Möglichkeiten der numerischen

Lösung der Navier-Stokes-

Gleichungen am Beispiel einer

inkompressiblen Strömung über eine

rückspringende Stufe

Bingen, 11.01.2016

Dr. rer. nat. Frank Morherr

Die Navier-Stokes-Gleichungen

Claude Louis Marie Henri Navier

• Geboren 1785 in Dijon

• Ingenieurstudium an der École

Polytechnique, Freundschaft mit

seinem Lehrer Fourier

• Betont die Bedeutung der Mathematik

und Physik für das Ingenieurstudium

• Arbeiten u.a. über Flüssigkeiten,

Eisenbahn, Konstruktion von

Hängebrücken

• Gestorben 1836 in Paris

George Gabriel Stokes

• Geboren 1819 in Skreen, Irland in

ärmlichen Verhältnissen.

• Vater und alle Brüder Pfarrer, Mutter

Pfarrerstochter

• mit 18 J. Studium an der Universität

Cambridge

• mit 23 J. ”On the steady motion of

incompressible fluids”

• mit 30 J. ”Lucasian Professor“ in

Cambridge. Übt großen Einfluss auf

Maxwell aus.

• Gestorben 1903 in Cambridge

Die Navier-Stokes-Gleichungen

Die Herleitung der Navier-Stokes-Gleichungen

Die Herleitung der Navier-Stokes-Gleichungen

Die Herleitung der Navier-Stokes-Gleichungen

Die Herleitung der Navier-Stokes-Gleichungen

Die Herleitung der Navier-Stokes-Gleichungen

Die Herleitung der Navier-Stokes-Gleichungen

Die Herleitung der Navier-Stokes-Gleichungen

Die Herleitung der Navier-Stokes-Gleichungen

Die Herleitung der Navier-Stokes-Gleichungen

Die Herleitung der Navier-Stokes-Gleichungen

Anfangsbedingungen

Anfangsbedingungen

Computational Fluid Dynamics (CFD)

• numerische Strömungsmechanik (computational fluid dynamics, CFD) ist

Methode der Strömungsmechanik

• Ziel: strömungsmechanische Probleme approximativ mit numerischen

Methoden zu lösen

• Benutzte Modellgleichung: Navier-Stokes-Gleichungen, Euler-Gleichungen

oder Potentialgleichungen

• wichtige Probleme wie zum Beispiel die Berechnung des

Widerstandsbeiwerts und andere Simulationen führen sehr schnell zu

nichtlinearen Problemen, die nur in Spezialfällen exakt lösbar sind

• Die numerische Strömungsmechanik ist kostengünstige Alternative zu

Versuchen im Windkanal oder Wasserkanal

• Experimentelle Untersuchungen sind nicht bei allen Strömungen möglich

zu heiß, chemisch aggressiv

Strömungssensoren können Messergebnisse verfälschen

Berührungslose Strömungstechniken nicht immer einsetzbar

Navier-Stokes Gleichungen sind nur in Spezialfällen analytisch

lösbar

→ numerische Approximation der Lösung

Benutzung von Diskretisierungsmethoden, mit denen die

Differentialgleichungen durch ein System von algebraischen Gleichung

approximiert werden können, welches auf einem Computer gelöst

werden kann

• Finite Differenzen (FD)

• Finite Volumen Methoden (FVM)

• Finite Elemente Methoden (FEM)

Numerische Methoden

Konvergenz:

• Diskrete Lösung konvergiert gegen die exakte Lösung, wenn

die Gitterabstände gegen Null gehen

• Lax Äquivalenzsatz (for lineare Probleme): Der Satz bedeutet, dass die erwünschte Konvergenz der Lösung der

Finite-Differenzen-Methode für die Lösung der partiellen Differentialgleichung nur sehr schwer feststellbar ist, da die numerische Lösung rekursiv definiert ist. Jedoch ist die Konsistenz der Methode, d.h. dass die numerische Methode die Differentialgleichung approximiert, einfach zu überprüfen und Stabilität ist üblicherweise viel einfacher zu zeigen als die Konvergenz (dies würde ohnehin nachzuweisen sein, um zu zeigen, dass Rundungsfehler die Lösung nicht verfälschen). Daher wird Konvergenz üblicherweise über den Äquivalenzsatz gezeigt.

