kurven (d. h. Anfangs- gleichEndpunkt) immer Null.

Satz 11.21

Jedes konservative Vektorfeld besitzt ein Potenzial.

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Kurvenintegral von Skalarfeldern

Definition 11.22

Das Kurvenintegral eines (stetigen) Skalarfeldesu : Rn ⊇ G → R uber einer (stetigdifferenzierbaren) Kurve c : [a, b]→ G ist

∫c

u ds :=

b∫a

u(c(t))||c ′(t)||dt.

Insbesondere ist∫

c 1 ds =∫ b

a ||c′(t)|| dt die Lange

der Kurve (genauer: des zuruckgelegten Wegs).

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Terminologie

Elektrodynamik/Mechanik Thermodynamik

Vektorfeld Pfaffsche Form (PF)

Potenzialfeld vollstandiges Differenzial

wirbelfrei ∂vi

∂xj=

∂vj

∂xi(geschl. PF)

Potenzial (wegunabh. Int.) Zustandsvariable

wegabhangiges Integral Prozessvariable