Konsistenz + Stabilität = Konvergenz

• Für nichtlineare Probleme: Wiederholung der Rechnungen in

sukzessive verfeinerten Gittern um sicherzustellen, dass die

Lösung nicht von der Art des Gitters abhängt

Numerische Methoden, Eigenschaften

Gitter

• Strukturierte Gitter

• An alle Knoten stößt dieselbe Anzahl

von Elementen

• Nur für einfache Gebiete

• Unstrukturierte Gitter

• Für alle Geometrien

• irreguläre Datenstruktur

• Block-strukturierte Gitter

Numerische Methoden, Gitter

Navier-Stokes-Gleichungen differentielle

Form

Zur Berechnung Umwandlung in integrale Form sinnvoller

Finite Volumen I Allgemeine Form der Navier-Stokes Gleichung

q

xU

xt i

i

i

TU j ,,1

S

i

V i

dSndVx

Integration über das

Kontroll-Volumen(CV)

Lokale zeitliche Änderung Fluss Quelle

VS

i

i

i

V

dVqdSnx

UdVt

Integrale Form der Navier-Stokes Gleichung

Lokale Änderung In der Zeit im CV

Fluss durch

die Oberfläche des

Kontrollvolumens

Quelle CV

Finite Volumen Methode

Finite Volumen II

Massenerhaltung in der Finite Volume Methode

VS

i

i

i

V

dVqdSnx

UdVt

A B

A B

Finite Volumen III

;VdVm p

Vi

Approximation der Volumen-Integrale

PU

eU

EU

Interpolation

0)( if

0)( if

eE

eP

e

nUU

nUUU

Upwind

Central

PE

PeeePeEe

xx

xxUUU

)1(

wesnkSPdSPdVP k

k

kSV ii

,,,

Approximation der Oberflächen-Integrale

( Mittelpunkts-Regel)

VudVumu PP

V

ii

i

Startpunkt: Integral-Form der stationären Transport-Gleichung

Kontroll-Volumen

CV

Finite Volumen Methode

Approximation der Volumen-Integrale

Einfachste Approximation:

• exakt falls q konstant oder linear ist

Interpolation benutzt Werte von q an mehreren Punkten

Nettofluss durch den Rand des Kontrollvolumens CV ist die

Summe der Integrale über die Seitenflächen

• Geschwindigkeitsfeld und Dichte werden als bekannt

angenommen

• ist die einzige unbekannte Größe

• Wir betrachten z.B. die Seitenfläche nach Osten

Approximation der Oberflächen-Integrale

Werte von f an der Oberfläche die nicht bekannt sind → Interpolation

Möglichkeiten der Approximation

Möglichkeiten der Interpolation

Quadratic Upwind Interpolation (QUICK)

Interpolation durch eine Parabel: drei Punkte sind notwendig

P, E und Punkt in der vorhergehenden Seite

• g sind die Koeffizienten in den Termen der

Knotenkoordinaten

• dritte Ordnung

Central Differencing Scheme (CDS)

• Lineare Interpolation zwischen nächsten Knoten

• zweite Ordnung

• kann oszillierende Lösungen produzieren

Fluid-Element

Infinitesimales Fluid-Element

6 Seitenflächen: Nord, Süd, Ost,

West, Oben, Unten

Fluidelement transportiert bei seiner Bewegung Erhaltungsgrößen wie

Masse, Impuls, Energie von der ursprünglichen Lage in die neue Lage

Systematisches Erfassen der Änderungen in der Masse, des

Impulses und der Energie des Fluid-Elements durch den Fluss

durch die Oberfläche und die Quellen im Innern des Elements

→ Fluss-Gleichungen des Fluids

Vorteil der FVM zur FDM und FEM: konvektive und diffusive Flüsse auf

den Seitenflächen jeder Zelle werden im Rechengitter explizit ausgewertet

Transport-Gleichung

Integration der Transport-Gleichung über ein Kontroll-Volumen

Integraldarstellung

Unter Benutzung des Gaußschen Satzes:

Diskretisierung der Kontinuitätsgleichung

0P P N N S S W W E Ea u a u a u a u a u

Ein Kontroll-Volumen

11 12 1 1

21 22 23 2, 1 2

1 1, 1

1,2 ,

1, 1 1, 2 1, 1 1, 1

, , 1

0

0

. . . . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . .

. . . . .

. . . . .

l

l

k l n

k l n

n n k n n n n n n n

n n k n n nn n

a a a u

a a a a u

a a

a a

a a a a u

a a a u

.

.

.

0

0

Gesamtes Gebiet

→ Lineares Gleichungssystem zu lösen

Iterative Methoden (sinnvoll, da bei Strömungsproblemen oft keine

dünne Besetzung)

Jacobi-Methode

Gauss-Seidel-Methode

Sukzessive Over-Relaxation (SOR)

Konjugierte-Gradienten-Method (CG)

Mehrgitter-Methoden

- wiederholte Anwendung eines einfachen Algorithmus

- keine Garantie, dass das Verfahren konvergiert

- nur Koeffizienten, die nicht Null sind, müssen gespeichert werden

Direkte Methoden (nur sinnvoll bei dünner Besetzung)

Gauß-Elimination

LU-Zerlegung

Tridiagonal-Matrix-Algorithmus (TDMA)

Lösung des Linearen Gleichungssystems

Finite Volumen Diskretisierung der

inkompressiblen Navier-Stokes Gleichung 0

( ) 0

h

hh h h h

Mu

duC u u Du Mq

dt

Konvektion Diffusion

),(

)(

1

1

n

h

n

h

n

hn

h

uuf

uf

dt

du

Zeit-Diskretisierung

Explizit

Implizit

Quelle Zeitabhängigkeit

(Zeit-Diskretisierung)

Für nichtstationäre Flüsse: Anfangswertproblem

• f diskretisieren und Finite-Volume-Methode verwenden

• Zeitintegration wie in einer gewöhnlichen Differentialgleichung

Das Integral auf der rechten Seite wird numerisch ausgewertet.

Diskretisierung der Zeit

Diskretisierung der Zeit

• Explizites Eulerverfahren: Ordnung

• Implizites Eulerverfahren: Ordnung

• Mittelpunktsmethode: explizit, Ordnung

• Crank-Nicolson-Methode (Trapezregel): implizit, Ordnung:

• Wand : kein Fluid dringt durch die Wände

No-slip, Fluid ist an der Wand in Ruhe

Free-slip, keine Haftung an der Wand

• Inflow (inlet): Konvektiver vorgeschriebender Fluss

• Outflow (outlet): Konvektiver Fluss unabhängig von den

Koordinaten und senkrecht zum Rand

• Symmetrie (Rotationssymmetrie,Achsensymmetrie)

Randbedingugen

Typische Randbedingungen No-slip(Wand), axialsymmetrisch, Inlet, Outlet, periodisch

Inlet ,u=c,v=0

o

No-slip walls: u=0,v=0

v=0, dp/dr=0,du/dr=0

Outlet, du/dx=0 dv/dy=0,dp/dx=0

r

x Axialsymmetrisch Periodische

Randbedingung in Spannweiten-Richtung eines Flügels

• Die Finite-Volumen-Methode benutzt die Integralform der

Transportgleichung

• Das Gebiet wird in Kontrollvolumina unterteilt (CV)

• Oberflächen- and Volumenintegrale werden durch ein

numerisches Quadraturverfahren ausgewertet

• Interpolation wird benutzt, um die Werte von Variablen auf CV

Seiten mit den Werten an den Knoten auszudrücken

• Das Resultat ist eine algebraische Gleichung in Kontrollvolumina

• Anwendbar für jede Art von Gitter

• Erhaltend durch Konstruktion

• Kommerzielle Programme: CFX, Fluent, Phoenics, Flow3D

Zusammenfassung Finite Volumen Methode

You Tube Video: Finite Volume Method

(Control Volume Approach)

Beispiel einer rückspringenden Stufe mit

ANSYS-FLUENT

Konstruktion der Geometrie mit FLUENT oder anderen kompatiblen

Programmen

Konstruktion der Geometrie und des Gitters

Gittererzeugung mit FLUENT oder anderen kompatiblen Programmen

Simulationen mit Fluent

• Die sich abgelöste Scherschicht stromab der Stufe weitet sich allmählich auf und legt sich wieder an die Kanalwand an

• Innerhalb des Rezirkulationsgebiets sind weitere sekundäre Strukturen zu erkennen, die physikalisch nicht zu begründen sind

Unzureichende Beschreibung der Turbulenz im Rezirkulationsgebiet durch das gewählte Turbulenzmodell

• Der Wiederanlegepunkt A ergibt sich aus dem Nulldurchgang des Geschwindigkeitsprofils und kann sofort abgelesen werden

Diskussion und Probleme einer Simulation

Simulation mit OpenFOAM

• In der Nähe der Stufe ergibt sich das dargestellte Geschwindigkeitsfeld.

Abgelöste Scherschichtstromabwärts der Stufe legt sich wieder an die

untere Kanalwand an

• Auch hier sind weitere Strömungsmuster im Rezirkulationsgebiet zu

sehen

Fazit

• Das mit DFD-Simulation ermittelte Strömungsfeld zeigt den erwarteten Verlauf

mit der abgelösten, sich aufweitenden, freien Scherschicht

• Quantitativ weicht der numerisch ermittelte Wiederanlegepunkt um etwa 15%

vom experimentell ermittelten Wert ab

• typischer Fehler für CFD-Simulationen mit Turbulenzmodellen ohne geeignete

Anpassung der Modellkonstanten